Completitud consistencia

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Edición digital para la Biblioteca Digital del ILCE 
Título original: ON COMPLETENESS AND CONSISTENCY (1931) 
© De la traducción: Emilio Méndez Pinto 
Prohibida su reproducción por cualquier medio mecánico o eléctrico sin la autorización por escrito 
de los editores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Sea Z el sistema formal que obtenemos al suplementar los axiomas de Peano con el 
esquema de definición por recursión (sobre una variable) y las reglas lógicas del cálculo 
funcional restringido. Entonces Z no ha de contener otras variables que variables para 
individuos (es decir, números naturales), y el principio de inducción matemática debe 
formularse, por tanto, como una regla de inferencia. Entonces vale lo siguiente: 
 1. Dado cualquier sistema formal S en el que hayan finitos axiomas y en el que los 
únicos principios de inferencia sean la regla de sustitución y la regla de implicación, si S 
contiene1 Z, S es incompleto, es decir, en S hay proposiciones (en particular, proposiciones 
de Z) que son indecidibles sobre la base de los axiomas de S, siempre que S sea ω -
consistente. Aquí, se dice que un sistema es ω -consistente si, para ninguna propiedad F de 
números naturales, ( )Ex Fx así como todas las fórmulas ( ), 1, 2,...,F i i = son demostrables. 
 2. En particular, en cada sistema S del tipo recién mencionado la proposición de que 
S es consistente (más precisamente, la proposición aritmética equivalente que obtenemos al 
mapear las fórmulas uno a uno sobre números naturales) es indemostrable. 
 Los teoremas 1 y 2 también valen para sistemas en los que hay infinitos axiomas y 
en los que hay otros principios de inferencia que los ya mencionados arriba, siempre que 
 
1
 Que un sistema formal S contenga otro sistema formal T significa que cada proposición expresable 
(demostrable) en T es expresable (demostrable) también en S. 
[El 18 de mayo de 1966, Gödel añadió que:] 
Esta definición no es precisa, y, si se hiciera precisa de la manera directa, no proporciona una 
condición suficiente para la no demostrabilidad en S de la consistencia de S. Se obtiene una condición 
suficiente si uno utiliza la siguiente definición: “S contiene T si y sólo si cada fórmula significativa (o axioma 
o regla (de inferencia, de definición, o de construcción de axiomas)) de T es una fórmula significativa (o 
axioma, etcétera) de S, esto es, si S es una extensión de T”. 
Bajo la hipótesis más débil de que Z es recursivamente traducible (uno a uno) en S, con la 
demostrabilidad preservada en esta dirección, la consistencia, incluso de sistemas S muy fuertes, puede ser 
demostrable en S e incluso en la teoría de números recursiva primitiva. Sin embargo, lo que puede mostrarse 
ser indemostrable en S es el hecho de que las reglas del cálculo ecuacional aplicadas a ecuaciones, entre 
términos recursivos primitivos, demostrables en S proporcionan únicamente ecuaciones numéricas correctas 
(siempre que S posea la propiedad de que se afirma que es indemostrable). Nótese que es necesario probar 
esta consistencia “externa” de S (que para los sistemas usuales es trivialmente equivalente a la consistencia) 
con el fin de “justificar”, en el sentido del programa de Hilbert, los axiomas transfinitos de un sistema S. (En 
lo anterior, “reglas del cálculo ecuacional” quiere decir las dos reglas de sustituir términos recursivos 
primitivos por variables y de sustituir un término tal por otro al que se ha probado igual.) 
El último teorema mencionado y el Teorema 1 del artículo siguen siendo válidos para sistemas 
mucho más débiles que Z, en particular para la teoría de números recursiva primitiva, esto es, lo que queda de 
Z si se omiten los cuantificadores. Con cambios insignificantes en el fraseo de las conclusiones de los dos 
teoremas, incluso valen para cualquier traducción recursiva en S de las ecuaciones entre términos recursivos 
primitivos, bajo la única hipótesis de la ω - consistencia (o consistencia externa) de S en esta traducción. 
 
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cuando enumeremos las fórmulas (en orden de longitud creciente y, para igual longitud, en 
orden lexicográfico) la clase de números asignados a los axiomas sea definible y decidible 
[entscheidungsdefinit] en el sistema Z, y que lo mismo valga para la siguiente relación 
1 2( , ,..., )nR x x x entre números naturales: “la fórmula con número 1x se sigue de las 
fórmulas con números 2 ,..., nx x por una sola aplicación de una de las reglas de inferencia”. 
Aquí, se dice que una relación (clase) 1 2( , ,..., )nR x x x es decidible en Z si para cada n-tuplo 
1 2( , ,..., )nk k k de números naturales o bien 1 2( , ,..., )nR k k k o bien 1 2( , ,..., )nR k k k es 
demostrable en Z. (Actualmente, no se conoce ninguna relación numérico-teórica decidible 
que no sea definible y decidible ya en Z.) 
 Si imaginamos que el sistema Z es sucesivamente ampliado por la introducción de 
variables para clases de números, clases de clases de números, etcétera, junto con los 
correspondientes axiomas de comprehensión, obtenemos una secuencia (continuable en el 
transfinito) de sistemas formales que satisfacen las asunciones mencionadas arriba, y 
resulta que la consistencia (ω -consistencia) de cualquiera de tales sistemas es demostrable 
en todos los sistemas subsecuentes. También, las proposiciones indecidibles construidas 
para la prueba del Teorema 1 se vuelven decidibles por la adición de tipos superiores y de 
los axiomas correspondientes; sin embargo, en los sistemas superiores podemos construir 
otras proposiciones indecidibles a partir del mismo procedimiento, y así sucesivamente. 
Para estar seguros, todas las proposiciones así construidas son expresables en Z (por lo 
tanto, son proposiciones numérico-teóricas); sin embargo, no son decidibles en Z, sino 
únicamente en sistemas superiores, por ejemplo, en el del análisis. En el caso de que 
adoptemos una construcción de las matemáticas libre de tipos, como se hace en el sistema 
axiomático de la teoría de conjuntos, los axiomas de cardinalidad (es decir, axiomas que 
postulan la existencia de conjuntos de cardinalidad cada vez mayor) toman el lugar de las 
extensiones de tipo, y se sigue que ciertas proposiciones aritméticas que son indecidibles en 
Z se vuelven decidibles por axiomas de cardinalidad, por ejemplo, por el axioma de que 
existen conjuntos cuya cardinalidad es mayor que cada 
nα , donde 0 0 1, 2 .nn
αα α += ℵ =