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2 Edición digital para la Biblioteca Digital del ILCE Título original: The iterative conception of set © De la traducción: Emilio Méndez Pinto Publicado originalmente en Journal of Philosophy 68 (1971): 215-32. La Sra. Sedgwick, quien posee los derechos de la obra de George Boolos, así como el Journal of Philosophy, concedieron el permiso para la traducción al castellano de esta obra y su posterior publicación. Prohibida su reproducción por cualquier medio mecánico o eléctrico sin la autorización por escrito de los coeditores. 3 Un conjunto, de acuerdo con Cantor, es “cualquier colección…en un todo de objetos definidos, bien distinguidos…de nuestra intuición o pensamiento.”1 Cantor también definió un conjunto como “una variedad, que puede pensarse como uno, i. e., una totalidad de elementos definidos que pueden combinarse en un todo por una ley.”2 Uno podría objetar la primera definición sobre las bases de que utiliza los conceptos de colección y todo, que son nociones no mejor entendidas que la de conjunto, que debería haber conjuntos de objetos que no son objetos de nuestro pensamiento, que “intuición” es un término cargado de una teoría del conocimiento que nadie habría de creer, que cualquier objeto está “definido”, que habría de haber conjuntos de objetos mal distinguidos, como olas y trenes, etc., etc. Y uno podría objetar la segunda [definición] sobre las bases de que “una variedad” es antigramatical, que si algo es “una variedad” difícilmente podría pensarse como uno, que totalidad es tan oscura como conjunto, que está lejos de ser claro cómo leyes pueden combinar cualquier cosa en un todo, que habría de haber otras combinaciones en un todo que aquellas efectuadas por “leyes”, etc., etc. Pero no puede negarse que las definiciones de Cantor podrían utilizarse por una persona para identificar y obtener algún entendimiento sobre el tipo de objeto que Cantor quería tratar. Por otra parte, sugieren – aunque, debe concederse, solamente de manera muy débil – dos características importantes de los conjuntos: que un conjunto está “determinado” por sus elementos en el sentido de que los conjuntos con exactamente los mismos elementos son idénticos, y que, en un sentido, la clarificación de lo que es uno de los objetos principales de la teoría cuya justificación daremos, los elementos de un conjunto son “antes de” él. No ha de suponerse que los conceptos de conjunto y miembro de pueden explicarse o definirse por medio de nociones más simples o conceptualmente más básicas. Sin embargo, ya que una teoría sobre conjuntos podría por sí misma proporcionar el tipo de elucidación sobre conjuntos y membresía que podría esperarse de buenas definiciones, no hay razón para que tal teoría comience con, o incluso contenga, una definición de “conjunto”. Que seamos incapaces de ofrecer definiciones informativas de no o para algún 1 “Unter einer ‘Menge’ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‘Elemente’ von M genannt werden) zu einem Ganzen” (Cantor 1932: 282). 2 “…jedes Viele, welches sich als Eines denken lässt, d. h. jeden Inbegriff bestimmter Elemente, welcher durch ein Gesetz zu einem Ganzen verbunden werden kann” (Cantor 1932: 204). 4 no impide, y no debería hacerlo, el desarrollo de la lógica cuantificacional, que nos provee de información significante sobre estos conceptos. I. Teoría ingenua de conjuntos Aquí hay una idea sobre conjuntos que podría ocurrírsenos naturalmente, y quizá está sugerida por la definición de Cantor de un conjunto como una totalidad de elementos definidos que pueden combinarse en un todo por una ley. Por la ley del tercero excluido, cualquier predicado (de un lugar) en cualquier lenguaje aplica a un objeto dado o no lo hace. Así, parecería que a cualquier predicado corresponden dos tipos de cosa: el tipo de cosa a la que aplica el predicado (de la que es verdadero) y el tipo de cosa a la que no aplica. Así, parecería que para cualquier predicado hay un conjunto de todas y sólo aquellas cosas a las que aplica (así como un conjunto de sólo aquellas cosas a las que no aplica). Cualquier conjunto cuyos miembros sean exactamente las cosas a las que aplica el predicado – por el axioma de extensionalidad, no puede haber dos de tales conjuntos – es llamado la extensión del predicado. Por tanto, nuestro pensamiento podría ponerse como: “Cualquier predicado tiene una extensión.” Llamaremos a esta proposición, junto con el argumento para ella, la concepción ingenua de conjunto. El argumento tiene mucha fuerza. ¿Cómo no podría haber una colección, o un conjunto, de justo aquellas cosas a las que aplique cualquier predicado dado? ¿No es cualquier cosa a la que aplica un predicado similar a todas las otras cosas a las que aplica en precisamente el respecto de que aplica a ellas?; y ¿cómo podría no haber un conjunto de todas las cosas similares entre sí a este respecto? ¿No sería extremadamente increíble decir, de cualquier predicado particular que uno pueda considerar, que no hay dos tipos de cosa que determina, a saber, un tipo de cosa de la que es verdadero, y un tipo de cosa de la que no es verdadero? ¿Y por qué uno no habría de tomar estos tipos de cosas como conjuntos? ¿Los tipos no son conjuntos? Si no, ¿cuál es la diferencia? Denotemos por “K” a cierto lenguaje de primer orden formalizado de manera estándar, cuyas variables oscilan sobre todos los conjuntos e individuos (= no conjuntos), y cuyas constantes no lógicas son una letra predicada de un lugar “S” abreviando “es un 5 conjunto”, y una letra predicada de dos lugares “∈” abreviando “es un miembro de”. ¿Qué oraciones de este lenguaje, junto con sus consecuencias, creemos que establecen verdades sobre conjuntos? En otras palabras, ¿qué fórmulas de K habríamos de tomar como axiomas de una teoría de conjuntos en la fuerza de nuestras creencias sobre los conjuntos? Si la concepción ingenua de conjunto es correcta, habría (al menos) un conjunto de justo aquellas cosas a las que aplica φ si φ es una fórmula de K. Así, (la clausura universal de) debe expresar una verdad sobre conjuntos (si ninguna ocurrencia de “y” en φ es libre). Llamamos a la teoría cuyos axiomas son el axioma de extensionalidad (al que recurriremos más tarde), i. e., la oración ( )( )( & & ( )( ) )x y Sx Sy z z x z y x y∈ ↔ ∈ → = y todas las fórmulas (donde “y” no ocurre libre en φ ) teoría ingenua de conjuntos. Algunos de los axiomas de la teoría ingenua de conjuntos son las fórmulas ( )( & ( )( ))y Sy x x y x x∃ ∈ ↔ ≠ ( )( & ( )( ( )))y Sy x x y x z x w∃ ∈ ↔ = ∨ = ( )( & ( )( ( )( & )))y Sy x x y w x w w z∃ ∈ ↔ ∃ ∈ ∈ ( )( & ( )( ( & )))y Sy x x y Sx x x∃ ∈ ↔ = La primera de estas fórmulas establece que hay un conjunto que no contiene miembros. Por el axioma de extensionalidad, puede haber a lo mucho un conjunto así. La segunda establece que hay un conjunto cuyos únicos miembros son z y w; la tercera, que hay un conjunto cuyos miembros son justo los miembros de miembros de z. La última, que establece que hay un conjunto que contiene todos los conjuntos en absoluto, es bastante anómala; pues si hay un conjunto que contiene todos los conjuntos, un conjunto universal, tal conjunto se contiene a sí mismo, y quizá la mente debe aturdirse 6 ante la idea de algo conteniéndose a sí mismo. Sin embargo, la teoría ingenua de conjuntos es simple de enunciar, elegante, inicialmente muy creíble, y natural en que articula una perspectiva sobre conjuntos que a uno podría ocurrírsele con toda naturalidad.Por desgracia, es inconsistente. Prueba de la inconsistencia de la teoría ingenua de conjuntos (La paradoja de Russell) Ningún conjunto puede contener todos y sólo aquellos conjuntos que no se contienen a sí mismos. Pues, si existiese cualquier conjunto así, si se contuviese a sí mismo, entonces, como contiene sólo aquellos conjuntos que no se contienen a sí mismos, no se contendría a sí mismo; pero si no se contuviese a sí mismo, entonces, como contiene todos aquellos conjuntos que no se contienen a sí mismos, se contendría a sí mismo. Por lo tanto, cualquier conjunto así tendría que contenerse a sí mismo si y sólo si no se contuviese a sí mismo. Consecuentemente, no hay ningún conjunto que contenga todos y sólo aquellos conjuntos que no se contienen a sí mismos. Este argumento, que no emplea ningunos axiomas de la teoría ingenua de conjuntos, ni de ninguna otra teoría de conjuntos, muestra que la oración ~ ( )( & ( )( ( & ~ )))y Sy x x y Sx x x∃ ∈ ↔ ∈ es lógicamente válida y, por tanto, es un teorema de cualquier teoría que esté expresada en K. Pero uno de los axiomas, y por lo tanto uno de los teoremas, de la teoría ingenua de conjuntos es la oración ( )( & ( )( ( & ~ ))). y Sy x x y x xS x∈∃ ∈ ↔ Entonces, la teoría ingenua de conjuntos es inconsistente. 7 II. La concepción iterativa de conjunto Enfrentado con la inconsistencia de la teoría ingenua de conjuntos, uno podría llegar a creer que cualquier decisión para adoptar un sistema de axiomas sobre conjuntos sería arbitraria en que no podría ofrecerse ninguna explicación de por qué el sistema particular adoptado tiene mayor aval para describir lo que concebimos como conjuntos, así como la relación de membresía, que algún otro sistema, quizá incompatible con el elegido. Uno podría pensar que no hay respuesta posible a la pregunta: ¿por qué adoptar este sistema particular en lugar de aquel o de este otro? Uno podría suponer que cualquier teoría de conjuntos aparentemente consistente tendría que ser antinatural o fragmentaria en algún sentido, y que, si es consistente, su consistencia se debería a ciertas provisiones que fueron establecidas con el propósito explícito de evitar las paradojas que muestran como inconsistente a la teoría ingenua de conjuntos, pero que carecen de toda motivación independiente. Uno podría imaginar todo esto; pero hay otra perspectiva sobre los conjuntos: la concepción iterativa de conjunto, como a veces se le conoce, que suele llamar la atención de las personas por ser completamente natural, libre de artificialidad, de ningún modo ad hoc, y porque quizá podrían haber formulado por sí mismas. Quizá no es una concepción más natural que la concepción ingenua, y ciertamente no es tan simple de describir. Por otra parte es, hasta donde sabemos, consistente: no solamente no está asumida la existencia, en los axiomas de las teorías que expresan la concepción iterativa, de los conjuntos cuya existencia daría lugar a contradicciones, sino que los más de cincuenta años de experiencia que han tenido los teóricos practicantes de los conjuntos con esta concepción han proporcionado un buen entendimiento de lo que puede y no puede probarse en estas teorías, y en el presente no hay ninguna sospecha de que sean inconsistentes.3 3 La concepción es bien conocida entre los lógicos; una versión bastante distinta de ella está esbozada en Shoenfield (1967: cap. 10). Aprendí de ella principalmente por Putnam, Kripke, y Donald Martin. Los autores de textos sobre teoría de conjuntos o la omiten o la relegan a las últimas páginas; los filósofos, en general, parecen no ser conscientes de ella, o de la preeminencia de ZF, que puede decirse que la encarna. Se debe principalmente a Zermelo y a Russell. 8 La teoría estándar, de primer orden que puede expresar la concepción iterativa de conjunto de la manera más completa como una teoría de primer orden en el lenguaje L de la teoría de conjuntos4 es conocida como teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o “ZF” para abreviar. Además de ZF, hay otras teorías que encarnan la concepción iterativa: una de ellas, la teoría de conjuntos de Zermelo, o “Z”, que nos ocupará brevemente, es un subsistema de ZF en el sentido de que cualquier teorema de Z es también un teorema de ZF; otras dos, la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel y la de Morse-Kelley son supersistemas (o extensiones) de ZF, pero comúnmente se formulan como teorías de segundo orden. Se han propuesto otras teorías de conjuntos incompatibles con ZF.5 Estas teorías parecen carecer de una motivación que sea independiente de las paradojas: no son, como ha escrito Russell, “tales como las que incluso el lógico más astuto habría pensado si no hubiese conocido las contradicciones” (1959: 80). Una resolución final y satisfactoria de las paradojas de la teoría de conjuntos no puede estar encarnada en una teoría que bloquea su derivación con restricciones técnicas artificiales sobre el conjunto de axiomas impuestos solamente porque de otra manera sobrevendrían las paradojas; estas otras teorías sobreviven sólo mediante tales dispositivos artificiales. ZF (junto con sus extensiones y subsistemas) no es solamente una teoría de conjuntos consistente (aparentemente), sino también una teoría de conjuntos motivada independientemente: hay, por así decirlo, “un pensamiento detrás de ella” sobre la naturaleza de los conjuntos que podría haber sido planteado incluso si, imposiblemente, la teoría ingenua de conjuntos hubiese sido consistente. El pensamiento, además, puede describirse de una manera áspera pero informativa, sin establecer primero la teoría delante del pensamiento. Con el fin de ver por qué una concepción de conjunto distinta de la ingenua podría ser deseada incluso si la concepción ingenua fuese consistente, echemos otro vistazo a la teoría ingenua de conjuntos y a la anomalidad de su axioma "( )( & ( )( ( & )))".y Sy x x y Sx x x∃ ∈ ↔ = 4 L contiene variables (contables) extendiéndose sobre conjuntos (puros), “ =”, y “∈”, que es su única constante no lógica. 5 Por ejemplo, los sistemas NF y ML de Quine. 9 De acuerdo con este axioma, hay un conjunto que contiene todos los conjuntos, y por lo tanto, hay un conjunto que se contiene a sí mismo. Es importante darse cuenta de qué tan extraña es la idea de algo conteniéndose a sí mismo. Desde luego, un conjunto puede y debe incluirse a sí mismo (como un subconjunto). Pero, ¿contenerse a sí mismo? Sin importar qué tan tenuemente resistan los conceptos de conjunto y miembro ofrecidos por las definiciones de Cantor de “conjunto”, y la comprensión ordinaria de “elemento”, “conjunto”, “colección”, etc., todo se pierde si uno supone que algunos conjuntos son miembros de sí mismos. La idea es paradójica no en el sentido de que sea contradictorio suponer que algún conjunto es un miembro de sí mismo, pues, después de todo, "( )( & )"x Sx x x∃ ∈ obviamente es consistente, sino en que si uno entiende “∈” como significando “es un miembro de”, es muy, muy peculiar suponerla como verdadera. Porque cuando a uno se le dice que un conjunto es una colección en un todo de elementos definidos de nuestro pensamiento, uno piensa: Aquí hay algunas cosas. Ahora las unimos en un todo.6 Ahora tenemos un conjunto. No suponemos que lo que resulta después de combinar algunos elementos en un todo podría haber sido una de las mismas cosas que combinamos (no, al menos, si estamos combinando dos o más elementos). Si ( )( & )x Sx x x∃ ∈ , entonces ( )( y)( & & & )x Sx Sy x y y x∃ ∃ ∈ ∈ . La suposición de que hay conjuntos x y y cada uno de los cuales pertenece al otro es casi tanextraña como la suposición de que algún conjunto es un auto-miembro. Hay, desde luego, una secuencia infinita de estas patologías cíclicas: ( )( )( )( & & & & & ),x y z Sx Sy Sz x y y z z x∃ ∃ ∃ ∈ ∈ ∈ etc. Ligeramente menos patológicas son las suposiciones de que hay un conjunto infundado,7 o que hay una secuencia infinita de conjuntos 0 1 2, , ,...,x x x cada término de los cuales pertenece al anterior. Parece no haber ningún argumento que garantice persuadir a alguien que realmente no vea la peculiaridad de un conjunto perteneciendo a sí mismo, o a uno de sus miembros, etc., de que estos estados de cosas son peculiares. Pero es en parte la sensación de su rareza 6 Ponemos un “lazo” alrededor de ellas, utilizando una figura de Kripke. 7 x es infundado si x pertenece a algún conjunto z, cada uno de cuyos miembros tiene un miembro en común con z. 10 la que ha llevado a teóricos de los conjuntos a favorecer concepciones de conjunto, como la iterativa, de acuerdo con las cuales no tiene lugar lo que encuentran raro. Ahora describimos esta concepción. Nuestra descripción tendrá tres partes. La primera es una declaración aproximada de la idea. Contiene expresiones como “etapa”, “se forma en”, “antes de”, “seguir adelante”, que deben ser exorcizadas de cualquier teoría formal de conjuntos. La descripción aproximada suena a que los conjuntos se crean continuamente, lo que no es el caso. En la segunda parte, presentamos una teoría axiomática que formaliza parcialmente la idea establecida aproximadamente en la primera parte. Como referencia, llamemos teoría de las etapas a esta teoría. La tercera parte consiste en una derivación desde la teoría de las etapas de los axiomas de una teoría de conjuntos. Estos axiomas son fórmulas de L, el lenguaje de la teoría de conjuntos, y no contienen ningunas de las expresiones metafóricas empleadas en la declaración aproximada y cuyas abreviaciones se encuentran en el lenguaje en el que está expresada la teoría de las etapas. Aquí está la idea, establecida aproximadamente: Un conjunto es cualquier colección formada en alguna etapa del siguiente proceso: Comiéncese con individuos (si hay alguno). Un individuo es un objeto que no es un conjunto; los individuos no contienen miembros. En la etapa cero (contamos desde cero en lugar de desde uno) fórmense todas las colecciones posibles de individuos. Si no hay individuos, solamente una colección, el conjunto vacío, que no contiene miembros, se forma en esta etapa 0. Si hay solamente un individuo, se forman dos conjuntos: el conjunto vacío y el conjunto conteniendo justo ese individuo. Si hay dos individuos, se forman cuatro conjuntos; y en general, si hay n individuos se forman 2n conjuntos. Quizá hay infinitos individuos. Aun así, asumimos que una de las colecciones formadas en la etapa cero es la colección de todos los individuos, sin importar cuántos de ellos pueda haber. En la etapa uno, fórmense todas las colecciones posibles de individuos y conjuntos formados en la etapa cero. Si hay cualesquiera individuos, en la etapa uno se forman algunos conjuntos que contienen tanto individuos como conjuntos formados en la etapa cero. Desde luego, se forman algunos conjuntos que contienen únicamente conjuntos 11 formados en la etapa cero. En la etapa dos, fórmense todas las colecciones posibles de individuos, conjuntos formados en la etapa cero, y conjuntos formados en la etapa uno. En la etapa tres, fórmense todas las colecciones posibles de individuos y conjuntos formados en las etapas cero, uno, y dos. En la etapa cuatro, fórmense todas las colecciones posibles de individuos y conjuntos formados en las etapas cero, uno, dos, y tres. Sígase adelante de esta manera, formando en cada etapa todas las colecciones posibles de individuos y conjuntos formados en etapas anteriores. Inmediatamente después de todas las etapas cero, uno, dos, tres,…, hay una etapa; llámesele etapa omega. En la etapa omega, fórmense todas las colecciones posibles de individuos formados en las etapas cero, uno, dos,…. Una de estas colecciones será el conjunto de todos los conjuntos formados en las etapas cero, uno, dos,…. Después de la etapa omega hay una etapa omega más uno. En la etapa omega más uno fórmense todas las colecciones posibles de individuos y conjuntos formados en las etapas cero, uno, dos,…, y omega. En la etapa omega más dos fórmense todas las colecciones posibles de individuos y conjuntos formados en las etapas cero, uno, dos,…, omega, y omega más uno. En la etapa omega más tres fórmense todas las colecciones posibles de individuos y conjuntos formados en etapas anteriores. Sígase adelante de esta manera. Inmediatamente después de todas las etapas cero, uno, dos,…, omega, omega más uno, omega más dos,…, hay una etapa; llámesele etapa omega más omega (u omega dos veces). En la etapa omega más omega fórmense todas las colecciones posibles de individuos y conjuntos formados en etapas anteriores. En la etapa omega más omega más uno… … …omega más omega más omega (u omega tres veces)… …(omega cuatro veces)… … …omega veces omega… … Sígase adelante de esta manera…. 12 De acuerdo con esta descripción, los conjuntos se forman una y otra vez: de hecho, de acuerdo con ella, un conjunto se forma en cada etapa después de aquella en la que primeramente se forma. Podríamos seguir diciendo esto si quisiéramos; en su lugar, diremos que un conjunto se forma solamente una vez, a saber, en la etapa más temprana en la que, en nuestro viejo modo de hablar, se habría dicho que se forma. He ahí una exposición aproximada de la concepción iterativa de conjunto. De acuerdo con esta concepción, ningún conjunto pertenece a sí mismo, y por tanto no hay ningún conjunto de todos los conjuntos, pues cada conjunto se forma en alguna etapa temprana, y por miembros solamente tiene individuos o conjuntos formados en etapas aún más tempranas. Por otra parte, no hay dos conjuntos x y y, cada uno perteneciendo al otro. Porque si y perteneciera a x, y habría tenido que formarse en una etapa anterior a la etapa más temprana en la que se formó x, y si x perteneciera a y, x habría tenido que formarse en una etapa anterior a la etapa más temprana en la que se formó y. Así, x habría tenido que formarse en una etapa anterior a la etapa más temprana en la que se formó, lo que es imposible. Similarmente, no hay conjuntos x, y, y z tales que x pertenece a y, y a z, y z a x. Y en general, no hay conjuntos 0 1 2, , ,..., nx x x x tales que 0x pertenece a 1x , 1x a 2 1,..., nx x − a nx , y nx a 0x . Además, parecería que no hay ninguna secuencia de conjuntos 0 1 2 3, , , ,...x x x x tal que 1x pertenece a 0x , 2x pertenece a 1x , 3x pertenece a 2x , y así sucesivamente. De este modo, si los conjuntos son como los tiene la concepción iterativa, no surgen las situaciones anómalas en las que conjuntos pertenecen a sí mismos o a otros que a su vez pertenecen a ellos. Los conjuntos de los que habla ZF en su formulación habitual (“cuantifica sobre”) no son todos los conjuntos que hay, si asumimos que hay algunos individuos, pero sólo aquellos que se forman en alguna etapa bajo el supuesto de que no hay individuos. Estos conjuntos son llamados conjuntos puros. Todos los miembros de un conjunto puro son conjuntos puros, y cualquier conjunto todos cuyos miembros sean puros, es en sí mismo puro. Puede que no sea obvio que alguna vez se formen cualesquiera conjuntos puros, pero el conjunto Λ , que no contiene miembros en absoluto, es puro, y se forma en la etapa 0. { }Λ y { }{ }Λ también son ambos puros y se forman en las etapas 1 y 2, respectivamente. 13 Hay muchos más. Desde ahora, utilizaremos la palabra “conjunto” parasignificar “conjunto puro”. Intentemos ahora establecer una teoría, la teoría de las etapas, que expresa precisamente mucho, aunque no todo, del contenido de la concepción iterativa. Utilizaremos un lenguaje J en el que hay dos tipos de variables: variables “x”, “y”, “z”, “w”,…, que se extienden sobre conjuntos, y variables “r”, “s”, “t”, que se extienden sobre etapas. Además de las letras predicadas “∈” y “=” de L, J también contiene dos nuevas letras predicadas de dos lugares “E” (“es anterior a”), y “F” (“se forma en”). Las reglas de formación de J son perfectamente estándar. He aquí algunos axiomas rigiendo la secuencia de etapas: (I) ( E) ~x s s (Ninguna etapa es anterior a sí misma.) (II) ( )( )( )(( E & E ) E )r s t r s s t r t→ (Anterior a es transitiva.) (III) ( )( )( E E )s t s t s t t s∨ = ∨ (Anterior a está conectada.) (IV) ( )( )( E )s t t s s t∃ ≠ → (Hay una etapa primera.) (V) ( )( )( E &( )( E ( E )))s t s t r r t r s r s∃ → ∨ = (Inmediatamente después de cualquier etapa hay otra.) He aquí algunos axiomas describiendo cuándo se forman conjuntos y sus miembros: (VI) ( )(( ) E &( )( E ( )( E & E )))s t t s t t s r t r r s∃ ∃ → ∃ (Hay una etapa, no la primera, que no es inmediatamente posterior a cualquier etapa. En la descripción aproximada, la etapa omega era tal etapa.) (VII) ( )( )( F &( )( F ))x s x s t x t t s∃ → = (Cada conjunto se forma en alguna etapa única.) (VIII) ( )( )( )( )(( & F & F ) E )x y s t y x x s y t t s∈ → (Cada miembro de un conjunto se forma antes, i. e., en una etapa anterior a, del conjunto.) (IX) ( )( )( )( F & E ( )( )( & F &( E )))x s t x s t s y r y x y r t r t r→ ∃ ∃ ∈ = ∨ (Si un conjunto se forma en una etapa, entonces, en o después de cualquier etapa anterior, se forma al menos uno de sus miembros. Así, nunca sucede que todos los 14 miembros de un conjunto se formen antes de alguna etapa, sino que el conjunto no está formado en esa etapa si no se ha formado ya.) Podemos capturar parte del contenido de la idea de que en cualquier etapa se forma (si no se ha formado ya) cada colección posible (o conjunto) de conjuntos formados en etapas anteriores al tomar como axiomas todas las fórmulas , donde χ es una fórmula del lenguaje J en donde ninguna ocurrencia de “y” es libre. Cualquier axioma así dirá que para cualquier etapa hay un conjunto de justo aquellos conjuntos a los que aplica χ que se forman antes de esa etapa. Llamemos axiomas de especificación a estos axiomas. Hay una característica importante contenida en nuestra descripción aproximada que aún no ha sido expresada en la teoría de las etapas: la analogía entre la forma en la que los conjuntos son inductivamente generados por el procedimiento descrito en la declaración aproximada y la forma en la que los números naturales 0,1,2,… son inductivamente generados desde 0 por la aplicación repetida de la operación de sucesión. Una manera de caracterizar esto consiste en hacer valer un principio de inducción apropiado relativo a los conjuntos y las etapas, pues, como Frege, Dedekind, Peano, y otros nos han permitido ver, el contenido de la idea de que los objetos de un cierto tipo son inductivamente generados de cierta forma es justamente la proposición de que un principio de inducción apropiado vale para tales objetos. El principio de inducción matemática, el principio de inducción rigiendo los números naturales, tiene dos formas, que son interderivables bajo ciertos supuestos sobre los números naturales. La primera versión del principio es la declaración [ ]( ) ( 0&( )[ ]) ( ) ,P P n Pn PSn n Pn→ → que puede leerse como “Si 0 tiene una propiedad y si siempre que un número natural tiene la propiedad su sucesor lo hace, entonces cada número natural tiene la propiedad”. La segunda versión es la declaración [ ]( ) ( )(( )[ ] ) ( ) .P n m m n Pm Pn n Pn< → → → 15 Ésta puede leerse como “Si cada número natural tiene una propiedad siempre que todos los números naturales menores la tengan, entonces cada número natural tiene la propiedad”. El principio de inducción sobre conjuntos y etapas que nos gustaría hacer valer está modelado a partir de la segunda forma del principio de inducción matemática. Digamos que una etapa s está cubierta por un predicado si el predicado aplica a cada conjunto formado en s. Nuestro análogo para conjuntos y etapas de la segunda forma de inducción matemática dice que si cada etapa está cubierta por un predicado siempre que todas las etapas anteriores estén cubiertas por él, entonces cada etapa está cubierta por el predicado. Toda la fuerza de esta afirmación puede expresarse solamente con un cuantificador de segundo orden. Sin embargo, podemos capturar algo de su contenido al tomar como axiomas todas las fórmulas , donde χ es una fórmula de J que no contiene ocurrencias de “t” y θ es justo como χ excepto en contener una ocurrencia libre de “t” dondequiera que χ contenga una ocurrencia libre de “s”. [Obsérvese que "( )( F )"x x s χ→ dice que χ aplica a cada conjunto formado en la etapa s y, por lo tanto, que s está cubierta por χ .] Llamamos axiomas de inducción a estos axiomas. III. Teoría de conjuntos de Zermelo Completamos la descripción de la concepción iterativa de conjunto mostrando cómo derivar los axiomas de una teoría de conjuntos desde la teoría de las etapas. Los axiomas que derivamos únicamente hablan sobre conjuntos y membresía: son fórmulas de L. El axioma del conjunto vacío: ( )( ) ~ .y x x y∃ ∈ (Hay un conjunto sin miembros.) Derivación. Sea ‘ ’.x xχ = = Entonces ( )( )( )( ( &( )( E & F )))s y x x y x x t t s x t∃ ∈ ↔ = ∃ 16 es un axioma de especificación de acuerdo con el cual, para cualquier etapa, hay un conjunto de todos los conjuntos formados en etapas anteriores. Ya que hay una etapa primera, la etapa 0, antes de la cual no se forman ningunos conjuntos, hay un conjunto que no contiene miembros. Nótese que, por el axioma (IX) de la teoría de las etapas, cualquier conjunto sin miembros se forma en la etapa 0, pues si se formase después, tendría que tener un miembro (formado en o después de la etapa 0). El axioma de pares: ( )( )( )( )( ( )).z w y x x y x z x w∃ ∈ ↔ = ∨ = (Para cualesquiera conjuntos z y w, no necesariamente distintos, hay un conjunto cuyos únicos miembros son z y w.) Derivación. Sea ‘( )’.x z x wχ = ∨ == Entonces ( )( )( )( (( ) &( )( E & F )))s y x x y x z x w t t s x t∃ ∈ ↔ = ∨ = ∃ es un axioma de especificación de acuerdo con el cual, para cualquier etapa, hay un conjunto de todos los conjuntos formados en etapas anteriores que son idénticos a z o a w. Cualquier conjunto se forma en alguna etapa. Sea r la etapa en la que se forma z; s, la etapa en la que se forma w. Sea t una etapa posterior tanto a r como a s. Entonces hay un conjunto de todos los conjuntos formados en etapas anteriores a t que son idénticos a z o w. Así que hay un conjunto conteniendo justo z y w. El axioma de uniones: ( )( )( )( ( )( & )).z y x x y w x w w z∃ ∈ ↔ ∃ ∈ ∈ (Para cualquier conjunto z, hay un conjunto cuyos miembros son justo los miembros de miembros de z.) Derivación. ‘( )( )( )( (( )( & ) &( )( E & F )))’s y x x y w x w w z t t s x t∃ ∈ ↔ ∃ ∈ ∈ ∃ es un axioma de especificación de acuerdo con el cual, para cualquier etapa, hay un conjunto de todos los miembros de miembros de z formados en etapas anteriores. Sea s la etapa en la que se forma z. Cada miembro de z se forma antes de s, y por tanto cada miembro de un miembro de z también se forma antes de s. Así, hay un conjunto de todos los miembros de miembros de z. El axioma del conjunto potencia: ( )( )( )( ( )( )).z y x x y w w x w z∃ ∈ ↔ ∈ → ∈ (Para cualquier conjunto z, hay un conjunto cuyos miembros son justo los subconjuntos de z.) 17 Derivación.‘( )( )( )( (( )( ) &( )( E & F )))’s y x x y w w x w z t t s x t∃ ∈ ↔ ∈ → ∈ ∃ es un axioma de especificación de acuerdo con el cual, para cualquier etapa, hay un conjunto de todos los subconjuntos de z formados en etapas anteriores. Sea t la etapa en la que se forma z y sea s la siguiente etapa posterior. Si x es un subconjunto de z, entonces x se forma antes de s. Pues de otra manera, por el axioma (IX), habría un miembro de x que se formó en o antes de t y, por lo tanto, que no fue un miembro de z. Así que hay un conjunto de todos los subconjuntos de z formados antes de s, y por tanto un conjunto de todos los subconjuntos de z. El axioma del infinito: ~ ) &( ) ( )(( )( & ( ) ( ( )( & ( )( ( ))))) z x x x y z z y w y x x w z w x w x y z ∈ ∈ → ∃ ∈ ∈ ↔ ∈ ∨ = ∃ ∃ ∈ (Llámesele un conjunto vacío si no tiene miembros. Llámese z a un sucesor de x si los miembros de z son justo aquellos de x y x mismo. Entonces hay un conjunto que contiene un conjunto vacío y que contiene un sucesor de cualquier conjunto que contiene.) Derivación. Observemos primeramente que cada conjunto x tiene un sucesor. Pues sea y un conjunto conteniendo justo x y x (axioma de pares), y sea w un conjunto conteniendo justo x y y (de nuevo, axioma de pares), y contenga z justo los miembros de miembros de w (axioma de uniones). Entonces z es un sucesor de x, pues sus miembros son justo x y los miembros de x. Después, notemos que si z es un sucesor de x, x se forma en r, y t es la siguiente etapa después de r, entonces z se forma en t. Pues cada miembro de z se forma antes de t. Así es que z se forma en o antes de t, por el axioma (IX). Pero x, que está en z, se forma en r. Así que z no puede formarse en o antes de r. Así que z no puede formarse antes de t. Ahora, por el axioma (VI), hay una etapa s, no la primera, que no es inmediatamente posterior a cualquier etapa. ‘( )( )( )( ( &( )( E & F )))’s y x x y x x t t s x t∃ ∈ ↔ = ∃ es un axioma de especificación de acuerdo con el cual, para cualquier etapa, hay un conjunto de todos los conjuntos formados en etapas anteriores. Así que hay un conjunto y de todos los conjuntos formados antes de s. Así, y contiene todos los conjuntos formados en la etapa 0, y por lo tanto contiene un conjunto vacío. Y si y contiene x, y contiene todos los sucesores de x (y 18 hay algunos), pues todos éstos están formados en etapas inmediatamente posteriores a etapas anteriores a s y, por tanto, en etapas ellas mismas anteriores a s. Axiomas de separación (Aussonderungsaxioms): Todas las fórmulas donde φ es una fórmula de L en donde ninguna ocurrencia de “y” es libre. Derivación. Si φ es una fórmula de L en donde ninguna ocurrencia de “y” es libre, entonces es un axioma de especificación que podemos leer como “para cualquier etapa s, hay un conjunto de todos los conjuntos formados en etapas anteriores, que pertenecen a z y a los que aplica φ ”. Sea s la etapa en la que se forma z. Todos los miembros de z se forman antes de s. Así que, para cualquier z, hay un conjunto de justo aquellos miembros de z a los que aplica φ , que escribiríamos como . Una derivación formal de un Aussonderungsaxiom emplearía el axioma de especificación descrito y los axiomas (VII) y (VIII) de la teoría de las etapas. Axiomas de regularidad: Todas las fórmulas , donde φ no contiene “y” en absoluto y ψ es justo como φ excepto en contener una ocurrencia de “y” dondequiera que φ contenga una ocurrencia libre de “x”. Derivación. La idea: Supóngase que φ aplica a algún conjunto 'x . 'x se forma en alguna etapa. Tal etapa no está, por tanto, cubierta por . Por un axioma de inducción, hay entonces una etapa s no cubierta por , aunque todas las etapas anteriores a s están cubiertas por . Ya que s no está cubierta por , hay un x, formado en s, al que no aplica, i. e., al que aplica φ . Si y está en x, sin embargo, y se forma antes de s, y por lo tanto la etapa en la que se forma está cubierta por . Así, aplica a y (que es lo que dice ). 19 Para una derivación formal, basta con contraponer, reletrear, y simplificar el axioma de inducción a fin de obtener Asúmase . Utilícense el axioma (VII) y modus ponens para obtener Utilícense los axiomas (VII) y (VIII) para obtener desde esto. Los axiomas de regularidad expresan (parcialmente) el análogo para conjuntos de la versión de inducción matemática llamada el principio del menor número: si hay un número que tiene una propiedad, entonces hay un número menor con esa propiedad. El propio análogo ha sido llamado el principio de inducción de la teoría de conjuntos.8 He aquí una aplicación de esta inducción. Teorema: Ningún conjunto pertenece a sí mismo. Prueba. Supóngase que algún conjunto pertenece a sí mismo, i. e., que ( ) .x x x∃ ∈ ( ) ( )( &( )( ~ ))x x x x x x y y x y y∃ ∈ → ∃ ∈ ∈ → ∈ es un axioma de regularidad. Por modus ponens, entonces, algún conjunto x pertenece a sí mismo aunque ningún miembro de x (ni siquiera x) pertenezca a sí mismo. Esto es una contradicción. Los axiomas cuyas derivaciones hemos ofrecido son aquellas declaraciones que suelen tomarse como axiomas de ZF y que son deducibles de todas las teorías 8 Por Tarski, entre otros. 20 (suficientemente fuertes)9 que puedan justamente ser llamadas formalizaciones de la concepción iterativa, descrita aproximadamente. (El axioma de extensionalidad tiene un estatus especial que discutimos más abajo.) Otros axiomas que los que hemos ofrecido podrían haberse tomado como axiomas de la teoría de las etapas. Por ejemplo, podríamos haber justamente tomado como un axioma una declaración afirmando la existencia de una etapa, no inmediatamente posterior a cualquier etapa, pero posterior a alguna etapa que en sí misma no es ni la etapa primera ni inmediatamente posterior a cualquier etapa. Tal axioma nos habría permitido deducir un axioma del infinito más fuerte que aquel cuya derivación hemos ofrecido, pero esta declaración más fuerte no suele tomarse como un axioma de ZF. También podríamos haber derivado otras declaraciones desde la teoría de las etapas, como la declaración de que ningún conjunto pertenece a cualquiera de sus miembros, pero esta declaración nunca se toma como un axioma de ZF. No creemos que los axiomas de reemplazo o elección puedan inferirse desde la concepción iterativa. Uno de los axiomas de regularidad, ( )(( ) ( )( &( ~ )))) ,(z x x z x x z y y zx y∃ ∈ → ∃ ∈ ∈∈ → a veces es llamado el axioma de regularidad; ante la presencia de otros axiomas de ZF, todos los otros axiomas de regularidad se siguen de él. El nombre “teoría de conjuntos de Zermelo” es quizás más comúnmente dado a la teoría cuyos axiomas son ( )( )(( )(‘ ’) )x y z z x x y x y∈ ↔ ∈ → = , i. e., el axioma de extensionalidad, y los axiomas del conjunto vacío, pares, y uniones, el axioma del conjunto potencia, el axioma del infinito, todos los Aussonderungsaxioms, y el axioma de regularidad.10 Así entonces, con la excepción del axioma de extensionalidad, todos los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo se siguen de la teoría de las etapas. 9 “Suficientemente fuertes” puede tomarse aquí para significar “al menos tan fuertes como la teoría de las etapas”. 10 Zermelo (1908) tomó como axiomas versiones de los axiomas de extensionalidad, el conjunto vacío, pares (y conjunto unidad), uniones, el axioma del conjunto potencia, el axioma del infinito, los Aussonderungsaxioms, y el axioma de elección. 21 IV. Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel Los axiomas de reemplazo. ZF es la teoría cuyos axiomas son aquellos de la teoría de conjuntosde Zermelo y todos los axiomas de reemplazo.11 Una fórmula de L es un axioma de reemplazo si es la traducción en L del resultado “sustituyendo” una fórmula de L por “F” en F es una función ( )( )( )( ( )( & ( ) ))z y x x y w w z F w x→ ∃ ∈ ↔ ∃ ∈ = Hay una extensión de la teoría de las etapas desde la que podrían haberse derivado los axiomas de reemplazo. Pudimos haber tomado como axiomas todas las instancias (que puedan expresarse en J) de un principio que puede ser puesto como “Si cada conjunto está correlacionado con al menos una etapa (no importa cómo), entonces para cualquier conjunto z hay una etapa s tal que para cada miembro w de z, s es posterior a alguna etapa con la que w está correlacionado”. Este principio de delimitación o confinamiento es un atractivo pensamiento adicional sobre la interrelación de conjuntos y etapas, pero nos parece un pensamiento adicional, y no uno que haya estado significado en la descripción aproximada de la concepción iterativa. Debido a que hay exactamente 1ω etapas, no parece estar excluido por nada de lo dicho en la descripción aproximada; parecería que 1Rω (véase más abajo) es un modelo para cualquier declaración de L sobre el que puede (justamente) decirse haber estado implicado por la descripción aproximada, y no todos los axiomas de reemplazo valen en 1Rω . 12 Así, no nos parece que los axiomas de reemplazo se sigan de la concepción iterativa. El añadir los axiomas de reemplazo a los de la teoría de conjuntos de Zermelo nos permite definir una secuencia de conjuntos { }Rα con los que pueden identificarse las etapas de la teoría de las etapas. Supóngase que ponemos 0R = el conjunto vacío; 1R Rα α+ = U el conjunto potencia de Rα , y R Rλ β λ β<= U ( λ un ordinal límite) – los axiomas de reemplazo aseguran que la operación R está bien definida – y decimos que s es 11 A veces, el axioma de elección es también considerado uno de los axiomas de ZF. 12 Peor aún, 1 Rδ parecería ser un modelo así. ( 1δ es el primer ordinal no recursivo.) 22 una etapa si ( )s Rαα∃ = , que x se forma en s si x es subconjunto pero no un miembro de s, y que s es anterior a t si, para algún , , s Rαα β = , t Rβ= y α β< . Entonces podemos probar, como teoremas de ZF, no solamente las traducciones al lenguaje de la teoría de conjuntos de los axiomas de la teoría de las etapas, sino también aquellas de todos aquellos axiomas más fuertes afirmando la existencia de más y más etapas “fuera” que podrían haber estado sugeridos por la descripción aproximada (y también aquellos de las instancias del principio de delimitación que son expresables en J). De este modo, ZF nos permite describir y hacer valer todo el contenido de primer orden de la concepción iterativa dentro del lenguaje de la teoría de conjuntos. Aunque no se derivan de la concepción iterativa, la razón para adoptar los axiomas de reemplazo es muy simple: tienen muchas consecuencias deseables y (aparentemente) ningunas indeseables. Además de los teoremas sobre la concepción iterativa, las consecuencias del reemplazo incluyen una teoría satisfactoria, aunque no ideal,13 de los números infinitos, y un resultado muy deseable que justifica definiciones inductivas sobre relaciones bien fundamentadas. El axioma de extensionalidad. El axioma de extensionalidad goza de un estatus epistemológico especial que no comparte con ninguno de los demás axiomas de ZF. Si alguien negara otro de los axiomas de ZF, estaríamos bastante más inclinados a suponer, únicamente sobre la base de esta negación, que cree falso tal axioma de lo que estaríamos si negara el axioma de extensionalidad. Aunque “hay solteros sin casarse” y “no hay solteros” son cosas igualmente absurdas, si alguien dijera la primera, invitaría mucho más a la sospecha de no haber querido decir lo que dijo que alguien que dijera la última. Similarmente, si alguien dijera “hay distintos conjuntos con los mismos miembros”, con ello justificaría que pensáramos su uso como estándar mucho más que alguien que afirmara la negación de algún otro axioma. Debido a esta diferencia, uno podría estar tentado a llamar “analítico” al axioma de extensionalidad, verdadero en virtud de los significados de las palabras contenidas en él, pero no a considerar analíticos a los otros axiomas. 13 Una teoría ideal decidiría, al menos, la hipótesis del continuo. 23 Sin embargo, Quine y otros han argumentado persuasivamente que, hasta que tengamos una explicación aceptable de cómo una oración (o lo que dice) puede ser verdadera en virtud de significados, deberíamos abstenernos de llamar analítica a cualquier cosa. No obstante, parece plausible que cualquier justificación que pueda haber para aceptar el axioma de extensionalidad, es más probable que se asemeje a la justificación para aceptar la mayoría de los ejemplos clásicos de oraciones analíticas, como “todos los solteros son no casados” o “los hermanos tienen hermanos”, que lo que es la justificación para aceptar los otros axiomas de la teoría de conjuntos. Que los conceptos de conjunto y ser un miembro de obedezcan al axioma de extensionalidad es un rasgo mucho más central de nuestro uso de ellos de lo que es el hecho de que obedezcan a cualquier otro axioma. Una teoría que negara, o que incluso no consiguiera afirmar, algunos de los demás axiomas de ZF todavía podría ser llamada una teoría de conjuntos, aunque sería una teoría desviada o fragmentaria. Pero una teoría que no afirmara que los objetos con los que trata serían idénticos si tuviesen los mismos miembros, solamente por caridad sería llamada una teoría de conjuntos. El axioma de elección. Una forma del axioma de elección, a veces llamado el “axioma multiplicativo”, es la declaración “Para cualquier x, si x es un conjunto de conjuntos disjuntos no vacíos (dos conjuntos son disjuntos si nada es un miembro de ambos), entonces hay un conjunto, llamado conjunto de elección para x, que contiene exactamente un miembro de cada uno de los miembros de x”. Por desgracia, parece que la concepción iterativa es neutral con respecto al axioma de elección. Es fácil mostrar que, como (ahora se sabe) ni el axioma de elección ni su negación es un teorema de ZF, ni el axioma ni su negación pueden derivarse de la teoría de las etapas. Desde luego, la teoría de las etapas – que está supuesta a formalizar la descripción aproximada – podría extenderse con el fin de decidir el axioma. Pero parece que ningún axioma adicional, que decidiría la elección, puede inferirse desde la descripción aproximada sin la asunción del propio axioma de elección, o de algún principio igualmente incierto, en la inferencia. La dificultad con el axioma de elección es que la decisión de si considerar la descripción aproximada como implicando un principio sobre conjuntos y 24 etapas desde donde pudiera derivarse el axioma es una decisión tan difícil, porque es esencialmente la misma decisión, como la decisión de aceptar el axioma. Supóngase que intentáramos derivar el axioma al argumentar como sigue: Sea x un conjunto de conjuntos disjuntos no vacíos. x se forma en alguna etapa s. Los miembros de miembros de x se forman en etapas anteriores a s. Por lo tanto, en s, si no es que antes, hay un conjunto formado que contiene exactamente un miembro de cada miembro de x. Pero afirmar esto equivale a una petición de principio. ¿Cómo sabemos que se forma tal conjunto de elección? Si se forma un conjunto de elección, ciertamente se forma en o antes de s. Pero, ¿cómo sabemos que se forma uno en absoluto? Argumentar que en s podemos elegir un miembro de cada miembro de x y así formar un conjunto de elección para x también es una peticiónde principio: “no podemos elegir” un miembro de cada miembro de x si no hay ningún conjunto de elección para x. Decir esto no es decir que el axioma de elección no sea obvio e indispensable. Es únicamente decir que la justificación para su aceptación no se encuentra en la concepción iterativa de conjunto.
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