Conciencia Filosofia Matematicas

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Edición digital para la Biblioteca Digital del ILCE 
Título original: Consciousness, philosophy, and mathematics 
© De la traducción: Emilio Méndez Pinto 
Primera edición: 10th International Congress of Philosophy, 1948 
D. R. © 10th International Congress of Philosophy, 1948 
Prohibida su reproducción por cualquier medio mecánico o eléctrico sin la autorización por escrito de los 
coeditores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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El… punto de vista de que no hay verdades no experimentadas y de que la lógica no es un 
instrumento absolutamente fiable para descubrir verdades ha encontrado aceptación con 
respecto a las matemáticas mucho después que con respecto a la vida práctica y a la ciencia. 
Las matemáticas rigurosamente tratadas desde este punto de vista, incluyendo la deducción 
de teoremas exclusivamente por medio de la construcción introspectiva, son llamadas 
matemáticas intuicionistas. Se desvían en muchos aspectos de las matemáticas clásicas. En 
primer lugar, porque las matemáticas clásicas utilizan la lógica para generar teoremas, 
creen en la existencia de verdades desconocidas, y en particular aplican el principio del 
tercero excluido al expresar que cada afirmación matemática (i. e., cada asignación de una 
propiedad matemática a una entidad matemática) o es una verdad o no puede ser una 
verdad. En segundo lugar, porque las matemáticas clásicas se confinan a secuencias 
infinitas predeterminadas para las que desde el comienzo está fijado el enésimo elemento 
para cada n. Debido a este confinamiento, para definir números reales las matemáticas 
clásicas sólo tienen a su disposición secuencias infinitas convergentes predeterminadas de 
números racionales. Fuera de los números reales definidos de este modo, solamente pueden 
componerse subespecies de especies “siempre numerables sin terminar” de números reales 
por medio de la construcción introspectiva. Siendo tales especies siempre numerables sin 
terminar todas de medida cero, las matemáticas clásicas, con el fin de crear el continuo a 
partir de puntos, necesitan algún proceso lógico comenzando desde uno o más axiomas. 
Consecuentemente, podemos decir que el análisis clásico, no obstante qué tan apropiado 
sea para la técnica y la ciencia, tiene menos verdad matemática que el análisis intuicionista 
al llevar a cabo la dicha composición del continuo considerando las especies de secuencias 
infinitas convergentes de números racionales de libre proceder, sin recurrir al lenguaje o a 
la lógica. 
 Por rutina, también divergen los lenguajes de las dos escuelas matemáticas. E 
incluso en aquellas teorías matemáticas cubiertas por un lenguaje neutral, i. e., por un 
lenguaje comprensible en ambos lados, cada escuela opera con entidades matemáticas no 
reconocidas por la otra: hay estructuras intuicionistas que no pueden encajar en ningún 
marco lógico clásico, y hay argumentos clásicos que no aplican a ninguna imagen 
introspectiva. Del mismo modo, en las teorías mencionadas, las entidades matemáticas 
reconocidas por ambas partes en cada lado se encuentran satisfaciendo teoremas que para la 
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otra escuela son o falsos, o sinsentidos, o incluso contradictorios en cierto modo. En 
particular, teoremas que valen en el intuicionismo, pero no en las matemáticas clásicas, a 
menudo se originan de la circunstancia de que para entidades matemáticas perteneciendo a 
una cierta especie, la posesión de una cierta propiedad impone un carácter especial sobre su 
modo de desarrollo desde la intuición básica, y de que desde este carácter especial de su 
modo de desarrollo desde la intuición básica, sobrevienen propiedades que para las 
matemáticas clásicas son falsas. Un ejemplo notable es el teorema intuicionista de que una 
función completa del continuo unidad, i. e., una función asignando un número real a cada 
número real no negativo no excediendo la unidad, es necesariamente uniformemente 
continua. 
 Para elucidar las consecuencias del rechazo del principio del tercero excluido como 
un instrumento para descubrir verdades, frasearemos este principio en la siguiente forma 
ligeramente modificada, intuicionísticamente más adecuada, llamada el principio simple del 
tercero excluido: 
 Cada asignación τ de una propiedad a una entidad matemática puede ser juzgada, 
i. e., o probada o reducida a la absurdidad. 
 Entonces, para una sola afirmación τ , la enunciación de este principio es no 
contradictoria tanto en las matemáticas intuicionistas como en las clásicas. Pues, si fuese 
contradictoria, entonces la absurdidad de τ sería verdadera y absurda al mismo tiempo, lo 
que es imposible. Es más, como puede probarse fácilmente, para un número finito de tales 
afirmaciones τ la enunciación simultánea del principio es igualmente no contradictoria. 
Sin embargo, para la enunciación simultánea del principio para todos los elementos de una 
especie arbitraria de tales afirmaciones τ esta no contradictoriedad no puede mantenerse. 
 Por ejemplo, desde la suposición, para un número real definido 1c , de que la 
afirmación: 1c es racional, ha sido probada como verdadera o contradictoria, no puede 
deducirse ninguna contradicción. Además, 1 2, ,... mc c c siendo números reales, tampoco la 
suposición simultánea, para cada uno de los valores 1, 2,...m de v, de que la afirmación: vc 
es racional, ha sido probada como verdadera o contradictoria, puede llevar a una 
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contradicción. Sin embargo, la suposición simultánea para todos los números reales c de 
que la afirmación: c es racional, ha sido probada como verdadera o contradictoria, sí lleva a 
una contradicción. 
 Consecuentemente, si formulamos el principio completo del tercero excluido como 
sigue: 
 Si a, b, y c son especies de entidades matemáticas, si además tanto a como b forman 
parte de c, y si b consiste en aquellos elementos de c que no pueden pertenecer a a, 
entonces c es idéntica a la unión de a y b, 
este último principio es contradictorio. 
 Un corolario del principio simple del tercero excluido dice que: 
 Si para una asignación τ de una propiedad a una entidad matemática ha sido 
establecida la no contradictoriedad, i. e., la absurdidad de la absurdidad, la verdad de τ 
puede igualmente demostrarse. 
 El corolario análogo del principio completo del tercero excluido es el principio de 
reciprocidad de complementariedad, que va como sigue: 
 Si a, b, y c son especies de entidades matemáticas, si además a y b forman parte de 
c, y si b consiste en los elementos de c que no pueden pertenecer a a, entonces a consiste en 
los elementos de c que no pueden pertenecer a b. 
 Otro corolario del principio simple del tercero excluido es el principio simple de 
capacidad de prueba, que dice que 
 cada asignación τ de una propiedad a una entidad matemática puede ser probada, 
i. e., probada para ser no contradictoria o absurda. 
 El corolario análogo del principio completo del tercero excluido es el siguiente 
principio completo de capacidad de prueba: 
 Si a, b, d, y c son especies de entidades matemáticas, si cada una de las especies a, 
b, y d forma parte de c, si b consiste en los elementos de c que no pueden pertenecer a a, y 
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d en los elementos de c que no pueden pertenecer a b, entonces c es idéntica a la unión de 
b y d. 
 Para el intuicionismo, el principio del tercero excluido y sus corolarios son 
afirmaciones σ sobre afirmaciones τ , y estas afirmaciones σ sólo entonces son 
“realizadas”, i. e., sólo entonces transmiten verdades, si estas verdades han sido 
experimentadas. 
 Cada afirmación τ de la posibilidad de una construcción de carácter finito limitado 
en un sistema matemático finito proporciona un caso de realización del principio del tercero 
excluido. Pues cada construccióntal puede intentarse solamente en un número finito de 
formas particulares, y cada intento se prueba exitoso o abortivo en un número finito de 
pasos. 
 Si la afirmación de una absurdidad es llamada una afirmación negativa, entonces 
cada afirmación negativa proporciona un caso de realización del principio de reciprocidad 
de complementariedad. Pues, sea α una afirmación negativa indicando la absurdidad de la 
afirmación β . Como, por un lado, la implicación de la verdad de una afirmación a por la 
verdad de una afirmación b implica la implicación de la absurdidad de b por la absurdidad 
de a, mientras que, por el otro lado, la verdad de β implica la absurdidad de la absurdidad 
de β , concluimos que la absurdidad de la absurdidad de la absurdidad de β , i. e., la no 
contradictoriedad de α , implica la absurdidad de β , i. e., implica α . 
 En consecuencia de esta realización del principio de reciprocidad de 
complementariedad, los principios de capacidad de prueba y del tercero excluido son 
equivalentes en el dominio de afirmaciones negativas. Pues, si para α vale el principio de 
capacidad de prueba, esto significa que o la absurdidad de la absurdidad de β o la no 
contradictoriedad de la absurdidad de β , i. e., por el párrafo anterior, que o la absurdidad 
de la absurdidad de β o la absurdidad de β , i. e., o la absurdidad de α o α pueden 
probarse, de modo que α satisface el principio del tercero excluido. 
 Para dar algunos ejemplos que refutan el principio del tercero excluido y sus 
corolarios, introducimos la noción de deriva. Por una deriva entendemos la unión γ de una 
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secuencia fundamental convergente de números reales 1 2( ), ( ),...,c cγ γ llamados los 
números de conteo de la deriva, y el número limitante ( )c γ de esta secuencia, llamado el 
núcleo de la deriva, todos los números de conteo yaciendo aparte1 unos de otros y del 
núcleo. Si ( ) ( )vc cγ γ< o para cada v, la deriva será llamada alada a la izquierda. Si 
( ) ( )vc cγ γ>o para cada v, la deriva será llamada alada a la derecha. Si la secuencia 
fundamental 1 2( ), ( ),...c cγ γ es la unión de una secuencia fundamental de números de conteo 
izquierdos 1 2( ), ( ),...l lγ γ tales que ( ) ( )vl cγ γ< o para cada v, y una secuencia fundamental 
de números de conteo derechos 1 2( ), ( ),...d dγ γ tales que ( ) ( )vd cγ γ>o para cada v, la 
deriva será llamada de dos alas. 
 Sea α una afirmación matemática hasta ahora ni probada ni reconocida como 
comprobable. Entonces, en conexión con esta afirmación α y con una deriva γ , el sujeto 
creador puede generar una secuencia infinitamente procedente ( , )R γ α de números reales 
1 2( , ), ( , ),...c cγ α γ α de acuerdo con la siguiente dirección: Siempre que durante la elección 
de los ( , )nc γ α el sujeto creador no haya experimentado ni la verdad ni la absurdidad de α , 
cada ( , )nc γ α se elige igual a ( )c γ . Pero tan pronto como entre la elección de 1( , )rc γ α− y 
la de ( , )
r
c γ α , el sujeto creador ha experimentado o la verdad o la absurdidad de α , 
( , ),
r
c γ α e igualmente ( , )
r vc γ α+ para cada número natural v, se elige igual a ( )rc γ . Esta 
secuencia ( , )R γ α converge a un número real ( , )D γ α que será llamado un número de 
control directo de γ mediante α . 
 De nuevo, en conexión con α y con una deriva γ de dos alas, el sujeto creador 
puede generar una secuencia infinitamente procedente ( , )S γ α de números reales 
1 2( , ), ( , ),...ω γ α ω γ α de acuerdo con la siguiente dirección: Siempre que durante la elección 
 
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 Si para dos números reales a y b definidos por secuencias infinitas convergentes de números racionales 
1 2, ,...a a y 1 2, ,...b b respectivamente, pueden calcularse dos números naturales m y n tales que 
2 nv vb a
−
− > para v m≥ , escribimos b a>o y a b< o , y se dice que a y b yacen aparte uno de otro. Si 
a b= es absurdo, escribimos a b≠ . Si a b< o es absurdo, escribimos a b≥ . Si tanto a b= como 
a b< o son absurdos, escribimos a b> . Las absurdidades de a b< o y a b< prueban ser mutuamente 
equivalentes, y la absurdidad de a b≥ prueba ser equivalente a a b< . 
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de los ( , )nω γ α el sujeto creador no haya experimentado ni la verdad ni la absurdidad de 
,α cada ( , )nω γ α se elige igual a ( )c γ . Pero tan pronto como entre la elección de 
1( , )rω γ α− y la de ( , )rω γ α , el sujeto creador ha experimentado la verdad de α , ( , ),rω γ α e 
igualmente ( , )
r vω γ α+ para cada número natural v, se elige igual a ( )rd γ . Y tan pronto 
como entre la elección de 1( , )sω γ α− y la de ( , )sω γ α , el sujeto creador ha experimentado 
la absurdidad de α , ( , ),sω γ α e igualmente ( , )s vω γ α+ para cada número natural v, se elige 
igual a ( )sl γ . Esta secuencia ( , )S γ α converge a un número real ( , )E γ α que será llamado 
un número de control oscilatorio de γ mediante α . 
 Sea γ una deriva alada a la derecha cuyos números de conteo son racionales. 
Entonces la afirmación de la racionalidad de ( , )D γ α es comprobable, pero no juzgable, y 
su no contradictoriedad no es equivalente a su verdad. Además, tenemos que 
( , ) ( )D cγ α γ> , pero no que ( , ) c( )D γ α γ>o . 
 Sea γ una deriva de dos alas cuyos números de conteo derechos son racionales, y 
cuyos números de conteo izquierdos son irracionales. Entonces la afirmación de la 
racionalidad de ( , )E γ α no es ni juzgable ni comprobable, ni su no contradictoriedad es 
equivalente a su verdad. Además, ( , )E γ α no es ni ( )c γ≥ , ni ( )c γ≤ . 
 La larga creencia en la validez universal del principio del tercero excluido en las 
matemáticas es considerada por el intuicionismo como un fenómeno de la historia de la 
civilización del mismo tipo que la antigua creencia en la racionalidad de pi o en la rotación 
del firmamento sobre un eje que pasa por la Tierra. Y el intuicionismo intenta explicar la 
gran persistencia de este dogma con dos hechos: en primer lugar, la obvia no 
contradictoriedad del principio para una única afirmación arbitraria; en segundo lugar, la 
validez práctica de toda la lógica clásica para un grupo extensivo de fenómenos cotidianos 
sencillos. Este último hecho aparentemente causó una impresión tan fuerte que el juego del 
pensamiento que originalmente fue la lógica clásica, se volvió un hábito del pensamiento 
profundamente arraigado que fue considerado no sólo como útil sino incluso como 
apriorístico. 
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 Obviamente, el campo de validez del principio del tercero excluido es idéntico a la 
intersección de los campos de validez del principio de capacidad de prueba y el principio de 
reciprocidad de complementariedad. Además, el primer campo de validez es un subcampo 
propio de cada uno de los últimos, como lo muestran los siguientes ejemplos: 
 Sea A la especie de los números de control directo de derivas con números de 
conteo racionales, B la especie de los números reales irracionales, y C la unión de A y B. 
Entonces todas las afirmaciones de racionalidad de un elemento de C satisfacen el principio 
de capacidad de prueba, mientras que hay afirmaciones de racionalidad de un elemento de 
C que no satisfacen el principio del tercero excluido. De nuevo, todas las afirmaciones de 
igualdad de dos números reales satisfacen el principio de reciprocidad de 
complementariedad, mientras que hay afirmaciones de igualdad de dos números reales que 
no satisfacen el principio del tercero excluido. 
 En el dominio de las afirmaciones matemáticas la propiedad de absurdidad, así 
como la propiedad de verdad, es una propiedad universalmente aditiva, esto es, si vale para 
cada elemento α de una especie de afirmaciones, también vale para la afirmación que sea 
la unión de las afirmaciones α . Esta propiedadde aditividad universal no se obtiene para 
la propiedad de no contradictoriedad. Empero, la no contradictoriedad sí posee la 
propiedad más débil de aditividad finita, esto es, si las afirmaciones ρ y σ son no 
contradictorias, la afirmación τ que es la unión de ρ y σ , también es no contradictoria. 
Pues, comencemos por un momento desde la suposición ω de que τ es contradictoria. 
Entonces la verdad de ρ implicaría la contradictoriedad de σ , lo que entraría en conflicto 
con los datos, así que la verdad de ρ es absurda, i. e., ρ es absurda. Esta consecuencia de 
la suposición ω entrando en conflicto con los datos, la suposición ω es contradictoria, i. e., 
τ es no contradictoria. 
 La aplicación de este teorema a las afirmaciones no contradictorias especiales que 
son las enunciaciones del principio del tercero excluido para una sola afirmación, establece 
la ya mencionada no contradictoriedad de la enunciación simultánea de este principio para 
un número finito de afirmaciones. 
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 Dentro de algunas especies de entidades matemáticas las absurdidades de dos 
afirmaciones no equivalentes2 pueden ser equivalentes. Por ejemplo, cada uno de los 
siguientes tres pares de afirmaciones no equivalentes relativas a un número real a: 
 I 1. ;a a= I 2. o 0a ≤ o 0a ≥ 
 II 1. 0;a ≥ II 2. o 0a = o 0a >o 
 III 1. 0;a > III 2. 0a >o 
proporciona un par de absurdidades equivalentes. 
 Ocurre que dentro de algunas especies de entidades matemáticas a algunas 
absurdidades de propiedades constructivas puede dárseles una forma constructiva. Por 
ejemplo, para un número natural a la absurdidad de la existencia de dos números naturales 
distintos de a y de 1 y teniendo a como su producto es equivalente a la existencia, siempre 
que a sea dividido por un número natural distinto de a y de 1, de un resto. Igualmente, para 
dos números reales a y b la relación a b≥ introducida arriba como una absurdidad de una 
propiedad constructiva puede formularse constructivamente como sigue: Sean 1 2, ,...a a y 
1 2, ,...b b secuencias infinitas convergentes de números racionales definiendo a y b 
respectivamente. Entonces, para cualquier número natural n, puede calcularse un número 
natural m tal que 2 nv va b
−
− > −o para v m≥ . 
 Por otra parte, parece haber poca esperanza en reducir la irracionalidad de un 
número real a, o una de las relaciones a b≠ y a b> para números reales a y b, a una 
propiedad constructiva, si observamos que un número de control directo de una deriva cuyo 
núcleo es racional y cuyos números de conteo son irracionales, es irracional sin yacer 
aparte de la especie de números racionales; además, que un número de control directo de 
una deriva arbitraria difiere del núcleo de la deriva sin yacer aparte de ella, y que un 
número de control directo de una deriva alada a la derecha yace a la derecha del núcleo de 
la deriva sin yacer aparte de ella. 
 
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 Por no equivalencia entendemos absurdidad de equivalencia, así como por no contradictoriedad entendemos 
absurdidad de contradictoriedad. 
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 Ocurre que dentro de algunas especies de entidades matemáticas a algunas no 
contradictoriedades de propiedades constructivas ζ puede dárseles o una forma 
constructiva (posiblemente, pero no necesariamente, en consecuencia de la reciprocidad de 
complementariedad valiendo para ζ ) o la forma de una absurdidad de una propiedad 
constructiva. Por ejemplo, para números reales a y b la no contradictoriedad de a b= es 
equivalente a a b= , y la no contradictoriedad de: o a b= o a b>o es equivalente a a b≥ ; 
además, la no contradictoriedad de a b>o es equivalente a la absurdidad de a b≤ así como 
a la absurdidad de: o a b= o a b< o . 
 Por otra parte, si pensamos en la propiedad de no contradictoriedad de racionalidad 
existiendo para todos los números de control directo de derivas cuyos números de conteo 
son racionales, parece haber poca esperanza en reducir la no contradictoriedad de 
racionalidad de un número real a una propiedad constructiva o a una absurdidad de una 
propiedad constructiva. 
 Si por la absurdidad simple de la propiedad η entendemos la absurdidad de η , y 
por la ( 1)n + -ple absurdidad de η la absurdidad de la n-ple absurdidad de η , entonces un 
teorema establecido arriba expresa que absurdidad triple es equivalente a absurdidad 
simple. Y un corolario de este teorema es que absurdidad n-ple es equivalente a absurdidad 
simple o doble dependiendo de si n es non o par. 
 Me gustaría terminar aquí. Espero haber hecho claro que el intuicionismo, por un 
lado, sutiliza la lógica, y por el otro, la denuncia como una fuente de verdad. Además, que 
las matemáticas intuicionistas son arquitectura interior, y que el estudio de los fundamentos 
de las matemáticas es investigación interior con consecuencias reveladoras y liberadoras, 
también en dominios no matemáticos del pensamiento.