Séries+Variáveis (1)

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Séries Variáveis
São comuns as situações em que as projeções dos fluxos de caixa das aplicações financeiras ou dos projetos de investimento são crescentes ou decrescentes ao longo do tempo. Veremos a partir desse momento dois tipos desses fluxos: o primeiro é denominado Séries Variáveis em Progressão Aritmética e o segundo, Séries Variáveis em Progressão Geométrica.
No caso das séries variáveis em progressão aritmética, serão desenvolvidas e apresentadas fórmulas para o cálculo do Valor Presente e do Valor Futuro. 
Gradientes Uniformes
Em uma anuidade vencida cujos termos ou rendas variam de acordo com uma lei predeterminada, denomina-se gradiente a diferença entre duas rendas.
Cada termo da anuidade é constituído pela renda-base mais os gradientes acumulados, sendo a renda-base um importe igual à primeira anuidade. G representa o gradiente uniforme.
Séries em Progressão Aritmética Crescente
São aquelas nas quais, nos instantes 1, 2, 3, ..., n, os capitais constituem uma progressão aritmética. Chamando de G o primeiro termo e A o valor da renda-base.
Dada uma taxa de juros compostos por período, observa-se que não há pagamento no fim do primeiro período a que esta se refere. A partir de então, os pagamentos formam uma progressão aritmética de razão igual ao primeiro termo.
Séries Postecipadas
�
0 1 2 3 4 5
Fórmula do Valor Presente
Fórmula do Valor Futuro
Séries Antecipadas
 0 1 2 3 4 
Fórmula do Valor Presente
Fórmula do Valor Futuro
Exercícios Resolvidos – Séries Variáveis em Progressão Aritmética Crescente
Qual o valor atual da seqüência em gradiente da figura abaixo, sabendo que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês? 
	1.600
	300
	200
	100
0 1 2 3 16
Variáveis do problema
G ( 100
i ( 3% a. m.
n ( 16 m
PV ( ?
Progressão Aritmética Crescente Antecipada.
 
 PV = R$ 9.890,88.
Qual o valor nominal ao final de um ano e meio de um capital cuja primeira aplicação foi de R$ 350,00 e as demais mensais e sucessivas, crescendo em progressão aritmética à razão de R$ 350,00 e à taxa de juros compostos de 0,89% ao mês?
Variáveis do problema
G ( 350,00
i ( 0,89% a. m.
n ( 18 m
FV ( ?
Progressão Aritmética Crescente Antecipada
 
FV = R$ 62.978,82.
Quanto se deve aplicar hoje, a uma taxa efetiva de juros compostos de 6% ao mês, de modo que sejam possibilitados cinco saques consecutivos? O primeiro saque deverá ser de R$ 20.000,00 daqui a dois meses e os outros gradativamente crescentes, formando uma série gradiente uniforme igual a R$ 20.000,00, R$ 40.000,00, R$ 60.000,00, R$ 80.000,00 e R$ 100.000,00.
Variáveis do problema
G ( 20.000,00
i ( 6% a. m.
n ( 6 m
PV ( ?
 ( 
 
PV = R$ 229.187,03.
 
Um financiamento deverá ser amortizado em sete prestações mensais e crescentes, de acordo com uma P. A. Sabendo-se que a primeira prestação no valor de R$ 1.000,00 já é devida no segundo mês do contrato, que a razão da P. A. é igual ao valor da primeira prestação, e que a taxa de juros compostos cobrada pela instituição financeira é de 4% ao mês, calcular o montante pago no financiamento.
Variáveis do problema
G ( 1.000,00
i ( 4% a. m.
n ( 8 m
FV ( ?
( 
PV = R$ 30.355,66.
�
Séries em Progressão Aritmética Decrescente
 0 1 2 3 4 5
Fórmula do Valor Presente
Fórmula do Valor Futuro
�
Exercícios Resolvidos – Séries em Progressão Aritmética Decrescente
Calcular o valor atual de uma série conforme o esquema a seguir, sendo a taxa de juros compostos de 10,5% ao ano.
	900
	750
 600
	450
 300
 150
 1 2 3 4 5 6 
Variáveis do problema
G ( 150
i ( 10,50% a. a.
n ( 6 a
PV ( ?
 
PV = R$ 2.439,74.
Determinar o montante, no final do 5º mês, das parcelas de R$ 500,00, R$ 400,00, R$ 300,00, R$ 200,00, R$ 100,00, respectivamente, sabendo que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês.
Variáveis do problema
G ( 100
i ( 3% a. m.
n ( 5 m
FV ( ?
( 
FV = R$ 1.624,12.
Qual o montante no final do sexto mês de seis aplicações mensais decrescentes, a uma razão de R$ 3.000,00, sabendo-se que a primeira parcela, no valor de R$ 18.000,00, é aplicada hoje à taxa de juros compostos de 2% ao mês?
Variáveis do problema
G ( 3.000,00
i ( 2% a. m.
n ( 6 m
FV ( ?
( 
FV = R$ 67.328,03.
�
Atividade 1 – Séries Variáveis em Progressão Aritmética
Considerando uma taxa efetiva de 10% ao mês, calcular o valor presente e o montante da seguinte série uniforme decrescente com seis termos postecipados:
1º mês R$ 900,00; 2º mês R$ 750,00; 3º mês R$ 600,00; 4º mês R$ 450,00; 5º mês R$ 300,00 e 6º mês R$ 150,00. Resposta: PV = R$ 2.467,11 e FV = R$ 4.370,63.
Qual o valor atual da seqüência abaixo em progressão aritmética, à taxa efetiva de juros compostos de 3% ao mês? 2º mês R$ 50,00; 3º mês R$ 100,00; ..., 12º mês R$ 550,00. Resposta: PV = R$ 2.562,41.
Qual o valor atual da seqüência em gradiente abaixo, à taxa efetiva de juros compostos de 3% ao mês? 1º mês zero; 2º mês R$ 100,00; 3º mês R$ 200,00; ..., 16º mês R$ 1.500,00. Resposta: R$ 8.634,77.
Calcular o montante de uma série conforme o esquema a seguir, para uma taxa efetiva de juros compostos de 10,50% ao ano. 1º ano R$ 100,00, 2º ano R$ 200,00, 3º ano R$ 300,00, 4º ano R$ 400,00, 5º ano R$ 500,00 e 6º ano R$ 600,00. Resposta: R$ 2.508,60.
Calcular o valor futuro de uma série conforme o esquema a seguir, sendo uma taxa de juros compostos de 10,50% ao ano. 1º ano R$ 900,00, 2º ano R$ 750,00, 3º ano R$ 600,00, 4º ano R$ 450,00. 5º ano R$ 300,00 e 6º ano R$ 150,00. Resposta: R$ 4.441,38.
Calcular o valor presente de uma série conforme o esquema abaixo, para uma taxa de juros compostos de 10,50% ao ano. Na data zero R$ 200,00, 1º ano R$ 300,00, 2º ano R$ 400,00, 3º ano R$ 500,00, 4º ano R$ 600,00, 5º ano R$ 700,00 e 6º ano R$ 800,00. Resposta: R$ 1.378,03.
Qual a quantia deve ser aplicada hoje em um investimento que rende juros efetivos de 10% ao mês, de modo que se possam efetuar futuramente oito saques mensais? O primeiro saque de R$ 36.000,00 inicia daqui a dois meses, formando com os outros sete saques uma série crescente em progressão aritmética. Resposta: R$ 699.172,29.
Uma pequena empresa deve gastar mensalmente, a partir do próximo mês, R$ 480,00 com sua folha de pagamento. Uma projeção indica que nos próximos 24 meses esses gastos devem diminuir R$ 20,00 mensalmente. O gerente pretende aplicar hoje uma quantia em um investimento de tal forma que possa efetuar nos próximos 24 meses saques mensais que permitam cobrir a folha. Considerando que o investimento rende juros efetivos de 5% ao mês, qual o valor da quantia mínima a ser aplicada. Resposta: R$ 4.080,54.
Um capital foi financiado a juros efetivos de 5% ao mês para ser pago em 20 prestações mensais. A primeira prestação de R$ 12.600,00 vence dois meses depois do contrato e as demais são gradativamente crescentes formando uma progressão aritmética. Calcular o valor do financiamento. Resposta: R$ 1.331.407,49.
Uma mercadoria foi vendida em seis prestações mensais decrescentes à razão de R$ 80,00, com a última igual a razão. Sabendo que a taxa de juros compostosé de 5% ao mês e que a primeira prestação será paga um mês após a compra, qual o valor dessa mercadoria a vista? Resposta: R$ 1.478,89.
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Séries Variáveis em Progressão Geométrica
Séries variáveis em progressão geométrica são aquelas nas quais os termos constituem uma progressão geométrica, nos instantes 1, 2, 3, ..., n. Chamando de A o primeiro termo e G a razão, tem-se:
�
 1 2 3 4 5
Observe que o valor presente de uma progressão geométrica de razão 
 e o primeiro termo é igual a 
. 
Portanto a expressão para o cálculo do valor presente de uma série em progressão geométrica será dada por:
Observação
Esta expressão serve tanto para o cálculo de séries geométricas crescentes quanto para séries decrescentes. Basta que a razão de crescimento (h), que é igual a (1+c), seja calculada com (+ c) para séries crescentes e (– c) para as decrescentes.
�
Exercícios Resolvidos – Séries Variáveis em Progressão Geométrica
A juros efetivos de 5% ao mês, calcular o valor presente de uma série conforme o esquema a seguir:
 3.200
 1.600
 800
 400
 200
0 1 2 3 4 5
Variáveis do problema
h ( 400/200 ( h = 2
i ( 5% a. m.
n ( 5 m
A ( 200
PV ( ?
 ( 
PV = 5.067,97.
Uma pessoa receberá mensalmente durante 18 meses uma série de pagamentos com reajuste mensal de 5%. Considerando que o primeiro pagamento, de R$ 48.000,00, será efetuado no final do primeiro mês, calcular o valor presente da série de pagamentos a juros efetivos de 7% ao mês.
Variáveis do problema
A ( R$ 48.000,00
c ( 5% ao mês
h ( 1 + c ( 1,05
i ( 7% a. m.
n ( 18 m
PV ( 
 ( 
PV = R$ 691.123,70.
A juros efetivos de 10% ao mês, calcular o valor presente de uma série de 18 mensalidades que decrescem em progressão geométrica à razão de ½, sendo a primeira mensalidade igual a R$ 150.000,00.
Variáveis do problema
A ( R$ 150.000,00
c ( 0,5
h ( 1 – c ( 0,5
i ( 10% a. m.
n ( 18 m
 ( 
PV = R$ 249.999,83.
�
Atividade 2 – Séries Variáveis em Progressão Geométrica
Se a taxa de juros compostos vigente é de 4% ao ano e o valor do primeiro pagamento é igual a R$ 180.000,00, calcular o valor presente de uma série de dez pagamentos anuais que decrescem a 2% ao ano. Resposta: R$ 1.344.044,67.
Qual o valor atual da série em progressão geométrica abaixo, à taxa de juros compostos de 3,2% ao mês? Resposta: R$ 1.610,91.
 960
 480
 240
 120
 60
 30
 0 1 2 3 4 5 6 meses
Se a taxa de juros compostos vigente é de 4% ao ano e o valor do primeiro pagamento é igual a R$ 180.000,00, calcular o valor presente de uma série geométrica de dez pagamentos anuais que crescem a uma taxa constante de 2% ao ano. Resposta: R$ 1.588.419,43.
Calcular o montante de uma série geométrica que cresce conforme o esquema abaixo, à taxa de juros compostos de 10% ao ano. Resposta: R$ 4.845,30.
 
 2.400
 1.200
 600
 300
 0 1 2 3 4 anos
Resposta: R$ 4.845,30.
Os dividendos pagos por uma ação devem dobrar todo ano segundo uma progressão geométrica. Considerando que os dividendos são pagos ao término de cada ano, sendo o primeiro igual a R$ 10,00, calcular o valor presente dos dividendos nos próximos 24 anos a um custo de capital de 1% ao ano. Resposta: R$ 133.466.323,58.
Calcular o primeiro termo de uma série de 20 anuidades, crescentes geometricamente, com valor presente de R$ 5.000,00, razão de crescimento de 1,04 e anuidades capitalizadas a juros efetivos de 5% ao ano. Resposta: R$ 287,04.
Um empréstimo de R$ 10.000,00 será reembolsado em dez parcelas mensais vencidas que experimentarão um crescimento geométrico de 2% em cada uma. A juros efetivos de 4% ao mês, calcular o valor da primeira parcela. Resposta: R$ 1.133,20.
Um financiamento será reembolsado em oito parcelas trimestrais vencidas, que crescem geometricamente à taxa de 2%. Se a primeira parcela é de R$ 1.500,00, a juros efetivos de 4% ao trimestre, determinar o valor do financiamento. Resposta: R$ 10.791,00.
Um terreno é vendido para ser pago em seis prestações bimestrais, sendo a primeira de R$ 5.000,00, vencível em sessenta dias, e cada uma das seguintes decrescendo geometricamente à taxa de 10%. Qual o valor à vista do terreno se a taxa efetiva de juros for de 2% ao bimestre? Resposta: R$ 22.003,98.
Uma casa de praia é vendida à vista por R$ 600.000,00 ou a prazo em vinte prestações mensais em progressão geométrica, vencendo a primeira um mês após a compra. Sabendo-se que a razão da progressão é 1,20, qual o valor da primeira prestação para uma taxa de juros compostos de 1,5% ao mês? Resposta: R$ 4.041,58.
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A
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A
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G
G
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_1296205984.unknown
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_1296204375.unknown
_1296204485.unknown
_1296200176.unknown
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_1296196705.unknown
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_1172655296.unknown
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