AF de Cálculo Diferencial (Prova Colegiada)

Prévia do material em texto

Uni-BH
IET
Cálculo Diferencial - Prova Colegiada
Manhã – Tipo A
Questão 1
	Na análise dos movimentos, a velocidade desenvolvida por um corpo ao descrever um certo tipo de movimento é interpretada como a derivada primeira da função posição em relação ao tempo.
Sendo assim, suponha que cada um dos gráficos abaixo, represente a posição ocupada por um corpo, ao descrever movimentos diferentes.
 
 
Os gráficos de I a IV representam as funções da velocidade v(t) desse corpo em cada um dos quatro movimentos. 
Quatro alunos analisaram esses gráficos e fizeram algumas afirmações:
Pedro: Os gráficos a e II representam a posição e a velocidade de um mesmo movimento.
Lucas: Os gráficos c e III representam a posição e a velocidade de um mesmo movimento
Mariana: Os gráficos b e IV representam a posição e a velocidade de um mesmo movimento
Carla: Os gráficos d e I representam a posição e a velocidade de um mesmo movimento
Podemos afirmar que fizeram afirmações corretas apenas
a) Pedro e Lucas
b) Mariana.
c) Carla
d) Pedro e Mariana
e) Pedro e Carla 
Questão 2
A tensão elétrica em um circuito é . 
Se a corrente, em ampères, é e a resistência, em ohms, é , então pela lei de Ohm, temos que
A taxa de variação instantânea de em relação a, quando , é
Questão 3
De um balão a do solo, deixa-se cair um saco de areia. Sem desprezar a resistência do ar, a distância do solo ao saco de areia em queda, após segundos, é dada por:
Determine a expressão geral que descreve a velocidade do saco de areia em função do tempo, e a velocidade do saco de areia para .
e 
e 
 e 
 e 
 e 
Questão 4
Em sua maioria, os fármacos (medicamentos) são consumidos por via oral e deglutidos. Em geral ocorre pouca absorção até que o fármaco alcance o intestino delgado. Cerca de 80% de um fármaco administrado por via oral é absorvidos entre uma e cinco horas após a ingestão, entretanto existem fatores que podem alterar esta absorção, como a motilidade (movimento natural) gastrointestinal, o fluxo sanguíneo, o tamanho das partículas e formulação e fatores físico-quimicos. As cápsulas são formuladas com o objetivo de resistir ao pH ácido do estômago, e no intestino o seu revestimento se dissolve no ambiente alcalino liberando o medicamento. Por este processo pode ser evitada tanto a irritação gástrica, como a destruição do fármaco pelos ácidos gástricos, e a formação de complexos dos medicamentos com os constituintes alimentares.
Um fármaco é absorvido pelo organismo de forma que a função mede sua concentração no organismo após horas de sua ingestão, com . O tempo necessário para que o medicamento tenha a sua concentração máxima no organismo é:
a) horas
b) horas
c) horas
d) horas
e) horas
Questão 5
A temperatura é o principal fator responsável pela deterioração dos alimentos, especialmente a deterioração microbiana, onde os parâmetros cinéticos do crescimento são fortemente dependentes da temperatura: quanto maior a temperatura, maior também é o crescimento microbiano.
De um modo geral, este crescimento microbiano pode ser modelado matematicamente por funções exponenciais, enquanto a temperatura pode ser modelada por funções de 3º grau.
Preocupados com as temperaturas dos freezers em supermercados, técnicos da ANVISA, monitoraram, durante um período de 3 horas, a temperatura de dois equipamentos, encontrando funções expressas por
Freezer 1: 
Freezer 2: 
Nessas expressões, representa o tempo, em horas e as funções representam a temperatura, em graus centígrados.
Com base nessas funções e nas informações fornecidas, são feitas as seguintes afirmações:
No instante inicial da análise, o freezer 1 apresentava temperatura superior à do freezer 2.
No intervalo considerado, o freezer 1 apresentou temperaturas mais elevada na maior parte do tempos e, portanto, condições mais favoráveis ao crescimento microbiano.
No período de 0 a 3 horas, as temperaturas do freezer 2 assumiram valores negativos, enquanto as do freezer 1mantiveram-se positivas.
Os gráficos das temperaturas para os dois equipamentos apresentam pontos de inflexão em .
Estão corretas apenas as afirmações:
I e II
II e III
I e III
II e IV
I e IV
Questão 6
Um problema fundamental de cristalografia é a determinação da fração de empacotamento de uma rede cristalina, que é a fração do espaço disponível ocupada pelos átomos da rede, supondo que os átomos se comportem como esferas rígidas. Quando a rede cristalina contém exatamente dois tipos diferentes de átomos, é possível demonstrar que a fração do empacontamento é dada pela expressão
onde é a razão entre os raios dos dois tipos de átomos da rede e e são constantes positivas. Os valores das constantes e e o domínio de dependem da geometria da rede. No caso do sal de cozinha, e e o domínio é o intervalo .
Considerando as ideias do texto acima, avalie as afirmações a seguir.
I) A função terá somente o valor máximo de .
II) é ponto de máximo local e é ponto de mínimo local.
III) O valor máximo será e o valor de mínimo .
IV) é ponto de mínimo local e é ponto de máximo local.
 
E correto apenas o que se afirma em
a) I
b) I e II
c) III
d) III e IV
e) II e III
Questão 7
Isaac Newton, em 1686, escreveu seu mais importante livro: “Principia Mathematica Philosophia Naturalis”, ou Princípios Matemáticos da Filosofia Natural. Nesse livro ele propõe as três leis do movimento, hoje chamadas de Leis de Newton.
Newton definiu, inicialmente, o momentum de um corpo como sendo o produto de sua massa por sua velocidade. Ele definiu também a força resultante que atua em um objeto como sendo a derivada do momentum em relação ao tempo. Em linguagem matemática, escrevemos isso hoje assim:
Nessa fórmula, representa a força resultante (em Newtons), é a massa do objeto (em kg), é sua velocidade (em m/s) e é o tempo (em s). 
Essa forma de ver a Segunda Lei de Newton é particularmente importante para estudar o movimento de foguetes, pois a massa de um foguete em movimento não é constante ao longo do tempo, uma vez que ele está queimando seu combustível e o expelindo em forma de gás. 
Imagine, por exemplo, que alunos do curso de Engenharia constroem um foguete cuja massa total, em kg, no instante t é dada por . Esses alunos determinam experimentalmente que a velocidade do foguete no intervalo é dada por , sendo o momento do lançamento.
Considerando as ideias do texto, avalie as afirmações a seguir.
A força resultante que atua no foguete construído pelos alunos é constante.
A massa do foguete no instante do lançamento é de .
A expressão que mostra a força que atua no foguete é .
Newton afirmou que a força resultante que atua em um objeto é igual à razão entre seu momentum e o tempo.
É correto apenas o que se afirma em
I 
II
II e III 
II e IV 
III e IV
Questão 8
A velocidade de um paraquedista durante seu salto é dada por uma função cuja lei não é muito simples. Ao sair do avião, a velocidade é crescente, mas atinge uma velocidade limite por causa do atrito com o ar. O paraquedista mantém essa velocidade limite até abrir seu paraquedas em um instante que chamaremos de . A partir desse instante, sua velocidade, em m/s, pode ser dada pela expressão
Um pouso é considerado seguro se é realizado a uma velocidade de, no máximo, 5 m/s. Considerando que o paraquedas fica aberto por um tempo muito grande, antes do pouso, podemos garantir que esse pouso foi
seguro, uma vez que foi realizado com uma velocidade abaixo de 50% da velocidade máxima permitida.
seguro, embora foi realizado com uma velocidade entre 50% e 90% da velocidade máxima permitida.
seguro, embora foi realizado com uma velocidade superior a 90% da velocidade máxima permitida. 
inseguro, uma vez que foi realizado com uma velocidade quase igual ao dobro da velocidade máxima permitida.
 inseguro, uma vezque foi realizado com uma velocidade quase quatro vezes maior que a velocidade máxima permitida.
Questão 9
Uma fábrica de embalagens deve produzir recipientes cilíndricos, abertos em cima, cuja capacidade deve ser de . 
A base é um círculo (área 2) e o custo do material usado para sua produção é de 15 centavos por . A parte curva (área ) usa um material cujo custo é de 5 centavos por . 
Se não há perda de material, quais são as dimensões do raio e da altura do cilindro que minimizam o custo do material?
Questão 10
Qual é a derivada da função
em x = 1 ?
 
Gabarito
D
E
A
E
B
C
C
A
Custo do recipiente = 15.(área da base) + 5.(área da parte lateral)
Substituindo por em :
Para encontrar os números críticos, deriva-se em relação a e iguala-se o resultado a zero:
10) 
 
assim