Analise de Funções

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Disciplina: Cálculo Diferencial 
Professora: Luciene de Sousa
Conteúdo: Derivada
ANÁLISE DE FUNÇÕES
É possível analisar uma função, bem como construir o seu gráfico, usando os conhecimentos sobre função, derivada, estudo de sinal. Organizei nesse texto, as principais ideias sobre a análise de uma função. Leia com atenção e faça um resumo em seu caderno do conteúdo.
Relembrando...
Pontos críticos são aqueles onde f’(x) = 0 ou f é não diferenciável. 
Quando uma função f tiver um máximo ou um mínimo relativo em x0, se diz que f tem um extremo relativo em x0. Esses extremos relativos, se houver, ocorrem em pontos críticos.
Crescimento e Decrescimento
Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b).
(i) 	Se f’(x) > 0 para todo valor de x em (a,b), então f é crescente em [a,b].
(ii)	Se f’(x) < 0 para todo valor de x em (a,b), então f é decrescente em [a,b].
(iii)	Se f’(x) = 0 para todo valor de x em (a,b), então f é constante em [a,b].
	Teste da derivada primeira. Suponha f contínua em um ponto crítico x0.
	(i) 	Se f’(x) > 0 em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de x0 e f’(x) < 0 em um intervalo aberto ampliando-se à direita de x0, então f tem um máximo relativo em x0 .
	(ii) 	Se f’(x) < 0 em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de x0 e f’(x) > 0, em um intervalo aberto ampliando-se à direita de x0, então f tem um mínimo relativo em x0 .
	(iii) 	Se f’(x) tiver o mesmo sinal, positivo ou negativo, antes e depois de x0, então f não tem extremo relativo em x0.
 
Concavidade
Teorema: Seja f duas vezes diferenciável em um intervalo aberto I.
(i)	Se f’’(x) > 0 em I, então f tem a concavidade voltada para cima em I.
(ii)	Se f’’(x) < 0 em I, então f tem a concavidade voltada para baixo em I.
	Teste da derivada segunda. Suponha que f seja duas vezes diferenciável em um ponto x0.
	(i)	Se f’(x0) = 0 e f”(x0) > 0, então f tem em x0 um mínimo relativo.
	(ii) 	Se f’(x0) = 0 e f”(x0) < 0, então f tem em x0 um máximo relativo.
	(iii) 	Se f’(x0) = 0 e f”(x0) = 0, então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo ou mínimo 	relativo ou nenhum dos dois em x0.
Pontos de inflexão
Os pontos de inflexão são aqueles onde o gráfico muda de côncavo para cima para côncavo para baixo ou vice-versa. 
Através da análise da derivada segunda, percebemos que os pontos de inflexão acontecem quando o sinal dessa função muda de positivo para negativo ou de negativo para positivo. Por isso, para se determinar os pontos de inflexão é importante que se faça o estudo do sinal da função derivada segunda. 
Os pontos de inflexão acontecem onde a f”(x) = 0, mas é importante verificar se, realmente, nesse ponto, houve uma mudança de sinal dessa função.
Os pontos de inflexão marcam os lugares sobre a curva y = f(x) nos quais a taxa de variação de y em relação a x muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Exemplo
Seja a função dada por . Vamos analisar essa função e construir o seu gráfico a partir dessa análise.
Calculando sua derivada primeira e sua derivada segunda, temos que:
Fazendo o estudo do sinal da função f’(x), percebemos que f’(x) = 0 se x = 0 ou x = 2, logo esses pontos representam pontos críticos (ou pontos de máximo local ou pontos de mínimo local ou pontos de inflexão).
f’(x) é positiva se x < 0 ou x > 2, logo, nesses intervalos, essa função é crescente.
f’(x) é negativa se 0 < x < 2, o que mostra que nesse intervalo essa função é decrescente.
Analisando o sinal de f’’(x) nesses pontos, x = 0 e x = 2, tem-se que f”(0) = - 6 e f’’(2)= 6. O que mostra que em x = 0, f’’ é negativa, a concavidade é voltada para baixo e há, portanto, um máximo local. Da mesma forma, em x = 2, f’’ é positiva, a concavidade é voltada para cima e há um mínimo local.
Analisando o sinal da função f”(x), em relação a x = 1, em que f”(x) = 0, temos que:
f’’(x) < 0 se x < 1
f’’(x) > 0 se x > 1
f”(x) = 0 se x = 1
Logo no ponto x = 1, a função f’’(x) muda de sinal, e a função f(x) sofre uma mudança de concavidade voltada para baixo para concavidade voltada para cima. Esse ponto, x = 1, é um ponto de inflexão.
Colocando todas essas informações num gráfico, obtemos:
Exercícios:
Faça a análise feita no exemplo 1 e construa o gráfico das seguintes funções:
a) 
b) 
c) 
d) 
e)