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Lista de Exercícios (GAAL - 06)

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Uni - BH
Instituto de Engenharia e Tecnologia – Curso de Engenharia Civil
Geometria Analítica e Álgebra Linear – Lista de Exercícios
A figura abaixo mostra a planta baixa de uma casa. A unidade é o metro.
Para ser construída, os cálculos indicam que devem ser construídos seis pilares de sustentação, um em cada extremidade da casa e um pilar central, na origem. Os pilares das extremidades terão 3m de altura e o que fica sobre a origem terá 4m de altura. A figura abaixo mostra esses pilares já construídos.
A seguir, serão construídas as paredes externas
Por último, teremos o telhado
Determine:
A área da casa
A área de cada parede
A área do telhado
Considere o triângulo ABC em que A = (2,5,7), B = (4, 9,9) e C = (-2,1,13). Sejam M, N e P, respectivamente, os pontos médios dos segmentos AB, AC e BC. Determine as coordenadas desses pontos M, N e P.
A figura abaixo mostra um polígono ABCDE. 
Observe que a soma de vetores AB + BC = AC e que BE + ED = BE. 
Calcule AC + DE + BD + CB
Diga uma soma cuja resposta será o vetor EB.
Diga uma subtração de vetores cuja resposta será ED
Considere o triângulo ABC com A = (1,1,1), B = (8,2,2) e C = (2,12,5). Seja M o ponto médio do segmento AB. Determine as coordenadas do vetor MA.
Represente no plano cartesiano os vetores u = (1,2), v = (2,4), u+v , u-v, 2u+3v.
Considere os vetores u = (3,5,7), v = (8,4,9) e w = (5,5,7). Determine:
A projeção de w na direção de u
A projeção de w na direção de v
A soma dessas duas projeções.
Considere os vetores u = (2,5,2) e v = (3,2,7).
Represente, em uma mesma figura, os vetores u, v e u+v.
Determine o ângulo entre u+v e u
Determine o ângulo entre u+v e v
Um avião voa para oeste a uma velocidade de 500k/h. Sobre esse avião sopra um vento de 100km/h na direção sul.
Qual é a velocidade do avião em relação ao solo ?
Qual é o rumo que esse avião está seguindo ?
Um avião quer ir para o norte, mas está atuando sobre ele um vento de 85km/h para leste. O avião consegue manter uma velocidade de 800km/h em relação ao ar. Qual deve ser o rumo que ele deve ter para poder ir para o norte ?
Um corpo está no ponto A = (2,1) do plano e sobre ele atuam três forças: F1 = (3,5), F2 = (-4,7) e F3 = (5,-2). 
Represente essas três forças atuando no ponto A.
Qual é a soma das três forças ?
Qual é o ângulo que essa soma forma com cada uma das três forças ?
Considere os pontos A(1,1,1), B(8,2,3), C(2,9,4) e D(10,11,3). Determine:
A distância entre A e C
O módulo do vetor BD
O ângulo entre os vetores AB e CD
O módulo do vetor 3AD – 4BC
O ponto M, ponto médio do segmento AC
O ponto N, ponto médio do segmento BD
O ponto P, ponto médio do segmento MN
O valor de AB x AD
O valor de CB x CD
No instante t = 0 um avião estava no ponto A(3,2,1). Após um segundo esse avião estava no ponto (3,02 , 2,13 , 1,03). Esse avião voava em linha reta e com velocidade constante. A unidade de medida utilizada é o quilômetro. Esse avião vai subir até a altura de 8km e, quando chegar a essa altitude, continuará voando na mesma direção, porém mantendo 8km de altura
A que velocidade está voando esse avião ?
Quando ele chegará à altura de 8km ?
Em que ponto ele estará quando chegar nessa altura ?
Após chegar aos 8km, esse avião estará seguindo qual direção ?
Considere os vetores u1 = (3,5,7) , u2 = (2,11,9) e u3 = (9,7,2). Determine:
Os valores dos números x, y e z tais que x u1 + y u2 + z u3 = (5,5,5)
Os versores de cada um desses três vetores.
Chamarei de P(r,s) à projeção de um vetor qualquer r na direção do vetor s. Determine P(u1,u2) e P(u2,u1)
Sejam v1 = u1, v2 = u2 – P(u2,v2) e v3 = u3 – P(u3,v1) – P(u3,v2). Determine os versores de v1, v2 e v3.
Determine a equação da reta r que passa pelo ponto A(3,7,5) com a direção do vetor u = (2,2,4). O ponto (274, 774, 946) está nessa reta ?
Considere a reta que passa pelos pontos A(1,2,1) e B(3,5,7). Os pontos P(834,a,b) e Q(c,8966,d) estão nessa reta. Qual é a distância de P a Q ?
Considere o triângulo ABC em que A = (2,2), B = (12,6) e C = (8,16). Sejam M, N e P, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC e AC. Faça o que se pede:
Classifique o triângulo ABC quanto aos lados e quanto aos ângulos.
Determine a área e o perímetro do triângulo ABC.
Determine a área e o perímetro do triângulo MNP.
Determine a medida do maior ângulo do triângulo ABC.
Determine a medida do menor ângulo do triângulo MNP.
Considere o triângulo ABC em que A = (2,6,9), B = (5,8,3) e C = (9,2,7). Determine o que se pede:
A área do triângulo ABC
Seu perímetro
Classifique o triângulo ABC quanto aos lados
Classifique o triângulo ABC quanto aos ângulos
Determine a medida de cada ângulo do triângulo ABC
Determine a medida de cada mediana do triângulo ABC
Considere os pontos A(2,5), B(13,4) e C(7,x). Determine x para que o triângulo ABC seja um triângulo retângulo, com ângulo reto no vértice C

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