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aula7_Algebra_Booleana

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PROGRAMA DE INFORMÁTICA BÁSICA 
Álgebra Booleana 
Prof. João Dallyson 
 
Na aula passada.... 
• Sistemas de Numeração 
• Operações Aritméticas 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 2 
Sumário 
• Introdução 
• Variáveis Lógicas 
• Tipos de Representação 
• Operações Lógicas 
– AND, OR, XOR, NOT, NAND, NOR 
• Aplicações de Portas Lógicas 
• Equivalência de Expressões Lógicas 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 3 
Introdução 
• O computador codifica a informação por meio de 
padrões de 0s e 1s. (bits) 
– O bit 0 representa o valor falso 
– O bit 1 representa o valor positivo 
• Operações Booleanas: 
– São operações que manipulam valores 
verdadeiro/false 
– George Boole (1815-1864) 
• Pioneiro na área da matemática chamada de lógica 
• A álgebra booleana foi inicialmente relacionada ao 
computador por Claude Shannon em 1937; 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 4 
Variáveis Lógicas 
• Toda variável lógica só pode assumir dois estados 
lógicos distintos 
 
 
 
 
 
 
• Operações: AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 5 
Baixo e Alto 
 
ON e OFF 
 
Falso e Verdadeiro 
 
0 e 1 (usado em digital) 
Tipos de representação 
• Expressões booleanas 
• Tabela Verdade 
• Circuitos Lógicos 
 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 6 
Tipos de representação 
• Expressões booleanas 
– Precedência na avaliação: 
• Respeitar os parênteses 
• Avaliar a inversão 
• Avaliar a multiplicação 
• Avaliar a adição 
 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 7 
Tipos de representação 
• Tabela Verdade: 
– Tabela na qual são exibidas todas as possíveis 
entradas e saídas de uma expressão booleana 
– facilita o cálculo do valor lógico de uma proposição 
composta 
– Para n variáveis booleanas, há 2^n 
 
 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 8 
Tipos de representação 
• Porta Lógica: 
– Dispositivo que produz a saída de um operação booleana dados os valores 
de entrada 
– Podem ser construídas: 
• Engrenagens, relés, circuitos eletrônicos e dispositivos ópticos 
 
 
 
 
 
– Gráficos: AB ; ABCD..N 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 9 
Operação Lógica: “E” (AND) 
• Possuem duas ou mais entradas e apenas uma saída; 
• Para que a proposição composta seja considerada 
verdade ambas as proposições que a compõem devem 
ser verdade; 
• realiza a multiplicação booleana de duas ou mais 
variáveis binárias; 
• Notação: P1 and P2 
– P1P2, P1.P2, P1˄P2 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 10 
P1 P2 P1 e P2 
F F F 
F V F 
V F F 
V V V 
P1 P2 P1 . P2 
0 0 0 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
Tabela Verdade 
Operação Lógica: “E” (AND) 
• Exemplo: 
– Considere as seguintes sentenças abaixo: 
• O Brasil é pentacampeão mundial de futebol masculino; 
– Verdade 
• O Vasco é campeão mundial; 
– Falso 
 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 11 
P1 P2 
O Brasil é pentacampeão mundial 
de futebol masculino 
E 
Nenhuma seleção possui tantos 
título mundiais como o Brasil 
O Flamengo é campeão mundial E O Vasco é campeão mundial 
P1 E P2 
V 
F 
Operação Lógica: “E” (AND) 
• Implementação da Porta Lógica AND 
 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 12 
Operação Lógica: “E” (AND) 
• Casos possíveis (AND) 
 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 13 
Operação Lógica: “OU” (OR) 
• Possuem duas ou mais entradas e apenas uma saída; 
• Nesse caso a proposição composta só será verdade se 
pelo menos uma das proposições sejam verdade; 
• Realiza a soma booleana de duas ou mais variáveis 
binárias; 
• Notação: P1 or P2 
– P1 + P2, P1 v P2 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 14 
P1 P2 P1 ou P2 
F F F 
F V V 
V F V 
V V V 
P1 P2 P1 + P2 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 1 
Tabela Verdade 
Operação Lógica: “OU” (OR) 
• Exemplo: 
– Considere as seguintes sentenças abaixo: 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 15 
P1 P2 
O Brasil é pentacampeão mundial 
de futebol masculino 
OU 
Nenhuma seleção possui tantos 
título mundiais como o Brasil 
O Flamengo é campeão mundial OU O Vasco é campeão mundial 
O Paraguai possui sete títulos 
mundiais 
OU 
O Vasco é tricampeão mundial 
 
P1 E P2 
V 
V 
F 
Operação Lógica: “OU” (OR) 
• Implementação da Porta Lógica OR 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 16 
Operação Lógica: “OU” (OR) 
• Casos possíveis Porta Lógica OR 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 17 
Operação Lógica: “NÃO” (NOT) 
• Possuem apenas uma entrada e uma única saída; 
• Este conectivo tem o papel de negar uma proposição, 
ou seja, inverte seu valor; 
• Basta acrescentar “é falso que”; 
• Notação: not P1; P1’ ; ¬P1 ; P1 ; ~; 
• Exemplo: 
– É falso que a Itália possui 7 títulos mundiais 
• Verdadeiro 
 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 18 
P1 Não P1 
V F 
F V 
Operação Lógica: “NÃO” (NOT) 
• Implementação porta lógica NOT 
 
 
 
 
• Casos possíveis 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 19 
Operações Lógicas “Não E” (NAND) 
• NAND 
– realiza a multiplicação booleana de duas ou mais 
variáveis binárias e inverte o resultado 
– Notação: P1 nand P2 ; P1.P2 ; (P1.P2)’ ; ¬(P1.P2) 
 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 20 
P1 P2 P1 nand P2 
0 0 1 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 0 
Tabela Verdade 
Porta Lógica 
Operações Lógicas “Não Ou” (NOR) 
• NOR 
– Realiza a soma booleana de duas ou mais variáveis 
binárias e inverte o resultado 
– Notação: P1 nor P2 ; P1+P2 ; (P1+P2)’ ; ¬(P1+P2) 
 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 21 
P1 P2 P1 nor P2 
0 0 1 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 0 
Tabela Verdade 
Porta Lógica 
Operação Lógica: “Ou Exclusivo” (XOR) 
• Nesse caso a preposição composta só será verdade 
se as proposições forem diferentes; 
• Notação: P1 xor P2 ; P1 P2 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 22 
P1 P2 P1 xor P2 
F F F 
F V V 
V F V 
V V F 
P1 P2 P1 xor P2 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 0 
Tabela Verdade 
Operação Lógica: “Ou Exclusivo” (XOR) 
• Implementação porta lógica XOR 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 23 
Operação Lógica: “Ou Exclusivo” (XOR) 
• Casos possíveis porta lógica XOR 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 24 
Aplicação de Portas Lógicas 
• Ex: 
– Circuito para testar de modo rápido se duas 
palavras são iguais 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 25 
Solução: Porta XOR e porta NOR 
Aplicação de Portas Lógicas 
• Ex: 
– Alerta de cinto de segurança não afivelado 
 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 26 
1 1 1 
0 0 1 
0 1 0 
0 0 0 
campainha Cinto desafi-
velado 
ignição 
Solução: 
Porta AND 
Exemplos 
• (A E B) OU C09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 27 
A 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
B 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
C 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
A E B 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
C 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
(A E B) OU C 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
1 
Resumo 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 28 
Exemplo 1 
• Composição de operações lógicas: 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 29 
Exemplo 2 
• Composição de operações lógicas: 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 30 
Exemplo 3 
• Composição de operações lógicas: 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 31 
Exemplo 4 
• Representação por Tabela Verdade 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 32 
Exemplo 5 
• Representação por Tabela Verdade 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 33 
Equivalência de expressões Lógicas 
● Uma expressão booleana pode ser representada por mais 
de um circuito lógico 
● Dados dois circuitos, como saber se eles são equivalentes 
(possuem a mesma expressão lógica)? 
– Tabela verdade 
• Se os resultados da tabela verdade são iguais, então são 
equivalentes 
• Se os resultados da tabela verdade são diferentes, então 
não são equivalentes 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 34 
Equivalência de expressões Lógicas 
● Exemplo 1: 
 
 
 
 
 
● Exemplo 2: 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 35 
Exercícios 
• Faça a tabela-verdade dos circuitos combinatórios 
(portas lógicas): 
 1) 
 
 
 
2) 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 36 
Exercícios 
3) Represente a função F = A.B + A.B usando portas 
lógicas e a tabela verdade (tabela de combinações). 
 
4) Verifique se as expressões abaixo são equivalentes: 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 37 
Exercícios 
5) Dadas as seguintes proposições: 
 A = 3, B = 10, C = 21 e D = 8 
 
Determine o resultado de: 
a) A < B 
b) ~(C < B) 
c) (A > D) + (C > D) 
d) (C < B) + ~(A < A) 
e) ~((D < B) . (C < B)) 
f) (B > C) + (A > D) 
g) (C < D) + ((D < A) . ((A < D) + (B > D))) 
h) ~(D > C) + ~(A > B) 
i) ~(((A < D) + (A = B)) . (A < 3)) 
j) (9 > C) + (C < C) . ~(D > 2) 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 38 
Agradecimentos 
 
 
• Ao Prof. Dr. Bruno Feres, do BCT/UFMA 
• Ao Prof. Dr. Sergio Souza Costa, do BCT/UFMA 
• Ao Prof. Me. Geraldo Braz, DEINF/UFMA 
• Ao Prof. Me. Osvaldo Silva Sousa Junior, NTI/UFMA 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 39 
Referências 
• TANENBAUM, A. S. Organização Estruturada de 
Computadores. 5ª Ed. São Paulo: Prentice-Hall, 2007. 
• MARÇULA, M.; BENINI FILHO, P. A. Informática 
Conceitos e Aplicações. 3ª Ed. São Paulo: Érica, 2008; 
• VELLOSO, F. C. Informática Conceitos Básicos. 8.ed. Rio 
de Janeiro: Elsevier, 2011. 
 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 40 
Perguntas.... 
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 41

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