Apostila 1 Vibrações

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1 Fundamentos 
 
 
Importância do estudo das vibrações mecânicas 
Conceitos básicos 
Classificação das vibrações 
Etapas da Análise 
Questionário 
Problemas 
 
Referências: Teoria: Rao 1.3 a 1.6 
 Problemas: Rao 1.1 a 1.6 
 
 
1.1 Importância do estudo das vibrações mecânicas 
 
 A maioria das atividades humanas envolve alguma forma de vibração. Nós ouvimos porque o tímpano vibra, nós 
vemos porque ondas luminosas se propagam. A respiração está associada à vibração dos pulmões, os batimentos cardíacos 
são movimentos vibratórios do coração, a fala se fundamenta na vibração das cordas vocais e os nossos movimentos 
envolvem oscilações de braços e pernas. Em muitos outros campos da atividade humana, fenômenos apresentam variáveis 
cujo comportamento é oscilatório (economia, biologia, química, física, etc.). 
 
 Em engenharia, as aplicações das vibrações mecânicas são de grande importância nos tempos atuais. Projetos de 
máquinas, fundações, estruturas, motores, turbinas, sistemas de controle e outros, exigem que questões relacionadas com 
vibrações sejam levadas em conta. Os primeiros estudos de vibrações em engenharia foram motivados pelo problema de 
desbalanceamento em motores. O desbalanceamento pode ser tanto devido a problemas de projeto como de fabricação e 
manutenção. As rodas de locomotivas podem sair até um centímetro dos trilhos devido a desbalanceamentos. Em turbinas, 
os engenheiros ainda não foram capazes de resolver uma grande parte dos problemas originados em pás e rotores. As 
estruturas projetadas para suportar máquinas centrífugas pesadas (motores, turbinas, bombas, compressores, etc.) também 
estão sujeitas a vibração, sendo possível que partes dessas estruturas sofram fadiga devido à variação cíclica de tensões. A 
vibração também causa desgaste mais rápido em mancais e engrenagens, provocando ruído excessivo. Em máquinas, a 
vibração pode provocar o afrouxamento de parafusos. Em processos de usinagem, a vibração pode causar trepidação, 
conduzindo a um pobre acabamento superficial. 
 
 Sempre que a frequência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincide com a frequência da força 
externa atuante, ocorre um fenômeno conhecido como ressonância, que leva a grandes deformações e falhas mecânicas. A 
literatura é rica em exemplos de falhas causadas por vibrações excessivas em virtude da ressonância. Um exemplo clássico 
é o da ponte de Tacoma Narrows, conforme fig. 1.1 (reproduzido de Rao, S., Mechanical Vibrations, 4th. ed.), nos Estados 
Unidos. Inaugurada em julho de 1940, colapsou em 7 de novembro do mesmo ano quando entrou em ressonância induzida 
pelo vento. Em virtude dos efeitos devastadores que podem surgir em máquinas e estruturas, os testes vibratórios se 
tornaram um procedimento padrão no projeto e desenvolvimento da maioria dos sistemas em engenharia. 
 
 
 
Fig. 1.1 – Ponte de Tacoma Narrows durante vibração induzida pelo vento 
1 Fundamentos 1-2
 Em muitos sistemas de engenharia o ser humano atua como parte integrante do mesmo. A transmissão de vibração 
para o ser humano resulta em desconforto e perda de eficiência. Vibrações de painéis de instrumentos podem produzir mau 
funcionamento ou dificuldade de leitura de medidores. Portanto, um dos propósitos importantes do estudo de vibração é a 
redução dos níveis vibratórios através do projeto e montagem adequados de máquinas. Nesta interface, o engenheiro 
mecânico tenta projetar a máquina para que a mesma apresente níveis vibratórios baixos, enquanto o engenheiro estrutural 
tenta projetar a base da máquina de forma a assegurar que o efeito da vibração não se transmita. 
 
 Por outro lado, a vibração também pode ser utilizada com proveito em várias aplicações industriais. Esteiras 
transportadoras, peneiras vibratórias, compactadores, misturadores, máquinas de lavar e outras, utilizam a vibração em seu 
princípio de funcionamento. A vibração também pode ser útil em testes de materiais, processos de usinagem e soldagem. 
Os ultra-sons são largamente utilizados também em medicina (obstetrícia, destruição de cálculos renais, etc.). A vibração 
também pode ser empregada para simular terremotos em pesquisas geológicas e para conduzir estudos no projeto de 
reatores nucleares. 
 
 
1.2 Conceitos básicos 
 
1.2.1 Vibração 
 
 Qualquer movimento que se repete depois de certo intervalo de tempo é denominado vibração ou oscilação. A 
vibração, portanto, é o estudo do movimento de oscilação de um corpo em torno de uma posição de equilíbrio, bem como 
das forças e/ou momentos a ele associadas. 
 
1.2.2 Componentes elementares de um sistema vibratório 
 
 Em um sistema vibratório podemos classificar os elementos que o compõem segundo a forma com que manipulam 
a energia mecânica: 
 
• Massas ou inércias: armazenam energia potencial gravitacional (associada à posição em relação a um referencial) 
e energia cinética (associada à velocidade), sendo que esta última pode ser de translação e/ou de rotação; em 
muitos casos a energia potencial gravitacional pode ser desprezada em comparação com a energia cinética; 
 
• Molas: armazenam energia potencial elástica, associada à deformação elástica que o corpo sofre; 
 
• Amortecedores: dissipam energia mecânica sob forma de calor e/ou som. 
 
 A vibração de um sistema envolve a conversão de energia potencial em energia cinética e vice-versa. Se o sistema 
for amortecido, alguma energia é dissipada em cada ciclo de vibração, a qual deve ser reposta por uma fonte externa se um 
estado de vibração permanente deva ser mantido. 
 
 Como um exemplo de vibração sem amortecimento, consideremos um pêndulo simples (fig. 1.2) de massa m e 
comprimento l, em que é desprezado o atrito com o ar. 
 
 
Fig. 1.2 Pêndulo simples 
 
 Ao se dar ao pêndulo um ângulo inicial (posição 1), sua massa adquire uma energia potencial gravitacional 
máxima igual a )cos1(mgl θ− , sendo nula a sua energia cinética nesse momento. Ao ser solto, o pêndulo entra em 
movimento, tendendo a retornar à posição de equilíbrio estático inicial. Ao passar pela posição 2, o movimento não se 
1 Fundamentos 1-3
interrompe porque a energia potencial gravitacional transformou-se totalmente em energia cinética máxima igual a 
2
.
2
ml
2
1 θ , sendo nula nesse momento a sua energia potencial gravitacional. Prosseguindo o movimento, essa energia 
cinética vai se transformando em energia potencial gravitacional, até atingir a posição 3, quando terá energia cinética nula e 
energia potencial gravitacional máxima. Não havendo amortecimento, não há retirada de energia do sistema e a oscilação 
repete-se indefinidamente. Na prática, entretanto, sempre existirá um amortecimento causado pelo atrito com o ar e na 
articulação, fazendo com que a amplitude da oscilação (o ângulo θ) decresça até ocorrer a parada do sistema na posição de 
equilíbrio estático, situação em que o sistema não terá nem energia cinética e nem energia potencial gravitacional. 
 
1.2.3 Graus de liberdade. Coordenadas generalizadas. 
 
Graus de Liberdade (GDL): é o número mínimo de coordenadas independentes (denominadas coordenadas 
generalizadas) que descrevem completamente o movimento de todos os elementos do sistema. 
 
No de GDL do sistema = No de massas do sistema x No de GDL de cada massa 
 
Exemplos de Sistemas com 1 GDL (fig. 1.3): 
 
 
Fig. 1.3 Exemplos de sistemas com 1 GDL 
 
Exemplos de Sistemas com 2 GDL (fig. 1.4): 
 
 
Fig. 1.4 Exemplos de sistemas com 2 GDL 
 
Exemplos de Sistemas com 3 GDL (fig. 1.5): 
 
 
 
Fig. 1.5 Exemplos de sistemas com 1 GDL 
 
 
Portanto: no de GDL = no de coordenadas generalizadas 
 
 
 
 
 
1 Fundamentos 1-4
1.2.4 Sistemas discretos (ou com parâmetros concentrados) e sistemascontínuos (ou com parâmetros distribuídos) 
 
Sistemas discretos: Possuem um no finito de GDL 
 Parâmetros (propriedades físicas) concentrados em um ponto 
 Modelados matematicamente por equações diferenciais ordinárias (EDO) 
 
Sistemas Contínuos: Possuem um no infinito de GDL 
 Parâmetros (propriedades físicas) distribuídos ao longo da massa do corpo 
 Modelados matematicamente por equações diferenciais parciais (EDP) 
 
Sempre que possível, devemos discretizar o sistema contínuo, para simplificar a modelagem matemática. 
 
 
1.3 Classificações das vibrações 
 
1.3.1 Quanto à existência ou não de forçamento: 
 
• Vibrações livres (ou naturais): causadas por condições iniciais (deslocamento inicial e/ou velocidade inicial. 
 
• Vibrações forçadas: causadas por forças e/ou torques externos; as oscilações persistem durante a aplicação dos 
mesmos e uma vez cessadas essas solicitações o sistema entra em vibração livre. 
 
 
1.3.2 Quanto à existência ou não de amortecimento: 
 
• Vibrações sem amortecimento: não há perda de energia por atrito. Se a vibração for livre, não haverá diminuição 
da amplitude da vibração e o sistema vibrará indefinidamente. Se a vibração for forçada, a excitação reporá 
energia no sistema, podendo ocorrer até aumento da amplitude da vibração. 
 
• Vibrações com amortecimento: há perda de energia por atrito. Se a vibração for livre, haverá sempre diminuição 
da amplitude da vibração e o sistema tenderá a parar na posição de equilíbrio estático. Se a vibração for forçada, 
poderá haver ou não diminuição da amplitude da vibração, porque a excitação repõe energia no sistema. 
 
1.3.3 Quanto à linearidade: 
 
• Vibrações lineares: obedecem ao Princípio da Superposição ilustrado na fig. 1.6, ou seja, existe uma 
proporcionalidade entre excitação e resposta. 
 
• Vibrações não-lineares: não obedecem ao Princípio da Superposição. 
 
 
Fig. 1.6 Princípio da superposição 
 
Sistema 
r1(t) 
 
Sistema r2(t) 
αr1(t) + βr2(t) 
Se 
 
 
 
 
o sistema é linear, caso contrário, o sistema é não-linear 
 
 
c1(t) 
 
c2(t) 
 
Sistema 
 
αc1(t) + βc2(t) 
 
1 Fundamentos 1-5
 No sistema linear existe proporcionalidade entre causa (excitação) e efeito (resposta). Se todos os componentes do 
sistema elástico comportarem-se linearmente, ou seja, se
.. .
massa amortecedor mola , e F m x F c x F kx= = = , dizemos que a 
vibração é linear. No caso de vibração linear, o modelo matemático é composto por um sistema de equações diferenciais 
ordinárias lineares, EDOL’s, de fácil solução analítica. Já no caso de vibração não-linear, o modelo matemático é composto 
por um sistema de EDO não-L, de difícil ou mesmo impossível solução analítica. No caso não-linear, podemos atacar o 
problema de acordo com os procedimentos ilustrados na fig. 1.7. 
 
 
 
 
Fig. 1.7 Procedimentos para o caso não-linear 
 
 
1.3.4 Quanto à previsibilidade de ocorrência: 
 
• Vibrações determinísticas: a excitação é conhecida e a resposta é previsível (fig. 1.8). 
 
 
Fig. 1.8 Excitação determinística 
 
• Vibrações aleatórias: a excitação não é conhecida e a resposta é também aleatória (fig. 1.9). 
 
 
Fig. 1.9 Excitação aleatória 
 
 
 
 
 
Caso não-linear 
Linearização 
Hipótese 
Simplificadora 
Série de 
Taylor 
Caso linear 
Método Numérico 
Solução aproximada 
1 Fundamentos 1-6
 
 
1.4 Etapas da Análise 
 
 A análise dinâmica de um sistema mecânico consta de 4 etapas: 
 
1. Modelagem física 
 
 O objetivo é representar esquematicamente todas as propriedades importantes do sistema, visando deduzir as 
equações que descrevem o seu comportamento. Deve haver um compromisso entre simplicidade do modelo e a precisão 
obtida, ou seja, o modelo deve ser o mais simples possível, porém mantendo as propriedades principais do sistema. A 
seguir, dois exemplos de modelagem física com refinamentos do modelo. 
 
Ex. 1.1 - modelagem física de uma prensa mecânica (fig. 1.10) 
 
 
 
Fig. 1.10 – Modelagem física de uma prensa mecânica 
 
 
 Vemos, na parte superior da fig. 1.10, a modelagem usando apenas 1 GDL, o deslocamento vertical x1 do conjunto 
bigorna + fundação. Já na parte inferior é mostrado o modelo físico do mesmo sistema com 2 GDL utilizando o 
deslocamento vertical x1 para a bigorna e o deslocamento vertical x2 para a fundação. Evidentemente, o modelo com 2 GDL 
é mais refinado, porém apresenta uma maior complexidade matemática. 
 
Ex. 1.2 - modelagem física de um conjunto motociclista + motocicleta (fig. 1.11) 
 
 A fig. 1.11 ilustra 3 modelagens físicas para o mesmo sistema. Na fig. 1.11 (a) temos apenas 1 GDL, o 
deslocamento vertical da massa equivalente às massas das rodas, da motocicleta e do motociclista; na fig. 1.11 (b) a 
quantidade de GDL aumentou para 4: os deslocamentos verticais das massas e a rotação da massa que engloba a moto + 
motociclista em torno de um eixo horizontal perpendicular ao plano do papel e passando pelo centro de massa do conjunto; 
 
1 Fundamentos 1-7
finalmente, na fig. 1.11 (c), temos acrescentado, em relação ao modelo da fig. 1.11 (b), mais 1 GDL, que é o deslocamento 
vertical do corpo do motociclista, perfazendo um total de 5 GDL. Esse último modelo está mais próximo da realidade do 
que os anteriores, embora a complexidade matemática decorrente seja bem maior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (c) 
 
Fig. 1.11 Modelagem física de um sistema motocicleta + motociclista 
 
 
2. Modelagem matemática 
 
 Nesta etapa é feita a dedução do conjunto de equações diferenciais que constituem o modelo matemático do 
sistema mecânico, com base na modelagem física. Para isso, devemos utilizar técnicas estudadas em dinâmica dos 
corpos rígidos: 
 
• 2a Lei de Newton 
• Princípio de D’Alembert 
• Conservação da Energia 
• Equações de Lagrange 
Rodas, 
moto, 
motociclista 
Pneus, 
suspensões, 
motociclista 
Suspensões, 
motociclista 
Moto + Motociclista 
roda roda 
Pneu pneu 
suspensões 
Motociclista 
Moto 
suspensões 
pneu pneu 
roda roda 
1 Fundamentos 1-8
3. Solução do modelo matemático (ou resposta no tempo) 
 
 Esta é uma etapa puramente matemática. Consiste em resolver o sistema de equações diferenciais que compõem o 
modelo matemático. Em geral, as equações diferenciais estão acopladas entre si, ou seja, as variáveis dependentes e 
suas derivadas aparecem em mais de uma equação. Os métodos utilizados são 
 
• Clássico 
• Transformada de Laplace 
• Numérico 
 
 
4. Interpretação dos resultados 
 
 A interpretação dos resultados consiste em comparar as soluções obtidas teoricamente com dados obtidos a partir 
da observação experimental. Tal interpretação é facilitada através da simulação numérica em computador, quando podemos 
alterar dados do sistema e repetir várias vezes a solução do modelo matemático até encontrar um modelo que esteja mais 
próximo da realidade. Assim, se os resultados forem bons, podemos aceitar o modelo. Se não forem próximos da realidade, 
devemos voltar à etapa 1 e refazer todo o procedimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questionário 
 
 
01. Cite dois exemplos de efeitos maléficos da vibração. 
 
02. Cite dois exemplos de efeitos benéficos da vibração. 
 
03. Quais são os 3 elementos de um sistema vibratório? 
 
04. Defina grau de liberdade de um sistema. 
 
05. Quais as diferenças entre sistemas discretos e sistemas contínuos? 
 
06.Pode o amortecimento ser sempre desprezado? Quando? 
 
07. Podemos identificar um sistema não-linear a partir da observação do seu modelo matemático? Como? 
 
08. Qual a diferença entre vibração determinística e vibração aleatória? Cite um exemplo de cada. 
 
09. Quais métodos estão disponíveis para deduzir o modelo matemático de um sistema mecânico? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação importante: 
 
Neste texto introdutório serão estudados apenas os sistemas 
mecânicos discretos, lineares e determinísticos