Aula 11- Análise Dimensional

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Fenômenos de Transportes I Aula 11 Profª. Daniela Araújo 
 
ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA DINÂMICA 
 
Dimensões – São conceitos básicos de medidas. 
 
Unidades – Diversas formas de representação das dimensões 
 
 
GRANDEZA SÍMBOLO DIMENSÕES (MLT) 
Comprimento l L 
Tempo t T 
Massa M M 
Força F MLT-2 
Velocidade v LT-1 
Aceleração a LT-2 
Área A L2 
Vazão Q L3T-1 
Pressão ou queda de pressão p ML
-1T-2 
Aceleração da gravidade g LT-2 
Massa específica  ML
-3 
Peso específico  ML
-2T-2 
Viscosidade dinâmica  ML
-1T-1 
Viscosidade cinemática  L
3T-1 
Tensão superficial  MT
-2 
Módulo de elasticidade volumétrica k ML-1T-2 
 
 
 
O TEOREMA  ou de BUCKINGHAM 
 
“Demonstra que um problema físico envolvendo n grandezas nas quais 
comparecem m dimensões, as grandezas podem ser agrupadas em n-m 
parâmetros adimensionais independentes” 
 
Sejam A1, A2, A3, A4,........, An, as grandezas. 
Sabe-se que todas as grandezas são essenciais à solução devendo pois existir 
alguma relação funcional: 
 
F(A1, A2,A3 ,A4 , ......,An) = 0 
 
Se 1, 2, 3........., representam grupos adimensionais das grandezas A1, A2,A3 
,A4........, com m dimensões envolvidas, então existe uma expressão do tipo: 
 
F(1, 2, 3, 4,........, n-m) = 0 
 
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 Passos para determinar os parâmetros adimensionais π: 
 
1) Liste todos os parâmetros envolvidos; 
2) Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias); 
3) Liste as dimensões de todos os parâmetros em termos das dimensões 
primárias; 
4) Selecione da lista um número r de parâmetros que, em conjunto, incluam 
todas as dimensões primárias; 
5) Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados 
no passo 4 com cada um dos outros parâmetros para formar grupos 
adimensionais; 
6) Verifique se cada grupo obtido é adimensional. 
 
Demontração: 
 
1 - Escolher m das n grandezas A, com DIMENSÕES DIFERENTES, que 
contenham entre elas as m DIMENSÕES 
 
2 - Usá-las como base juntamente com uma das outras grandezas A para cada . 
 
 Ex: Consideremos A1, A2 e A3 contendo M, L, T no conjunto, logo: 
 
 1 = A1
x1 A2
 y1 A3
 z1 
2 = A1
x2 A2
 y2 A3
 z2 
. 
. 
n-m = A1
xn-m A2
 yn-m A3
 zn-m 
 
 
3 - Substituir as dimensões das grandezas A e os expoentes M, L e T são todos 
igualados a zero. Serão 3 equações e 3 incógnitas para cada parâmetro  (para 
três dimensões) 
 
 
 
Exercício – Admite-se que a vazão através de um tubo capilar horizontal depende 
da queda de pressão por unidade de comprimento, do diâmetro e da viscosidade. 
Determinar a forma da equação que rege o fenômeno. 
 
Vazão Q L3T-1 
Diâmetro D L 
Queda de pressão/por comprimento p/l ML
-2T-2 
Viscosidade  ML
-1T-1 
 
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n = 4 m = 3 n-m = 1 
 
F(Q, p/l, D, ) = 0 
 
1 = Q
x1 (p/l) y1 D z1  
 
1 = (L
3T-1)x1 (ML-2T-2) y1 L z1 ML-1T-1 = M0 L0 T0 
 
3x1 - 2y1 + z1 - 1 = 0 y1 + 1 = 0 - x1 - 2y1 - 1 = 0 
 
x1 = 1 y1 = - 1 z1 = - 4 
 
1 = Q  / (p/l)
 D –4 
 
Q = C (p/l) D 4 /  
 
 
 
Exercício – A força de arrasto F, sobre uma esfera lisa depende da velocidade V, 
do diâmetro D, da massa específica  e da viscosidade. Obter um conjunto de 
grupos adimensionais que possam ser usados para a correlação de dados 
experimentais. 
 
F = f(v, D, , ) 
 
GRANDEZA SÍMBOLO DIMENSÕES (MLT) 
Velocidade v LT-1 
Massa específica  ML
-3 
Diâmetro D L 
Viscosidade  ML
-1T-1 
Força F MLT-2 
 
n = 5 
m = 3 
n-m = 2 
 
Escolher: v, , D 
 
1 = V
x1  y1 D z1 F 
2 = V
x2  y2 D z2  
1 = (LT
-1)x1 (ML-3) y1 L z1 ML-1T-2 = M0 L0 T0 
 
x1 - 3y1 + z1 - 1 = 0 x1 = - 2 
- x1 - 2 = 0 y1 = - 1 
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y1 + 1 = 0 z1 = -2 
 
1 = F /  D
2 V 2 
 
2 = (LT
-1)x2 (ML-3) y2 L z2 M L-1 T -1 = M0 L0 T0 
 
x2 - 3y2 + z2 - 1 = 0 x2 = -1 
- x2 - 1 = 0 y2 = -1 
y2 + 1 = 0 z2 = -1 
 
2 = /  D V
 
 
A relação expressa pela função é: 
 
F /  D2 V 2 = f(/  D V) 
 
sendo f determinado experimentalmente 
 
 
SIMILARIDADE DE ESCOAMENTO E ESTUDO DE MODELOS 
 
Similaridade: geométrica; cinemática; dinâmica. 
 
 
O requisito óbvio é que o modelo e o protótipo devem ser geometricamente semelhantes. 
 
A semelhança geométrica requer que o modelo e o protótipo tenham a mesma forma e 
que todas as dimensões lineares do modelo sejam relacionadas às correspondentes 
dimensões do protótipo por um fator de escala constante. 
 
Um segundo requisito é que os escoamentos de protótipo e de modelo sejam 
cinematicamente semelhantes. 
 
Quando dois escoamentos têm distribuições de força tais que tipos idênticos de forças 
são paralelos e relacionam-se em magnitude por um fator de escala constante em todos 
os pontos correspondentes, então os dois escoamentos são dinamicamente semelhantes. 
 
O teorema Pi de Buckingham pode ser usado na obtenção dos grupos adimensionais que 
governam um fenômeno de escoamento; para a consecução da semelhança dinâmica 
entre escoamentos geometricamente semelhantes devemos duplicar os grupos 
adimensionais independentes, assim procedendo, o parâmetro dependente é também 
duplicado. 
 
 
F = f(v, D, , ) Re =  D V /  = V D / ν 
 
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(  D V/  )modelo = (  D V/  )protótipo 
 
 
 
( F /  D2 V 2 ) modelo = ( F /  D
2 V 2 ) protótipo 
 
Exercício – Deve-se prever a resistência de um transdutor de sonar baseado em 
dados de teste em um túnel de vento. O protótipo, uma esfera de 1 pé de diâmetro, 
deve ser rebocada a 5 nós (milhas marítimas por hora). O modelo possui 6 pol de 
diâmetro. Determinar a velocidade de teste requerida no ar. Se a resistência do 
modelo nas condições de teste é de 5,58 lbf, estimar a resistência do protótipo. 
1 nó = 6080 pé em água do mar 
p = 1.98 slug/ft
3, m = 0.00238 slug/ft
3 
p = 1.4 10
-5 pe2/s, m = 1,56 10
-4 pe2/s