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Estatística Aplicada Valeria Ferreira Aula 3 Medidas Estatísticas Medidas de Posição ou Tendência Central Têm o objetivo de apresentar um ponto central em torno do qual os dados se distribuem. As mais conhecidas são: a média, a mediana e a moda. Medidas de Dispersão Servem para indicar o quanto os dados se apresentam dispersos em torno da região central. 2 Medidas de Tendência Central • 3 Medidas de Tendência Central A média aritmética de um conjunto de dados apresentados numa distribuição de frequências é calculada da seguinte maneira: em que: • são os valores que a variável assume; • é a frequência referente a cada valor; • é a soma dos valores das frequências. 4 k i i k i ii f fx x 1 1 ix if k i if 1 Exemplo 1: Os dados abaixo são referentes às idades de funcionários do setor administrativo de uma empresa: 22 24 19 21 25 18 28 24 25 28 22 25 Vamos calcular a idade média dos funcionários: 5 anos 42,23 12 281 12 2521192422 x Agora, vamos calcular a média aritmética por meio dos dados organizados numa distribuição de frequências. Tabela 1: Distribuição das idades dos funcionários. 6 Idade Frequência F.R.(%) 18 1 8,33 18 19 1 8,33 19 21 1 8,33 21 22 2 16,67 44 24 2 16,67 48 25 3 25,00 75 28 2 16,67 56 Total 12 100,00 281 Utilizando as informações do quadro, temos: Portanto, podemos concluir que a idade média dos funcionários da empresa é 23,42 anos. 7 anos 42,23 12 281 1 1 k i i k i ii f fx x Moda A moda de um conjunto de dados é a resposta (ou respostas) que ocorre(m) com maior frequência. A moda, diferentemente das outras medidas de posição, também pode ser encontrada quando a variável em estudo for qualitativa. Um conjunto de dados pode não apresentar moda (amodal), apresentar uma moda, duas modas (bimodal) ou mais de duas modas (multimodal). 8 Moda • 9 Mediana A mediana é outra medida de posição, dita mais robusta que a média, pois, da forma como ela é determinada, não permite que alguns valores muito altos ou muito baixos interfiram de maneira significativa em seu valor. A mediana é encontrada ordenando os dados do menor para o maior valor e, em seguida, identificando o valor central desses dados ordenados. É uma medida que divide o conjunto de dados em duas partes, deixando a mesma quantidade de valores abaixo dela e acima. 10 Mediana Se o número de elementos do conjunto de dados for ímpar, então a mediana será exatamente o valor central, ou seja: Se o número de elementos do conjunto de dados for par, então a mediana será exatamente a média dos dois valores centrais, isto é: 11 2 1 nxMd 2 1 22 nn xx Md Mediana Exemplo 2: Vamos utilizar os dados do Exemplo 1 para calcular a mediana. 22 24 19 21 25 18 28 24 25 28 22 25 Para encontrar a mediana, os dados devem estar ordenados: 18 19 21 22 22 24 24 25 25 25 28 28 12 Resolução Como n = 12 é um número par, encontraremos a mediana por meio da seguinte fórmula: Portanto, podemos afirmar no mínimo 50% dos valores são maiores ou iguais a 24 anos. 13 anos 24 2 2424 2 2 76 1 22 xx Md xx Md nn Medidas de posição para dados agrupados em classes Quando o conjunto de dados for apresentado sob a forma agrupada, perdemos a informação dos valores das observações. Nesse caso, vamos supor que todos os valores dentro de uma classe tenham seus valores iguais ao ponto médio dessa classe. 14 Exemplo 3: Tabela 2: Distribuição de frequências dos salários de funcionários de uma empresa. 15 Salário (R$) Nº de funcionários F.R.(%) 750|―1062 22 55 1062|―1374 4 10 1374|―1686 2 5 1686|―1998 6 15 1998|―2310 2 5 2310|―2622 4 10 Total 40 100 Para calcular as medidas de posição por meio da Tabela 2, vamos seguir o procedimento: 16 Salário (R$) Nº de funcionário s F.R.(%) 750|―1062 22 55 906 19932 1062|―1374 4 10 1218 4872 1374|―1686 2 5 1530 3060 1686|―1998 6 15 1842 11052 1998|―2310 2 5 2154 4308 2310|―2622 4 10 2466 9864 Total 40 100 53088 Então, a média aritmética para as informações contidas no quadro é: Se calcularmos a média aritmética por meio dos dados brutos (sem agrupar), vamos obter . Isso nos mostra que as medidas descritivas obtidas por meio dos dados agrupados são apenas aproximações dos verdadeiros valores. 17 reais 20,1327 40 53088 1 1 k i i k i ii f fx x 40,1336x • 18 • 19 • 20 • 21 • 22 • 23 Referências Bibliográficas BRUNI, Adriano L. Estatística Aplicada à Gestão Empresarial. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2010. BUSSAB, Wilton O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 5.ed. São Paulo: Saraiva, 2002. COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. São Paulo: Edgard Blucher, 2002. TRIOLA, Mário F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. VIEIRA, Sonia. Elementos de estatística. São Paulo: Atlas, 2003. 24 Estatística Aplicada Valeria Ferreira Atividade 3 26 Um treinador mediu a circunferência abdominal de 10 homens que se apresentaram para uma aula na academia de ginástica. Os valores em centímetros são: 88 83 79 76 78 70 80 82 86 105 Com os dados apresentados: a) Indique e classifique a variável em estudo. b) Encontre as medidas de posição: média, moda e mediana por meio do conjunto de dados brutos. 27 Resolução a) A variável em estudo é a circunferência abdominal de 10 homens. Classificação: variável quantitativa contínua. b) Média: 28 cm 7,82 10 827 10 105798388 x Resolução Mediana: Para encontrar a mediana, os dados devem estar ordenados: 88 83 79 76 78 70 80 82 86 105 Ordenados: 70 76 78 79 80 82 83 86 88 105 29 Resolução Como n = 10 é um número par, encontraremos a mediana por meio da seguinte fórmula: 30 cm 81 2 8280 2 2 65 1 22 xx Md xx Md nn Resolução • 31
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