Aula 2 Viscosidade Prof Gilberto

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Disciplina: 
Fenômenos de Transporte (FT) 
3º/4º. semestres 
Aula 2: 
Viscosidade e Força de Atrito Viscoso 
Curso: Engenharia/Básico 
prof. Gilberto F. de Lima 
Hipótese ou Postulado do Contínuo 
 Os fluidos são constituídos por moléculas, como toda a matéria que 
conhecemos e lidamos. 
 
 
 A atração intermolecular (coesão e adesão) confere às substâncias um 
conjunto de propriedades que se manifestam de forma macroscópica 
(tensão superficial, viscosidade, atrito, adsorção, capilaridade, absorção). 
 
 
 Em particular, a coesão faz com que encontremos as moléculas das 
substâncias sempre agregadas e aglutinadas, de forma que é, em geral, 
muito difícil separá-las. 
 
 
 Isto significa que qualquer porção de fluido que considerarmos, por 
menor que ela seja, ainda conterá uma quantidade imensa de moléculas 
de tal forma que o comportamento do fluido será sempre determinado 
pelo conjunto e não por suas moléculas isoladamente. 
 Portanto, consideraremos todo e qualquer fluido como um meio contínuo 
de matéria, ou seja, como um corpo que é totalmente maleável e que pode 
ser manipulado sem que se rompa ou fragmente. 
 
 
 
 
 Este tratamento só não é válido quando se lida com o escoamento de gases 
rarefeitos (por exemplo no estudo do movimento de aeronaves em grandes 
altitudes), pois neste caso as moléculas do gás estão muito afastadas e cada 
uma, ou cada grupo delas, passam a atuar de forma independente das demais. 
Além disso, aparecem vazios na estrutura do fluido que passa a não ser mais 
um meio contínuo. 
Hipótese ou Postulado do Contínuo 
Conceitos INESQUECÍVEIS 
1) Massa Específica (ρ) ou Densidade (d): Massa (m) dividida pelo Volume (∀) 
 
𝜌 =
𝑚
∀
 
 
com [ρ] = kg/𝑚3; g/cm3; lb/ft3 
2) Peso Específico (γ ): Peso (G ) dividido pelo Volume (∀) 
𝛾 =
𝐺
∀
 ou γ = ρ.g 
com [γ ] = N/m3; dyn/cm3; kgf/m3; lbf/ft3; etc. 
3) Força: interação, influência mútua entre dois ou mais sistemas e que tem a 
capacidade de provocar: 
 
a) mudanças de velocidade dos sistemas (em módulo, e/ou direção, e/ou 
sentido); 
 
b) deformações. 
 
 Neste curso estudamos as forças em seu papel de causar deformações. 
 
 As forças podem ser classificadas por: 
 
a) Origem (tipo de interação): Gravitacional (inclui o Peso), Normal, Elástica, 
Atrito Sólido, Atrito Viscoso, Empuxo, Elétrica, Magnética, Coesão, Adesão, 
Nuclear Forte, Nuclear Fraca, etc. 
 
b) Função (papel que desempenham): Motriz; Centrípeta; Restauradora; 
Compressão; Tração ou Distensão; Cisalhamento; etc. 
 
 Quaisquer forças do item (a) podem desempenhar as funções do item (b), 
dependendo das circunstâncias. 
Tensões 
Tensões Tangenciais: 
são aplicadas paralelamente às superfícies. 
Produzem o Cisalhamento. 
Tensões Normais: 
são aplicadas perpendicularmente às superfícies. 
Produzem a Compressão e a Tração 
 Correspondem à distribuição de uma força sobre uma superfície. 
 
 São obtidas dividindo-se a intensidade da força pela extensão da 
área em que estão aplicadas. 
Tensão de Compressão (σp ) ou Pressão (p ) 
Fn 
A 
𝝈𝒑 = 𝒑 =
𝑭𝒏
𝑨
 
 Fn = Força Normal. Força perpendicular à superfície de área A 
Superfície de área A 
Tensão de Distensão ou de Tração (σT ) 
Fn 
A 
𝝈𝑻 =
𝑭𝒏
𝑨
 
Superfície de área A 
 Fn = Força Normal. Força perpendicular à superfície de área A 
Tensão de Cisalhamento (τ ) 
Ft 
𝝉 =
𝑭𝒕
𝑨
 
A 
 Ft = Força Tangencial. Força paralela à superfície A. 
 Também chamada de Força ou Esforço de Cisalhamento, Cisalhante 
ou Cortante. 
Decomposição de forças oblíquas à superfície A 
A θ 
F 
Ft = F.cos 𝜽 
Fn = F.sen 𝜽 
𝒑 =
𝑭𝒏
𝑨
 
𝝉 =
𝑭𝒕
𝑨
 
Compressão e Cisalhamento simultâneos 
Decomposição de forças oblíquas à superfície A 
A θ 
F 
Ft = F.cos 𝜽 
Fn = F.sen 𝜽 
𝝈𝑻 =
𝑭𝒏
𝑨
 
𝝉 =
𝑭𝒕
𝑨
 
Tração e Cisalhamento simultâneos 
Do grego: 
 
Reus: Escoamento; 
 
Logos: Estudo 
A Reologia é o ramo da Ciência dos 
Materiais que estuda a 
deformação e o escoamento da 
 matéria sob a ação de tensões. 
Comportamento 
da matéria 
 sob 
tensões normais 
 Sólidos e fluidos submetidos a tensões normais têm comportamentos muito 
particulares. 
 Fluidos se pressionados ou tracionados (pressão negativa, sucção) podem 
ter seu volume modificado (caso dos gases) e/ou escoarem se tiverem espaço 
disponível para isso. Eventualmente, uma pressão extrema sobre um fluido 
pode danificar o reservatório se este não for suficientemente resistente. Em 
certas condições, a variação de pressão pode até provocar mudanças de 
estado. F 
F 
F 
Gás 
F F F 
Líquido 
Compressível 
Incompressível 
 A pressão em qualquer ponto de um fluido estático e incompressível (aquele 
cujo volume não se altera) é isotrópica, mas seu valor depende da profundidade 
(h) em que é medida, conforme o princípio de Stevin: 
 O comportamento de fluidos sob tensões normais já nos é bem conhecido do 
estudo da Estática dos Fluidos. 
𝒑𝒇 = 𝒑𝒐 + 𝝆 ∙ g ∙ 𝒉 ou 𝒑𝒇 = 𝒑𝒐 + 𝜸 ∙ 𝒉 
Portanto ela não é a mesma (uniforme) em todo o volume do fluido, pois varia 
com a profundidade. 
 
 Esta é a chamada Pressão Hidrostática. 
 
 Uma consequência importante deste resultado é a Equação Manométrica 
que pode ser resumida como: 
 
 num dado fluido, mesmo nível ⇄ mesma pressão. 
 A Tensão Volumétrica corresponde a uma mesma tensão, de compressão 
ou de tração, aplicada uniforme e instantaneamente a todo o volume de um 
sólido ou de um fluido. 
Volume de 
um sólido ou 
de um fluido 
 Contudo, qualquer variação de pressão (∆p) que se aplique sobre um 
fluido será sentida igualmente em qualquer ponto do mesmo, conforme o 
princípio de Pascal. 
Compressão volumétrica 
 A variação de pressão num fluido estático e incompressível constitui-se 
então numa Tensão Volumétrica aplicada ao fluido. 
Relembrando: Princípio de Pascal 
 A variação de 
pressão aplicada a um 
ponto de um fluido 
estático e 
incompressível é 
transmitida, 
instantânea e 
uniformemente, para 
todo o volume desse 
fluido e manifesta-se 
com igual intensidade 
em qualquer outro 
ponto do mesmo. 
 O fluido todo reage de 
imediato e por igual a uma 
variação de pressão efetuada 
em qualquer parte dele. 
 Agora, se houver uma variação de pressão sobre o fluido ela será 
uniformemente aplicada sobre todas as faces do sólido mergulhado, 
ou seja, corresponderá a uma tensão volumétrica sobre ele. 
 Um sólido mergulhado num fluido sofrerá uma compressão uniforme em 
todas as suas faces laterais, mas haverá um diferencial de pressão entre as 
faces inferior e superior em decorrência do princípio de Stevin . 
 Essa diferença de pressões produz a força de Empuxo sobre o sólido, 
conforme o princípio de Arquimedes (E = ρ ∙ g ∙ ∀submerso). 
h 
F 
F2 
F 
p2 
p1 
F1 p2 > p1 ⟹ F2 > F1 
⟹ ∆∀= −∀𝑜 ∙ 𝜅 ∙ ∆𝑝 
 Tanto corpos sólidos quanto fluidos, se estiverem sujeitos a uma tensão 
volumétrica, quer dizer, a uma variação de pressão (∆p), poderão sofrer uma 
alteração de seu volume (∆∀) determinada empiricamente pela seguinte 
relação (mantendo-se a temperatura constante): 
∀𝑓 − ∀𝑜= −∀𝑜 ∙ 𝜅 ∙ (𝑝𝑓 − 𝑝𝑜) 
onde 𝜅 (“kappa”; em alguns textos usa-se a letra k) é a compressibilidade 
do material (sólido ou fluido), e corresponde a uma medida da susceptibilidade 
(propensão) do mesmo em sofrer uma redução de volume por compressão 
volumétrica. Quanto maior κ, mais facilmenteo material é comprimido 
(menor é a pressão necessária para provocar uma redução significativa do seu 
volume). 
 
 A compressibilidade tem dimensão de [(pressão) –1], portanto suas unidades 
são: (Pa)–1, no SI; (kgf/m2) –1, no MK*S; (psf)–1, no sistema Britânico 
Gravitacional; etc. 
 
 O sinal negativo é introduzido para igualar os sentidos nos dois lados da 
expressão, pois um aumento de pressão (∆p > 0) corresponde a uma redução 
do volume (∆∀ < 0). 
𝐵 =
1
𝜅
 
 Em líquidos e sólidos, a compressibilidade é pequena, uma vez que o volume 
deles pouco se altera com o aumento da pressão. 
 Para lidar com líquidos e sólidos é mais conveniente adotar o chamado 
módulo de compressibilidade, ou módulo de elasticidade volumar, ou 
módulo de elasticidade volumétrica, ou simplesmente módulo volumétrico 
de um material (B), que é o recíproco da compressibilidade (κ ): 
 Este módulo mede a resistência do material à compressão uniforme. Quanto 
maior o módulo volumétrico, maior é a resistência do material a ter seu volume 
reduzido. 
 A unidade de medida desse módulo tem dimensão de [pressão]: N/m2; 
dina/cm2; kgf/m2; psf; etc. 
 Sólidos são, em geral, muito resistentes à compressão (variam muito 
pouco de volume), portanto têm módulos volumétricos grandes. 
 Líquidos também são resistentes à compressão, mas não tanto quanto 
os sólidos. 
O comportamento dos gases sob compressão será detalhado em breve. 
A tabela abaixo traz o módulo volumétrico de algumas substâncias. 
Substância B (GPa) 
Aço 180 
Água (20 °C) 2,06 
Alumínio 74,6 
Bronze 107 
Chumbo 50 
Cobre 131 
Diamante 200 
Etanol (álcool) 0,9 
Glicerina 4,6 
Mercúrio 27 
Vidro 14 
 Observem que os sólidos têm módulos volumétricos pelo menos 10 vezes maiores 
que os líquidos. 
 Mercúrio, embora líquido em temperatura ambiente, é um metal; já o vidro é um 
sólido amorfo, um “quase” líquido. 
⟹ 𝑝∀= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (𝐶) 
 O volume de um gás em função da pressão segue a lei de Boyle-Mariotte, 
onde para uma dada temperatura constante T (medida em kelvins), tem-se: 
⟹ 𝑝∀= 𝐶 ⟹ ∀=
𝐶
𝑝
 
𝑝∀ = 𝑛𝑅𝑇 
 Para gases, a compressibilidade é significativa em baixas pressões, e ínfima 
em altas pressões, conforme se demonstrará em seguida. 
Uma variação de volume (∆∀) genérica (∀f = ∀ qualquer ) será dada por: 
⟹ ∆∀ = 
𝐶
𝑝
−
𝐶
𝑝𝑜
 ∆∀ = ∀ − ∀𝑜 
Desenvolvendo a última expressão, teremos: 
∆∀ = 
𝐶
𝑝
−
𝐶
𝑝𝑜
 
⟹ ∆∀ = 𝐶 ∙
− 𝑝 − 𝑝𝑜
𝑝𝑜 ∙ 𝑝
 
⟹ ∆∀ = −∀𝑜 ∙
1
𝑝
∙ ∆𝑝 
⟹ ∆∀ = 𝐶 ∙
1
𝑝
−
1
𝑝𝑜
 
⟹ ∆∀ =𝐶 ∙
 (𝑝𝑜−𝑝)
𝑝𝑜 ∙ 𝑝
 
⟹ ∆∀ = −
𝐶
𝑝𝑜
∙
1
𝑝
∙ ∆𝑝 ⟹ ∆∀ = 𝐶 ∙
−∆𝑝
𝑝𝑜 ∙ 𝑝
 
∆∀= −∀𝑜 ∙ 𝜅 ∙ ∆𝑝, 
é possível constatar que: 
𝜅 =
1
𝑝
 ⟹ 𝐵 = 𝑝 ⟹ 
1
𝜅
= 𝑝 
 Comparando-se esta expressão com a anteriormente fornecida para a 
variação de volume com a pressão: 
∆∀ = −∀𝑜 ∙
1
𝑝
∙ ∆𝑝 
 Portanto, o módulo de elasticidade volumar de um gás, a sua resistência a 
contrair-se sob tensão, é diretamente proporcional à pressão a que estiver 
submetido. Quanto maior a pressão exercida sobre o gás, mais resistente ele se 
torna à compressão. 
 
 Isto é óbvio. Quanto mais comprimido o gás estiver, menor é seu volume e 
mais difícil é continuar comprimindo-o. 
 Esse comportamento pode ser facilmente constatado numa curva 
isotérmica, que é a representação gráfica da lei de Boyle-Mariotte: 
p 
∀ 
T cte. 
∀f ∀o 
po 
pf 
p∙∀ = cte. 
pf 
∀f ∀o 
po 
 Em baixas pressões, são obtidas 
alterações de volume significativas 
com pequenas variações de pressão. 
 Mas, quanto mais alta a pressão 
inicial, maior deve ser a compressão 
para obter-se uma mudança de 
volume equivalente. 
 
∆∀
 
∆∀
 
 ∆p 
 ∆p 
 Sólidos têm também bastante resistência à tração volumétrica. 
O próprio módulo volumétrico do material também é um indicador 
dessa propriedade. 
 Já os Fluidos não têm qualquer resistência à tração (pressão negativa, 
sucção). Se distendidos, sugados, os fluidos mudam seu volume sem 
oferecer praticamente qualquer oposição. 
 Outro efeito que a aplicação de tensões volumétricas pode produzir 
nos sólidos e nos fluidos é a MUDANÇA DE ESTADO (FASE). 
 
 
 Gases suficientemente comprimidos podem se liquefazer. 
 
 
 Líquidos despressurizados (tracionados, sugados) podem gaseificar. 
 
 
 Líquidos comprimidos podem se solidificar, se a fase sólida dessa 
substância tiver uma massa específica maior que a do líquido. 
 
 
 Já sólidos comprimidos podem se liquefazer, se a fase líquida dessa 
substância tiver uma massa específica maior que a do sólido. 
Ex.: gelo sob compressão volumétrica se liquefaz. 
 
 Saiba mais em: 
https://www.eecis.udel.edu/~portnoi/academic/academic-files/liquids.html 
(em 14/08/2016) 
 É preciso destacar a incrível semelhança entre a expressão que relaciona a 
variação de volume com a pressão: 
∆∀= ∀𝑜 ∙ 𝛾 ∙ ∆𝜃, 
onde γ é o coeficiente de dilatação térmica volumétrico (ou cúbico) e θ é 
a temperatura (em °C). 
∆∀= −∀𝑜 ∙ 𝜅 ∙ ∆𝑝, 
com aquela que fornece a dilatação térmica volumétrica (ou cúbica) de um 
sólido: 
Digno de Nota 
 Propriedades 
Elásticas 
dos 
Fluidos 
 Propriedades Elásticas dos Fluidos 
∀ = ∀( p,T ) 
 O Volume (∀) de um fluido depende da pressão (p) e da temperatura (T, 
em kelvins): 
 E como a densidade (ρ ) depende do volume então ela também é uma 
função da pressão e da temperatura: 
ρ = ρ ( p,T ) 
Essencialmente: ∀ ∝ 
𝑇
𝑝
 
Especificamente: 𝜌 ∝ 
𝑝
𝑇
 
(O símbolo “∝” significa “proporcional”.) 
 Dependendo do seu comportamento quando se lhe modifica a pressão 
aplicada e/ou a temperatura a que está submetido, um fluido poderá ser 
classificado numa das seguintes categorias : 
Propriedade Classificação 
Pressão Incompressível ou Compressível 
Temperatura Dilatável ou Indilatável 
2) Fluidos Compressíveis: o volume do fluido altera-se 
com a variação da pressão, fixada a temperatura. 
𝜕∀
𝜕𝑝
𝑇
≠ 0 
1) Fluidos Incompressíveis: o volume do fluido não se 
altera com o aumento da pressão, fixada a temperatura. 
𝜕∀
𝜕𝑝
𝑇
= 0 Simbolicamente: 
 São tipicamente os líquidos, mas também podem ser gases já comprimidos ao 
máximo (sem condensarem). 
 
 A densidade também não muda: 
 São tipicamente os gases. 
 A densidade então também será afetada; ela deve aumentar com o incremento 
da pressão: 
𝜕𝜌
𝜕𝑝
𝑇
= 0 
𝜕𝜌
𝜕𝑝
𝑇
≠ 0 
3) Fluidos Indilatáveis: o volume do fluido não se altera com a variação da temperatura, 
com a pressão fixada (consideradas temperaturas diferentes daquelas em que ocorrem 
mudanças de estado). 
4) Fluidos Dilatáveis: o volume do fluido altera-se com a variação da temperatura, 
com a pressão fixada (e considerando ainda temperaturas diferentes daquelas em 
que acontecem as mudanças de estado). 
𝜕∀
𝜕𝑇
𝑝
= 0 
𝜕∀
𝜕𝑇
𝑝
≠ 0 
 São tipicamente os líquidos. 
 
 A densidade também não varia: 
 São tipicamente os gases. 
 
 A densidade obviamente também se altera; 
ela diminuirá com o incremento da temperatura: 
𝜕𝜌
𝜕𝑇
𝑝
= 0 
𝜕𝜌
𝜕𝑇
𝑝
≠ 0 
Tensões Normais 
 
Unidirecionais 
 
em Sólidos 
 
homogêneos e isotrópicosApenas os sólidos podem ser submetidos a tensões normais em uma única 
direção (unidirecional, uniaxial, anisotrópica) quando então apresentam um 
comportamento bem distinto daquele dos fluidos. 
 Nessa direção axial, o sólido sofre uma deformação compatível com a tensão 
exercida(estica com a tração e contrai-se com a compressão), mas nas seções 
transversais as deformações serão compensatórias. Eventualmente o sólido 
poderá inclusive sofrer uma variação de volume. 
Uma tensão uniaxial não afeta o sólido por igual, uniformemente. 
Tração e Compressão Uniaxiais 
Compressão unidirecional 
Tração unidirecional 
Estricção Abaulamento 
Sólido 
 Os processos experimentados pelos sólidos sob tais tensões 
estão representados no gráfico abaixo, conhecido como diagrama 
tensão-deformação, e serão detalhados em seguida . 
 Trataremos inicialmente do comportamento dos sólidos sob a 
ação de tensões de tração uniaxiais. 
Define-se a deformação neste caso como: 
𝜖 =
∆𝐿
𝐿𝑜
 
 Lembremos que a tensão normal (tração ou compressão) é calculada 
por: 
𝜎𝑇 =
𝐹𝑛
𝐴
 
(adimensional), 
onde Lo é o comprimento original do sólido numa dada direção e ∆L 
a variação no comprimento provocada pela tensão naquela mesma 
direção. 
 Até certo valor de tração aplicada, o sólido se deforma mas pode recuperar 
seu formato original se a tensão for relaxada. 
 Nessa etapa há, em geral ou com boa aproximação, uma relação linear 
(diretamente proporcional) entre a deformação sofrida pelo sólido e a 
tensão aplicada. O sólido segue a chamada lei de Hooke das deformações. 
É a chamada fase elástica, ou regime elástico ou regime transitório. 
 Se a tensão continuar sendo aumentada, cruza-se o limite elástico, após 
o qual o sólido não mais recupera o tamanho original. 
 No início deste estágio poderá haver ainda um intervalo em que a 
deformação continua sendo proporcional à tensão aplicada, porém, se 
esta prosseguir aumentando, atinge-se o limite de proporcionalidade a 
partir do qual a lei de Hooke não será mais aplicável. 
 A deformação passa a ser permanente, irreversível, mesmo relaxando-se 
a tensão. Vale dizer que o próprio volume do objeto é alterado, pois as 
deformações transversais não compensam exatamente as longitudinais. 
 Esta é a fase plástica, ou regime plástico ou regime permanente. 
 Aumentando-se a tensão além deste ponto, alcança-se a tensão de 
escoamento e o patamar de escoamento, ou “região de deslizamento 
de discordâncias”, em que a deformação não segue mais regras. 
Parece mesmo que o sólido quer escoar como um fluido neste ponto. 
Ocorre um grande alongamento sem acréscimo de carga (tensão). 
 Superada a fase de escoamento adentra-se à região de encruamento, 
onde, continuando-se com o aumento da tensão, atinge-se o limite de 
resistência do material, a tensão máxima que ele suporta. 
 Desse ponto em diante entra-se na fase de encruamento não-uniforme 
ou fase de estricção quando ocorre o estrangulamento da área da seção 
transversal do material (afinamento). 
O limite de ruptura é a tensão em que ocorre a fratura. 
 Repare que esta ocorre numa tensão menor que a máxima. Isto se 
deve justamente ao afinamento e perda de resistência do material. 
O sólido caminha para sua ruptura (fratura). 
 Materiais Dúcteis ou Deformáveis são aqueles que suportam grandes 
deformações antes de se romperem. 
 Materiais Frágeis são aqueles que se rompem ainda na fase elástica. 
Tr
aç
ão
 
Deformação 
 Nem todo material segue exatamente a sequência de passos descrita anteriormente; 
algumas etapas podem ser puladas ou podem ocorrer pequenos desvios daquele padrão. 
https://www.youtube.com/watch?v=sKBOdB0x4gk (em 13/08/2016) 
Ensaio de tração 
Veja mais em https://www.youtube.com/watch?v=6JENBM7u_i8 (em 28/08/2016) 
 Já quando se trata compressões uniaxiais, 
o comportamento dos sólidos apresenta algumas 
diferenças em relação ao visto nos ensaios de tração, 
mas ainda haverá um estágio inicial em que a 
deformação é elástica (reversível) e linear (proporcional) 
com a tensão, ou seja, uma etapa em que a 
lei de Hooke ainda é válida. 
 
 
O aumento do esforço pode levar ao ingresso 
na fase plástica. 
 
 
 A partir desta etapa a sequência de eventos ganha 
contornos próprios. 
Ensaios de Compressão 
(a) (b) 
Ensaios de Compressão 
https://www.youtube.com/watch?v=6TsqUeLjHA8 (28/02/2017) 
http://pt.slideshare.net/alexleal3720/aula-3-ensaios-mecnicos-e-end-ensaio-de-compresso 
Modos de Deformação por Compressão 
 Seja L o comprimento longitudinal do 
sólido, e D sua largura transversal. Ocorre: 
 
a) Flambagem: quando L/D > 5; 
 
b) Cisalhamento: quando L/D > 2,5; 
 
c) Barril duplo: quando L/D > 2,0; 
 
d) Barril: quando L/D > 2,0 e há atrito 
(fricção) nas superfícies de contato; 
 
e) Compressão homogênea: quando 
L/D < 2,0 e não há fricção nas superfícies 
de contato; 
 
f) Instabilidade compressiva: quando há 
o amolecimento (escoamento) do material 
por efeito da carga. 
Material Dúctil Material Frágil 
efeito barril ruptura por 
cisalhamento 
a ≈ 45° 
Modos de Deformação por Compressão 
 A compressão pode gerar uma ruptura por cisalhamento (corte), embora não 
tenha sido aplicada diretamente uma tensão tangencial. É que a distribuição da 
pressão dentro do material pode acabar fazendo com que dois planos adjacentes 
deslizem paralelamente em direções contrárias o que caracteriza um corte. 
Modos de Deformação por Compressão 
 Flambagem ou Dobramento Livre é um fenômeno que ocorre em sólidos cuja seção 
transversal é muito menor que seu comprimento. Se a compressão for aplicada ao 
longo do eixo longitudinal, a peça verga. 
Modos de Deformação por Compressão 
 É considerada uma instabilidade elástica, pois a peça pode colapsar antes de 
mesmo de se atingir a sua tensão de escoamento. 
 Em materiais dúcteis, a deformação do material é diretamente proporcional 
à tensão aplicada durante a fase elástica, tanto no caso de compressão quanto 
no de tração. 
 A relação linear entre a deformação e a tensão é intermediada pelo 
chamado módulo de Young (Y ) ou módulo de elasticidade (E), que 
corresponde à resistência do material à deformação por tensões uniaxiais: 
𝜎 = 𝑌 ∙ 𝜖 
 O módulo de Young tem então a dimensão de pressão (Pa, psi, psf, kgf/m2, 
etc.), já que a deformação ϵ é adimensional. 
Esta é a lei de Hooke para tensões uniaxiais. 
 Quanto maior este módulo, maior é a resistência do material às tensões 
normais. 
Lei de Hooke das Tensões 
 O gráfico abaixo exemplifica como o módulo de Young é medido para 
cada material a partir de seu diagrama tensão-deformação. 
Valores aproximados do módulo de Young 
ou módulo de elasticidade 
Material Y (em GPa) 
Aço Carbono 190 a 200 
Alumínio 70 
Bronze 90 
Chumbo 15 
Cobre 100 a 120 
Estanho 40 a 50 
Ferro Forjado 180 a 200 
Ferro Fundido 85 a 100 
Latão 90 
Ouro 78 
Tungstênio 360 
Vidro 50 
 Exemplo de aplicação da lei de Hooke. Extraído de “Física – vol. 1b”, 2ª ed., 1984; 
de Paul A. Tipler; Ed. Guanabara Dois, pág. 362. 
 Uma carga de 500 kg está suspensa num cabo de aço com 3 m de comprimento, e 
com área de seção transversal de 0,15 cm2. Qual será a elongação (distensão) sofrida 
pelo cabo? 
Resolução: 
 O peso da carga é transmitido pelo cabo até a viga de sustentação 
exercendo uma tração sobre esta. A viga reage e aplica, através do 
cabo, uma tração de mesmaintensidade mas sentido oposto que 
sustenta a carga. 
 Este esquema está bastante simplificado pois não estamos 
considerando o peso do próprio cabo. 
T 
–T 
–G 
 Usamos este valor para obter a tensão de tração que será aplicada no cabo: 
𝜎𝑇 =
𝐹𝑛
𝐴
=
𝑇
𝐴
=
5000 𝑁
0,15 × 10−4 𝑚2
 ⟹ 𝜎𝑇 = 3,33 × 10
8 𝑁/𝑚2 
T = mg = (500 kg)(10 m/s2) ⟹ T = 5000 N 
 𝐹𝑖 = 0 ⟹ 𝑇 − 𝐺 = 0 ⟹ 𝑇 = 𝐺 
 Como a carga está em equilíbrio estático, então: 
 Sabendo que o módulo de Young do aço é da ordem de 190 × 109 N/m2 , 
podemos obter a deformação do cabo: 
𝜎𝑇 = 𝑌 ∙ 𝜖 ⟹ 𝜖 =
𝜎𝑇
𝑌
 ⟹ 𝜖 =
3,33 × 108 𝑁/𝑚2
190 × 109 𝑁/𝑚2
 
⟹ 𝜖 = 1,75 × 10−3 
Agora: 𝜖 =
∆𝐿
𝐿
 ⟹ ∆𝐿 = 𝜖 ∙ 𝐿 
⟹ ∆𝐿 = (1,75 × 10−3)∙(3 m) ⟹ ∆𝐿 = 5,25 × 10−3 𝑚 
⟹ ∆𝐿 = 5,25 𝑚𝑚 ⟹ ∆𝐿 = 0,525 𝑐𝑚 
Portanto, o cabo esticará pouco mais de 0,5 cm. Até que é bastante, não? 
Robert Hooke 
(inglês, 1635 – 1703) 
Thomas Young 
médico e físico 
(inglês, 1773 – 1829) 
 Os materiais porosos (agregados) não têm o comportamento simétrico 
sob tensões de tração e de compressão dos materiais dúcteis. 
 É por isso que na construção civil o concreto é associado ao aço ou ferro 
pois esses metais são extremamente resistentes à tração. A combinação dos 
dois materiais – concreto com aço ou ferro – confere à estrutura as vantagens 
de ambos (“ a união faz a força”). 
 Exemplo: concreto; ele é cerca de 10 vezes mais resistente à compressão 
do que à tração. 
 Durante a fase elástica, as deformações transversais compensatórias, sofridas 
por um sólido submetido a tensões axiais, não são aleatórias . Elas estão 
correlacionadas com as deformações longitudinais. 
Lo 
xo 
Coeficiente, Relação ou Razão de Poisson 
Lo 
xo 
Compressão Tração 
 Durante a fase elástica, as deformações transversais compensatórias, sofridas 
por um sólido submetido a tensões axiais, não são aleatórias . Elas estão 
correlacionadas com as deformações longitudinais. 
Lo 
Lf 
xo 
xf 
Coeficiente, Relação ou Razão de Poisson 
∆𝐿 = 𝐿𝑓 − 𝐿𝑜 
∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑜 
Lo 
Lf 
xo 
xf 
Compressão Tração 
 O coeficiente de Poisson (ν) estabelece a conexão entre essas deformações 
complementares: 
𝜈 = −
𝜖𝑇
𝜖𝐿
 
onde: 
 
ϵT é a deformação transversal 
∆𝑥
𝑥𝑜
 ou 
∆𝑦
𝑦𝑜
 ou 
∆∅
∅𝑜
 , com ∅ = diâmetro; 
 
ϵL é a deformação longitudinal 
∆𝑧
𝑧𝑜
 ou 
∆𝐿
𝐿𝑜
 . 
 
 Lembrando que essas deformações, assim definidas, são adimensionais. 
 O sinal negativo é colocado para garantir que o coeficiente seja um número 
positivo, já que as deformações têm sentidos opostos (um sólido tracionado 
alonga-se longitudinalmente, mas contrai-se lateralmente; e vice-versa). 
(adimensional) 
 Cada material tem seu coeficiente de Poisson característico, portanto, é 
possível determinar o tamanho da deformação numa dada direção a partir 
do valor da variação noutro eixo: 
𝜈 = −
𝜖𝑇
𝜖𝐿
 ⟹ 𝜖𝑇 = −𝜈 ∙ 𝜖𝐿 
 A variação de volume (∆∀) sofrida por um sólido submetido a uma tensão 
axial pode ser determinada a partir de sua deformação nesse eixo e do seu 
coeficiente de Poisson, através da expressão (que não será demonstrada aqui): 
∆∀
∀𝑜
= 𝜖𝐿 ∙ (1 − 2𝜈) 
Coeficientes de Poisson 
Material 𝝂 
Alumínio 0,33 
Aço 0,30 
Cobre 0,34 
Magnésio 0,29 
Níquel 0,31 
Titânio 0,34 
 Pela tabela observa-se, por exemplo, que a deformação transversal do aço 
corresponde a 30% de sua deformação longitudinal. E assim por diante. 
Fontes: 
1) https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Poisson (20/02/2017) 
2) “Física – Fundamentos e Aplicações – vol. 2”; R. M. Eisberg & L. S. Lerner; 
Ed. McGraw-Hill, 1983. 
Exemplo: No cabo de aço anteriormente proposto com área transversal de 0,15 cm2 e 
3 m de extensão, determinou-se uma distensão de 0,525 cm quando ele sustenta uma 
carga de 500 kg. 
𝜖𝐿 = 1,75 × 10
−3 
Portanto: 𝜖𝑇 = −𝜈 ∙ 𝜖𝐿 ⟹ 𝜖𝑇 = −(0,30) ∙ (1,75 × 10
−3) 
⟹ 𝜖𝑇 = −5,25 × 10
−4 
 Lembrando que o sinal negativo apenas indica que esta deformação tem sentido 
oposto ao da distensão. 
 Antes é preciso lembrar que obtivemos uma deformação longitudinal de 
 Podemos calcular agora qual será a deformação diametral desse cabo correspondente 
àquela distensão, através do coeficiente de Poisson do aço (ν = 0,30). 
Agora, como a seção transversal é circular, temos: 
𝜖𝑇 =
∆∅
∅𝑜
 
Precisaremos determinar o diâmetro inicial da seção (∅o), através do valor da área: 
𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟𝑜
2 
⟹ ∆𝑟 = 𝜖𝑇∙ ∅𝑜, 
⟹ ∅𝑜
2 =
4𝐴
𝜋
 
⟹ ∅𝑜 =
4𝐴
𝜋
 ⟹ ∅𝑜 =
4 ∙ (0,15 𝑐𝑚2)
𝜋
 ⟹ ∅𝑜 = 0,44 𝑐𝑚 
Finalmente: ∆∅ = 𝜖𝑇 ∙ ∅𝑜 = (−5,25 × 10
−4) ∙ (0,44 𝑐𝑚) 
⟹ ∆∅ = −0,00023 𝑐𝑚 ⟹ ∆∅ = −0,0023 𝑚𝑚 
Ou seja, esse cabo, com essa carga, sofre uma contração diametral insignificante. 
⟹ 𝐴 = 𝜋 ∙
∅𝑜
2
2
 ⟹ 𝐴 =
𝜋
4
∙ ∅𝑜
2 
Siméon-Denis Poisson, 
matemático e físico 
(francês, 1781 – 1840) 
Molas – Lei de Hooke 
 As molas são objetos sólidos confeccionados de tal forma a minimizarem as suas 
deformações transversais quando submetidos a esforços axiais, desde que dentro do 
limite elástico. Ou seja, têm coeficiente de Poisson nulo ou extremamente pequeno. 
 Submetidas a tensões axiais, as molas contrapõe uma força restauradora que busca 
recompô-las ao seu tamanho original. Esta é a chamada força elástica (Felástica). 
 A lei de Hooke foi originalmente concebida para demonstrar que a intensidade 
dessa força é diretamente proporcional à deformação sofrida pela mola (desde que 
não se adentre na fase plástica): 
∆L é a deformação longitudinal experimentada pela mola, e K é a sua constante 
elástica. 
 
 O sinal negativo aparece para lembrar que o sentido da força é sempre contrário ao 
da deformação (se a mola é comprimida, a força elástica aparece no sentido de esticar 
a peça; e vice-versa). 
𝐹𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 = −𝐾 ∙ ∆𝐿 
K 
∆L 
(contração; ∆L < 0) 
∆L 
(distensão; ∆L > 0) 
 A constante elástica K é uma propriedade característica da mola. Sua dimensão é 
[F/L], e suas unidades de medida são então: N/m; dyn/cm; kfgf/m; pdl/ft; lbf/ft. 
 A constante elástica de uma mola é determinada por uma série de fatores que 
entram em sua fabricação, conforme mostra a expressão a seguir: 
𝐾 =
𝐺 ∙ 𝑑4
8 ∙ 𝑛 ∙ 𝐷3
 
onde: 
G é o módulo de cisalhamento (rigidez) do material usado; 
d é o diâmetro do fio; 
n é o número de espiras; 
D é o diâmetro interno médio da mola. 
Fonte: “Manual de Laboratório de Física”; de Abrahão Timoner, Felix S. Majorana e 
Waldemar Hazoff; Ed. Edgard Blücher; 1973; pág. 123. 
 Um tipo de esforço que também só é possível aplicar em corpos 
sólidos é o de FLEXÃO. 
 FLEXÃO é o estágio elástico, reversível, do esforço. 
DOBRAMENTO é o estágio plástico, irreversível. 
Flexão 
 No lado em que se aplica a força aparece uma tensão de compressão; 
no lado contrário há uma tensão de tração. Isto gera a deformação 
característica desta solicitação. 
Compressão 
Tração 
 Na flexão o sólido fica submetido simultaneamente à tração e 
à compressão. 
Extraído de https://www.youtube.com/watch?v=JR3bJzJk30s (em 23/08/2016) 
Ruptura por Flexão 
 Quando golpeado dessa forma, esse material (concreto, granito, cerâmica,materiais porosos enfim) sofre uma flexão e se rompe inicialmente na parte 
inferior por ser menos resistente à tração. 
Comportamento 
da matéria 
 sob a ação de 
 tensões tangenciais 
(cisalhamento) 
 Cisalhamento é o fenômeno de deformação ao qual um corpo está sujeito 
quando as forças que sobre ele atuam provocam um deslocamento em planos 
paralelos, mantendo-se, porém, o volume constante. 
F 
F 
 Tensão de cisalhamento, tensão tangencial, ou ainda tensão de corte ou 
tensão cortante é aquela gerada por forças aplicadas no material em direções 
semelhantes, em sentidos iguais ou opostos, e não necessariamente com a 
mesma intensidade. 
 Esta solicitação tende a cortar o corpo, o que corresponde ao deslocamento 
paralelo, em sentidos opostos, de duas seções contíguas (semelhante ao corte 
de uma tesoura ou guilhotina). 
 O termo cisalhamento vem exatamente de “cisão” = separar, romper, quebrar, 
cortar. 
 
 O movimento relativo entre duas superfícies rugosas, paralelamente uma à 
outra, gera uma força de cisalhamento: a força de atrito sólido cinético. 
 
 Mesmo quando as duas superfícies sólidas apenas tentam se mover uma em 
relação à outra, já aparece uma força cisalhante: a força de atrito sólido estático. 
 
 Esta última é a força responsável por permitir que os seres humanos e os 
animais, bem como os veículos terrestres, se locomovam. 
Efeitos 
da 
Força de Cisalhamento 
sobre Sólidos 
 Os estágios seguidos são equivalentes àqueles observados 
para a tração/compressão. 
Base fixa 
Efeitos da Força de Cisalhamento sobre Sólidos 
Ft 
Base fixa 
Efeitos da Força de Cisalhamento sobre Sólidos 
Aplicando uma força cisalhante ao sólido 
Deformação por cisalhamento 
Ft 
Base fixa 
Efeitos da Força de Cisalhamento sobre Sólidos 
Aplicando uma força cisalhante ao sólido, podemos ter uma... 
Ft 
Se a força for removida 
Efeitos da Força de Cisalhamento sobre Sólidos 
Deformação Elástica: Reversível, Transitória. 
Regime Elástico 
Se a força for removida e o sólido retornar ao formato original, tivemos uma 
Efeitos da Força de Cisalhamento sobre Sólidos 
Ft 
𝜑 
𝝉 =
𝑭𝒕
𝑨
= 𝑮.𝝋, 
onde G é o módulo de cisalhamento, ou módulo de rigidez, ou módulo de 
elasticidade transversal, ou módulo transversal ou módulo de torção do 
material. 
Tensão de Cisalhamento: 
No Regime Elástico 
Efeitos da Força de Cisalhamento sobre Sólidos 
Deformação 
Módulos de cisalhamento (rigidez) aproximados 
Material G (em GPa) 
Aço 75,8 
Cobre 63,4 
Titânio 41,4 
Vidro 26,2 
Alumínio 25,5 
Polietileno 0,117 
Borracha 0,0003 
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_cisalhamento (20/02/2017) 
Ft 
Mas, se a força for retirada, 
Efeitos da Força de Cisalhamento sobre Sólidos 
...Deformação Plástica: Permanente, Irreversível. 
Regime Plástico 
Mas, se a força for retirada, e o sólido NÃO retornar ao formato original, 
temos uma... 
Efeitos da Força de Cisalhamento sobre Sólidos 
Ft 
 Se a força for aumentada além do limite plástico podemos ter a... 
Efeitos da Força de Cisalhamento sobre Sólidos 
...Ruptura/Fratura do material. 
 Se a força for aumentada além do limite plástico podemos ter a... 
Ft 
Efeitos da Força de Cisalhamento sobre Sólidos 
Extraído de https://www.youtube.com/watch?v=Zj8og4R_P1o (em 20/08/2016) 
Cisalhamento pode ser mesmo um problema! 
 A TORÇÃO corresponde a um cisalhamento no qual as forças tangenciais são 
aplicadas a uma certa distância do eixo gerando o Momento Torsor. 
Saiba mais em http://slideplayer.com.br/slide/353808/ 
F 
F 
Torção 
Base fixa 
Base fixa 
Torção é um Cisalhamento 
Cilindro Superfície do cilindro 
Demonstração 
Base fixa 
φ 
F 
F 
Torção é um Cisalhamento 
Cilindro Superfície do cilindro 
Demonstração 
φ 
φ é o ângulo de torção φ também é um ângulo de cisalhamento 
Fraturas típicas por Torção 
Material Frágil Material Dúctil 
Saiba mais em http://pt.slideshare.net/EltonRicardo/ensaio-de-toro (em 29/08/2016) 
Fratura helicoidal. Fratura perpendicular 
ao eixo longitudinal. 
 Saiba mais sobre a Torção em: 
https://www.youtube.com/watch?v=ueT4LAVp46I (acessado em 23/08/2016) 
 Mas tome alguns cuidados com esse vídeo: 
 
 
1) Nele é dito que o ensaio de torção está associado ao de tração. Isto não 
traz qualquer prejuízo ao ponto que se quer explicar, mas tenha claro que, 
na verdade, a torção é uma forma de cisalhamento. 
 De qualquer forma, o comportamento dos materiais sob cisalhamento é 
idêntico àquele sob tração. 
 
 
2) Quando se fala sobre os tipos de fraturas que os materiais sofrem sob 
torção, o narrador fala uma coisa mas as figuras mostradas são outras. O 
narrador está correto e as figuras estão erradas. 
 Na figura em que aparecer escrito “Dúctil” leia “Frágil”, e vice-versa. 
 Compare com os desenhos mostrados na transparência anterior desta 
apresentação. 
Fadiga do material 
 Deformação permanente ou ruptura que ocorre após uma peça ou 
estrutura sofrer uma repetição de tensões e relaxações, mesmo que 
elas nunca ultrapassem o limite elástico, seja em ensaios ou em 
condições normais de uso. 
 
 
 A sequência de deformações e restaurações, mesmo sendo elásticas, 
acabam desgastando o material. 
Saiba mais em 
https://www.youtube.com/watch?v=gnbB-l1BiK4 (em 28/08/2016) 
Resumindo 
Tensões uniaxiais em materiais sólidos 
Lembremos que: 
1) a Flexão é uma combinação simultânea de Compressão e Tração; 
2) a Torção é um caso especial de Cisalhamento. 
 Sob ação de uma tensão normal uniaxial ou de uma tensão de 
cisalhamento crescentes, um corpo rígido (sólido) deforma-se 
progressivamente de maneira reversível (regime elástico), depois 
permanentemente (regime plástico) até sofrer ruptura. 
Comparativo entre módulos de deformação de alguns materiais 
Material 
Y (GPa) 
(Elasticidade) 
G (GPa) 
(Cisalhamento) 
B (GPa) 
(Volumétrico) 
Aço 200 76 180 
Água – – 2,06 
Alumínio 70 25,5 74,6 
Chumbo 16 5,6 50 
Cobre 110 63,4 131 
Ferro 190 70 100 
Latão 90 36 61 
Mercúrio – – 27 
Tungstênio 360 150 100 
 Existem ainda duas outras propriedades dos sólidos que não serão abordadas 
em detalhes aqui por não terem equivalente nos fluidos. 
 
 São elas: 
 
a) a Dureza: a resistência à abrasão (desgaste, risco) ou à perfuração; 
 
b) a Tenacidade: a resistência ao impacto, ao choque. 
 
 
Dureza 
https://www.youtube.com/watch?v=r8eZ-EnZeFI 
https://www.youtube.com/watch?v=FzHHzN6YqJ0 
https://www.youtube.com/watch?v=bDPGlVwd7Mc 
 
Tenacidade 
https://www.youtube.com/watch?v=GirrGcJSb_0&t=4s 
 
Acessados em 03/02/2017 
Se quiser ter mais detalhes veja: 
 A reação dos Fluidos 
às 
tensões tangenciais 
(cisalhamento) 
é completamente diferente 
daquela 
dos sólidos. 
Efeitos da 
 
Tensão de Cisalhamento 
 
sobre Fluidos 
 Para este estudo precisaremos introduzir inicialmente um 
instrumento específico e destacar uma propriedade típica dos 
fluidos. 
Experimento das Duas Placas 
 Montagem experimental clássica para estudos da viscosidade e dos 
efeitos da tensão de cisalhamento em fluidos. 
Placa móvel 
Placa fixa 
Fluido 
 O fluido está inicialmente estático, ou seja, não sofreo efeito de 
quaisquer tensões que possam forçar a sua movimentação. 
Experimento das Duas Placas 
Placa fixa 
Placa móvel 
Fluido 
Princípio da Aderência 
(ou do Não Deslizamento, 
ou do Não Escorregamento) 
 A camada de fluido em contato direto e imediato com uma superfície 
sólida adquire a mesma velocidade desse objeto. 
vplaca sup. > 0 
vfluido sup. = vplaca sup. 
vfluido inf. = 0 
vplaca inf. = 0 
Placa móvel 
Placa fixa 
Fluido 
vplaca sup. > 0 
vfluido sup.= vplaca sup. 
vfluido inf. = 0 
vplaca inf. = 0 
Princípio da Aderência 
Placa móvel 
Placa fixa 
Fluido 
Princípio da Aderência: Comprovação Experimental 
 Esta demonstração comprova a ação de forças que arrastam o fluido 
no sentido do movimento de um objeto. 
 O fluido pode ser considerado como composto por lâminas paralelas ao 
objeto, cada uma deslizando sobre as vizinhas, sendo arrastada pela mais 
veloz e arrastando a mais lenta. Isto também vale para fluidos gasosos. 
 O vídeo a seguir é mais uma demonstração deste princípio. 
 
 
 Ele comprova que um fluido em contato com um objeto 
imóvel também permanece estático. 
Princípio da Aderência: Comprovação Experimental 
https://www.youtube.com/watch?v=cUTkqZeiMow (31/01/2017) 
Princípio da Aderência: Comprovação Experimental 
vplaca sup. 
vfluido sup. 
vplaca inf. = 0 
𝑭𝒑𝒓𝒐𝒑 
vfluido inf. = 0 
𝑭𝒕 
𝑭𝒑𝒓𝒐𝒑 é a força propulsora que impele a placa superior. 
 𝑭𝒕 é a força de cisalhamento (arrasto) exercida pela placa 
sobre o fluido. 
Placa móvel 
Placa fixa 
Fluido 
 A placa móvel, ao ser impelida por uma força Fprop, passa a arrastar a 
camada de fluido adjacente conforme estipula o princípio da aderência. 
Tensão de Cisalhamento sobre Fluidos 
vfluido inf. = 0 
vplaca inf. = 0 
vfluido sup. 
Placa móvel 
Placa fixa 
Fluido 
vplaca sup. 
𝑭𝒑𝒓𝒐𝒑 
𝑭𝒕 
 O fluido deforma-se, mas não todo de uma vez e nem por igual, e sim 
progressivamente, camada por camada, uma após a outra. 
 Portanto, o fluido passa a ser cisalhado pela placa, mas as camadas 
subsequentes não são afetadas com a mesma intensidade e nem 
simultaneamente. O efeito propaga-se pouco a pouco. 
Placa móvel 
Placa fixa 
 Podemos considerar o fluido como uma sucessão de camadas (lâminas), 
cada qual sendo cisalhada pela camada imediatamente acima e arrastando a 
camada logo abaixo, que, devido às forças de coesão, resiste aplicando uma 
força contrária (uma força de atrito interno, viscoso). Com isso a ação original 
vai-se atenuando conforme se aprofunda no fluido. 
 
 Quanto maior essa coesão (viscosidade) mais rapidamente o cisalhamento 
inicial se enfraquece. 
vplaca sup. 
F2 
F1 
– F2 
𝑭𝒑𝒓𝒐𝒑 
 Portanto, o efeito de uma 
tensão de cisalhamento 
aplicada ao fluido 
não se transmite de 
maneira uniforme e instantânea 
a todos os seus pontos, 
diferente de uma 
tensão de compressão (pressão) 
que segue o 
princípio de Pascal. 
 O vídeo a seguir procurar ilustrar essa diferença de movimento entre 
as camadas de um fluido. 
https://www.youtube.com/watch?v=qF8UT60bkcM (31/01/2017) 
Deformação desigual 
 O cisalhamento em um fluido estabelece uma distribuição de 
velocidades entre suas camadas: aquela em contato com a placa 
móvel adquire a velocidade desta, enquanto a camada em contato 
com a placa fixa permanecerá imóvel. As demais camadas adquirem 
valores de velocidade intermediários entre esses dois extremos. 
vplaca sup. 
v = 0 
y 
 A velocidade do fluido é, portanto, uma função da altura y. 
Esta distribuição é chamada de perfil de velocidades, resultante de 
um gradiente (gradação) delas. 
vplaca sup. 
vplaca sup. 
vplaca sup. 
y 
Perfil de Velocidades no experimento das duas placas 
v = 0 
v = 0 
 A distribuição exata dessas velocidades depende da viscosidade do fluido. 
 A principal diferença de comportamento entre um fluido e um sólido 
quando submetidos a uma tensão de cisalhamento é: 
 A deformação de um fluido por cisalhamento é contínua, ininterrupta 
(sem ruptura) e reversível. 
 O vídeo a seguir demonstra estas particularidades dos fluidos. 
https://www.youtube.com/watch?v=_dbnH-BBSNo (em outubro/2015) 
Pigmentos alimentícios coloridos em xarope de milho (grande viscosidade). 
Fluxo laminar reverso. As deformações em fluidos são reversíveis. 
 Contudo, é preciso alertar que a reversibilidade só estará garantida se a 
velocidade dos objetos cisalhantes, e também a dos fluidos, não ultrapassar 
certos limites vinculados à sua própria viscosidade: quanto maior esta, maior 
será a velocidade permitida. 
 
 
 
 Se tais limites são transpostos, pode ocorrer o fenômeno de TURBULÊNCIA 
(agitação) que representa para os fluidos o mesmo que a fase plástica para um 
sólido: deformação permanente. No caso dos fluidos, uma impossibilidade de 
retornar à condição anterior. 
 
 
 
 Já a integridade dos fluidos será sempre preservada. Não existe o 
equivalente a rupturas, pois os fluidos, mesmo sendo agitados, acabam se 
regenerando. 
 Quando submetido a uma tensão de cisalhamento, por menor que 
ela seja, qualquer fluido sofrerá deformação contínua, indefinida e 
reversível (respeitados os parâmetros já discutidos). 
Efeitos da Tensão de Cisalhamento sobre Fluidos 
 Portanto, temos uma nova definição para um fluido estático: é aquele 
que não está submetido a tensões de cisalhamento. 
 Os valores e o perfil de velocidades de escoamento dependem da 
VISCOSIDADE do fluido. 
 Um fluido submetido a uma tensão de cisalhamento nunca 
permanecerá estático. 
Conclusão 
 É a resistência do fluido a deformações por cisalhamento, ou seja, é a 
resistência do fluido ao escoamento. 
 A viscosidade também representa a resistência do fluido ao movimento 
de objetos sólidos através dele, pois isto também corresponde a um 
cisalhamento (corte) no fluido. 
 Portanto, quanto mais viscoso um fluido, menor é a sua deformação e 
mais lento é o seu escoamento. 
Viscosidade ou Atrito Interno 
 A viscosidade é um efeito das forças de coesão intermoleculares do fluido. 
O esforço realizado sobre o fluido é atenuado pelos atritos internos entre as 
diferentes camadas da substância, dificultando a transmissão de quantidade 
de movimento pelo material e dissipando assim a energia cinética, 
convertendo-a em energia potencial elástica (deformação) e/ou em energia 
térmica. 
Fluidos com viscosidades distintas 
A viscosidade de um fluido é função da temperatura. 
 Nos líquidos a viscosidade é diretamente proporcional à força de atração 
entre as moléculas e, portanto, ela diminui quando a temperatura aumenta. 
Isto ocorre porque as moléculas dos líquidos começam a se afastar com o 
incremento de sua energia térmica o que reduz a intensidade de suas forças 
de coesão. 
 Nos gases a viscosidade é diretamente proporcional à energia cinética das 
moléculas e, portanto, ela aumenta com a elevação da temperatura. Com o 
incremento da energia térmica, as moléculas do gás ficam mais agitadas e o 
número de colisões entre elas se amplifica o que torna sua mobilidade mais 
difícil. 
Líquido viscoso em diferentes condições de temperatura 
Quanto mais frio, mais viscoso 
Lei de Newton 
da 
Viscosidade 
 Determina como é exatamente a relação entre a tensão cisalhante e 
a deformação por ela produzida num fluido. 
ε é a espessura total 
da camada de fluido 
 Para cada deslocamento dyhá uma corresponde variação dv na velocidade 
do fluido. 
Portanto, há um gradiente de velocidades na direção y nesse fluido: 
𝒅v
𝒅𝒚
 
 O efeito da tensão de cisalhamento sofre o fluido é o de produzir esse 
gradiente de velocidades. 
Lei de Newton da Viscosidade 
 No experimento das duas placas, dado um perfil de velocidades qualquer, 
teremos: 
 Isaac Newton constatou que esse gradiente de velocidades é diretamente 
proporcional à tensão de cisalhamento aplicada à placa móvel: 
𝜏 = 𝜇 ∙
𝑑v
𝑑𝑦
, 
𝜏 ∝
𝑑v
𝑑𝑦
, 
 Assim, para permitir cálculos, foi introduzido o coeficiente de VISCOSIDADE 
DINÂMICA ou ABSOLUTA (μ) do fluido: 
 A proporção exata entre as duas grandezas variava de fluido para fluido, ou 
seja, ela é dependente da viscosidade do fluido. 
 
Relação linear entre tensão de cisalhamento e taxa de deformação 
 Notar a dependência da viscosidade com a temperatura para a água. 
Aproximação Linear 
da 
Lei de Newton 
da 
Viscosidade 
 Há vários perfis de velocidade possíveis de o fluido adquirir quando lhe é 
aplicado uma tensão de cisalhamento. 
 Para simplificar, consideraremos que nosso fluido adquiriu um perfil de 
velocidades linear, ou seja, a velocidade é diretamente proporcional à altura y. 
 Neste caso, a velocidade em função da altura y é dada pela expressão: 
v(𝑦) =
v𝑚á𝑥
𝜀
∙ 𝑦 
 Esta aproximação é válida quando a espessura total da camada de fluido (ε ) 
é pequena. 
 Dessa forma, teremos: 
𝑑v
𝑑𝑦
=
𝑑
𝑑𝑦
v𝑚á𝑥
𝜀
∙ 𝑦 =
v𝑚á𝑥
𝜀
 
 Então, a expressão da lei de Newton para a tensão de cisalhamento 
em função da viscosidade assumirá o seguinte formato: 
𝜏 = 𝜇 ∙
𝑑v
𝑑𝑦
 ⟹ 𝜏 = 𝜇 ∙
v𝑚á𝑥
𝜀
 
 Esta é a lei de Newton para viscosidade quando o perfil de velocidades 
for linear (ε pequeno). 
Uma importante conclusão é que: 
𝜏 = 𝜇 ∙
v𝑚á𝑥
𝜀
 
𝝉 =
𝑭𝒕
𝑨
 
e 
 ⟹ 
𝐹𝑡
𝐴
= 𝜇 ∙
v𝑚á𝑥
𝜀
 ⟹ 𝐹𝑡=
𝜇 ∙ v𝑚á𝑥 ∙ 𝐴
𝜀
 
 Faremos agora uma análise dimensional para determinar as unidades da 
VISCOSIDADE ABSOLUTA. 
𝜏 = 𝜇 ∙
v𝑚á𝑥
𝜀
 ⟹ 𝜇 =
𝜏 ∙ 𝜀
v𝑚á𝑥
 
Teremos então: 𝜇 =
𝜏 ∙ [𝜀]
[v𝑚á𝑥]
 
Agora, na base FLT : 
𝜏 =
𝐹
𝐿2
; 𝜀 = 𝐿; v𝑚á𝑥 =
𝐿
𝑇
; 
Como: 
Portanto: 𝜇 =
𝐹. 𝐿
𝐿2 ∙
𝐿
𝑇
 ⟹ 𝜇 =
𝐹. 𝑇
𝐿2
 
 ** Em homenagem ao médico e físico francês Poiseuille. 
 
Fatores de conversão: 
 
1 dina = 10—5 N 
1 cm2 = 10—4 m2 
 
Então: 1 P = 1 dina.s/cm2 = 10—5 N.s/(10—4 m2) = 10—1 N.s/ m2 
 
Portanto: 1 P = 0,1 N.s/m2 
 
Em muitos exercícios usa-se a unidade centiPoise (cP) = 10—2 P = 10—3 N.s/m2 
 Unidades de viscosidade absoluta (μ) 
Sistema Unidade 
SI (MKS) N.s/m2 = Pa.s 
CGS dina.s/cm2 = poise (P)** 
MK*S ou MKgfS kgf.s/m2 
Absoluto britânico pdl.s/ft2 
Gravitacional britânico lbf.s/ft2 
Agora: 1 kgf = 9,8 N 
 
Então: 1 kgf.s/m2 = 9,8 N.s/m2 
𝜇 =
𝐹. 𝑇
𝐿2
 
Isaac Newton 
inglês, 1643 - 1727 
Jean-Louis-Marie Poiseuille 
(francês, 1797 – 1869) 
 A placa em movimento arrasta o fluido aderido, ou seja, aplica-lhe uma força 
de cisalhamento. 
Força de Atrito Viscoso, 
ou Força de Resistência Viscosa , 
ou Força Viscosa 
 No entanto, a 3ª. lei de Newton está sempre presente, então o fluido reage 
a esse arrasto e aplica na placa uma força de igual intensidade mas sentido 
contrário. 
 As forças de coesão procuram dificultar o arrasto do fluido e, como ele está 
aderido à placa, acabam contendo também o movimento dela. 
 Esta força de reação exercida pelo fluido sobre a placa é chamada de 
Força de Atrito Viscoso (Fat.visc, ou Fvisc, ou simplesmente Fv), ou Força 
de Resistência Viscosa ou apenas Força Viscosa (Fμ ). 
v ≠ 0 
v ≠ 0 
vplaca inf. = 0 
𝑭𝒕 
𝑭𝐯 
vfluido inf. = 0 
𝑭𝐯 = 𝑭𝒕 =
𝝁 ∙ v ∙ 𝑨
𝜺
 
 Como já dito, ela tem exatamente a mesma intensidade da força de 
arrasto aplicada pela placa sobre o fluido: 
 Supondo que a placa móvel esteja inicialmente em repouso e que se lhe 
aplique uma força propulsora/motriz (Fprop) constante, ela então acelera e o 
fluido aderido passa a ser acelerado conjuntamente. Como a força de arrasto 
sobre o fluido aumenta com a velocidade da placa, então cresce também a 
força viscosa, a reação do fluido. 
v crescente 
v crescente 
vplaca inf. = 0 
𝑭𝒑𝒓𝒐𝒑 
𝑭𝒕 crescente 
vfluido inf. = 0 
𝑭𝐯 crescente 
 𝑭𝒊,𝒑𝒍𝒂𝒄𝒂 = 𝟎 ⟹ 𝑭𝒑𝒓𝒐𝒑 − 𝑭𝐯 = 𝟎 ⟹ 𝑭𝒑𝒓𝒐𝒑 = 𝑭𝐯 
onde, 𝑭𝐯 = 𝑭𝒕 =
𝝁 ∙ v𝒐 ∙ 𝑨
𝜺
 
vo 
vo 
vplaca inf. = 0 
𝑭𝒑𝒓𝒐𝒑 
𝑭𝒕 
𝑭𝐯 
vfluido inf. = 0 
 Após um certo tempo verifica-se que a placa para de acelerar e passa a 
mover-se com velocidade constante. Isto ocorre porque num determinado 
momento, a força viscosa iguala a força propulsora, ou seja: 
 𝑭𝒊,𝒑𝒍𝒂𝒄𝒂 = 𝟎 
Equilíbrio Dinâmico; 
v = vo = constante ⟺ a = 0 
 
Viscosidade Cinemática (ν ) 
 A massa (m) mede a inércia de um objeto, a sua resistência a mudar de 
velocidade. 
Para lidar com os fluidos é melhor usar a sua massa específica: 𝜌 =
𝑚
∀
 
 Os efeitos da viscosidade em si mesma são mais destacados quando se 
desconta a influência da inércia do fluido, ou seja, quanto menor for sua 
densidade maior a importância da sua viscosidade na resistência ao 
escoamento, e vice-versa. 
 Pode sempre pairar uma dúvida se a resistência de um fluido a escoar é 
devida exclusivamente à sua viscosidade ou se há também alguma 
influência de sua densidade (mais massa, maior inércia). Para eliminar 
essa ambiguidade define-se então a viscosidade cinemática (𝜈 ) como a 
relação entre viscosidade absoluta do fluido e sua massa específica: 
𝜈 = 
Viscosidade Absoluta (𝜇)
Massa Específica (𝜌)
 ⟹ 𝜈 =
𝜇
𝜌
 
⟹ 𝜈 = 𝐿2/𝑇 
Análise Dimensional: 
𝜇 = FT/𝐿2 
𝜈 =
𝜇
𝜌
 ⟹ [𝜈] =
[𝜇]
[𝜌]
 
Na base FLT: 
[𝜌] =
[𝑚]
[∀]
 ⟹ 𝜌 =
𝐹𝑇2/𝐿
𝐿3
 ⟹ 𝜌 =
𝐹𝑇2
𝐿4
 
Portanto: 
𝜈 = 
𝐹𝑇/𝐿2
𝐹𝑇2/𝐿4
 
 Esta grandeza é chamada de Viscosidade Cinemática justamente porque 
sua dimensão não depende de qualquer grandeza dinâmica (massa ou força). 
Sistema Unidade 
SI (MKS) m2/s 
CGS cm2/s = stoke (St)** 
MK*S ou MKgfS m2/s 
Absoluto britânico ft2/s 
Gravitacional britânico ft2/s 
Unidades de ν 
**Homenagem ao matemático e físico irlandês George Stokes. 
Fatores de conversão: 
𝜈 = 𝐿2/𝑇 
Costuma-se usar bastante a unidade centiStoke (cSt) = 10—2 St 
1 St = 1 cm2/s = 10—4 m2/s 
George Gabriel Stokes 
matemático e físico 
(irlandês, 1819 – 1903) 
1) Apostila de “Tecnologia dos Materiais”, profa. Msc. Keli Vanessa Salvador Damin; 
Instituto Federal de Santa Catarina, Chapecó/SC. 
http://professores.chapeco.ifsc.edu.br/keli/ (em setembro/2016) 
Bibliografia 
2) Curso de “Mecânica dos Fluidos – Dinâmica” 
http://www.if.ufrgs.br/cref/werlang/aula5.htm 
(Home: http://www.if.ufrgs.br/cref/werlang/aulas.htm) 
3) Apostila – “Mecânica dos Fluidos” – do Prof. Eduardo Loureiro 
http://eduloureiro.dominiotemporario.com/doc/mfaula1.pdf (em setembro/2015) 
4) “Fenômenos de Transporte I – Aula Teórica 05”; profa. Érica Cristine; Curso Engenharia 
Ambiental e de Alimentos; Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar; Unidade 
Acadêmica de Ciências e Tecnologia Ambiental; Universidade Federal de CampinaGrande/PB. 
www.hidro.ufcg.edu.br/twiki/pub/FTEletrica0/MaterialDisciplina/Aula05.pptx (em 
setembro/2015) 
5) Apostila “Fenômenos de Transporte”, da profa. Mara Nilza Estanislau Reis, 
PUC-Minas, 2008. 
http://netulio.weebly.com/uploads/9/0/6/6/9066781/apostila-ft-2008-pucmg.pdf (em 
setembro/2015) 
6) Anotações de Aula “Mecânica dos Fluidos 2”, de ALEX MAURÍCIO ARAÚJO, 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO, CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS (CTG), 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA (DEMEC) 
https://www.ufpe.br/ldpflu/capitulo1.pdf e https://www.ufpe.br/ldpflu/capitulo2.pdf 
(em setembro/2015) 
7) Apostila de “Mecânica dos Fluidos”, da Profa. Maria Helena Rodrigues Gomes, 
Departamento de Engenharia Sanitária e Ambiental da Faculdade de Engenharia da UFJF 
http://www.ufjf.br/engsanitariaeambiental/files/2012/09/Apostila-de-Mec%C3%A2nica-
dos-Fluidos.pdf (em setembro/2015) 
8) SANTOS, T. C. & FERREIRA, P.J.G.; Fenômenos de Transportes - Notas de aulas e 
Exercícios, 2014. 
 
9) “Dinâmica dos Fluidos” – Notas de aulas e exercícios; Prof. Eng. Dr. Paulo Sérgio 
Germano Carvalho, Ed. Catálise-São Paulo, 2012.