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IF/UFRJ Introdução às Ciências Físicas I 2o Semestre de 2014 AD2 de ICF1 Profas Ana Maria Senra Breitschaft e Erica Ribeiro Polycarpo Macedo 1 0,2 0,2 GABARITO DA AD2 DE ICF1-2014-2 Questão 1 (3,0 pontos) Só ganham pontos na questão os alunos que fizeram o Laboratório. Esta questão não tem gabarito porque é individual. O aluno perde metade dos pontos de cada item em que ele errar os algarismos significativo. a) b) c) Tabela 1 d) e) f) Tabela 2 g) Tabela 3 h) i) Tabela 4 j) Tabela 5 k) l) F1x F1y F2 x F2 y δF1x δF1y δF2 x δF2 y Rx Ry δRx δRy F3 θ3 δF3 δθ3 R 'x R 'y δR 'x δR 'y F1 θ1 F2 θ2 δF1 δθ1 δF2 δθ2 0,15 (0,025 para cada componente escrita ) 0,2 (0,025 para cada termo da tabela) 0,15 (0,025 para cada componente da incerteza escrita ) 0,2 (0,05 para cada componente que será transferida para a Tabela 2) 0,2 (0,05 para cada componente da Tabela 3) 0,2 (0,05 para cada componente) 0,1 (0,025 para cada componente da Tabela 4) 0,2 (0,05 para cada componente que será transferida para a Tabela 2) 0,9 (0,1 para cada intervalo, 0,1 para cada interseção, 0,3 para a conclusão e a representação gráfica). 0,3 IF/UFRJ Introdução às Ciências Físicas I 2o Semestre de 2014 AD2 de ICF1 Profas Ana Maria Senra Breitschaft e Erica Ribeiro Polycarpo Macedo 2 Questão 2 (4,0 pontos) Faça esta questão depois de estudar a Aula 5 do Módulo 2. Se tiver dúvidas, leia os gabaritos antigos que estão disponíveis na plataforma. A figura 1 mostra um menino que puxa um bloco utilizando uma corda. A massa do bloco é igual a m = 3kg e a massa da corda é desprezível. A força aplicada pela corda sobre o bloco tem intensidade F = 8N e forma um ângulo de θ = 30° com a horizontal. Há atrito entre o bloco e a superfície plana e os coeficientes de atrito estático e cinético entre eles valem µe = 0,30 e µc = 0,20 , respectivamente. O bloco não gira e nem descola da superfície. Despreze as forças que o ar exerce sobre o bloco. Considere a Terra como um referencial inercial e a aceleração da gravidade g =10m/s2. As direções x e y estão representadas na figura 1 por seus unitários iˆ e jˆ , respectivamente. a) Considere como objeto de estudo o bloco. Desenhe este bloco separado do exterior e coloque todas as forças que atuam sobre ele. Desenhe também as forças de reação, mostrando onde elas estão aplicadas. Estão em contato com o bloco a corda, a superfície inclinada e o ar. O problema diz que a força exercida pelo ar é desprezível. As forças de contato que atuam sobre ele são a força exercida pela corda F e as forças exercidas pela superfície, a força normal N e a força de atrito fa . A única força gravitacional não desprezível sobre o bloco é a que a Terra exerce chamada força peso P . A reação à força exercida pela corda é a força − F e está aplicada na corda. As reações às forças normal e de atrito são as forças − N e − fa e estão aplicadas na superfície inclinada. A reação à força peso é a força − P e está aplicada no centro da Terra. b) Escreva a segunda lei de Newton na notação vetorial (por exemplo, c + d = e ) e na notação em componentes ( cx + dx = ex;cy + dy = ey ) para o bloco. Não confunda as componentes de uma força, que são números, com os vetores projetados. N + fa + P+ F =ma Nx + fax +Px +Fx =max Ny + fay +Py +Fy =may c) Considere, inicialmente, que o bloco está parado. Calcule as componentes x e y de todas as forças que atuam no bloco. Nesse caso, ax = ay = 0 e Nx = 0; Ny = N; fax = − fa; fay = 0; Px = 0; Py = −mg; Fx = F cosθ; Fy = F senθ; do item b temos que: Figura 1 θ superfície Terra corda 0,8 (0,1 para cada força e 0,1 para cada reação) 0,3 IF/UFRJ Introdução às Ciências Físicas I 2o Semestre de 2014 AD2 de ICF1 Profas Ana Maria Senra Breitschaft e Erica Ribeiro Polycarpo Macedo 3 fax +Fx = 0 ⇒ fax = −F cosθ e Ny +Py +Fy = 0 ⇒ Ny = −Py −Fy =mg−F senθ então Px = 0N; Py = −30N; Fx ≅ 6,9N; Fy = 4N; fax ≅ −6,9N; fay = 0N; Nx = 0N; Ny = 26N; d) Expresse todas as forças que agem no bloco em termos dos vetores unitários iˆ e jˆ . P = −30 jˆN F = (6,9 iˆ +4 jˆ)N fa = −6,9 iˆ N N = 26 jˆN e) Determine o valor do módulo da força F de modo que o bloco fique na iminência de deslizar sobre a superfície. Quando o bloco está na iminência de deslizar, a intensidade da força de atrito estático assume seu valor máximo que é igual a: famax = µeN Logo F cosθ = famax = µe (mg − F senθ ) F (cosθ +µe senθ ) = µemg ⇒ F = µe (cosθ +µe senθ ) mg F = 0,3 (cos30°+0,3sen30°) 30N ≅ 8,9N. f) Considere, agora, que o bloco desliza sobre a superfície e F =12N . Recalcule as componentes x e y de todas as forças que atuam no bloco. Agora, ax ≠ 0 e fa = µcN , uma vez que o atrito é cinético. Então: Px = 0; Py = −mg; Fx = F cosθ; Fy = F senθ; Nx = 0; Ny = N; fax = − fa = −µcN; fay = 0; do item b temos que: Ny +Py +Fy = 0 ⇒ Ny = −Py −Fy =mg−F senθ então Px = 0N; Py = −30N; Fx ≅10,4N; Fy = 6N; Nx = 0N; Ny = 24N; fax ≅ −4,8N; fay = 0N; g) Expresse todas as forças que agem no bloco em termos dos vetores unitários iˆ e jˆ . P = −30 jˆN F = (10,4 iˆ +6 jˆ)N fa = −4,8 iˆ N N = 24 jˆN 1,2 (0,1 para Px, Py, fay e Nx e 0,2 para as demais) 0,4 0,3 0,4 (0,1 para cada componente que precisou ser recalculada) 0,3 (0,1 para cada força que precisou ser recalculada) IF/UFRJ Introdução às Ciências Físicas I 2o Semestre de 2014 AD2 de ICF1 Profas Ana Maria Senra Breitschaft e Erica Ribeiro Polycarpo Macedo 4 0,2 (0,1 para cada equação) h) Determine a aceleração com que o bloco desliza sobre a superfície, expressando-a em termos dos vetores unitários iˆ e jˆ. ax = fax + Fx m = −4,8+10,4 3 m/s2 =1,9m/s2 a =1,9 iˆ m/s2Questão 3 (2,0 pontos) Uma esfera é lançada de uma plataforma que está a uma altura h = 4m acima do solo. A velocidade inicial de lançamento da esfera tem o módulo igual a v0 = 8m/s e faz um ângulo θ = 45° com o solo. Considere desprezível o atrito da esfera com o ar e trate a esfera como um ponto. Suponha a aceleração da gravidade igual a g =10m/s2 . Use o sistema de coordenadas da figura 2, cujos unitários são iˆ e jˆ (direção de x e de y, respectivamente). a) Escreva o vetor velocidade instantânea inicial da esfera em relação à Terra em termos dos unitários iˆ e jˆ . v0 = v0x iˆ + v0 y jˆ = v0 cosθ iˆ + v0 senθ jˆ v0 = 8 cos 45°( ) iˆ +8 sen 45°( ) jˆ( )m/s = (5,7iˆ +5,7 jˆ )m/s b) Escreva x(t), y(t), vx(t) e vy(t) (componentes da velocidade instantânea na direção x e y, respectivamente) para a esfera como funções do tempo. Após o lançamento, a esfera ficou somente em contato com o ar. Como vamos desprezar a resistência do ar, a única força que atua sobre ela é a força peso . Pela Segunda Lei de Newton, só temos aceleração no eixo y, e esta aceleração é constante e igual a . No eixo x, temos um movimento que pode ser descrito pela sua posição x(t) e sua velocidade vx(t) dadas por (onde t é dado em segundos): x(t) = x0 + v0x t = 5,7t( )m vx (t) = v0x = 5,7m/s (3.1) F = −mg ay = −g x d y 0v ! Figura 2 h 0,3 (0,2 para o módulo e 0,1 para a forma vetorial) 0,2 (0,1 para cada equação) IF/UFRJ Introdução às Ciências Físicas I 2o Semestre de 2014 AD2 de ICF1 Profas Ana Maria Senra Breitschaft e Erica Ribeiro Polycarpo Macedo 5 No eixo y, o movimento pode ser descrito pela sua posição y(t) e sua velocidade vy(t) dadas por (onde t é dado em segundos): y(t) = y0 + v0 y t + 1 2 ayt 2 = 4+5,7t −5t2( )m vy (t) = v0 y + ayt = 5,7−10t( )m/s (3.2) c) Utilize o resultado do item b) para escrever o vetor posição r! e o vetor velocidade instantânea v! da esfera em termos dos unitários iˆ e jˆ . r (t) = x(t) iˆ + y(t) jˆ = 5,7t iˆ + 4+5,7t −5t2( ) jˆ"# $%m v(t) = vx (t) iˆ + vy (t) jˆ = 5,7iˆ + 5,7−10t( ) jˆ"# $%m/s (3.3) d) Determine o tempo que a esfera leva para alcançar o solo. Queremos saber o tempo que a esfera levou para alcançar a posição y(t) = 0 . Da equação (3.2) temos que y(t) = 4+5,7t −5t2( )m = 0 ⇒ 5t2 −5,7t − 4 = 0 t = 5,7± (5,7) 2 + 4x4x5 2x5 . Logo t1 =1,63s . A outra solução para o tempo é negativa e não se aplica a questão. e) Determine a que distância d a esfera se encontra da plataforma quando atinge o solo. A distância d é obtida determinando o valor de x(t) quando t =1,63 s. Utilizando (3.1) obtemos, d = (5,7×1,63)m = 9,3m . f) Qual o vetor velocidade instantânea da esfera no instante imediatamente anterior a ela se chocar com o solo (expresse-o em termos dos unitários iˆ e jˆ ). A partir de (3.3) vamos determinar a velocidade quando temos t =1,63 s. v = 5,7 iˆ + 5,7−10×1,63( ) jˆ( )m/s = 5,7 iˆ −10,6 jˆ( )m/s Questão 4 ( 1,0 ponto) Um bloco de massa m desce um trilho com atrito desprezível passando pelos pontos A, B, C, D e E, de acordo com a Figura 3, sem perder o contato com o trilho em nenhum ponto. Desenhe, na Figura 4, os vetores velocidade, todas as forças que atuam no bloco, a resultante das forças e a aceleração do objeto nos pontos B,C, D e E. Figura 3 0,2 (0,1 para cada equação) 0,2 (0,1 para cada equação) 0,4 0,3 0,5 0,05 para cada vetor na direção correta IF/UFRJ Introdução às Ciências Físicas I 2o Semestre de 2014 AD2 de ICF1 Profas Ana Maria Senra Breitschaft e Erica Ribeiro Polycarpo Macedo 6 Pontos Vetores B C D E Velocidade A direção do vetor velocidade é sempre tangente à trajetória no ponto onde o corpo está. O sentido do vetor é dado pelo sentido do movimento. Forças O corpo só está em contato com o trilho e com o ar. Desprezando a resistência do ar e a força de atrito entre o trilho e o bloco, a única força de contato restante é a força Normal. A única força gravitacional importante é a força exercida pela Terra (força Peso). Resultante O vetor resultante é obtido somando as forças que atuam no corpo usando a regra do paralelograma. Devemos levar em conta, também, que para que um corpo aumente (diminua) o valor da sua velocidade, deve haver uma componente da força atuando no mesmo sentido (sentido contrário) da sua velocidade, e que se o corpo precisa mudar a direção da velocidade, é necessário que uma componente da força seja perpendicular à direção da velocidade. Aceleração O vetor aceleração, pela Segunda Lei de Newton, tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor força resultante. A única diferença entre eles é o valor dos módulos desses vetores. Figura 4 N N N NP P P P
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