correlação e regressão linear Conteúdo Atividades.pdf

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CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
 
 
1.1 - OBJETIVO DO CAPÍTULO 
 
Este capítulo tem como objetivo estudar a maneira como uma variável se relaciona com 
outras variáveis da mesma população e ainda, medir o grau de associação entre elas. Em muitas 
situações observamos duas ou mais características simultaneamente, e queremos descobrir o quão 
ligado estão as duas características envolvidas, ou seja, se o acontecimento de uma interfere no 
acontecimento de outra. 
 
 
1.2 - INTRODUÇÃO 
 
 
Freqüentemente procura-se verificar se existe relação entre duas ou mais variáveis, tais 
como: 
 
 O peso pode estar relacionado com a idade das pessoas; 
 O consumo das famílias pode estar relacionado com sua renda; 
 As vendas de uma empresa e os gastos promocionais podem relacionar-se, 
 A demanda de um determinado produto e seu preço. 
 Nas Instituições de Ensino Superior – IES há uma relação direta entre a qualidade do ensino 
e a taxa de inadimplência. 
 O frio está para o setor farmacêutico assim como o dia das mães está para o comércio. 
 
 Uma vez caracterizada, procura-se descreve-la sob forma matemática, através de uma 
função. A estimação dos parâmetros dessa função matemática é o objeto da regressão. A origem 
desse termo remota da Francis Galton (1822-1911), que empregou pela primeira vez num estudo da 
relação entre alturas pais e filhos. 
 Quando consideramos observações de duas ou mais variáveis, surge um novo problema: as 
relações que podem existir entre as variáveis estudadas. A partir daí, você pode estudar essas 
relações, como por exemplo, reduzindo o custo, o preço do produto será reduzido e será possível 
aumentar a quantidade vendida, ou um funcionário com maior escolaridade terá mais chance de 
crescer na empresa, etc. 
 Assim, quando consideramos variáveis como peso e altura de um grupo de pessoas, uso do 
cigarro e incidência do câncer, vocabulário e compreensão da leitura, dominância e submissão, 
procuramos verificar se existe alguma relação entre as variáveis de cada um dos pares e qual o grau 
dessa relação. Para isso, é necessário o conhecimento de novas medidas. 
 Sendo a relação entre as variáveis de natureza quantitativa, a correlação é o instrumento 
adequado para descobrir e medir essa relação. 
 Neste capítulo ficaremos restritos correlação simples, ou linear; mas vale lembrar que em 
outras aulas veremos regressão exponencial, quadrática dentre outras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
 
1.3 - MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
 
Sempre que utilizamos dados observados para chegar a uma equação matemática que 
descreve a relação entre duas variáveis, o que constitui um processo conhecido como ajuste de 
curvas, (ou Modelagem) precisamos encarar três tipos de problemas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma vez que tenhamos decidido ajustar uma linha reta a um determinado conjunto de dados, 
encontramos o segundo tipo de problema, a saber, a determinação da reta particular que, em certo 
sentido, constitui o melhor ajuste. 
 
Para ilustrar o que está em jogo, consideremos o seguinte exemplo. 
 
O Sr. Pitágoras é o gerente de uma loja de presentes em uma pequena cidade. Ele acredita que as 
vendas da loja estejam relacionadas ao número de ônibus de turistas que param na cidade. Coletou 
os seguintes dados sobre as vendas e o número de ônibus em uma seleção de dias recentes. Veja o 
quadro abaixo. 
 
Número do dia Número de ônibus(x) Vendas ($)(y) 
1 24 962 
2 30 1181 
3 9 578 
4 48 1429 
5 38 1324 
6 15 752 
7 5 542 
8 38 1355 
9 15 788 
10 24 998 
11 49 1462 
12 10 650 
13 17 862 
14 11 719 
15 16 828 
 
Esses quinze pontos de dados (x,y) estão esboçados na figura 1.1 no que se denomina 
gráfico de dispersão. Isso foi feito com a ajuda de um computador, mas teria sido fácil faze-lo à mão. 
Para a plotagem desse gráfico poderíamos utilizar softwares como, por exemplo, Excel, MatLab, 
SPSS, Minitab, dentre outros. 
No Excel temos a facilidade de utilizar o assistente de gráfico e escolhemos a opção de 
gráfico de dispersão, como mostra a figura abaixo. 
 
 Devemos decidir que tipo de curva e, daí, que tipo de equação “de previsão” poderemos 
utilizar. 
 Devemos encontrar a equação particular que é a melhor em algum sentido. 
 Devemos investigar certas questões relativas aos méritos da equação escolhida e de 
previsões feitas a partir dela. 
 
 
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3 
 
FIG. 1.1 – Assistente de gráfico – Gráfico de Dispersão. 
 
 
Vendas x Número de ônibus
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Número de ônibus
Nú
m
er
o 
de
 v
en
da
s
 
FIG. 1.2 – Gráfico de Dispersão impresso de um computador, software Microsoft Excel. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4 
Como pode ser visto, os pontos não caem todos sobre uma reta, mas o padrão geral da 
relação descrito é satisfatoriamente como sendo um modelo linear. Pelo menos não há um desvio 
acentuado da linearidade, e por isso nos sentimos justificados na decisão de que uma linha reta é a 
descrição mais adequada da relação subjacente. 
 
Chegamos agora ao problema de encontrar a equação de reta que, em certo sentido, 
constitui o melhor ajuste aos dados e que, esperamos, virá a dar as melhores previsões possíveis de 
y a partir de x. Do ponto de vista lógico, não há limitações para o número de retas que podem ser 
traçadas numa folha de papel gráfico. Algumas dessas retas ajustam tão mal aos dados que 
podemos simplesmente ignora-las, mas muitas outras parecem constituir ajustes mais ou menos 
bons, e o problema é encontrar justamente a reta que melhor se ajusta aos dados de alguma forma 
bem definida. Se todos os pontos se situam sobre uma reta, não existe problema, mas isso é um 
caso extremo, raramente encontrado na prática. 
O critério que, hoje em dia, é usado quase exclusivamente para definir uma reta de “melhor” 
ajuste é conhecido como o Método dos Mínimos Quadrados (ou coeficiente de correlação de 
Pearson). Da maneira que será utilizado aqui, esse método requer que a reta seja ajustada aos 
dados e tenha a propriedade de que seja mínima a soma dos quadrados das distâncias verticais dos 
pontos à reta. 
 
 
Definição: Dados 
n
 pares de valores 
),(),...,,(),,( 2211 nn yxyxyx
, chamaremos de coeficiente de 
correlação entre as duas variáveis 
x
 e 
y
 a: 
 
   

























 
n
y
y
n
x
x
n
yx
yx
yxcorr
i
i
i
i
ii
ii
2
2
2
2 .
.
),(
, com 
1),(1  yxcorr
 (1) 
Assim: 
 se a correlação entre duas variáveis é perfeita e positiva, então 
1),( yxcorr
; 
 se a correlação é perfeita e negativa, então 
1),( yxcorr
; 
 se não há correlação entre as variáveis, então 
0),( yxcorr
. 
 
 Se 
3,0),(0  yxcorr
 há uma correlação muita fraca entre as variáveis e, praticamente, 
nada podemos concluir sobre a relação entre as variáveis em estudo. 
 Se 
6,0),(3,0  yxcorr
 a correlação é relativamente fraca entre as variáveis. 
 Se 
0,1),(6,0  yxcorr
 a correlação é altamente significativa entre as variáveis. 
 
Manualmente, para encontrarmos o coeficiente de correlação entre duas variáveis 
necessitamos de organizar os dados em uma tabela para facilitar os cálculos.Veja a tabela abaixo 
para o exemplo das vendas x número de ônibus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5 
X y x2 y2 x.y 
24 962 576 925444 23088 
30 1181 900 1394761 35430 
9 578 81 334084 5202 
48 1429 2304 2042041 68592 
38 1324 1444 1752976 50312 
15 752 225 565504 11280 
5 542 25 293764 2710 
38 1355 1444 1836025 51490 
15 788 225 620944 11820 
24 998 576 996004 23952 
49 1462 2401 2137444 71638 
10 650 100 422500 6500 
17 862 289 743044 14654 
11 719 121 516961 7909 
16 828 256 685584 13248 
  349x
 
  14430y
 
  109672x
 
  152670802y
 
397825x.y 
 
 
 
 
Aplicando a fórmula (1) do coeficiente de correlação à tabela acima obtemos: 
   
9886,0
15
14430
15267080.
15
349
10967
15
)14430)(349(
397825
),(
22















yxcorr 
 
Análise do coeficiente de correlação. 
 
Observamos através do cálculo acima que o coeficiente de correlação está no intervalo 
1),(6,0  yxcorr
 e, portanto a correlação é altamente significativo. 
 
 
1.3.1 - Coeficiente de Correlação: Excel 
 
O cálculo do coeficiente de correlação pode ser facilmente encontrado no software Excel. 
Através da sintaxe CORREL(matriz1;matriz2) obtemos o coeficiente de correlação, onde: 
Matriz1: é um conjunto de valores independentes (x). 
Matriz2: é um conjunto de valores dependentes(y). 
 
 
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FIG 1.4 – Coeficiente de Correlação no Microsoft Excel 
 
 
1.3.3 - Coeficiente de determinação 
 
Como vimos, o coeficiente de correlação 
)(corr
 geralmente é utilizado como a primeira 
avaliação do modelo; outra medida 
)( 2corr
, o coeficiente de determinação, também pode ser útil 
para uma interpretação mais aprofundada. Na verdade, ele é o coeficiente de correlação ao 
quadrado, mas o termo geralmente é empregado para descrever a porcentagem de variação nos 
dados de y que podem ser atribuídos à variação nos dados de x. 
No nosso exemplo vemos que 
9886,0),( yxcorr
; então o coeficiente de determinação é 
dado por: 
%73,979773,0)9886,0(),(ãodeterminaç de ecoeficient 22  yxcorr
 
 
Assim, podemos dizer que 
%73,97
 da variação das vendas é devida à variação no número de 
ônibus que visita a cidade. 
 
 
1.4 - MODELO DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
 
Observando diagrama de dispersão podemos ter uma idéia do tipo de relação entre as duas 
variáveis. A natureza da relação pode tornar várias formas, desde uma simples relação linear até uma 
complicada função matemática. 
Precisamos determinar, com base em uma amostra de dados, a equação de regressão linear 
simples que melhor que melhor se ajusta aos dados amostrais. Isto é, encontrarmos os coeficientes 
da reta: 
bxay 
^ 
Onde: ^
y
= o valor estimado (previsto) de y para uma observação x. 
 
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7 
O nosso problema é determinar os valores dos parâmetros 
a
e 
b
, de modo que a reta se 
ajuste ao conjunto de pontos, isto é: estimar 
a
e 
b
 de algum modo eficiente. Para o cálculo dos 
coeficientes utilizaremos o Método dos Mínimos Quadrados. Os coeficientes são determinados 
através de: 
 
 



 



n
x
x
n
yx
yx
b
i
i
ii
ii
2
2
 
 
n
x
b
n
y
a
ii 

 
Continuando com o exemplo do Sr. Pitágoras, podemos determinar 
a
e 
b
como se segue: 
 
 
80,21
15
)349(
10967
15
)14430).(349(
397825
22
2










 
n
x
x
n
yx
yx
b
i
i
ii
ii
 
 
60,454
15
349
.80,21
15
14430








n
x
b
n
y
a
ii
 
A partir daí temos podemos encontrar a equação linear dada por: 
 
xy 80,2160,454
^

 
 
Vendas x Número de ônibus
0
300
600
900
1200
1500
1800
0 10 20 30 40 50 60
Número de ônibus
Ve
nd
as
 
FIG 1.5 – Equação de Regressão Plotada no Microsoft Excel 
 
 
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8 
Vendas x Número de ônibus
0
300
600
900
1200
1500
1800
0 10 20 30 40 50 60
Número de ônibus
Ve
nd
as
 
FIG 1.6 – Equação de Regressão e pontos dispersos – Microsoft Excel 
 
1.4.1 – Ajuste de Curvas: Excel 
No software Excel, podemos encontrar os coeficientes 
a
e 
b
através da seguinte sintaxe: 
 
 
 
 
 
 
 
FIG 1.7 –Cálculo dos coeficientes da Equação de Regressão – Microsoft Excel 
 
 
 
a = INCLINAÇÃO (val_conhecidos_y;val_conhecidos_x) 
b = INTERCEPÇÃO (val_conhecidos_y;val_conhecidos_x) 
 
 
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1.5 - PREVISÃO DE VALORES 
 
Tendo-se determinado a Equação de Regressão, podemos agora prever 
y
 para cada 
x
 e 
vice-versa. Antes de mostrarmos exemplos de previsão, cabem duas observações: 
 O valor previsto na Equação de Regressão indica que esse é o valor mais provável. 
 A previsão de uma variável a partir de outra sempre implica em uma possibilidade de erro, 
que é tanto maior quanto mais heterogêneo os resultados forem e tanto menor quanto maior 
for a correlação entre as variáveis. 
 
Vejamos agora como fazer previsão utilizando a Equação de Regressão. 
 
Sabemos que a Equação de Regressão do problema do Sr. Pitágoras é dado por: 
 
xy 80,2160,454
^

 
 
Para os resultados obtidos em nosso problema, de quanto seriam as vendas em um dia que 
tivéssemos 35 ônibus? 
 
60,121735.80,2160,454
^
y
 
 
Portanto, para 35 ônibus, o valor mais provável das vendas é de 
60,1217$R
. 
 
1.5.1 – Previsão de valores: No Excel 
 
No software Excel, podemos encontrar a previsão de um valor através da seguinte sintaxe: 
 
PREVISÃO(x;val_conhecidos_y;val_conhecidos_x) 
X é o ponto de dados cujo valor você deseja prever. 
Val_conhecidos_y é o intervalo de dados ou matriz dependente. 
Val_conhecidos_x é o intervalo de dados ou matriz independente. 
 
 
FIG 1.8 – Cálculo de previsão – Microsoft Excel 
 
 
 
 
 
 
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10 
1.6 - ERRO PADRÃO ESTIMADO 
 
O encontro de um modelo para a equação linear da Equação de Regressão não é perfeita, ao 
contrário, implica necessariamente a possibilidade de erro. O Erro-Padrão de Estimativa, erro em que 
incorremos ao tomar a medida prevista em vez da medida real, é determinado aplicando-se a 
seguinte fórmula: 
 
   
2
.
2



 
n
yxbyay
yxSest
iiii
 
 
Para nosso exemplo, teríamos: 
 
   
2
.
2



 
n
yxbyay
yxSest
iiii
14,49
215
)397825.80,21()14430.60,454(15267080
. 


yxSest
 
 
 Com base nesse resultado, podemos verificar que nossos cálculos de previsão de vendas 
está associado a um erro de R$ 49,14 para mais ou para menos. 
É recomendável que uma reta de regressão seja acompanhada dos valores observados quer 
dizer, que a equação seja expressa juntamente com sua reta no Diagrama de Dispersão de modo a 
se ter uma idéia visual da aproximação dos pontos em relação a essa reta, para evitar distorçõesa 
respeito da aproximação entre valores observados e estimados. 
 
1.6.1 – Erro padrão estimado: Excel 
 
No software Excel, podemos encontrar o Erro Padrão Estimado através da seguinte sintaxe: 
 
EPADYX(val_conhecidos_y;val_conhecidos_x) 
Val_conhecidos_y é uma matriz ou intervalo de pontos de dados dependentes. 
Val_conhecidos_x é uma matriz ou intervalo de pontos de dados independentes. 
 
 
FIG. 1.9 –Cálculo do Erro Padrão Estimado – Microsoft Excel 
 
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11 
 
 
 
 
1.7 - QUADRO RESUMO 
 
 
9886,0),( yxcorr
 
%73,979773,0)9886,0(),(ãodeterminaç de ecoeficient 22  yxcorr
 
 
80,21b
 
 
60,454a
 
Equação de Regressão Linear: 
xy 80,2160,454
^

 
 
14,49. yxSest
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
BISQUERRA, Rafael,;SARRIERA, Jorge Castellá; MARTÍNEZ, Francesc. Introdução à Estatística – 
Enfoque informático com o pacote estatístico SPSS.São Paulo: Artmed, 2002. 
 
BRAULE, Ricardo. Estatística Aplicada com Excel: para cursos de administração e economia. Rio de 
Janeiro: Elsevier, 2001. 
 
BUSSAB, Wilson de O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 5ª Ed. São Paulo: Saraiva, 2004. 
 
FREUND, John E. Estatística Aplicada: Economia, administração e contabilidade. 11ª Ed. Porto 
Alegre: Bookman, 206. 
 
LAPPONI, Juan Carlos. Estatística Usando o Excel. 4ª Ed. Rio de Janeiro: Campus, 2005. 
 
MARTINS, Gilberto de A. Estatística Geral e Aplicada. 2ª Ed. São Paulo: Atlas, 2002. 
 
MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica – Inferência. São Paulo: Makron, 2000. 
 
MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica – Probabilidade. São Paulo: Makron, 2000. 
 
SMAILES, Joanne; MCGRANE, Ângela. Estatística Aplicada à Administração com Excel. São Paulo, 
Atlas, 2002. 
 
SOARES, JOSE FRANCISCO; FARIAS, ALFREDO ALVES DE; CESAR, CIBELE COMINI. 
Introdução à Estatística. 2ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12 
 
ATIVIDADE PRÁTICA 
1) Uma empresa de embalagens plásticas preocupada com a demanda (y) de seu produto resolveu 
elaborar um estudo sobre as variações dos preços de venda (x). Após esse estudo e levantamento de 
dados, obteve as informações condensadas na tabela a seguir: 
 
Meses Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. 
Preço de venda (x) 16 18 20 23 26 28 30 33 35 
Demanda(y) 1200 1150 950 830 800 760 700 690 670 
 
A partir das informações, responda às questões relativas aos itens: 
 
a) Construindo o diagrama de dispersão, podemos afirmar, quanto à sua evolução, que o sistema se 
comporta de forma aproximadamente linear? 
 
b) Após ter construído o diagrama de dispersão, os pontos apresentam um comportamento linear crescente 
ou decrescente? 
 
c) As variáveis demanda e preços de mercado caminham, em termos de evolução, no mesmo sentido ou 
em sentidos opostos? 
 
d) Calcule e interprete o coeficiente de correlação linear simples. 
 
e) Estabeleça a equação de regressão linear (reta de ajustamento). 
 
f) Represente em um mesmo sistema de eixos a dispersão dos dados 
 yx,
 e a reta de regressão. 
 
g) Qual a previsão da demanda, quando os preços atingirem os patamares de 
25x
 e 
50x
? 
 
h) Se você fosse o gerente dessa empresa, qual das duas previsões dadas acima, no item (g), você 
aceitaria como mais próxima da situação real? Justifique sua resposta. 
 
 
2) Uma empresa de componentes eletrônicos preocupada com a sua linha de montagem resolveu elaborar 
um estudo sobre as variações das semanas de experiências de seus trabalhadores e o número de 
componentes rejeitados. Após esse estudo e levantamento de dados, obteve as informações condensadas 
na tabela a seguir: 
 
Trabalhador amostrado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Semanas de experiência(x) 7 9 6 14 8 12 10 4 2 11 1 8 
Quantidade de Rejeitados(Y) 26 20 28 16 23 18 24 26 38 22 32 25 
 
A partir das informações, responda às questões relativas aos itens: 
 
a) Construindo o diagrama de dispersão, podemos afirmar, quanto à sua evolução, que o sistema se 
comporta de forma aproximadamente linear? 
b) Após ter construído o diagrama de dispersão, os pontos apresentam um comportamento linear crescente 
ou decrescente? 
c) A quantidade de componentes rejeitados e o número de semana de experiência caminham, em termos 
de evolução, no mesmo sentido ou em sentidos opostos? 
d) Calcule e interprete o coeficiente de correlação linear simples. 
e) Estabeleça a equação de regressão linear (reta de ajustamento). 
f) Represente em um mesmo sistema de eixos a dispersão dos dados 
 yx,
 e a reta de regressão. 
g) Quantos componentes danificados terão, quando o número de semanas de experiência atingir os 
patamares de 
13x
 e 
20x
? 
 
 
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13 
h) Se você fosse o gerente de produção dessa empresa, qual das duas previsões dadas acima, no item (g), 
você aceitaria como mais próxima da situação real? Justifique sua resposta. 
 
3) Uma empresa de transportes forneceu os seguintes dados com relação a uma amostra de viagens feitas, 
dando a distância viajada e o tempo gasto. A empresa está interessada em desenvolver um modelo para 
prever o tempo gasto com uma viagem, se a distância a ser viajada for conhecida. 
 
 
Distância (km) Tempo (horas) 
200 3,2 
120 2,0 
175 3,0 
150 2,0 
300 4,7 
320 5,5 
240 3,8 
180 2,8 
210 3,4 
260 4,5 
Apresente os dados utilizando um diagrama de dispersão apropriado. 
 
a) Encontre o coeficiente de correlação e a equação da linha de regressão e declare-os claramente. 
 
b) Dois caminhões estão prestes a deixar a garagem. Um fará uma viajem de 90 km, e enquanto o outro 
viajará 220 km. Utilizando sua equação de regressão linear, estime o tempo de viagem para cada 
caminhão. Quanto de confiança você teria em cada uma dessas respostas? 
 
4) A academia de ginástica Pemberton’s decidiu ilustrar uma abordagem teórica de como os exercícios 
aeróbicos e ingestão de calorias podem afetar o peso. Doze dos membros estabelecidos na academia 
registraram cuidadosamente o número de minutos de exercícios aeróbicos que praticaram no decorrer de 
uma semana, juntamente com a sua ingestão calórica mensal. Esses dados são apresentados na tabela 
seguinte. 
 
Perda de peso (lb) Exercício aeróbico (min) Calorias ingeridas 
0,6 112 9560 
2,8 190 7752 
1,4 171 11981 
1,4 148 8338 
2,6 193 10202 
3,8 235 7252 
3,3 237 8097 
2,5 176 8121 
2,6 185 8300 
2,0 186 11216 
3,3 228 7212 
1,1 65 7631 
 
a) Calcule o coeficiente de correlação entre a perda de peso e os exercícios aeróbico. Utilizando esse valor, 
calcule o coeficiente de determinação e defina seu significado nesse contexto. 
b) Dados os valores de resumo para a relação entre perda de peso e as calorias ingeridas, calcule cor(x,y). 
Comparando-o com os coeficiente de correlação encontrado em (a), determine qual dos fatores contribui 
mais para a perda de peso. Fornecendo motivos adequados estatisticamente para sua escolha.