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Lista 2 Mecânica Clássica Data: Segunda, 6 de Abril de 2015 Nome: Professor: Habib Montoya 1 Problemas Conceituais 1. Qual é a principal escolha de um sistema de referência? 2. A afirmativa �para a velocidade de um corpo permanecer constante sua aceleração deve permanecer zero� é verdadeira ou falsa. Ex- plique sua escolha. 3. A seguinte figura mostra nove gráficos de posição, velocidade e aceleração em função do tempo, para objetos em movimento ao longo de uma linha reta. Indique os gráficos que correspondem às se- guintes condições: (a) velocidade constante, (b) velocidade mudando de sentido, (c) ace- leração constante, (d) aceleração não é cons- tante, (e) Quais gráficos de posição, veloci- dade e aceleração são mutuamente consis- tentes. 4. Sabe-se que num carro o velocímetro mede a velocidade média do carro. Esta afirmação é certa? 5. A magnitude do deslocamento de uma par- tícula pode ser menor que a distância per- corrida pela partícula ao longo de seu cami- nho? E maior que a distância percorrida? Explique 6. Qual é a velocidade média para uma viagem de ida-e-volta de um objeto lançado vertical- mente para acima, a partir do solo, que cai retornando ao solo. 7. A seguinte figura representa a trajetória de um projetil indo de A para E. A resistência do ar é desprezível. (a) Em que pontos a rapidez é máxima? (b) Em que ponto(s) a rapidez é mínima (c) Em que pontos a rapidez é a mesma? A veloci- dade também é a mesma nesses pontos? 8. Em relação ao gráfico da questão anterior, qual é a orientação da aceleração no ponto B? (a) Para acima e para a direita, (b) para abaixo e para a esquerda, (c) para cima, (d) para baixo, (e) a aceleração do projétil é nula em todo instante. 9. Utilizando o gráfico das duas questões ante- riores, faça um diagrama das componentes da velocidade nos pontos A, B, C, D e E. 10. Duas bolas, 1 e 2, são lançadas simultane- amente do mesmo ponto em um plano ho- rizontal. Efeitos do ar são desprezíveis de modo que após o lançamento a única ação sobre as bolas é a gravidade. A trajetória das bolas são indicadas na figura a seguir: A partir do gráfico responda e justifique? (a) A bola 1 fica mais tempo no ar. (b) A bola 2 fica mais tempo no ar. (c) Ambas as bolas ficam o mesmo tempo. (d) A informação do gráfico é insuficiente para determinar quem fica mais tempo. 11. Qual é a velocidade média de um automó- vel de corrida ao completar uma volta de um circuito? 12. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando- as (a) Um objeto não pode se mover em círcu- los a menos que tenha aceleração cen- trípeta. (a) (b) Um objeto não pode se mover em círcu- los a menos que tenha uma aceleração tangencial. (b) (c) Um objeto movendo-se em círculo não pode ter rapidez variável. (c) (d) Um objeto movendo-se em círculo não pode ter velocidade constante. (d) 13. Um homem gira uma pedra presa a uma corda em um círculo horizontal com rapi- dez constante. A figura a seguir representa a pedra visto de cima. (b) Qual (Quais) dos vetores pode(m) re- presentar a velocidade da pedra? (c) Qual (quais) dele(s) podem representar a acelera- ção? 14. Se um objeto está se movendo para o oeste em um dado instante, qual a orientação da sua aceleração? (a) para o norte, (b) para o leste, (c) para o oeste, (d) para o sul, (e) pode ser qualquer orientação. Justifique sua resposta. 15. Como é possível, para uma partícula que se move com aceleração constante, estar acelerada? Uma partícula com velocidade constante pode estar acelerada ao mesmo tempo? 16. Considere o caminho de uma partícula em movimento. (a) Como o vetor velocidade está relacionado geometricamente com o ca- minho da partícula? (b) Esboce um cami- nho curvo e desenho o vetor velocidade da partícula em várias posições ao longo do ca- minho. 17. O percurso de automóvel é mostrado na se- guinte figura. Page 2 O automóvel parte do repouso no ponto A. Depois de atingir o ponto B, ele viaja com rapidez constante até atingir o ponto E. Ele chega em repouso ao ponto F. (a) No meio de cada segmento (AB, BC, CD, DE e EF), qual é a orientação do vetor velocidade? (b) Em qual destes trechos o automóvel tem uma aceleração nula? (c) Como você com- para as acelerações dos segmentos BC e DE? 18. Dê exemplos de movimentos em que as ori- entações dos vetores velocidade e aceleração são (a) opostas, (b) as mesmas e (c) mutua- mente perpendiculares. 19. Explique como o valor local da aceleração da gravidade depende da rotação terrestre e da localização geográfica. 20. Explique, porque se deixamos descarregar água numa pia, na linha do Equador não se formaria um redemoinho, enquanto que se fizermos isso no hemisfério sul um redemoi- nho seria formado em sentido horário e no hemisfério norte, o sentido de giro é anti- horário. 2 Movimento em uma Di- mensão 1. Determinar a rapidez média nos seguintes casos: (a) Um atleta percorrendo a primeira me- tade do tempo com uma rapidez de 8 m/s e durante a segunda metade com rapidez de 5 m/s. (b) Um trem percorrendo a primeira me- tade do caminho com rapidez de 100 km/s e a segunda metade com uma ra- pidez de 80 km/s. 2. Um avião, na decolagem, percorre 600 m em 15 s. Admitindo-se aceleração constante, calcular a velocidade da decolagem. Calcu- lar também a aceleração em m/s2. 3. Um carro percorre a linha OX com movi- mento uniforme acelerado. Nos instantes t1 e t2, suas posições são x1 e x2, respectiva- mente. Mostre que a aceleração do carro é a = 2(x2t1 − x1t2) t1t2(t2 − t1) . 4. A relação entre a posição de um móvel, s, e o tempo está dada por s = 3− 4t+ 4t2 Se s se mede em metros (m) e o t em segun- dos (s). Encontre: (a) As expressões para a velocidade média e instantânea. (b) As expressões para a aceleração média e instantânea. (c) As velocidade e aceleração médias no intervalo de 2 a 5 segundos. (d) As velocidades e aceleração instantâ- neas para t=3 s. Dica: dαxn dx = αnxn−1, onde α é uma constante 5. Uma partícula se move com aceleração de- pendente da velocidade na forma a = −3vıˆ, onde a se mede em m/s2. Encontre o des- locamento, velocidade e aceleração quanto t = 0.2 s. Assuma as seguintes condições iniciais para t0 = 0 s, x0 = 1, 5ıˆ m e v0 = 12ıˆ m/s. Dicas: Utilize as seguintes integrais:∫ b a dx x = ln b a , ∫ b a eαxdx = 1 α ( eαb − eαa) , onde α é uma constante. Também empre- gue a solução da seguinte equação. Se ln b a = κ ⇒ b = aeκ. 6. Um corpo se move com uma aceleração a = pt2, onde p é uma constante. Se para t = 0 a velocidade é v = 2 m/s e quando t = 2 s, v = 16 m/s e x = 1m. (a) Encontre a posição em função do tempo. (b) A distância total percorrida de 1 a 2 segundos. (c) Qual é a posição para t = 3 s. 7. Um corpo movimenta-se ao longo do eixo x e sua posição, em metros, é dada por x = t3 − t2 + 4. (a) Encontre a velocidade em função do tempo. (b) Encontre a aceleração em função do tempo. Page 3 (c) Em que tempo a aceleração é nula. (d) Em que tempo a velocidade atinge um valor mínimo. (e) Faça os gráficos de v = v(t) e a = a(t). Dica 1: dαtn dt = αntn−1, onde α é uma constante. Dica 2: Para determinar o máximo ou mí- nimo de uma função f(t), aplique primeiro o critério da primeira derivada, ou seja, en- contre t0 tal que a primeira derivada seja nula, i.e df(t) dt ∣∣∣∣ t0 = f ′(t0) = 0. Para o valor de t0 avalie a segunda derivada, observando o valor positivo ou negativo, isto é Se f ′′(t0) > 0, em t0 a função f(t0) é um mínimo e se f ′′(t0) < 0, em t0 a função f(t0)é um máximo. 8. Uma partícula movimenta-se ao longo de um linha reta e sua velocidade varia com o tempo como se indica na figura Encontre (a) O deslocamento durante os 10 primei- ros segundos (b) A distância total percorrida nos 10 pri- meiros segundos. 9. Um móvel se desloca ao longo do eixo x, tal como se indica na seguinte figura, Encontre o tempo que emprega em percor- rer 20 m, se em t = 0, x = 0. Dica: Determine primeiro a equação da reta correspondente ao gráfico v2(x) e logo use a seguinte integral∫ b a α(p+qx)ndx = α q(n+ 1) [ (p+ qb)n+1 − (p+ qa)n+1] , onde α, p e q são constantes, respectiva- mente, e a e b são os limites de integração. 10. A posição de um corpo em termos do tempo é dada na seguinte figura, Indicar (a) onde o movimento tem o sentido posi- tivo do eixo x e onde ele tem sentido negativo; (b) quando o movimento é acelerado e quando é retardado; (c) quando o corpo passa pela origem; (d) quando a velocidade é zero. Além disso, fazer um esboço da velocidade e da aceleração como função do tempo e esti- mar, a partir do gráfico, a velocidade média entre (a) t = 1 s e t = 3 s, (b) t = 1 s e t = 2, 2 s, (c) t = 1 s e t = 1, 8 s. Page 4 3 Movimento em Duas Di- mensões 1. Mostre que para o movimento num plano com aceleração constante ~a, as seguintes re- lações são satisfeitas: v2 = v20 + 2~a · (~r − ~r0); ~r = 1 2 (~v + ~v0)t. 2. Um projétil é disparado com velocidade de 600 m/s, num ângulo de 60◦ com a horizon- tal. Calcular (a) o alcance horizontal, (b) a altura máxima, (c) velocidade e a altura após 30 s após o disparo, (d) a velocidade e o tempo decorrido quando o projetil está a 10 km de al- tura. 3. Um projétil é disparado com uma ângulo de 35 ◦ com a horizontal. Ele atinge o solo a 4 km do ponto de disparo. Calcular (a) velocidade de lançamento, (b) o tempo de percurso do projétil, (c) a altura máxima atingida, (d) a velocidade no ponto de altura má- xima. 4. Se lança um corpo desde o topo de um pré- dio de altura y = h, formando um ângulo θ com a horizontal. Se o corpo toca o solo (y = 0) a uma distância x = L do prédio, en- contre a altura máxima atingida pelo corpo. 5. Desde um mesmo ponto, são lançados dois projetis com a mesma velocidade, porém com ângulos de lançamento diferentes, θ e α, respectivamente. Encontre o ângulo que faz o vetor que une os dois projetis com o eixo vertical. 6. Um avião de bombardeio voa horizontal- mente com velocidade de 180 km/h na al- tura de 1,2 km. (a) Quanto tempo antes do avião sobrevoar um alvo ele deve lançar uma bomba. (b) Qual á velocidade da bomba quando ele atinge o solo? (c) Qual a velocidade da bomba quando ele está a 200 m de altura? (d) Qual é o ângulo que a velocidade da bomba forma com o solo ao atingí-lo? (e) Qual é a distância horizontal percor- rida pela bomba? 7. Se dispara um projétil desde o chão com uma velocidade inicial ~v0 = (12ıˆ+ 25ˆ)m/s. Encontre (a) O tempo de percurso. (b) O ângulo que forma a velocidade com a aceleração da gravidade 4 segundos após ter sido feito o lançamento. Além disso, faça um gráfico das componen- tes horizontal e vertical da velocidade em função do tempo durante o tempo de per- curso. 8. Uma partícula movimenta-se no plano xy de tal modo que suas coordenadas em função do tempo estão dadas por x = 3t2 e y = t3, onde x, y se medem em metros (m) e t em segundos (s). Encontre (a) A velocidade para t = 1 s (b) A aceleração da partícula quando ela encontra-se no ponto (12, 8). (c) O deslocamento da partícula em t = 1 s. 9. A aceleração de uma partícula é dada por ~a = 2e−t ıˆ+ 5 cos tˆ. No tempo t = 0 o ponto tem uma veloci- dade ~v0 = 4ıˆ − 3ˆ e encontra-se na posição ~r0 = ıˆ+ 3ˆ. Encontre a posição e velocidade em qualquer instante de tempo. 10. Se lança um projétil desde o ponto A com uma velocidade inicial v0 e que forma um ângulo θ com um plano inclinado (que forma um ângulo α com a horizontal). Encontre a posição B, na qual o projétil voltará a tocar o plano inclinado. As inclinações do plano inclinado estão indicadas na seguinte figura (isto é, resolver o problema para ambos ca- sos). Page 5 A B α) (α A B(a) (b) 4 Movimento em três dimen- sões 1. Na seguinte figura, mostra-se o movimento de um corpo no três eixos de coordenadas. A partir dessas infor- mações encontre, (a) O vetor posição. (b) A velocidade média no intervalo de 2 a 5 segundos. (c) A velocidade em t = 6 segundos (d) A aceleração em t = 6 segundos 2. Se conhece o vetor posição de uma partícula como sendo ~r(t) = t3 2 ıˆ− 3tˆ− 2tkˆ. Encontre (a) A velocidade instantânea e rapidez as- sociadas. (b) A aceleração e seu módulo. 3. O vetor posição de uma partícula é dado por ~r(t) = tˆı+ (t− 2)2ˆ− 6t2kˆ, onde t em segundos e r em metros. (a) Encontre o vetor deslocamento entre um tempo t0 e t = t0 + ∆t. (b) Encontre uma expressão para a veloci- dade média entre t0 e t = t0 + ∆t. (c) Encontre a velocidade instantânea e calcule-a em t = 2 s. (d) Encontre a expressão para a aceleração média entre t0 e t = t0 + ∆t. (e) Encontre a aceleração instantânea e calcule-a em t = 2 s. 4. O vetor posição de uma partícula em função do tempo está dado por ~r = (3t2 − 8t+ 2)ˆı+ 2tˆ− 5kˆ, onde t se mede em segundos. A partir desta informação, encontre (a) O vetor deslocamento entre t0 e t = t0 + ∆t. (b) Encontre uma expressão para a velo- cidade média no intervalo de tempo acima. Avalie para t0 = 0 e ∆t = 2. (c) Encontre a expressão para a velocidade instantânea e calcule-a para t = 1. (d) Encontre uma expressão para a acele- ração média no intervalo do item (a) e avalie para t0 = 0 e ∆t = 2 (e) Encontre uma expressão para a acelera- ção instantânea e calcule-a para t = 1. 5. O vetor posição de uma partícula é descrito por ~r = R cos (ωt)ˆı+R sin (ωt)ˆ− 8t2kˆ, onde R = 5 me ω = 2 rad/s. Encontre (a) As expressões para a velocidade e ace- leração instantânea. (b) Encontre essas velocidades e acelera- ções para t = 0, pi/(2ω), pi/ω 6. O vetor posição de uma partícula é descrito por ~r = −R cos (ωt)ˆı+R sin (ωt)ˆ+ 2tkˆ, onde R = 2 me ω = 1 rad/s. Encontre (a) As expressões para a velocidade e ace- leração instantânea. (b) Encontre essas velocidades e acelera- ções para t = 0, pi/(2ω), pi/ω Page 6 7. O vetor posição de uma partícula é descrita pela seguinte expressão: ~r(t) = (2− t2)ˆı+ (t3 − t)ˆ+ (2t3 − t2 − 1)kˆ, onde t se mede em segundos e r em metros. Encontre (a) O vetor unitário tangente à trajetória em t = 2, i.e., uˆt = ~v v , onde ~v é a velocidade instantânea e v = |~v|. (b) O modulo da aceleração em t = 2. 8. Um jogador lança uma bola com velocidade inicial v0 = 30 m/s, a qual faz um ângulo de 30 ◦ com o eixo y. No mesmo instante de lançamento, começa um vento com uma ace- leração a = 1 m/s2 na direção x. A que dis- tância do jogador a bola tocará o solo. Use g = 10m/s2. 9. Um corpo sai do ponto A = (2, 1,−1), em t = 0, sendo as componentes da sua ace- leração (medida em m/s2) dadas por ax = 6t − 6, ay = 0, az = 2, onde t é medido em segundos. Encontre (a) O vetor posição em t = 1. (b) O vetor deslocamento entre t = 1 e t = 2. Considerando que as condições iniciais são para t = 0, v0x = 0, v0y = 3, v0z = 0 10. A aceleração de um móvel é dada por ~a(t) = 6ıˆ− 18e3tˆ− 32 cos 4tkˆ, de modo que em t = 0 tem-se ~v(0) = −ıˆ+ 6ˆ ~r(0) = ıˆ− 2ˆ+ 2kˆ. Encontre o vetor posição para qualquer ins- tante de tempo. 5 Movimento Circular 1. Encontre o raio de uma roda, se os pontos da sua borda tem uma velocidadeque é três vezes maior do que a velocidade linear dos pontos que se encontram a 6 cm do eixo de rotação. 2. Um corpo se move por uma circunferência de 16 cm, com uma aceleração tangencial constante de 4 cm/s2. Que tempo deve transcorrer para que a aceleração normal do corpo seja 4 vezes o valor da aceleração tan- gencial? 3. Uma partícula descreve uma trajetória cir- cular de raio 2 m e sua aceleração angular em função do tempo é dada por α(t) = 12t− 2. Encontre (a) A posição angular (b) A aceleração tangencial e centrípeta em t = 3 s. Considere as condições iniciais t = 0, θ0 = 2 rad e ω0 = 1 rad/s. 4. Um corpo sólido gira em torno de um eixo fixo com velocidade angular dependente do ângulo de rotação segundo a lei: ω = ω0−bθ, onde ω0 e b são constantes. Encontre a rela- ção entre o ângulo em função de tempo, se para t = 0, θ = 0. Dica Use a seguinte integral∫ b a dx p+ qx = ln ( p+ qb p+ qa ) . 5. Um corpo sólido inicia seu movimento circu- lar, em torno a um eixo fixo com aceleração angular α = κt, onde κ é uma constante. Após que tempo, o vetor aceleração total forma um ângulo θ com o vetor velocidade? 6. Uma partícula movimenta-se numa trajetó- ria circular segundo a lei s = t4 + 3t2 − 3. Quando t = 1 s a aceleração total da partí- cula é de 20 m/s2. Encontre o raio do cír- culo. 7. Um corpo inicialmente em repouso (φ = 0 e ω = 0, para t = 0), é acelerado numa trajetória circular de raio R (m), segundo a equação α(t) = at2 − bt + c, onde a, b e c são constantes. Determinar para qualquer instante de tempo (a) A velocidade angular. (b) A posição angular. (c) As componentes tangencial e centrí- peta da aceleração. Dica: Use a seguinte integral∫ x 0 yndy = yn+1 n+ 1 ∣∣∣∣x 0 = xn+1 n+ 1 . Page 7 Quadrado da soma de três números (x+y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz. 8. O movimento de uma partícula num plano vertical xy é dado por suas coordenadas po- lares r = 3t2 e θ = 0, 5 sin pit4 , onde r se mede em cm θ em radians (rad) e t em se- gundos. Encontre a velocidade da partícula em t = 3s. Dica 1: Derivada do produto de duas fun- ções df(t)g(t) dt = g(t) df(t) dt + f(t) dg(t) dt Dica 2: Regra de Leibnitz df [g(t)] dt = df [g(t)] dg dg(t) dt 9. Um corpo movimenta-se sobre a trajetória x2+y2 = 9. Sua equação (no sentido horário de giro) é s = 2t3, onde s mede-se a partir do ponto (3, 0) sobre a trajetória. Encontre a aceleração total do corpo. 10. O vetor posição de uma partícula em relação a um sistema de coordenadas cartesianas é dado por ~r = a cosωtˆı+ a sinωtˆ, onde a e ω são constantes. (a) Mostre que a velocidade é perpendicu- lar ao vetor ~r. (b) Mostre que a aceleração tem uma dire- ção radial. 6 Movimento Curvilíneo 1. Um ponto move-se no plano xy segundo a lei ~a = −4 sin tˆı+ 3 cos tˆ. Sabe-se que para t = 0 , x = 0, y = 3, vx = 4, vy = 0. Determine (a) a equação da trajetória e (b) o valor da velocidade quando t = pi/4 s. Dica: A equação é obtida eliminando a de- pendência temporal nas componentes do ve- tor posição. Lembrete: Integrais de funções trigonomé- tricas∫ θ2 θ1 cos (bx)dx = 1 b [sin (bθ2)− sin (bθ1)],∫ θ2 θ1 sin (bx)dx = −1 b [cos (bθ2)− cos (bθ1)]. 2. Mostre que para um movimento curvilíneo, num ponto tangente à trajetória (arbitrá- rio), tem-se as seguintes relações aT = ~v ·~a v , aN = |~v × ~a| v , ρ = v3 |~v × ~a| , onde v é o módulo da velocidade tangencial. 3. [0,5 sobre a P1] Mostre que para o movi- mento curvilíneo no plano, com uma traje- tória do tipo y = y(x), o raio de curvatura, ρ, é dado por ρ = [ 1 + ( dy dx )2]3/2 ∣∣∣∣d2ydx2 ∣∣∣∣ 4. Um corpo é disparado horizontalmente com uma velocidade de 10 m/s, de modo que sua trajetória forma uma circunferência. Trans- corridos √ 8 s após o lançamento, encontre a aceleração normal e tangencial. Use g = 10 m/s2. 5. Um partícula se desloca sobre uma trajetó- ria parabólica y = 3x2, com uma rapidez constante de 10 m/s. Encontre a acelera- ção da partícula quando passa pelo ponto A = (1, 3). 6. O vetor posição de uma partícula em rela- ção à origem do sistema de coordenadas é dado por ~r = 20t2 ıˆ+ 60 sin 2pitˆ+ (30− 50t)kˆ, onde r = |~r| está em metros (m) e t em se- gundos (s). Encontre em t = 2 s: (a) a altura que se encontra o corpo (as- sumindo que a base está formada pelo plano xy). (b) a distância à origem. (c) o raio de curvatura. 7. Uma partícula move-se por uma circunfe- rência de raio ρ. Sua velocidade depende do comprimento de arco s, segundo a lei v = κs3/2, onde κ é uma constante. Encon- tre o ângulo entre a os vetores aceleração e velocidade. Page 8 8. O vetor posição de um corpo em funcão do tempo é dado por ~r(t) = t2 2 ıˆ+ 2tˆ− 2tkˆ, onde t está em segundos. Encontre o raio de curvatura e a normal principal unitária. 9. Um corpo começa a se movimentar em t = 0 partindo da origem em uma trajetória plana, de tal forma que sua aceleração nor- mal aN = 3t 3 e sua aceleração tangencial seja aT = 2t. Encontre o raio de curvatura da trajetória e sua aceleração total em fun- ção do percurso s. 10. Um corpo rígido gira em torno de um eixo fixo definido pelo vetor ~A = ıˆ − ˆ + kˆ, com uma velocidade angular de 120 rpm. En- contre a velocidade linear para o ponto do corpo B = (1, 2, 3). 7 Tópicos avançados do mo- vimento curvilíneo 1. Em coordenadas generalizadas, o vetor po- sição pode ser expressado em forma ~r(t) = ∑ k rk(~u)eˆk, onde as funções rk(u1, u2, u3) e os versores eˆk dependem do tempo. (a) Mostre que as velocidades generaliza- das são dada por ~v = ∑ k hku˙kuˆk, onde uˆk é o versor correspondente à di- reção tangente à linha uk. (b) Mostre que as acelerações generaliza- das são dadas por ~a = ∑ k (h˙ku˙k + hku¨k)uˆk + ∑ hku˙k ˙ˆuk. 2. O passo das coordenadas cartesianas para um sistema cilíndrico utilizam as seguintes transformações x = r cosφ, y = r sinφ, z = z onde u1 = r, u2 = φ e u3 = z são funções do tempo. Para este sistema de coordena- das, os fatores de escala são h1 = hr = 1, h2 = hφ = r, h3 = hz = 1, e os versores ao longo das direções radial uˆ1 = eˆr, angular uˆ2 = eˆφ e vertical uˆ3 = eˆz são dados por eˆr = cosφıˆ+ sinφˆ eˆφ = − sinφıˆ+ cosφˆ eˆz = kˆ Em base a estas informações (a) Mostre que o vetor de posição pode ser escrito como ~r(t) = r(t)eˆr + z(t)kˆ, (b) Mostre as seguintes propriedades eˆr × eˆφ = kˆ eˆφ × kˆ = eˆr eˆk × eˆr = eˆφ (c) Mostre as seguintes relações ˙ˆer = ωeˆφ ˙ˆeφ = −ωeˆr, onde ω = φ˙ é a velocidade angular. (d) Por substituição direta nas expressões do exercício anterior encontre a expres- são para a velocidade e aceleração neste sistema de coordenadas. Identifique e interprete cada um dos termos. 3. O passo das coordenadas cartesianas para um esférico utilizam as seguintes transfor- mações x = r sin θ cosφ, y = r sin θ sinφ, z = r cos θ onde u1 = r, u2 = θ e u3 = φ são funções do tempo. Para este sistema de coordena- das, os fatores de escala são h1 = hr = 1, h2 = hθ = r, h3 = hφ = r sin θ, e os versores ao longo das direções radial uˆ1 = eˆr, azimutal uˆ2 = eˆθ e polar uˆ3 = eˆθ são dados por eˆr = sin θ(cosφıˆ+ sinφˆ) + cos θkˆ eˆθ = cos θ(cosφıˆ+ sinφˆ)− sin θkˆ eˆφ = − sinφıˆ+ cosφˆ. Page 9 (a) Mostre que o vetor posição em coorde- nadas esféricas pode ser escrito como ~r(t) = r(t)eˆr, (b) mostre as seguintes propriedades eˆr × eˆθ = eˆφ eˆθ × eˆφ = eˆr eˆφ × eˆr = eˆθ kˆ = cos θeˆr − sin θeˆθ. (c) Mostre as seguintes relações (para o caso em que θ é constante) ˙ˆer = ω sinθeˆφ ˙ˆeθ = ω cos θeˆφ, ˙ˆeφ = −ω (sin θeˆr + cos θeˆθ) onde ω = φ˙ é a velocidade angular. (d) Por substituição direta, em analogia às coordenadas cilíndricas, encontre a ex- pressão para a velocidade e aceleração neste sistema de coordenadas. Identifi- que e interprete cada um dos termos (e) Analise o caso em que o ângulo azimu- tal θ é constante no tempo. 4. [0.5 sobre a P1] Um corpo é lançado verti- calmente para cima com velocidade v0, con- siderando que os efeitos da resistência do ar e da aceleração centrífuga são desprezíveis, de modo que após o lançamento, para um observador em movimento solidário com a Terra, as únicas ações sobre o corpo são a gravidade e a aceleração de Coriolis, i.e., ~a = ~ar + ~acor = geˆr − 2~ω × ~v, (1) onde g a aceleração da gravidade, ~ω = ωkˆ (ω é a frequência angular da terra) e ~v = v(t)eˆr (v(t) é a rapidez de um típico movimento vertical). (a) Calculando a direção da aceleração de Coriolis, numa latitude λ, indique a di- reção de desvio em relação ao ponto de lançamento em cada hemisfério, quando o corpo retorna a terra. Dica: • Os desvios são para o leste (na di- reção eˆφ) ou oeste (−eˆφ), onde eˆφ é o versor na direção polar das co- ordenadas esféricas. • O versor kˆ em função dos versores esféricos. kˆ = cos θeˆr∓sin θeˆθ, { −, (h. norte) +, (h. sul) • Relação entre latitude, λ, e ângulo azimutal, θ (constante no tempo), λ = |pi/2− θ| Lembretes: • Propriedades do produto vetorial de versores esféricos eˆr × eˆθ = eˆφ, eˆr × eˆr = 0, eˆθ × eˆφ = eˆr, eˆθ × eˆθ = 0, eˆφ × eˆr = eˆθ, eˆφ × eˆφ = 0. • Propriedades das funções trigono- métricas cos (α± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ sin (α± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ (b) Prove, que ao voltar ao chão ele cai a uma distância δφ do ponto de lança- mento dada por δφ = 4 3 ω cosλ √ 8h3 g , h = v20 2g onde ω é a velocidade angular da terra, λ é a latitude geográfica e h é a altura máxima atingida pelo corpo. Dica: Primeiro, analise o movimento vertical (na direção radial) de modo a obter a velocidade em qualquer ins- tante de tempo e o tempo de percurso. Utilize a expressão da velocidade no termo de Coriolis (acor) e o tempo de percurso para calcular o desvio, já que este último corresponde a δ¨φ = acor. Lembrete:∫ x 0 yndy = yn+1 n+ 1 ∣∣∣∣x 0 = xn+1 n+ 1 . Page 10 Problemas Conceituais Movimento em uma Dimensão Movimento em Duas Dimensões Movimento em três dimensões Movimento Circular Movimento Curvilíneo Tópicos avançados do movimento curvilíneo
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