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UFRJ Macaé Lista 2 - Física I (Mecânica Clássica) (Cinemática)

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Lista 2
Mecânica Clássica
Data: Segunda, 6 de Abril de 2015
Nome:
Professor: Habib Montoya
1 Problemas Conceituais
1. Qual é a principal escolha de um sistema de
referência?
2. A afirmativa �para a velocidade de um corpo
permanecer constante sua aceleração deve
permanecer zero� é verdadeira ou falsa. Ex-
plique sua escolha.
3. A seguinte figura mostra nove gráficos de
posição, velocidade e aceleração em função
do tempo, para objetos em movimento ao
longo de uma linha reta.
Indique os gráficos que correspondem às se-
guintes condições: (a) velocidade constante,
(b) velocidade mudando de sentido, (c) ace-
leração constante, (d) aceleração não é cons-
tante, (e) Quais gráficos de posição, veloci-
dade e aceleração são mutuamente consis-
tentes.
4. Sabe-se que num carro o velocímetro mede a
velocidade média do carro. Esta afirmação
é certa?
5. A magnitude do deslocamento de uma par-
tícula pode ser menor que a distância per-
corrida pela partícula ao longo de seu cami-
nho? E maior que a distância percorrida?
Explique
6. Qual é a velocidade média para uma viagem
de ida-e-volta de um objeto lançado vertical-
mente para acima, a partir do solo, que cai
retornando ao solo.
7. A seguinte figura representa a trajetória de
um projetil indo de A para E. A resistência
do ar é desprezível.
(a) Em que pontos a rapidez é máxima? (b)
Em que ponto(s) a rapidez é mínima (c) Em
que pontos a rapidez é a mesma? A veloci-
dade também é a mesma nesses pontos?
8. Em relação ao gráfico da questão anterior,
qual é a orientação da aceleração no ponto
B? (a) Para acima e para a direita, (b) para
abaixo e para a esquerda, (c) para cima, (d)
para baixo, (e) a aceleração do projétil é
nula em todo instante.
9. Utilizando o gráfico das duas questões ante-
riores, faça um diagrama das componentes
da velocidade nos pontos A, B, C, D e E.
10. Duas bolas, 1 e 2, são lançadas simultane-
amente do mesmo ponto em um plano ho-
rizontal. Efeitos do ar são desprezíveis de
modo que após o lançamento a única ação
sobre as bolas é a gravidade. A trajetória
das bolas são indicadas na figura a seguir:
A partir do gráfico responda e justifique?
(a) A bola 1 fica mais tempo no ar.
(b) A bola 2 fica mais tempo no ar.
(c) Ambas as bolas ficam o mesmo tempo.
(d) A informação do gráfico é insuficiente
para determinar quem fica mais tempo.
11. Qual é a velocidade média de um automó-
vel de corrida ao completar uma volta de um
circuito?
12. Determine se as seguintes afirmações são
verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando-
as
(a) Um objeto não pode se mover em círcu-
los a menos que tenha aceleração cen-
trípeta.
(a)
(b) Um objeto não pode se mover em círcu-
los a menos que tenha uma aceleração
tangencial.
(b)
(c) Um objeto movendo-se em círculo não
pode ter rapidez variável.
(c)
(d) Um objeto movendo-se em círculo não
pode ter velocidade constante.
(d)
13. Um homem gira uma pedra presa a uma
corda em um círculo horizontal com rapi-
dez constante. A figura a seguir representa
a pedra visto de cima.
(b) Qual (Quais) dos vetores pode(m) re-
presentar a velocidade da pedra? (c) Qual
(quais) dele(s) podem representar a acelera-
ção?
14. Se um objeto está se movendo para o oeste
em um dado instante, qual a orientação da
sua aceleração? (a) para o norte, (b) para
o leste, (c) para o oeste, (d) para o sul, (e)
pode ser qualquer orientação. Justifique sua
resposta.
15. Como é possível, para uma partícula que
se move com aceleração constante, estar
acelerada? Uma partícula com velocidade
constante pode estar acelerada ao mesmo
tempo?
16. Considere o caminho de uma partícula em
movimento. (a) Como o vetor velocidade
está relacionado geometricamente com o ca-
minho da partícula? (b) Esboce um cami-
nho curvo e desenho o vetor velocidade da
partícula em várias posições ao longo do ca-
minho.
17. O percurso de automóvel é mostrado na se-
guinte figura.
Page 2
O automóvel parte do repouso no ponto A.
Depois de atingir o ponto B, ele viaja com
rapidez constante até atingir o ponto E. Ele
chega em repouso ao ponto F. (a) No meio
de cada segmento (AB, BC, CD, DE e EF),
qual é a orientação do vetor velocidade? (b)
Em qual destes trechos o automóvel tem
uma aceleração nula? (c) Como você com-
para as acelerações dos segmentos BC e DE?
18. Dê exemplos de movimentos em que as ori-
entações dos vetores velocidade e aceleração
são (a) opostas, (b) as mesmas e (c) mutua-
mente perpendiculares.
19. Explique como o valor local da aceleração
da gravidade depende da rotação terrestre e
da localização geográfica.
20. Explique, porque se deixamos descarregar
água numa pia, na linha do Equador não se
formaria um redemoinho, enquanto que se
fizermos isso no hemisfério sul um redemoi-
nho seria formado em sentido horário e no
hemisfério norte, o sentido de giro é anti-
horário.
2 Movimento em uma Di-
mensão
1. Determinar a rapidez média nos seguintes
casos:
(a) Um atleta percorrendo a primeira me-
tade do tempo com uma rapidez de 8
m/s e durante a segunda metade com
rapidez de 5 m/s.
(b) Um trem percorrendo a primeira me-
tade do caminho com rapidez de 100
km/s e a segunda metade com uma ra-
pidez de 80 km/s.
2. Um avião, na decolagem, percorre 600 m
em 15 s. Admitindo-se aceleração constante,
calcular a velocidade da decolagem. Calcu-
lar também a aceleração em m/s2.
3. Um carro percorre a linha OX com movi-
mento uniforme acelerado. Nos instantes t1
e t2, suas posições são x1 e x2, respectiva-
mente. Mostre que a aceleração do carro é
a =
2(x2t1 − x1t2)
t1t2(t2 − t1) .
4. A relação entre a posição de um móvel, s, e
o tempo está dada por
s = 3− 4t+ 4t2
Se s se mede em metros (m) e o t em segun-
dos (s). Encontre:
(a) As expressões para a velocidade média
e instantânea.
(b) As expressões para a aceleração média
e instantânea.
(c) As velocidade e aceleração médias no
intervalo de 2 a 5 segundos.
(d) As velocidades e aceleração instantâ-
neas para t=3 s.
Dica:
dαxn
dx
= αnxn−1,
onde α é uma constante
5. Uma partícula se move com aceleração de-
pendente da velocidade na forma a = −3vıˆ,
onde a se mede em m/s2. Encontre o des-
locamento, velocidade e aceleração quanto
t = 0.2 s. Assuma as seguintes condições
iniciais para t0 = 0 s, x0 = 1, 5ıˆ m e
v0 = 12ıˆ m/s.
Dicas: Utilize as seguintes integrais:∫ b
a
dx
x
= ln
b
a
,
∫ b
a
eαxdx =
1
α
(
eαb − eαa) ,
onde α é uma constante. Também empre-
gue a solução da seguinte equação.
Se ln
b
a
= κ ⇒ b = aeκ.
6. Um corpo se move com uma aceleração a =
pt2, onde p é uma constante. Se para t = 0
a velocidade é v = 2 m/s e quando t = 2 s,
v = 16 m/s e x = 1m.
(a) Encontre a posição em função do
tempo.
(b) A distância total percorrida de 1 a 2
segundos.
(c) Qual é a posição para t = 3 s.
7. Um corpo movimenta-se ao longo do eixo x
e sua posição, em metros, é dada por
x = t3 − t2 + 4.
(a) Encontre a velocidade em função do
tempo.
(b) Encontre a aceleração em função do
tempo.
Page 3
(c) Em que tempo a aceleração é nula.
(d) Em que tempo a velocidade atinge um
valor mínimo.
(e) Faça os gráficos de v = v(t) e a = a(t).
Dica 1:
dαtn
dt
= αntn−1,
onde α é uma constante.
Dica 2: Para determinar o máximo ou mí-
nimo de uma função f(t), aplique primeiro
o critério da primeira derivada, ou seja, en-
contre t0 tal que a primeira derivada seja
nula, i.e
df(t)
dt
∣∣∣∣
t0
= f ′(t0) = 0.
Para o valor de t0 avalie a segunda derivada,
observando o valor positivo ou negativo, isto
é Se f ′′(t0) > 0, em t0 a função f(t0) é um
mínimo e se f ′′(t0) < 0, em t0 a função f(t0)é um máximo.
8. Uma partícula movimenta-se ao longo de
um linha reta e sua velocidade varia com
o tempo como se indica na figura
Encontre
(a) O deslocamento durante os 10 primei-
ros segundos
(b) A distância total percorrida nos 10 pri-
meiros segundos.
9. Um móvel se desloca ao longo do eixo x, tal
como se indica na seguinte figura,
Encontre o tempo que emprega em percor-
rer 20 m, se em t = 0, x = 0.
Dica: Determine primeiro a equação da
reta correspondente ao gráfico v2(x) e logo
use a seguinte integral∫ b
a
α(p+qx)ndx =
α
q(n+ 1)
[
(p+ qb)n+1 − (p+ qa)n+1] ,
onde α, p e q são constantes, respectiva-
mente, e a e b são os limites de integração.
10. A posição de um corpo em termos do tempo
é dada na seguinte figura,
Indicar
(a) onde o movimento tem o sentido posi-
tivo do eixo x e onde ele tem sentido
negativo;
(b) quando o movimento é acelerado e
quando é retardado;
(c) quando o corpo passa pela origem;
(d) quando a velocidade é zero.
Além disso, fazer um esboço da velocidade e
da aceleração como função do tempo e esti-
mar, a partir do gráfico, a velocidade média
entre (a) t = 1 s e t = 3 s, (b) t = 1 s e
t = 2, 2 s, (c) t = 1 s e t = 1, 8 s.
Page 4
3 Movimento em Duas Di-
mensões
1. Mostre que para o movimento num plano
com aceleração constante ~a, as seguintes re-
lações são satisfeitas:
v2 = v20 + 2~a · (~r − ~r0);
~r =
1
2
(~v + ~v0)t.
2. Um projétil é disparado com velocidade de
600 m/s, num ângulo de 60◦ com a horizon-
tal. Calcular
(a) o alcance horizontal,
(b) a altura máxima,
(c) velocidade e a altura após 30 s após o
disparo,
(d) a velocidade e o tempo decorrido
quando o projetil está a 10 km de al-
tura.
3. Um projétil é disparado com uma ângulo de
35
◦
com a horizontal. Ele atinge o solo a 4
km do ponto de disparo. Calcular
(a) velocidade de lançamento,
(b) o tempo de percurso do projétil,
(c) a altura máxima atingida,
(d) a velocidade no ponto de altura má-
xima.
4. Se lança um corpo desde o topo de um pré-
dio de altura y = h, formando um ângulo
θ com a horizontal. Se o corpo toca o solo
(y = 0) a uma distância x = L do prédio, en-
contre a altura máxima atingida pelo corpo.
5. Desde um mesmo ponto, são lançados dois
projetis com a mesma velocidade, porém
com ângulos de lançamento diferentes, θ e
α, respectivamente. Encontre o ângulo que
faz o vetor que une os dois projetis com o
eixo vertical.
6. Um avião de bombardeio voa horizontal-
mente com velocidade de 180 km/h na al-
tura de 1,2 km.
(a) Quanto tempo antes do avião sobrevoar
um alvo ele deve lançar uma bomba.
(b) Qual á velocidade da bomba quando ele
atinge o solo?
(c) Qual a velocidade da bomba quando ele
está a 200 m de altura?
(d) Qual é o ângulo que a velocidade da
bomba forma com o solo ao atingí-lo?
(e) Qual é a distância horizontal percor-
rida pela bomba?
7. Se dispara um projétil desde o chão com
uma velocidade inicial
~v0 = (12ıˆ+ 25ˆ)m/s.
Encontre
(a) O tempo de percurso.
(b) O ângulo que forma a velocidade com
a aceleração da gravidade 4 segundos
após ter sido feito o lançamento.
Além disso, faça um gráfico das componen-
tes horizontal e vertical da velocidade em
função do tempo durante o tempo de per-
curso.
8. Uma partícula movimenta-se no plano xy de
tal modo que suas coordenadas em função
do tempo estão dadas por x = 3t2 e y = t3,
onde x, y se medem em metros (m) e t em
segundos (s). Encontre
(a) A velocidade para t = 1 s
(b) A aceleração da partícula quando ela
encontra-se no ponto (12, 8).
(c) O deslocamento da partícula em t = 1
s.
9. A aceleração de uma partícula é dada por
~a = 2e−t ıˆ+ 5 cos tˆ.
No tempo t = 0 o ponto tem uma veloci-
dade ~v0 = 4ıˆ − 3ˆ e encontra-se na posição
~r0 = ıˆ+ 3ˆ. Encontre a posição e velocidade
em qualquer instante de tempo.
10. Se lança um projétil desde o ponto A com
uma velocidade inicial v0 e que forma um
ângulo θ com um plano inclinado (que forma
um ângulo α com a horizontal). Encontre a
posição B, na qual o projétil voltará a tocar
o plano inclinado. As inclinações do plano
inclinado estão indicadas na seguinte figura
(isto é, resolver o problema para ambos ca-
sos).
Page 5
A
B
 α)
(α
A
B(a)
(b)
4 Movimento em três dimen-
sões
1. Na seguinte figura,
mostra-se o movimento de um corpo no três
eixos de coordenadas. A partir dessas infor-
mações encontre,
(a) O vetor posição.
(b) A velocidade média no intervalo de 2 a
5 segundos.
(c) A velocidade em t = 6 segundos
(d) A aceleração em t = 6 segundos
2. Se conhece o vetor posição de uma partícula
como sendo
~r(t) =
t3
2
ıˆ− 3tˆ− 2tkˆ.
Encontre
(a) A velocidade instantânea e rapidez as-
sociadas.
(b) A aceleração e seu módulo.
3. O vetor posição de uma partícula é dado por
~r(t) = tˆı+ (t− 2)2ˆ− 6t2kˆ,
onde t em segundos e r em metros.
(a) Encontre o vetor deslocamento entre
um tempo t0 e t = t0 + ∆t.
(b) Encontre uma expressão para a veloci-
dade média entre t0 e t = t0 + ∆t.
(c) Encontre a velocidade instantânea e
calcule-a em t = 2 s.
(d) Encontre a expressão para a aceleração
média entre t0 e t = t0 + ∆t.
(e) Encontre a aceleração instantânea e
calcule-a em t = 2 s.
4. O vetor posição de uma partícula em função
do tempo está dado por
~r = (3t2 − 8t+ 2)ˆı+ 2tˆ− 5kˆ,
onde t se mede em segundos. A partir desta
informação, encontre
(a) O vetor deslocamento entre t0 e t =
t0 + ∆t.
(b) Encontre uma expressão para a velo-
cidade média no intervalo de tempo
acima. Avalie para t0 = 0 e ∆t = 2.
(c) Encontre a expressão para a velocidade
instantânea e calcule-a para t = 1.
(d) Encontre uma expressão para a acele-
ração média no intervalo do item (a) e
avalie para t0 = 0 e ∆t = 2
(e) Encontre uma expressão para a acelera-
ção instantânea e calcule-a para t = 1.
5. O vetor posição de uma partícula é descrito
por
~r = R cos (ωt)ˆı+R sin (ωt)ˆ− 8t2kˆ,
onde R = 5 me ω = 2 rad/s. Encontre
(a) As expressões para a velocidade e ace-
leração instantânea.
(b) Encontre essas velocidades e acelera-
ções para t = 0, pi/(2ω), pi/ω
6. O vetor posição de uma partícula é descrito
por
~r = −R cos (ωt)ˆı+R sin (ωt)ˆ+ 2tkˆ,
onde R = 2 me ω = 1 rad/s. Encontre
(a) As expressões para a velocidade e ace-
leração instantânea.
(b) Encontre essas velocidades e acelera-
ções para t = 0, pi/(2ω), pi/ω
Page 6
7. O vetor posição de uma partícula é descrita
pela seguinte expressão:
~r(t) = (2− t2)ˆı+ (t3 − t)ˆ+ (2t3 − t2 − 1)kˆ,
onde t se mede em segundos e r em metros.
Encontre
(a) O vetor unitário tangente à trajetória
em t = 2, i.e.,
uˆt =
~v
v
,
onde ~v é a velocidade instantânea e
v = |~v|.
(b) O modulo da aceleração em t = 2.
8. Um jogador lança uma bola com velocidade
inicial v0 = 30 m/s, a qual faz um ângulo
de 30
◦
com o eixo y. No mesmo instante de
lançamento, começa um vento com uma ace-
leração a = 1 m/s2 na direção x. A que dis-
tância do jogador a bola tocará o solo. Use
g = 10m/s2.
9. Um corpo sai do ponto A = (2, 1,−1), em
t = 0, sendo as componentes da sua ace-
leração (medida em m/s2) dadas por ax =
6t − 6, ay = 0, az = 2, onde t é medido em
segundos. Encontre
(a) O vetor posição em t = 1.
(b) O vetor deslocamento entre t = 1 e
t = 2.
Considerando que as condições iniciais são
para t = 0, v0x = 0, v0y = 3, v0z = 0
10. A aceleração de um móvel é dada por
~a(t) = 6ıˆ− 18e3tˆ− 32 cos 4tkˆ,
de modo que em t = 0 tem-se
~v(0) = −ıˆ+ 6ˆ ~r(0) = ıˆ− 2ˆ+ 2kˆ.
Encontre o vetor posição para qualquer ins-
tante de tempo.
5 Movimento Circular
1. Encontre o raio de uma roda, se os pontos
da sua borda tem uma velocidadeque é três
vezes maior do que a velocidade linear dos
pontos que se encontram a 6 cm do eixo de
rotação.
2. Um corpo se move por uma circunferência
de 16 cm, com uma aceleração tangencial
constante de 4 cm/s2. Que tempo deve
transcorrer para que a aceleração normal do
corpo seja 4 vezes o valor da aceleração tan-
gencial?
3. Uma partícula descreve uma trajetória cir-
cular de raio 2 m e sua aceleração angular
em função do tempo é dada por α(t) =
12t− 2. Encontre
(a) A posição angular
(b) A aceleração tangencial e centrípeta em
t = 3 s.
Considere as condições iniciais t = 0, θ0 =
2 rad e ω0 = 1 rad/s.
4. Um corpo sólido gira em torno de um eixo
fixo com velocidade angular dependente do
ângulo de rotação segundo a lei: ω = ω0−bθ,
onde ω0 e b são constantes. Encontre a rela-
ção entre o ângulo em função de tempo, se
para t = 0, θ = 0.
Dica Use a seguinte integral∫ b
a
dx
p+ qx
= ln
(
p+ qb
p+ qa
)
.
5. Um corpo sólido inicia seu movimento circu-
lar, em torno a um eixo fixo com aceleração
angular α = κt, onde κ é uma constante.
Após que tempo, o vetor aceleração total
forma um ângulo θ com o vetor velocidade?
6. Uma partícula movimenta-se numa trajetó-
ria circular segundo a lei s = t4 + 3t2 − 3.
Quando t = 1 s a aceleração total da partí-
cula é de 20 m/s2. Encontre o raio do cír-
culo.
7. Um corpo inicialmente em repouso (φ = 0
e ω = 0, para t = 0), é acelerado numa
trajetória circular de raio R (m), segundo a
equação α(t) = at2 − bt + c, onde a, b e c
são constantes. Determinar para qualquer
instante de tempo
(a) A velocidade angular.
(b) A posição angular.
(c) As componentes tangencial e centrí-
peta da aceleração.
Dica: Use a seguinte integral∫ x
0
yndy =
yn+1
n+ 1
∣∣∣∣x
0
=
xn+1
n+ 1
.
Page 7
Quadrado da soma de três números
(x+y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz.
8. O movimento de uma partícula num plano
vertical xy é dado por suas coordenadas po-
lares r = 3t2 e θ = 0, 5 sin pit4 , onde r se
mede em cm θ em radians (rad) e t em se-
gundos. Encontre a velocidade da partícula
em t = 3s.
Dica 1: Derivada do produto de duas fun-
ções
df(t)g(t)
dt
= g(t)
df(t)
dt
+ f(t)
dg(t)
dt
Dica 2: Regra de Leibnitz
df [g(t)]
dt
=
df [g(t)]
dg
dg(t)
dt
9. Um corpo movimenta-se sobre a trajetória
x2+y2 = 9. Sua equação (no sentido horário
de giro) é s = 2t3, onde s mede-se a partir
do ponto (3, 0) sobre a trajetória. Encontre
a aceleração total do corpo.
10. O vetor posição de uma partícula em relação
a um sistema de coordenadas cartesianas é
dado por
~r = a cosωtˆı+ a sinωtˆ,
onde a e ω são constantes.
(a) Mostre que a velocidade é perpendicu-
lar ao vetor ~r.
(b) Mostre que a aceleração tem uma dire-
ção radial.
6 Movimento Curvilíneo
1. Um ponto move-se no plano xy segundo a
lei
~a = −4 sin tˆı+ 3 cos tˆ.
Sabe-se que para t = 0 , x = 0, y = 3,
vx = 4, vy = 0. Determine (a) a equação da
trajetória e (b) o valor da velocidade quando
t = pi/4 s.
Dica: A equação é obtida eliminando a de-
pendência temporal nas componentes do ve-
tor posição.
Lembrete: Integrais de funções trigonomé-
tricas∫ θ2
θ1
cos (bx)dx =
1
b
[sin (bθ2)− sin (bθ1)],∫ θ2
θ1
sin (bx)dx = −1
b
[cos (bθ2)− cos (bθ1)].
2. Mostre que para um movimento curvilíneo,
num ponto tangente à trajetória (arbitrá-
rio), tem-se as seguintes relações
aT =
~v ·~a
v
, aN =
|~v × ~a|
v
, ρ =
v3
|~v × ~a| ,
onde v é o módulo da velocidade tangencial.
3. [0,5 sobre a P1] Mostre que para o movi-
mento curvilíneo no plano, com uma traje-
tória do tipo y = y(x), o raio de curvatura,
ρ, é dado por
ρ =
[
1 +
(
dy
dx
)2]3/2
∣∣∣∣d2ydx2
∣∣∣∣
4. Um corpo é disparado horizontalmente com
uma velocidade de 10 m/s, de modo que sua
trajetória forma uma circunferência. Trans-
corridos
√
8 s após o lançamento, encontre a
aceleração normal e tangencial. Use g = 10
m/s2.
5. Um partícula se desloca sobre uma trajetó-
ria parabólica y = 3x2, com uma rapidez
constante de 10 m/s. Encontre a acelera-
ção da partícula quando passa pelo ponto
A = (1, 3).
6. O vetor posição de uma partícula em rela-
ção à origem do sistema de coordenadas é
dado por
~r = 20t2 ıˆ+ 60 sin 2pitˆ+ (30− 50t)kˆ,
onde r = |~r| está em metros (m) e t em se-
gundos (s). Encontre em t = 2 s:
(a) a altura que se encontra o corpo (as-
sumindo que a base está formada pelo
plano xy).
(b) a distância à origem.
(c) o raio de curvatura.
7. Uma partícula move-se por uma circunfe-
rência de raio ρ. Sua velocidade depende
do comprimento de arco s, segundo a lei
v = κs3/2, onde κ é uma constante. Encon-
tre o ângulo entre a os vetores aceleração e
velocidade.
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8. O vetor posição de um corpo em funcão do
tempo é dado por
~r(t) =
t2
2
ıˆ+ 2tˆ− 2tkˆ,
onde t está em segundos. Encontre o raio
de curvatura e a normal principal unitária.
9. Um corpo começa a se movimentar em t =
0 partindo da origem em uma trajetória
plana, de tal forma que sua aceleração nor-
mal aN = 3t
3
e sua aceleração tangencial
seja aT = 2t. Encontre o raio de curvatura
da trajetória e sua aceleração total em fun-
ção do percurso s.
10. Um corpo rígido gira em torno de um eixo
fixo definido pelo vetor
~A = ıˆ − ˆ + kˆ, com
uma velocidade angular de 120 rpm. En-
contre a velocidade linear para o ponto do
corpo B = (1, 2, 3).
7 Tópicos avançados do mo-
vimento curvilíneo
1. Em coordenadas generalizadas, o vetor po-
sição pode ser expressado em forma
~r(t) =
∑
k
rk(~u)eˆk,
onde as funções rk(u1, u2, u3) e os versores
eˆk dependem do tempo.
(a) Mostre que as velocidades generaliza-
das são dada por
~v =
∑
k
hku˙kuˆk,
onde uˆk é o versor correspondente à di-
reção tangente à linha uk.
(b) Mostre que as acelerações generaliza-
das são dadas por
~a =
∑
k
(h˙ku˙k + hku¨k)uˆk +
∑
hku˙k ˙ˆuk.
2. O passo das coordenadas cartesianas para
um sistema cilíndrico utilizam as seguintes
transformações
x = r cosφ, y = r sinφ, z = z
onde u1 = r, u2 = φ e u3 = z são funções
do tempo. Para este sistema de coordena-
das, os fatores de escala são
h1 = hr = 1, h2 = hφ = r, h3 = hz = 1,
e os versores ao longo das direções radial
uˆ1 = eˆr, angular uˆ2 = eˆφ e vertical uˆ3 = eˆz
são dados por
eˆr = cosφıˆ+ sinφˆ
eˆφ = − sinφıˆ+ cosφˆ
eˆz = kˆ
Em base a estas informações
(a) Mostre que o vetor de posição pode ser
escrito como
~r(t) = r(t)eˆr + z(t)kˆ,
(b) Mostre as seguintes propriedades
eˆr × eˆφ = kˆ
eˆφ × kˆ = eˆr
eˆk × eˆr = eˆφ
(c) Mostre as seguintes relações
˙ˆer = ωeˆφ
˙ˆeφ = −ωeˆr,
onde ω = φ˙ é a velocidade angular.
(d) Por substituição direta nas expressões
do exercício anterior encontre a expres-
são para a velocidade e aceleração neste
sistema de coordenadas. Identifique e
interprete cada um dos termos.
3. O passo das coordenadas cartesianas para
um esférico utilizam as seguintes transfor-
mações
x = r sin θ cosφ, y = r sin θ sinφ, z = r cos θ
onde u1 = r, u2 = θ e u3 = φ são funções
do tempo. Para este sistema de coordena-
das, os fatores de escala são
h1 = hr = 1, h2 = hθ = r, h3 = hφ = r sin θ,
e os versores ao longo das direções radial
uˆ1 = eˆr, azimutal uˆ2 = eˆθ e polar uˆ3 = eˆθ
são dados por
eˆr = sin θ(cosφıˆ+ sinφˆ) + cos θkˆ
eˆθ = cos θ(cosφıˆ+ sinφˆ)− sin θkˆ
eˆφ = − sinφıˆ+ cosφˆ.
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(a) Mostre que o vetor posição em coorde-
nadas esféricas pode ser escrito como
~r(t) = r(t)eˆr,
(b) mostre as seguintes propriedades
eˆr × eˆθ = eˆφ
eˆθ × eˆφ = eˆr
eˆφ × eˆr = eˆθ
kˆ = cos θeˆr − sin θeˆθ.
(c) Mostre as seguintes relações (para o
caso em que θ é constante)
˙ˆer = ω sinθeˆφ
˙ˆeθ = ω cos θeˆφ,
˙ˆeφ = −ω (sin θeˆr + cos θeˆθ)
onde ω = φ˙ é a velocidade angular.
(d) Por substituição direta, em analogia às
coordenadas cilíndricas, encontre a ex-
pressão para a velocidade e aceleração
neste sistema de coordenadas. Identifi-
que e interprete cada um dos termos
(e) Analise o caso em que o ângulo azimu-
tal θ é constante no tempo.
4. [0.5 sobre a P1] Um corpo é lançado verti-
calmente para cima com velocidade v0, con-
siderando que os efeitos da resistência do ar
e da aceleração centrífuga são desprezíveis,
de modo que após o lançamento, para um
observador em movimento solidário com a
Terra, as únicas ações sobre o corpo são a
gravidade e a aceleração de Coriolis, i.e.,
~a = ~ar + ~acor = geˆr − 2~ω × ~v, (1)
onde g a aceleração da gravidade, ~ω = ωkˆ (ω
é a frequência angular da terra) e ~v = v(t)eˆr
(v(t) é a rapidez de um típico movimento
vertical).
(a) Calculando a direção da aceleração de
Coriolis, numa latitude λ, indique a di-
reção de desvio em relação ao ponto
de lançamento em cada hemisfério,
quando o corpo retorna a terra.
Dica:
• Os desvios são para o leste (na di-
reção eˆφ) ou oeste (−eˆφ), onde eˆφ
é o versor na direção polar das co-
ordenadas esféricas.
• O versor kˆ em função dos versores
esféricos.
kˆ = cos θeˆr∓sin θeˆθ,
{ −, (h. norte)
+, (h. sul)
• Relação entre latitude, λ, e ângulo
azimutal, θ (constante no tempo),
λ = |pi/2− θ|
Lembretes:
• Propriedades do produto vetorial
de versores esféricos
eˆr × eˆθ = eˆφ, eˆr × eˆr = 0,
eˆθ × eˆφ = eˆr, eˆθ × eˆθ = 0,
eˆφ × eˆr = eˆθ, eˆφ × eˆφ = 0.
• Propriedades das funções trigono-
métricas
cos (α± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
sin (α± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
(b) Prove, que ao voltar ao chão ele cai a
uma distância δφ do ponto de lança-
mento dada por
δφ =
4
3
ω cosλ
√
8h3
g
, h =
v20
2g
onde ω é a velocidade angular da terra,
λ é a latitude geográfica e h é a altura
máxima atingida pelo corpo.
Dica: Primeiro, analise o movimento
vertical (na direção radial) de modo
a obter a velocidade em qualquer ins-
tante de tempo e o tempo de percurso.
Utilize a expressão da velocidade no
termo de Coriolis (acor) e o tempo de
percurso para calcular o desvio, já que
este último corresponde a
δ¨φ = acor.
Lembrete:∫ x
0
yndy =
yn+1
n+ 1
∣∣∣∣x
0
=
xn+1
n+ 1
.
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	Problemas Conceituais
	Movimento em uma Dimensão 
	Movimento em Duas Dimensões
	Movimento em três dimensões
	Movimento Circular
	Movimento Curvilíneo
	Tópicos avançados do movimento curvilíneo

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