Lista 1 Cálculo diferencial é geometria analitica

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Cálculo Diferencial e Geometria Analítica
Caderno de Exercícios - 2017.1
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
1 Conceitos vetoriais básicos
[1] Seja ABC um triângulo retângulo em A. Pode-se dizer que os segmentos orientados (A,B) e (A,C)
têm o mesmo comprimento? E quanto aos segmentos (A,B) e (B,C)?
[2] Sejam A e B pontos distintos de E3. Podemos dizer que (A,B) é diferente de (B,A)?
[3] Seja ABCD um quadrilátero e suponha que (A,B) e (C,D) têm a mesma direção. Pode-se
afirmar que ABCD é um paralelogramo?
[4] Sejam A e B pontos distintos de E3. É verdade que (A,B) e (B,A) são equipolentes? Em caso
negativo, sob quais condições a resposta é afirmativa.
[5] Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação e justifique sua resposta.
(a) (A,B) ∈ # «AB
(b) (A,B) ∼ (C,D)⇔ # «AB = # «CD
(c) AB//CD ⇒ # «AB// # «CD
(d) # «AB = # «CD ⇒ A = C e B = D
(e) # «AB = # «CD ⇒ (A,C) ∼ (B,D)
(f) # «AB = # «CD ⇒ AC ∩BD = ø
(g) ‖ # «AB‖ = ‖ # «CD‖ ⇒ # «AB = # «CD
(h) # «AB = # «CD ⇒ ‖ # «AB‖ = ‖ # «CD‖
(i) Se # «AB = # «CD, então existe um único plano
contendo A,B,C e D.
(j) (A,B) ∼ (C,D)⇒ ‖ # «AB‖ = ‖ # «CD‖
[6] Seja #«v um vetor não nulo. Mostre que o vetor
#«v
‖ #«v ‖ (chamado de versor de
#«v ) é unitário com a
mesma direção e sentido que #«v .
1
2 Adição de vetores e multiplicação por escalar
[1] Encontre a soma dos vetores indicados na figura, nos seguintes casos:
Figura 1: (a) Hexágono Regular
2
Figura 2: (b) Tetraedro
Figura 3: (c) Cubo
3
Figura 4: (d) Paralelepípedo
Figura 5: (e) Hexágono Regular
4
Figura 6: (f) Hexágono Regular
[2] Sejam
#«
u ,
#«
v e
#«
w vetores em V
3
. Mostre que:
(a)
#«
u + (
#«
v +
#«
w) = (
#«
u +
#«
v ) +
#«
w
(b)
#«
u +
#«
v =
#«
v +
#«
u
(c)
#«
u +
#«
0 =
#«
u
(d)
#«
u + (−
#«
u ) =
#«
0
[3] (lei de cancelamento) Sejam
#«
u ,
#«
v e
#«
w vetores em V
3
. Mostre que, se
#«
u +
#«
v =
#«
u +
#«
w então
#«
v =
#«
w .
[4] Sejam
#«
u ,
#«
v e
#«
w vetores em V
3
. Mostre que, se
#«
u +
#«
v =
#«
w então
#«
u =
#«
w −
#«
v .
[5] Sejam A,B e C pontos quaisquer em E
3
. Prove que
# «
AB −
# «
AC =
# «
CB.
[6] Calcule a soma dos seis vetores que têm por representantes segmentos orientados com origem em
cada um dos vértices, e extremidade no centro de um mesmo hexágono regular.
[7] Sejam
#«
u ,
#«
v vetores em V
3
e α, β ∈ R. Mostre que:
(a) α(
#«
u +
#«
v ) = α
#«
u + α
#«
v
(b) 1 ·
#«
u =
#«
u
(c) (α + β)
#«
u = α
#«
u + β
#«
u
(d) α(β
#«
u ) = (αβ)
#«
u
[8] Seja
#«
v um vetor não nulo. Mostre que, α
#«
v = β
#«
v então α = β.
[9] Sejam (A,B) um representante de
#«
u 6=
#«
0 , e (C,D) um representante de
#«
v 6=
#«
0 . Mostre que
AB ‖ CD se, e somente se, existe λ ∈ R tal que
#«
u = λ
#«
v .
[10] Dado um triângulo ABC , sejaM o ponto médio de AB. Exprima
# «
CM em função de
# «
AB e
# «
AC .
5
[11] Sejam A,B e C três pontos quaisquer do espaço, com A e B distintos. Mostre que X é um ponto
da reta AB se, e somente se, existem α e β reais tais que
α + β = 1 e # «CX = α # «CA+ β # «CB.
[12] Fixados os vetores #«u e #«v , resolva os sistemas nas incógnitas #«x e #«y :
(a)
{
#«x + 2 #«y = #«u
3 #«x − #«y = 2 #«u + #«v (b)
{
#«x + #«y = #«u − 2 #«v
#«x − #«y = 3 #«u
3 Soma de ponto com vetor
[1] Sendo CX a altura do triângulo ABC relativa ao vértice C , exprima X em função de A, # «CA e
# «
CB.
[2] Considere um triângulo ABC arbitrário e sejamM,N e P os pontos médios dos lados AB,BC
e CA, respectivamente. Exprima # «BP , # «AN e # «CM em função de # «AB e # «AC .
[3] Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro
lado e tem por medida a metade da medida deste lado.
[4] Prove que se os pontos médios dos lados de um quadrilátero são vértices de um paralelogramo.
[5] Mostre que num triângulo as retas suportes de duas medianas se encontram num único ponto.
[6] Dado 4ABC , seja X um ponto no lado AB tal que a medida de XB é o dobro da medida de
AX . Exprima # «CX em função de # «CA e # «CB.
[7] Mostre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao
terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado.
[8] Prove que num triângulo as retas suportes de duas medianas se encontram num único ponto.
[9] Num triânguloABC , sejamM,N eP os pontos médios dos ladosAB,BC eAC , respectivamente.
Mostre que
# «
AN +
# «
BP +
# «
CM =
#«
0
[10] Dados quatro pontos A,B,C e X tais que # «AX = m # «XB, exprima # «CX em função de # «CA e # «CB
(e de m).
[11] Seja OABC um tetraedro,X o ponto de encontro das medianas do triângulo ABC . Exprima # «OX
em termos de # «OA, # «OB e # «OC .
[12] Sendo ABCDEF um hexágono regular de centro O, prove que
# «
AB +
# «
AC +
# «
AD +
# «
AE +
# «
AF = 6
# «
AO
[13] Seja ABCD um quadrilátero, e O um ponto qualquer. Seja P o ponto médio do segmento que une
os pontos médios das diagonais AC e BD. Prove que
P = O +
1
4
(
# «
OA+
# «
OB +
# «
OC +
# «
OD)
6
[14] Considere o triângulo ABC, e sejam # «CA = #«u , # «CB = #«v e #«w = #«u − 2 #«v . Calcule α real tal que
X = C + α #«w pertença à reta AB.
4 Dependência e Independência Linear
[1] Suponha que #«u e #«v são paralelos a ummesmo plano. Pode-se dizer que esses vetores são paralelos?
[2] Sejam a e b números reais. Escreva o vetor a #«u + b #«v como combinação linear dos vetores 2 #«u + #«v
e #«u − 2 #«v .
[3] Prove que ( #«u , #«v ) é LI se, e somente se,
a #«u + b #«v =
#«
0
admite apenas a solução trivial a = b = 0.
[4] Suponha que ( #«u , #«v ) é LI. Dado um vetor #«w , mostre que ( #«u , #«v , #«w) é LD se, e somente se, #«w é
gerador por ( #«u , #«v ).
[5] Suponha que ( #«u , #«v ) é LD. Dado qualquer vetor #«w , mostre que ( #«u , #«v , #«w) também é LD.
[6] Prove que ( #«u , #«v , #«w) é LD se, e somente se, algum desses vetores é gerado pelos demais.
[7] Mostre que { #«u , #«v , #«w} é LI se, e somente se, a equação a #«u + b #«v + c #«w = #«0 , com a, b, c reais,
admite apenas a solução trivial a = b = c = 0.
[8] Suponha que { #«u , #«v , #«w} é LI. Sabendo que
a1
#«u + b1
#«v + c1
#«w = a2
#«u + b2
#«v + c2
#«w,
prove que
a1 = a2, b1 = b2, c1 = c2.
[9] Seja B := { #«u , #«v , #«w} ⊂ V3 um conjunto LI. Mostre que B gera todo vetor de V3.
[10] Mostre que, se { #«u , #«v } é LI então { #«u + #«v , #«u − #«v } também é LI. Faça um desenho ilustrando tal
situação.
[11] Suponha que os vetores #«u , #«v , #«w sejam LI. Mostre que os vetores #«u + #«v , #«u − #«v e #«u + #«v + #«w
também são LI.
[12] Diga se o conjunto { #«u , #«v , #«u/2 + 5 #«v } é LD ou LI. Justifique.
[13] Sejam #«u , #«v , #«w vetores de V3. Mostre que:
(a) Se { #«u , #«v , #«w} é LI, então { #«u + #«v + #«w, #«u − #«v , 3 #«v } também é LI.
(b) { #«u − 2 #«v + #«w, 2 #«u + #«v + 3 #«w, #«u + 8 #«v + 3 #«w} é LD.
[14] Em um triângulo ABC o pontoM é tal que 3 # «BM = 7 # «MC . Verifique que os vetores # «AM , # «AB e
# «
AC são LD.
Sugestão: Escreva o vetor # «AM em função de # «AB e # «AC .
7
[15] SejamABC um triângulo arbitrário,M o ponto médio do ladoAB eN um ponto emAC . SabendoMN é paralelo ao lado BC , mostre que N é o ponto médio do lado AC .
[16] Seja { #«u , #«v , #«w} LI. Mostre que são LI:
(a) { #«u + #«v + #«w, #«u − #«v , 3 #«v }
(b) { #«u + #«v , #«u − #«w, #«v + #«w}
[17] Mostre que { #«u−2 #«v + #«w, 2 #«u+ #«v +3 #«w, #«u+8 #«v +3 #«w} é LD, quaisquer que sejam #«u , #«v , #«w ∈ V3.
5 Base
[1] Seja E uma base de V3. Dado um vetor #«u , mostre que existe uma única tripla ordenada (a, b, c)
de números reais tais que
#«u = (a, b, c)E.
[2] Fixemos uma base E de V3. Dados #«u = (a1, b1, c1)E , #«v = (a2, b2, c2)E e α ∈ R, mostre que:
(a) #«u + #«v = (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2)E (b) α #«u = (αa1, αb1, αc1)E
[3] Seja E uma base de V3. Sendo #«u = (1,−1, 3)E , #«v = (2, 1, 3)E e #«w = (−1,−1, 4), verifique se
#«w é combinação linear de #«u e #«v .
[4] Fixada uma base E , verifique se são LI ou LD:
(a) #«u = (1, 2, 3) e #«v = (2, 1, 1) (b) #«u = (1, 7, 1) e #«v = (1/2, 7/2, 1/2)
[5] Seja E uma base de V3. Mostre que #«u = (x1, y1, z1)E , #«v = (x2, y2, z2)E e #«w = (x3, y3, z3)E são
LI se, e somente se, ∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣ 6= 0
[6] Dada uma base E , verifique se os vetores #«u = (1,−2, 1)E , #«v = (0, 1, 3)E e #«w = (0,−1, 3)E são
LI ou LD.
[7] Sabendo-se que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) é base, e
#«
f 1 = 2
#«e 1 − #«e 2, #«f 2 = #«e 1 − #«e 2 + 2 #«e 3, #«f 3 = #«e 1 + 2 #«e 3,
pode-se dizer que ( #«f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) também é base de V3? Justifique.
[8] Sendo E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) base, e
#«
f 1 =
#«e 1 +
#«e 2 +
#«e 3,
#«
f 2 =
#«e 1 +
#«e 2,
#«
f 3 =
#«e 3,
decida se F = ( #«f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) é base.
[9] (Teorema de Pitágoras) Mostre que os vetores #«u e #«v são ortogonais se, e somente se,
‖ #«u + #«v ‖2 = ‖ #«u‖2 + ‖ #«v ‖2
8
[10] Seja E uma base ortonormal. Dado #«u = (a, b, c)E , mostre que ‖ #«u‖ =
√
a2 + b2 + c2.
[11] Fixemos uma base E . Ache m de modo que #«u = (1, 2, 2) seja combinação linear de #«v = (m −
1, 1,m− 2) e #«w = (m+ 1,m− 1, 2). Em seguida, determine m para que { #«u , #«v , #«w} seja LD.
[12] Seja OABC um tetraedro, eM o ponto médio de BC .
(a) explique por que ( # «OA, # «OB, # «OC) é uma base.
(b) determine as coordenadas de # «AM nesta base.
6 Mudança de base
[1] Seja E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base de V3, e defina
#«
f 1 =
#«e 1 − #«e 2
#«
f 2 =
#«e 3
#«
f 3 =
#«e 2 +
#«e 3
(a) Mostre que F = ( #«f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) é base.
(b) Encontre a matriz de mudança de E para F .
(c) Se #«v = (1,−1, 3)F , determine as coordenadas de #«v na base E .
(d) Se #«u = (1,−1, 3)E , determine as coordenadas de #«u na base F .
[2] Sejam E e F bases de V3. Sabendo-se queM é a matriz de mudança de E para F , mostre queM
é inversível e queM−1 é a matriz de mudança de F para E .
[3] Sejam E , F e G bases de V3 e suponha queMEF eMFG são as matrizes de mudança de E para
F e, de F para G, respectivamente. SeMEG é a matriz de mudança de E para G, mostre que
MEG = MEF ·MFG.
[4] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3), F = (
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) e G = ( #«g 1, #«g 2, #«g 3) são bases, onde
#«e 1 =
#«
f 1 + 2
#«
f 2
#«e 2 =
#«
f 1 − #«f 3
#«e 3 =
#«
f 2 +
#«
f 3
e

#«g 1 =
#«e 1 − 2 #«e 2
#«g 2 =
#«e 1 +
#«e 3
#«g 3 =
#«e 2 − #«e 3
Encontre as matrizes de mudanças de
(a) E para F ;
(b) F para G;
(c) E para G;
(d) F para E ;
(e) G para F ;
(f) G para E .
[5] Seja E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base e defina
#«
f 1 =
#«e 1 − 3 #«e 2
#«
f 2 =
#«e 2 +
#«e 3
#«
f 3 =
#«e 1 − #«e 2
9
(a) Mostre que F = ( #«f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) é base.
(b) Sendo #«u = 3 #«e 1 + 4 #«e 2 − #«e 3, encontre as coordenadas de #«u em relação à base F .
[6] A matriz de mudança da base E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) para a base F = (
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) é
M =
1 0 10 1 0
1 0 −1
 .
(a) Exprima os elementos de F em termos da base E .
(b) Exprima os elementos de E em termos da base F .
7 Ângulo entre vetores e Produto Escalar
Observação: Nesta seção, está fixada uma base ortonormal.
[1] Sejam #«u , #«v e #«w arbitrários. Mostre que
#«u · ( #«v + #«w) = #«u · #«v + #«u · #«w (distributividade) e #«u · #«v = #«v · #«u (comutatividade)
[2] Mostre que #«u e #«v são ortogonais se, e somente se, #«u · #«v = 0.
[3] Se #«u = (2, 1,−1) e #«v = (1,−1, 2), encontre um vetor não nulo #«w tal que #«u · #«w = #«v · #«w = 0.
[4] Encontre, nos seguintes casos, o valor de x que torna #«u e #«v ortogonais:
(a) #«u = (x+ 1, 1, 2), #«v = (x− 1,−1,−2);
(b) #«u = (x, x, 4), #«v = (4, x, 1);
(c) #«u = (x,−1, 4), #«v = (x,−3, 1).
[5] Seja #«v = (2, 3,−1) e #«w = (2,−4, 6).
(a) Encontre todos os vetores #«u que satisfazem ‖ #«u‖ = 3√3, #«u⊥ #«v e #«u⊥ #«w .
(b) Qual dos vetores encontrados em (a) forma um ângulo agudo com o vetor (1, 0, 0)?
[6] Calcule o cosseno do ângulo formado por duas diagonais de um cubo.
[7] Se A,B,C são vértices de um triângulo equilátero de lado unitário, calcule:
# «
AB · # «BC + # «BC · # «CA+ # «CA · # «AB.
[8] Se #«u + #«v + #«w = #«0 , ‖ #«u‖ = 3/2, ‖ #«v ‖ = 1/2, ‖ #«w‖ = 2, calcule
#«u · #«v + #«v · #«w + #«w · #«u .
[9] (Desigualdade Cauchy-Schwarz) Sejam #«u , #«v ∈ V3. Mostre que
| #«u · #«v | ≤ ‖ #«u‖ · ‖ #«v ‖
10
[10] Seja ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base ortonormal. Dado #«u ∈ V3, mostre que
#«u = ( #«u · #«e 1) #«e 1 + ( #«u · #«e 2) #«e 2 + ( #«u · #«e 3) #«e 3.
[11] Seja #«v um vetor não nulo fixado. Dado um vetor #«w , mostre que existe um único par ( #«w1, #«w2) de
vetores tal que #«w1// #«v , #«w1 ⊥ #«v e #«w1 + #«w2 = #«w ; #«w1 chama-se projeção de #«w na direção de #«v
(ou sobre #«v ). Notação: #«w1 = proj #«v
#«w .
[12] Dados #«w e um vetor não nulo #«v , mostre que proj #«v
#«w =
#«w · #«v
‖ #«v ‖2
#«v . Conclua que proj #«v
#«w =
( #«w · #«v ) #«v , se #«v é unitário.
[13] Dada uma base ortonormal ( #«e 1, #«e 2, #«e 3), mostre que, para todo #«u ∈ V3,
#«u = proj #«e 1
#«u + proj #«e 2
#«u + proj #«e 3
#«u
[14] Dada a base ( #«e 1, #«e 2, #«u ), onde #«e 1 e #«e 2 são unitários e ortogonais, obtenha uma vetor #«e 3 tal que
( #«e 1,
#«e 2,
#«e 3) é uma base ortonormal.
[15] (Processo de ortonormalização deGram-Schmidt) Dada a base ( #«f 1,
#«
f 2,
#«
f 3), encontre uma base
ortonormal ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) tal que #«e 1 ‖ #«f 1 e #«e 2 seja combinação linear de #«f 1 e #«f 2.
[16] Dizemos que uma matriz quadrada M é ortogonal se MM t = M tM = I (matriz identidade).
Sejam E e F bases ortonormais de V3. Mostre que a matriz de mudança de E para F é ortogonal.
Conclua que, neste caso,MFE = M tEF e | detMEF | = 1.
[17] (Trabalho) O produto escalar é uma importante ferramenta para a Física, uma vez que inúmeras
grandezas físicas são definidas com seu emprego, como, por exemplo, o trabalho. O trabalho
realizado por uma força constante #«F ao longo de um determinado deslocamento #«d é definido
como o produto escalar dessa força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está
aplicada.
A grandeza física trabalho, denotada porW , é uma grandeza escalar e tem como unidade demedida
no Sistema Internacional o joule, denotado por J . A expressão para o cálculo do trabalhoW é
W = #«F · #«d = ‖ #«F ‖ · ‖ #«d ‖ cos θ e 1 J = 1 N · m (1 Newton vezes 1 metro)
[18] Observando a figura acima, calcule o trabalho realizado pela força #«F para deslocar a caixa de
vermelho de A até B, sabendo que ‖ #«F ‖ = 10N , ‖ # «AB‖ = 20m e θ = pi/6.
11
8 Orientação
Observação: Nesta seção, E é uma base fixada de V3, A é o conjunto das bases com a mesma
orientação que E e B, as bases com orientação oposta.
[1] Suponha que E tem a mesma orientação que F . Mostre que F ∈ A.
[2] Existe alguma base de V3 simultaneamente em A e B? Justifique.
[3] Mostre queduas bases quaisquer em B têm a mesma orientação.
[4] Sejam F ∈ A e G ∈ B. Mostre que F e G têm orientação oposta.
[5] Mostre que, se E tem a mesma orientação que F e, F tem a mesma orientação que G, então E
tem a mesma orientação que G.
[6] Mostre que as bases E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = (− #«e 1 + #«e 2, #«e 2, #«e 3) têm orientação oposta.
[7] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = ( #«e 1, #«e 2, #«u ) são bases com a mesma orientação. Mostre
que, se #«e 3// #«u então existe λ > 0 tal que #«u = λ #«e 3. Conclua que #«u = #«e 3 se ‖ #«u‖ = ‖ #«e 3‖.
[8] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = ( #«e 1, #«e 2, #«u ) são bases de orientação oposta. Mostre que,
se #«e 3// #«u então existe λ < 0 tal que #«u = λ #«e 3. Conclua que #«u = − #«e 3 se ‖ #«u‖ = ‖ #«e 3‖.
[9] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3). Em cada caso decida se F ∈ A ou F ∈ B, sendo F =
(
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3):
(a)

#«
f 1 = − #«e 1 + #«e 2 − 2 #«e 3
#«
f 2 = −2 #«e 1 + #«e 2
#«
f 3 =
#«e 1 +
#«e 3
(b)

#«e 1 = −2 #«f 1
#«e 2 =
#«e 2 − #«f 3
#«e 3 =
#«
f 1 +
#«
f 2 +
#«
f 3
[10] Sejam ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e (a #«e 1, b #«e 2, c #«e 3) bases positivas. Qual é a relação entre a, b e c?
[11] Seja F uma base ortonormal obtida a partir de E através do processo de ortonormalização de
Gram-Schmidt. Mostre que F ∈ A.
[12] Considere a matriz
M(t) :=
1 + 2t −t 0−t 1− t −3t
t 2t 1 + 4t

(a) Que valores deve tomar t para queM(t) seja a matriz de mudança deE para uma base F (t)?
(b) Especifique os valores de t para os quais E e F (t) ∈ A, e os valores para os quais F (t) ∈ B.
(c) Existe t tal que F (t) = E?
(d) Seja t0 o menor inteiro positivo para o qual F (t0) é base. Exprima cada vetor de F (t0) como
combinação linear dos vetores de E .
12
9 Produto Vetorial
Observação: Nesta seção, está fixada uma base E = ( #«i , #«j , #«k ) ortonormal positiva.
[1] (Identidade de Lagrange) Prove que ‖ #«u ∧ #«v ‖2 = ‖ #«u‖2‖ #«v ‖2 − ( #«u · #«v )2.
[2] Seja θ a medida do ângulo entre os vetores #«u e #«v . Mostre que
‖ #«u ∧ #«v ‖ = ‖ #«u‖ · ‖ #«v ‖ sin θ
[3] Sejam #«u e #«v em V3. Mostre que #«u ∧ #«v = #«0 se, e somente se, #«u e #«v são LD.
[4] Mostre que #«u ∧ #«v = − #«v ∧ #«u , para quaisquer #«u , #«v ∈ V3. [O produto vetorial não é comutativo]
[5] Calcule ( #«j ∧ #«j ) ∧ #«i e #«j ∧ ( #«j ∧ #«i ), e conclua que o produto vetorial não é associativo.
[6] Demonstre as seguintes propriedades:
(a) #«u ∧ ( #«v 1 + #«v 2) = #«u ∧ #«v 1 + #«u ∧ #«v 2
(b) ( #«u 1 + #«u 2) ∧ #«v = #«u 1 ∧ #«v + #«u 2 ∧ #«v
(c) #«u ∧ (λ #«v ) = (λ #«u ) ∧ #«v = λ( #«u ∧ #«v )
[7] Sejam #«u e #«v vetores linearmente independentes.
(a) Mostre que #«u ∧ #«v é ortogonal aos vetores #«u e #«v .
(b) Use o item (a) para verificar que #«u , #«v e #«u ∧ #«v são linearmente independentes.
(c) Conclua que F = ( #«u , #«v , #«u ∧ #«v ) é uma base positiva de V3.
[8] Calcule ‖ #«u‖ sabendo-se que ‖ #«u ∧ #«v ‖ = 4√2, ‖ #«v ‖ = 2 e o ângulo entre #«u e #«v é 45◦.
[9] Sabendo-se que a área do paralelogramo gerado pelos vetores #«u = (1, 1, x) e #«v = (−1, 1, 0) é
igual a
√
22, encontre o valor de x.
[10] Mostre que, se #«u + #«v + #«w = #«0 então #«u ∧ #«v = #«v ∧ #«w = #«w ∧ #«u .
[11] Calcule a área do triângulo ABC, sendo # «AC = (−1, 1, 0) e # «AB = (0, 1, 3).
[12] Sendo ABCD um tetraedro regular de lado unitário, calcule ‖ # «AB ∧ # «AC‖.
[13] Calcule o momento em relação ao ponto O da força #«F = (−1, 3, 4), aplicada ao ponto P tal que
# «
OP = (1, 1, 1) [este momento é # «OP ∧ #«F ].
[14] Ache um vetor unitário ortogonal a #«u = (1,−3, 1) e a #«v = (−3, 3, 3).
[15] Dados #«u = (1, 1, 1), #«v = (0, 1, 2), ache uma base ortonormal positiva ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) tal que
(i) #«e 1// #«u , #«e 1 tem o mesmo sentido que #«u .
(ii) #«e 2 é combinação linear de #«u e #«v , e sua primeira coordenada é positiva.
[16] Prove que ( #«u + #«v ) ∧ ( #«u − #«v ) = 2( #«u ∧ #«v ).
13
[17] Sejam #«u e #«v vetores linearmente independentes e suponha que
#«w ∧ #«u = #«w ∧ #«v = #«0 .
Mostre que #«w = #«0 . Interprete geometricamente.
[18] Mostre que a altura do4ABC relativa ao lado AB mede
h =
‖ # «AB ∧ # «AC‖
‖ # «AB‖
[19] Seja F uma base qualquer deV3 e considere #«u = (a1, b1, c1)F e #«v = (a2, b2, c2)F . Calcule #«u ∧ #«v .
[20] (Torque) O torque é uma grandeza vetorial, representado por #«τ , e está relacionado com a possibi-
lidade de um corpo sofrer uma torção ou alterar seu movimento de rotação.
O vetor torque é definido como o produto vetorial (observe a figura):
#«τ = #«r ∧ #«F .
O torque é definido como o módulo do vetor torque, ou seja,
‖ #«τ ‖ = ‖ #«r ‖‖ #«F ‖ sin θ,
onde θ é o ângulo entre #«r e #«F .
Observando a figura acima, calcule o torque sobre a barra AB, na qual # «AB = #«r = 2 #«j (emmetros),
#«
F = 10
#«
i (em newtons) e o eixo de rotação é o eixo z.
10 Duplo Produto Vetorial
Observação: Nesta seção, está fixada uma base ortonormal positiva ( #«i , #«j , #«k ).
[1] Prove que
(a) ( #«u ∧ #«v ) ∧ #«w = −( #«v · #«w) #«u + ( #«u · #«w) #«v ;
(b) #«u ∧ ( #«v ∧ #«w) = ( #«u · #«w) #«v − ( #«u · #«v ) #«w .
[2] (Identidade de Jacobi) Use as fórmulas acima para concluir que
( #«u ∧ #«v ) ∧ #«w + ( #«w ∧ #«u ) ∧ #«v + ( #«v ∧ #«w) ∧ #«u = #«0 .
[3] Dados #«u = (1, −3
2
, 1
2
), #«v = (6,−2,−4), #«w = (1
7
, 2
7
, 3
7
), calcule
( #«u ∧ #«v ) ∧ #«w e #«u ∧ ( #«v ∧ #«w).
[4] Seja ABC um triângulo de altura AH. Prove que # «AH é paralelo a ( # «AB ∧ # «AC) ∧ # «BC .
Sugestão: Calcule [( # «AB ∧ # «AC) ∧ # «BC] ∧ # «AH .
14
[5] Resolva o sistema
{
#«x ∧ ( #«i + #«j ) = − #«i + #«j
#«x · ( #«i + #«j ) = 2
[6] Fixe um vetor #«u não nulo. Resolva o sistema
{
#«x ∧ #«u = #«0
#«x · #«u = 1 ,
[7] Suponha que #«v ⊥ #«w e #«v ⊥ #«u . Prove que ( #«u ∧ #«v ) ∧ #«w = #«u ∧ ( #«v ∧ #«w).
[8] Prove que, se #«u e #«w são linearmente dependentes então ( #«u ∧ #«v ) ∧ #«w = #«u ∧ ( #«v ∧ #«w).
11 Produto Misto
Observação: Para esta seção sugerimos ao aluno uma revisão das propriedades do determinante. Tam-
bém fixamos uma base ortonormal E = ( #«i , #«j , #«k ) positiva.
[1] Mostre que #«u , #«v e #«w são LI se, e somente se, [ #«u , #«v , #«w] 6= 0.
[2] Sejam r e s retas, #«u vetor não nulo paralelo à r e, #«v vetor não nulo paralelo à s. Se P ∈ r eQ ∈ s,
mostre que r e s são coplanares se, e somente se, [ #«u , #«v , # «PQ] = 0.
[3] Seja F = ( #«u , #«v , #«w) uma base de V3. Mostre que [ #«u , #«v , #«w] = detMEF .
[4] Dados #«u , #«v e #«w , mostre que [ #«u , #«v , #«w] = #«u ∧ #«v · #«w .
[5] Seja ABCDEFGH um paralelepípedo, e defina #«u = # «AB, #«v = # «AD e #«w = # «AE . Mostre que o
volume desse paralelepípedo é igual a [ #«u , #«v , #«w].
[6] Mostre que o volume de um tetraedro ABCD é igual a |[ # «AB, # «AC, # «AD]|/6.
[7] O produto misto é trilinear, isto é,
(a) [α #«u1 + β #«u2, #«v , #«w] = α[ #«u1, #«v , #«w] + β[ #«u2, #«v , #«w]
(b) [ #«u , α #«v1 + β #«v2, #«w] = α[ #«u , #«v1, #«w] + β[ #«u , #«v2, #«w].
(c) [ #«u , #«w, α # «w1 + β # «w2] = α[ #«u , #«w, # «w1] + β[ #«u , #«w, # «w2]
[8] O produto misto é alternado, isto é, [ #«u , #«v , #«w] = −[ #«v , #«u , #«w] = [ #«v , #«w, #«u ] = −[ #«u , #«w, #«v ] =
[ #«w, #«u , #«v ] = −[ #«w, #«v , #«u ].
[9] Prove que #«u ∧ #«v · #«w = #«u · #«v ∧ #«w .
Sugestão: Utilize o exercício acima.
[10] Prove que ( #«u ∧ #«v ) · ( #«w ∧ #«t ) =
∣∣∣∣ #«u · #«w #«u · #«t#«v · #«w #«v · #«t
∣∣∣∣.
Sugestão: Utilize o exercício acima.
[11] Prove que, para quaisquer α, β ∈ R vale:
(a) [ #«u , #«v , #«w] = [ #«u + α #«v + β #«w, #«v , #«w].
(b) [ #«u , #«v , #«w] = [ #«u , #«v + α #«u + β #«w, #«w].
15
(c) [ #«u , #«v , #«w] = [ #«u , #«v , #«w + α #«u + β #«v ].
Sugestão: Revise Escalonamento.[12] Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores #«u = (2,−2, 0), #«v = (0, 1, 0) e #«w =
(−2,−1,−1).
[13] Calcule o volume do tetraedro ABCD dados # «AB = (1, 1, 0), # «AC = (0, 1, 1) e # «AD = (−4, 0, 0).
[14] Calcule [ #«u , #«v , #«w] sabendo que ‖ #«u‖ = 1, ‖ #«v ‖ = 2 e ‖ #«w‖ = 3, e que ( #«u , #«v , #«w) é uma base
negativa, sendo #«u , #«v , #«w dois a dois ortogonais.
[15] Prove que se #«u ∧ #«v + #«v ∧ #«w + #«w ∧ #«u = #«o então #«u , #«v , #«w são linearmente dependentes.
[16] Prove que a altura do tetraedro ABCD relativa à base ABC é
h =
| [ # «AB, # «AC, # «AD] |
‖ # «AB ∧ # «AC‖
Sugestão: Volume = 1
3
(área ∆ABC)h
12 Sistema de Coordenadas
Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #«e 1, #«e 2, #«e 3).
[1] Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades P = (2,−1, 3) e Q =
(5,−2, 1).
[2] Encontre as coordenadas do ponto P ′, simétrico do ponto P = (−1, 3, 0) em relação ao ponto
M = (1, 0, 1).
[3] Mostre que os pontos A = (1, 0, 1), B = (−1, 0, 2) e C = (1, 1, 1) são vértices de um triângulo
retângulo (sistema ortogonal).
[4] Considere os pontos A = (1, 2,−1), B = (0, 1, 1) e C = (2, 0, 0). Mostre que 4ABC é equilá-
tero.
[5] Suponha que o sistema de coordenadas é ortogonal. Encontre a área do triângulo ABC sabendo-se
que A = (2,−1, 0), B = (0, 1, 1) e C = (−1, 0, 0).
[6] (a) Mostre que os pontos P = (−1, 0, 0), Q = (2,−1,−1), R = (0, 3, 1) e S = (4, 5, 1) são
vértices de um quadrilátero plano, convexo. Em seguida, especifique quais são seus lados e
quais são suas diagonais (um quadrilátero é convexo se e só se nenhum de seus vértices é
interior ao triângulo determinado pelos outros três).
(b) Verifique se os pontos A = (2, 6,−5), B = (6, 9, 7), C = (5, 5, 0) e D = (3, 10, 2) são
vértices de um paralelogramo.
(c) Mostre que os pontos E = (3, 0,−1), F = (0, 3, 0), G = (5, 1,−2), H = (−4, 1, 2) são
vértices de um trapézio.
16
13 Estudo da reta
Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #«e 1, #«e 2, #«e 3).
[1] Encontre as equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica da reta que passa pelos pontos
A= (−1, 1, 0) e B= (0,−1, 1).
[2] Escreva uma equação vetorial da reta r, que passa pelo ponto médio M do segmento AB, e que tem
como vetor diretor
#«v =
(√
3
49
,
3
√
3
98
,
−√3
7
)
.
São dados A= (1, 1, 3) e B= (3, 1, 0).
[3] Dê dois vetores distintos e quatro pontos distintos da reta r que tem equação vetorial
X = (1, 2, 0) + λ(1, 1, 1) (λ ∈ R)
[4] Considere a reta r : X = (1, 0, 1) + λ(2,−1, 1) (λ ∈ R), e sejam P = (2, 1,−1) e Q =
(5/3,−1/3, 4/3) pontos de E3. Verifique se P e Q estão em r.
[5] São dadas as equações
1− 2x
3
=
2− 3y
5
= 1− z
(a) Mostre que elas representam uma reta r.
(b) Elas são equações na forma simétrica de r? Caso não sejam, passe-as para a forma simétrica.
(c) Exiba um ponto e um vetor diretor de r.
[6] Sejam P = (1, 0, 1) e Q = (0, 1, 1). Dados A = (1, 2, 1) e B = (1, 2,−1), verifique se existe um
ponto C na reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 1/2 (sistema ortogonal).
Solução. Seja (O, #«i , #«j , #«k ) o sistema de coordenadas ortogonal do problema (figura 7).
Como # «PQ = (−1, 1, 0) é um vetor diretor da reta PQ,
X = (1, 0, 1) + λ(−1, 1, 0) (λ ∈ R)
é uma equação vetorial dessa reta. Se C é um ponto qualquer dessa reta, existe λ ∈ R tal que
C = (1− λ, λ, 1)
Com isso,
# «
AC = (−λ, λ− 2, 0) e # «AB = (0, 0,−2),
e portanto,
# «
AC ∧ # «AB =
∣∣∣∣∣∣
#«
i
#«
j
#«
k
−λ λ− 2 0
0 0 −2
∣∣∣∣∣∣ = (−2λ+ 4,−2λ, 0).
17
Figura 7: Triângulo ABC
Em particular, ‖
# «
AC ∧
# «
AB‖ = 2
√
(λ− 2)
2
+ λ
2
. Logo
área(4ABC) =
‖
# «
AC ∧
# «
AB‖
2
=
√
(λ− 2)
2
+ λ
2
Por outro lado, para todo λ ∈ R tem-se
(λ− 2)
2
+ λ
2
= 2(λ− 1)
2
+ 2 ≥ 2,
e portanto,
área(4ABC) ≥
√
2,
para todo ponto C sobre a reta PQ. Como
√
2 > 1/2, segue-se que não existe um ponto C sobre
a reta PQ tal que área(4ABC) = 1/2.
[7] Dados os pontos A = (0, 0, 1), B = (1, 2, 1) e C = (1, 0, 1), obtenha equações paramétricas das
bissetrizes interna e externa do triângulo ABC , relativas ao vértice C .
[8] Dados os pontos A = (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0), determine P sobre a reta que passa por A e B tal
que o comprimento de PB seja o triplo de PA.
[9] Escreva equações paramétricas para a reta r, que passa pelo ponto A = (2, 0,−3) e:
(a) é paralela à reta s :
1− x
5
=
3y
4
=
z + 3
6
.
(b) é paralela à reta que passa pelos pontos B = (1, 0, 4) e C = (2, 1, 3).
18
(c) é paralela à reta t :

x = 1− 2λ
y = 4 + λ
z = −1− λ
(λ ∈ R).
[10] Sejam r e s duas retas com vetores diretores #«u e #«v , respectivamente. Suponha que #«u// #«v e
r ∩ s 6= ø. Mostre que r = s.
[11] Dados A = (0, 2, 1), r : X = (0, 2,−2) +λ(1,−1, 2), encontre os pontos de r que distam√3 de
A. Em seguida, diga se a distância do ponto A à reta r é maior, menor, ou igual a
√
3, e por quê.
(sistema ortogonal)
[12] Dada a reta r : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1) e os pontos A = (1, 1, 1), B = (0, 0, 1), ache o ponto
de r equidistante de A e B (sistema ortogonal).
[13] Ache equações paramétricas da reta que passa por A = (3, 3, 3) e é paralela à reta BC , sendo
B = (1, 1, 0) e C = (−1, 0,−1).
[14] Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações
X = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 4) (λ ∈ R) e X = (1, 0,−2) + µ(−1,−1,−1) (µ ∈ R)
Pergunta-se se as trajetórias são concorrentes e se haverá colisão.
14 Estudo do Plano
Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #«e 1, #«e 2, #«e 3).
[1] Determine duas equações vetoriais do plano que passa por A = (−1,−1, 1), e é paralelo aos
vetores #«u = (1, 0, 1) e #«v = (−1, 1, 0).
[2] Uma reta r é dada como intersecção de dois planos:
r :
{
x+ y + z − 1 = 0
x+ y − z = 0
Dê equações paramétricas de r.
Observação: A reta r acima está expressa sob a Forma Coplanar, ou seja, como interseção de dois
planos.
[3] Encontre uma equação geral do plano que contém o ponto (−1, 0, 1) e é perpendicular à reta
s :
{
x+ y + z = 0
−y + z = 2
[4] Encontre uma equação geral do plano paralelo à reta r : X = (−1, 0, 1) + (2, 0,−1) e perpendi-
cular à reta
s :
{
x+ y + z = 0
−y + z = 2
[5] Encontre as equações paramétricas da reta que passa porA(3, 6, 4), intercepta o eixo Oz e é paralela
ao plano pi : x− 3y + 5z − 6 = 0.
19
[6] Decomponha o vetor #«v = (1, 2, 4) em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano
X = (1, 1, 0) + λ(1, 0, 1) + µ(0, 1,−1) (λ, µ ∈ R)
e outra paralela à reta
X = (0, 0, 0) + ν(2, 1, 0)
[7] Considere a equação
ax+ by + cz + d = 0, (1)
onde a2 + b2 + c2 6= 0. Mostre que a equação (1) é uma equação geral de um plano, e determine
três pontos não colineares nesse plano.
[8] Encontre uma equação geral do plano que passa pelos pontos A = (1, 0, 1), B = (−1, 0, 1) e
C = (2, 1, 2).
[9] Seja pi o plano que passa pelos pontos A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = (x3, y3, z3), não
colineares. Mostre que uma equação geral de pi é dada por∣∣∣∣∣∣∣∣
x y z 1
x1 y1 z1 1
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
[10] Dadas equações paramétricas de um plano pi,
x = −1 + 2λ− 3µ
y = 1 + λ+ µ
z = λ
(λ, µ ∈ R)
obtenha uma equação geral desse plano.
[11] Uma plano tem equação geral x+ 2y − z + 1 = 0. Obtenha equações paramétricas desse plano.
[12] Seja ax+ by + cz + d = 0 uma equação geral de um plano pi. Suponhamos a 6= 0. Mostre que x = −
b
a
λ− c
a
µ− d
a
y = λ
z = µ
(λ, µ ∈ R)
são equações paramétricas de pi.
Observação: Verifique se elas são equações paramétricas de algum plano pi1. Mostre que pi1 ⊆ pi,
donde pi1 = pi.
[13] Dadas as retasr :
x− 1
2
=
y
2
= z e s : x− 1 = y = z
obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s.
[14] Sejam P = (4, 1,−1) e r : X = (2, 4, 1) + λ(1,−1, 2).
20
(a) Mostre que P /∈ r.
(b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por P .
[15] Suponha que ax + by + cz + d = 0 seja uma equação geral de um plano pi. Mostre que #«v é
ortogonal a pi.
[16] Obtenha uma equação geral do plano pi, que passa pelo ponto A = (1, 0,−1) e tem vetor normal
#«n = (1,−1, 0).
[17] Escreva equações paramétricas para a reta r = pi1 ∩ pi2, onde
pi1 : 2x− y − 3 = 0 e pi2 : 3x+ y + 2z − 1 = 0
[18] Dê uma equação geral do plano pi que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa pelos
pontos A = (1, 1, 1) e B = (2, 1,−1).
[19] Dê uma equação geral do plano que passa pelo P = (1, 0, 1) e é perpendicular à reta X =
(0, 0, 1) + λ(1, 2,−1).
[20] Decomponha o vetor #«v = −3 #«i + 4 #«j − 5 #«k paralela e ortogonalmente ao plano
pi :

x = 1− λ
y = −2
z = λ− µ
(λ, µ ∈ R)
[21] Prove que o lugar geométrico dos pontos de E3 que são equidistantes de A = (1,−1, 2) e B =
(4, 3, 1) é um plano. Mostre em seguida que esse plano passa pelo ponto médio de AB e é perpen-
dicular ao segmento AB.
15 Posições relativas de retas e planos
Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #«i , #«j , #«k ) ortogonal.
[1] Estude a posição relativa das retas
r : X = (−1, 2,−2) + λ(0, 1, 3) (λ ∈ R) e s : x = y − 1 = z
[2] Estude a posição relativa das retas
r : X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) (λ ∈ R) e s : X = (1, 3, 6) + µ(0, 2, 6) (µ ∈ R)
[3] Estude a posição relativa das retas
r : X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) (λ ∈ R) e s :
{
x+ y + z = 6
x− y − z = −4
[4] Determinem para que as retas r : X = (1, 0, 2) + λ(2, 1, 3) e s : X = (0, 1,−1) + λ(1,m, 2m)
sejam coplanares, e nesse caso estude sua posição relativa.
21
[5] Determine α e β para que as retas
r : X = (1, α, 0) + λ(1, 2, 1) (λ ∈ R) e s :
{
x = z − 2
y = βz − 1
sejam coplanares e obtenha nesse caso uma equação geral para o plano delas.
[6] Sejam #«u = (d, e, f) e #«w = (g, h, i) vetores diretores de um plano pi. Se #«v = (m,n, p) é um vetor
diretor de uma reta r, então r −t pi se, e somente se,∣∣∣∣∣∣
d e f
m n p
g h i
∣∣∣∣∣∣ 6= 0
[7] Dados o plano pi : X = (1, 1, 3) + λ(1,−1, 1) + µ(0, 1, 3), com λ, µ ∈ R, e a reta
r : X = (1, 1, 1) + α(3, 2, 1) (α ∈ R),
estude a posição relativa de r e pi.
[8] Calcule m para que a reta r : X = (1, 1, 1) + λ(2,m, 1) seja paralela ao plano
pi : X = (0, 0, 0) + α(1, 2, 0) + β(1, 0, 1).
[9] Calcule m para que a reta r : x− 1
m
=
y
2
=
z
m
seja transversal ao plano pi : x+my + z = 0
[10] Estude a posição relativa dos planos
pi1 : X = (1, 0,−1) + λ(−1, 1, 1) + µ(1, 0, 1) e pi2 : X = (0, 0, 0) + α(1, 0, 1) + β(−1, 0, 3)
[11] Estude a posição relativa dos planos pi1 : 2x− y + z − 1 = 0 e pi2 : 2x− y + z + 10 = 0.
[12] Mostre que os planos pi1 : X = (0, 0, 0) + λ(−1,m, 1) + µ(2, 0, 1) e
pi2 : X = (1, 2, 3) + α(m, 1, 0) + β(1, 0,m)
são transversais, para todo m ∈ R.
[13] Sejam r e s retas reversas, passando por A e B, e por C e D, respectivamente. Obtenha uma
equação vetorial da reta t, concorrente com r e s, e paralela ao vetor #«v = (1,−5,−1). Dados
A = (0, 1, 0), B = (1, 1, 0), C = (−3, 1,−4) e D = (−1, 2,−7).
[14] Obtenha uma equação vetorial da reta t, que passa pelo ponto P = (2,−1, 1) e é concorrente com
as retas reversas
r :
{
y + z = 5
x+ 2z = 9
e s :
{
2x− z = −1
y − 2z = 1
[15] Considere os planos pi1 : 2x = y, pi2 : x = 0, pi3 : z = 0, e seja pi4 o plano determinado pelas retas
r : X = (1, 2, 0) + λ(1, 2,−1) e s :
{
x = 0
y + z = 1
Verifique se esses planos determinam um tetraedro e calcule o seu volume.
22
16 Perpendicularidade e Ortogonalidade
Observação: Nesta seção está fixado um sistema de coordenadas ortogonal (O, #«i , #«j , #«k ).
[1] Verifique se as retas r e s são ortogonais nos seguintes casos:
(a) r : X = (1, 3, 0) + λ(0,−7, 5) e s : x−1
2
= y−3
5
= z
7
(b) r : x−4
2
= y−2
3
= z+4−5 e s :

x = 2 + 3λ
y = −5− 2λ
z = 1− λ
[2] Ache as equações na forma simétrica da reta r que passa por P = (−1, 3, 5) e é perpendicular ao
plano pi : x− y + 2z − 1 = 0.
[3] Ache equações sob a forma simétrica da reta perpendicular comum às retas reversas:
r :

x = 2 + λ
y = λ
z = −1 + λ
e s :
{
x+ y = 2
z = 0
[4] Dê uma equação vetorial da reta paralela ao plano pi, perpendicular à reta AB, e que intercepta a
reta s, onde pi : 2x− y + 3z − 1 = 0, A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 2), s : X = (4, 5, 0) + λ(3, 6, 1).
[5] Verifique se r é perpendicular a pi nos seguintes casos:
a) r :

x = 1 + 3λ
y = 1− 3λ
z = λ
e pi : 6x− 6y + 2z − 1 = 0.
b) r :
{
x− y − z = 0
x+ y = 0
e pi : 2x− 2y + 4z = 1.
[6] Ache equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular ao plano pi nos casos:
a) P = (1,−1, 0) e pi : X = (1,−1, 1) + λ(1, 0, 1)µ(1, 1, 1);
b) P = (1, 3, 7) e pi : 2x− y + z = 6.
[7] Ache uma equação geral do plano pi e é perpendicular à reta r no casos:
a) P = (0, 1,−1) r : X = (0, 0, 0) + λ(1,−1, 1);
b) P = (1, 1,−1) r :
{
x− 2y + z = 0
2x− 3y + z − 1 = 0
[8] Ache o ponto simétrico de P = (1, 1,−1) em relação à reta r : x+2
3
= y = z.
Observação: Dizemos que o ponto P ′ é o simétrico de P em relação a reta r (ao plano pi) se o
ponto médio do segmento PP ′ pertence a reta r (ao plano pi).
[9] Ache o ponto simétrico de P = (1, 4, 2) em relação ao plano pi : x− y + z − 2 = 0.
[10] Determine a projeção ortogonal
a) do ponto P = (4, 0, 1) sobre o plano pi : 3x− 4y + 2 = 0;
b) da reta r : x+ 1 = y + 2 = 3z − 3 sobre o plano pi : x− y + 2z = 0.
23
[11] Verifique se os planos pi1 : X = (4, 3, 1) + λ(−1, 0,−1) + µ(3, 1, 0) e pi2 : y − 3z = 0 são
perpendiculares.
[12] Ache uma equação geral do plano que passa pelo ponto A = (2, 1, 0) e é perpendicular aos planos
pi1 : x+ 2y − 3z + 4 = 0 e pi2 : −1
8
x− 1
4
y +
3
8
z − 1 = 0.
[13] Um cubo tem diagonal AB e uma das faces está contida no plano pi : x− y = 0. Determine seus
vértices, dados A = (1, 1, 0) e B = (1, 3,
√
2).
[14] Dados os planos pi1 : x − y + z + 1 = 0, pi2 : x + y − z − 1 = 0 e pi3 : x + y + 2z − 2 = 0,
encontre uma equação geral do plano que contém pi1 ∩ pi2 e é perpendicular a pi3.
Solução. Considere os vetores #«n 1 = (1,−1, 1), #«n 2 = (1, 1,−1) e #«n 3 = (1, 1, 2). Então: #«n 1 é
normal a pi1, #«n 2 é normal a pi2 e #«n 3 é normal a pi3. Como #«n 1 e #«n 2 são LI, os planos pi1 e pi2 são
transversais e portanto, pi1 ∩ pi2 é uma reta que denotaremos por r. Em particular, #«n 1 e #«n 2 são
ortogonais à reta r, de onde segue-se que #«v = #«n 1 ∧ #«n 2 é um vetor diretor dessa reta:
#«v = #«n 1 ∧ #«n 2 =
∣∣∣∣∣∣
#«
i
#«
j
#«
k
1 −1 1
1 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = (0, 2, 2).
Seja pi4 o plano procurado. Como pi4 ⊥ pi3 e #«n 3 é ortogonal a pi3, concluimos que #«n 3 é paralelo ao
plano pi4. Além disso, #«v também é paralelo ao plano pi4 já que este plano contém a reta r. Como
#«v e #«n 3 são LI, o vetor #«n 4 := #«v ∧ #«n 3 é normal ao plano pi4:
#«n 4 :=
#«v ∧ #«n 3 =
∣∣∣∣∣∣
#«
i
#«
j
#«
k
0 2 2
1 1 2
∣∣∣∣∣∣ = (2, 2,−2).
Logo, uma equação geral de pi4 é da forma
2x+ 2y − 2z + d = 0,
para algum d ∈ R. Observando que A := (0, 0,−1) pertence à reta r, e portanto ao plano pi4,
obtemos d = −2. Logo
pi4 : x+ y − z − 1 = 0,
que coincide com o plano pi2. Isto já era esperado, visto que #«n 2 · #«n 3 = 0 e r ⊂ pi2.
17 Ângulos
Observação: Nesta seção está fixado um sitema ortogonal (O, #«i , #«j , #«k ) de coordenadas.
[1] Ache o cosseno do ângulo entre as retas:
(a) X = (−5/2, 2, 0) + λ(1/2, 1, 1) e s :
{
3x− 2y + 16 = 0
3x− z = 0
(b) r : x = 1− y
2
=
z
3
e s :
{
3x+ y − 5z = 0
2x+ 3y − 8z = 1
24
[2] Ache a medida em radianosdo ângulo entre reta e plano nos casos:
(a) x = y = z (reta) e z = 0 (plano) Interprete o item a) geometricamente.
(b)

x = 1 + λ
y = λ
z = −2λ
e x+ y − z − 1 = 0
(c)
{
y = 2− x
x = 1 + 2z
e
√
45/7x+ y + 2z = 10
[3] Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos:
a) 2x+ y − z − 1 = 0 x− y + 3z − 10 = 0;
b) X = (1, 0, 0) + λ(1, 0, 1) + µ(−1, 0, 0). x+ y + z = 0.
[4] Ache a reta que intercepta as retas r : x− 1
3
=
y − 1
2
= −z
3
e

x = −1 + 5λ
y = 1 + 3z
z = λ
e forma
ângulos congruentes com os eixos coordenados.
[5] Ache a retar que passa pelo ponto (1,−2, 3) e que forma ângulos de 45◦ e 60◦, respectivamente,
com o eixo dos x e dos y.
[6] Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano pi1 : x + y + z = 0 e que forma 45◦ com o
plano pi2 : x− y = 0.
[7] Calcule a medida dos ângulos entre a diagonal de um cubo e suas faces.
[8] Obtenha uma equação geral do plano pi, que contém a reta r :
{
x− 2y + 2z = 0
3x− 5y + 7z = 0 e forma com
o plano pi1 : x+ z = 0 um ângulo de 60 graus.
[9] Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta
r :
{
3z − x = 1
y − 1 = 1
e forma com s : X = (1, 1, 0)+λ(3, 1, 1) um ângulo cuja medida em radianos é θ = arccos 2
√
30
11
.
[10] A diagonal BC de um quadrado ABCD está contida na reta r : X = (1, 0, 0) + λ(0, 1, 1).
Sabendo que A = (1, 1, 0), determine os pontos B,C,D.
18 Distâncias
Observação: Nesta seção está fixado um sistema ortogonal (O, #«i , #«j , #«k ) de coordenadas.
[1] Calcule a distância do ponto P à reta r nos casos:
25
(a) P = (0,−1, 0) e r :
{
x = 2z − 1
y = z + 1
. (b) P = (1,−1, 4) e r : x− 2
4
=
y
−3 =
z − 1
−2 .
[2] Obtenha uma equação vetorial da reta r paralela à s :
{
2x− z = 3
y = 2
, concorrente com t : X =
(−1, 1, 1) + λ(0,−1, 2), e que dista 1 do ponto P = (1, 2, 1).
[3] Um quadrado ABCD tem a diagonal BD contida na reta r :
{
x = 1
y = z
. Sabendo que A =
(0, 0, 0), determine os vértices B,C e D.
[4] Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos deE3 que equidistam das retas r :
{
x+ z = 1
y = 0
e s :
{
x+ y = 1
z = 0
. Descreva o lugar geométrico.
[5] Sejam P = (1, 0, 2) e r : x − y = x + 2z = x + z. Obtenha uma equação geral do plano pi que
contém r e dista 2 do ponto P .
[6] Dados um ponto P = (x0, y0, z0) e um plano pi : ax+ by + cz + d = 0, mostre que
d(P, pi) =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
[7] Calcule a distância entre as retas paralelas X = (0, 0, 2) + λ(−2, 1/2, 1) e x− 1−2 =
y
1/2
= z.
[8] Calcule a distância entre os planos paralelos 2x− y + 2z + 9 = 0 e 4x− 2y + 4z − 21 = 0.
[9] Calcule a distãncia entre as retas r :

x = 2− λ
y = 1 + λ
z = −λ
e s :
{
x+ y + z = 0
2x− y − 1 = 0 .
[10] Ache os pontos de r :
{
x+ y = 2
x = y + z
que distam 3 do ponto A = (0, 2, 1).
[11] Ache os pontos da reta y = 2x+ 1 que estão situados a distância 2 da origem.
[12] Ache os pontos sobre o eixo y que distam 4 do plano x+ 2y − 2z = 0
[13] Ache os pontos de r :
{
x+ y = 2
x = y + z
que distam
√
14/3 de s : x = y = z + 1.
[14] Obtenha uma equação vetorial da reta t, paralela ao plano pi : z = 0, que dista 3 dele, e é concor-
rente com as retas
r : X = (1,−1,−1) + λ(1, 2, 4) e s :
{
x− y = 1
3y − 2z + 6 = 0 .
[15] Ache os pontos da reta r :
{
y = 2− x
x = y + z
que distam
√
6 de pi : x− 2y − z = 1.
26
[16] Dê uma equação geral do plano que passa pelos pontos P = (1, 1,−1), Q = (2, 1, 1) e que dista
1 da reta r : X = (1, 0, 2) + λ(1, 0, 2).
[17] Dê uma equação vetorial da reta r, contida no plano pi : x + y = 0, que forma um ângulo de 30◦
com o plano α : y − z = 1 e dista 1 do eixo dos x.
[18] Se a distância da origem a um plano é d, e esse plano intercepta os eixos em (a, 0, 0), (0, b, 0) e
(0, 0, c), prove que:
1
d2
=
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
.
19 Mudança de Coordenadas
Observação: Nesta seção está fixado um sistema ortogonal (O, #«i , #«j ) de coordenadas em E2.
[1] Sejam Σ1 = (O, #«e1, #«e2, #«e3) e Σ2 = (O′,
#«
f1,
#«
f2,
#«
f3) dois sistemas de coordenadas tais que
#«
f1 =
#«e1 +
#«e2,
#«
f2 =
#«e2,
#«
f3 =
#«e2 +
#«e3 e O′ = (1, 1, 1)Σ1 . Obtenha as equações paramétricas da reta
r : [X = (0, 0, 0) + λ(0, 1, 1)]Σ1 no sistema Σ2.
[2] Seja pi : [2x− y+ z = 0]Σ1 . Obtenha uma equação geral de pi no sistema Σ2 do exercício anterior.
[3] Faça uma rotação em E2 de modo que as novas coordenadas do ponto P = (
√
3, 1) sejam
(
√
3,−1).
[4] Faça uma translação em E2 de modo que a reta r : x + 3y − 2 = 0 passe pela (nova) origem,
sabendo que esta tem abscissa −1.
[5] Faça uma rotação em E2 de modo que a reta r : x+ 2y + 1 = O fique paralela ao (novo) eixo das
abscissas e esteja contida no 3° e 4° (novos) quadrantes.
[6] Dado o sistema Σ1 = (O, #«e1, #«e2), seja C a circunferência de centro O e raio r > 0. Mostre que C ,
em qualquer sistema obtido por rotação de Σ1, tem equação u2 + v2 = r2.
[7] Elimine os termos de 1° grau e o termo misto das seguintes equações:
(a) 9x2 − 4y2 − 18x− 16y − 7 = 0;
(b) 4x2−24xy+ 11y2 + 56x−58y+ 95 = 0;
(c) 16x2−24xy+9y2−85x−30y+175 = 0;
(d) 4x2 + y2 + 8x− 10y + 13 = 0;
(e) x2 − 6x− 5y + 14 = 0;
(f) x2 + 2y2 − 4x− 4y − 1 = 0;
(g) 8x2 − 2xy + 8y2 − 46x− 10y + 11− 0;
(h) 12x2 + 8xy − 3y2 + 64x+ 30y = 0;
(i) 2x2 − 12xy + 7y2 + 8x+ 20y − 14 = 0;
(j) 25x2 + 20xy+ 4y2 + 30x+ 12y−20 = 0;
(k) 4x2 − 4xy + y2 − 8√5x− 16√5y = 0;
(l) x2 + xy + y2 − 1 = 0;
(m) 4x2− 12xy+ 9y2− 8√13x− 14√13y+
117 = 0;
(n) 3x2−2xy+3y2 +2√2x−6√6y+2 = 0.
[8] Considere a equação do segundo grau
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, (2)
que após uma mudança de coordenadas em E2 é escrita na forma
A′u2 +B′uv + C ′v2 +D′u+ E ′v + F ′ = 0 (3)
27
(a) Mostre que [
D′
E ′
]
=
[
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
] [
D
E
]
.
(b) Prove que os números A+ C e B2 − 4AC são invariantes por rotação, isto é, se (2) é trans-
formada em (3) por meio de uma rotação, então
A+ C = A′ + C ′ e B2 − 4AC = B′2 − 4A′C ′.
(c) Mostre que as raízes λ1 e λ2 da equação∣∣∣∣A− λ B/2B/2 C − λ
∣∣∣∣ = 0, (4)
são reais, quaisquer que sejam A,B e C .
(d) Mostre ainda que λ1 = λ2 apenas se A = C e B = 0, e neste caso, λ1 = λ2 = A = C .
(e) Conclua que, se A2 +B2 + C2 6= 0 não pode ocorrer λ1 = λ2 = 0.
(f) Mostre que A+ C é a soma da raízes de (4) e −B
2 − 4AC
4
é o produto delas.
(g) Conclua que A′ e C ′ são raízes de (4), escolhido θ de modo a eliminar-se o termo misto.
[9] Prove que os números A + C e B2 − 4AC são invariantes por uma mudança de coordenadas da
forma [
x
y
]
=
[
h
k
]
+
[
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
] [
u
v
]
.
Sugestão: A mudança acima pode ser interpretada como uma translação seguida de uma rotação
(roto-translação).
20 Cônicas
[1] Escreva a equação e esboce o gráfico da elipse de focos F1 = (−1, 0), F2 = (1, 0) e o eixo maior
medindo 10.
[2] Escreva a equação reduzida da elipse que tem centro na origem, focos num dos eixos coordenados,
e passa por A e B.
(a) A = (3, 2); B = (1, 4) (b) A = (5, 2); B = (2, 4)
[3] Ache os vértices e a área de um quadrado com lados paralelos aos eixos, inscrito na elipse 9x2 +
16y2 = 100.
[4] Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
(a) os vértices (±2, 0), e os focos (±3, 0);
(b) os vértices (±15, 0), e as assíntotas 5y =
±4x;
(c) b = 4, e as assíntotas 2y = ±3x (focos no
eixo Oy);
(d) os focos (±5, 0), e as assíntotas 2y = ±x;
(e) as assíntotas y = ±x, e um ponto da hi-
pérbole, (5, 9);
28
(f) os focos (±5, 0), e o comprimento L = 9
2
da corda por um dos focos, perpendicular
a F1F2.
[5] Determine os focos, os vértices e as diretrizes, das parábolas dadas a seguir. Faça um esboço.
(a) y2 = 16x;
(b) y2 + 28x = 0;
(c) x2 + 40y = 0;
(d) 5y2 = 12x;
(e) 2x2 = 7y;(f) 7x2 = 15y.
[6] Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados abaixo.
(a) A = (2, 3), x = 0 (b) A = (3, 1), y + 3 = 0 (c) A = (−4,−2), 2x+y =
3
Sugestão: Use translações e rotações.
[7] Determine a equação da circunferência em cada caso:
(a) que passa pelos pontos (1, 2), (2, 1) e (−1, 1)
(b) circunscrito ao triângulo de vértices (7, 3), (2, 8) e (5, 7).
(c) concêntrico ao círculo 4x2 + 4y2 − 16x+ 20y + 25 = 0 e tangente à reta 5x+ 12y = 1.
(d) que tem seu centro sobre a reta 4x−5y = 3 e é tangente às retas 2x−3y = 10 e 3x−2y = −5.
(e) que tem centro (3,−1) e determina sobre a reta 2x−5y+18 = 0 uma corda de comprimento
6.
[8] Esboce e reconheça as cônicas no Exercício 7 da Seção 19.
[9] O ponto (3, 1) é um vértice de uma elipseE cujos focos se acham sobre a reta y+6 = 0. Determine
a equação de E sabendo que sua excentricidade é c
a
=
√
2
2
.
[10] Determine os pontos da elipse x
2
100
+
y2
36
= 1 cuja distância ao foco que se acha sobre o semi-eixo
OX positivo seja igual a 14.
[11] Determine a equação da família de elipses com centro (2, 3), reta focal paralela ao eixo OX e
excentricidade c
a
=
1
2
.
[12] Determine a equação da elipse que passa por (1, 3), (−1, 4), (0, 3−√3/2) e (−3, 3), sabendo que
seus eixos são paralelos aos eixos coordenados.
[13] Verifique que a equação da reta tangente à elipse E : b2x2 +a2y2 = a2b2 em um ponto (x0, y0) ∈ E
é b2x0x+ a2y0y = a2b2.
[14] Mostre que as retas tangentes aos pontos extremos de um diâmetro de uma elipse são paralelas.
[15] Determine as equações das retas tangentes à elipse x
2
20
+
y2
5
= 1 que passam pelo (10/3, 20/3).
[16] Determine a equação da hipérbole que tem assíntotas y = 2x e y = −2x e passa pelo ponto (2, 1).
29
[17] Determine a equação da hipérbole que tem focos em (2, 1) e (4, 1) e excentricidade c
a
=
2√
3
.
[18] Calcule a área do triângulo formado pelas assíntotas da hipérbole x
2
4
−y
2
9
= 1 e a reta 9x+2y = 24.
[19] O ponto (1,−2) pertence a uma hipérbole em que um dos focos é (−2, 2), tendo a diretriz corres-
pondente a esse foco por equação 2x− y − 1 = 0. Determine a equação da hipérbole.
[20] Determine a equação da hipérbole equilátera(a = b) com centro no ponto (2, 3) e um dos focos no
ponto (2, 5).
[21] Determine os valores de k demodo que a equação (x− 4)
2
9 + k
+
y2
5 + k
= 1 represente uma hipérbole.
Esboce a curva para k = −7 e dê os focos, a excentricidade e = c
a
e as assíntotas.
[22] Verifique que uma reta paralela a uma assíntota de uma hipérbole intersecta a curva em apenas um
ponto.
[23] Verifique que a reta tangente à hipérbole b2x2 − a2y2 = a2b2 em qualquer ponto (x0, y0) sobre a
curva tem por equação b2x0x− a2y0y = a2b2.
[24] Verifique que o ponto de contato de qualquer tangente a uma hipérbole é o ponto médio do seg-
mento da tangente delimitado pelas assíntotas.
[25] Considere a hipérboleH : x
2
9
− y
2
36
= 1. Determine os valores dem demodo que a reta y = 5
2
x+m
(a) intersecta H em dois pontos distintos.
(b) é tangente a H.
(c) não intersecta H.
[26] Uma circunferência de centro no ponto (4,−1) passa pelo foco da parábola x2+16y = 0. Verifique
que a diretriz da parábola tangencia a circunferência.
[27] Calcule o comprimento da corda da parábola y2 = 4x determinada pela interseção da reta x −
2y + 3 = 0 com a parábola.
[28] Dê a equação da parábola de vértice (2, 1) e diretriz 4x+ 3y = 1.
[29] Dê a equação da parábola de vértice na origem e diretriz 2x+ y = 1.
[30] Determine a equação da parábola cuja reta focal é paralela ao eixoOX e passa pelos pontos (3
2
,−1),
(0, 5) e (−6, 7).
[31] Identifique os principais elementos das parábolas em cada caso:
(a) x2 − 8y = 0;
(b) 2y2 + 5x+ 8y − 7 = 0;
(c) 3y2 + 7y − 6 = 0;
(d) 9x2 − 42x+ 49 = 0;
(e) 3y2 − 2y + 1 = 0.
[32] Determine a equação da parábola com:
30
(a) Foco F = (−3/4, 0) e diretriz x = 3/4. (b) Vértice V = (−1,−3) e diretriz x = −3.
[33] Verifique que a equação do segundo grau 10y2 + 8x− 30y − 9 = 0 é uma parábola, determine o
vértice, o foco e a equação da diretriz.
[34] Determine as equações que descrevem o lugar geométrico dos pontos equidistantes à circunferência
x2 + y2 = 1 e ao eixo-OX .
[35] Determine as equações que descrevem o lugar geométrico dos pontos que são centros das circun-
ferências tangentes simultaneamente à reta y = 1 e à circunferência x2 + y2 = 9.
21 Superfícies Esféricas
[1] Ache uma superfície esférica que passa pelos pontos (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1
2
, 1
2
,
√
2
2
), (0, 0, 1).
[2] Encontre uma equação geral do plano pi, tangente à superfície esférica S : x2+y2+z2−2x−1 = 0
pelo ponto T = (1,−1, 1).
[3] Determine uma equação geral do plano pi, que contém a reta
s :
{
x+ y + z = 0
2x− 6y + 3z − 49 = 0
e é tangente à superfície esférica S de centro na origem e raio 7.
[4] Obtenha equações gerais dos planos tangentes à superfície esférica
S : x2 + y2 + z2 + 2x+ 2y − 1 = 0
que são paralelos ao plano pi : x− y − 2z − 2 = 0.
[5] Obtenha equações da circunferência E , de centro P = (1, 1,−2) e que passa pelos pontos Q =
(2, 3, 0) e R = (−1,−1,−1).
[6] Obtenha equações da circunferência que tem diâmetro AB e passa por C , sendo dados A =
(3,−2, 5), B = (−1, 6,−3) e C = (1,−4, 1).
[7] O plano 3x+2y+6z = 6 intercepta os eixos coordenados nos pontosA,B eC . Obtenha equações
da circunferência circunscrita ao triângulo ABC .
[8] Ache uma equação da superfície esférica que tem centro na reta r :
{
x = 2z − 3
y = z − 1 e passa pelos
pontos A = (6,−1, 3) e B = (0, 7, 5).
[9] Dê equações na forma simétrica da reta perpendicular ao plano 10x − 2y + 4z − 1 = 0 e que
contém um diâmetro da superfície esférica x2 + y2 + z2 + 2x− 6y + z − 11 = 0.
[10] Calcule a distância do ponto P = (1,−1, 3) à superfície esférica
S : x2 + y2 + z2 − 6x+ 4y − 10z − 62 = 0
(isto é, a distância mínima de P aos pontos de S).
31
[11] Mostre que, se k < 0, a equação x2 + y2 + z2 + ax+ by + cz + k = 0 representa uma superfície
esférica, quaisquer que sejam a, b, c reais.
[12] Prove que, se uma superfície esférica de centroC = (a, b, c) é tangente aos três planos coordenados
então |a| = |b| = |c|.
[13] Mostre que o plano tangente a S : x2 + y2 + z2 = r2 no ponto P = (a, b, c) ∈ S tem equação
ax+ by + cz = r2.
[14] Mostre que para todo φ ∈ R e para todo θ ∈ R, o ponto de coordenadas x = a sinφ cos θ,
y = a sinφ sin θ e z = a cosφ pertence à superfície esférica de centro na origem e raio a > 0.
Faça uma figura e descubra o que são φ e θ. Você já ouviu falar em coordenadas esféricas?
[15] Encontre os planos tangentes à superfície esférica (x− 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 1 que são paralelos
ao plano 2x+ y − z = 0.
[16] Ache os planos tangentes à superfície esférica x2+y2+z2 = 1 que contém a reta r :
{
x+ y + z = 0
x− y − z − 2 = 0 .
[17] Uma corda PQ da superfície esférica S : x2 + y2 + z2 − 4x+ 2y − 8z + 10 = 0 está contida na
reta
{
x = 2z − 1
y = 1− z . Determine os planos tangentes em P e Q.
[18] Encontre o centro e o raio da circunferência interseção do plano 2x − 2y − z + 9 = 0 com a
superfície esférica x2 + y2 + z2 − 6x+ 4y − 2z − 86 = 0.
[19] Obtenha equações da circunferência que passa pelos pontos A = (3,−1,−2), B = (1, 1,−2) e
C = (−1, 3, 0).
[20] Dados A = (3,−1,−2) e B = (1, 1,−2), obtenha equações do lugar geométrico dos pontos X
tais que o triângulo ABX seja equilátero. Interprete geometricamente.
[21] Dê equações gerais dos planos paralelos ao plano x − 2y − z = 0, que interceptam a superfície
esférica S : x2 + y2 + z2 + 2x+ 2y − 2z = 0, segundo circunferências de raio√3/2.
[22] Um hexágono regular inscrito na circunferência E :
{
x2 + y2 + z2 + 2x+ 2y + 2z − 3 = 0
x+ y + z = 1
tem um vértice na reta X = (−1, 1, 1/3) + λ(2,−1, 1). Determine seus seis vértices.
[23]Verifique se as superfícies esféricas
S1 : x
2 + y2 + z2 − 2x− 2y − 2z + 2 = 0 e S2 : x2 + y2 + z2 + 2x+ 2y + 2z − 4 = 0
são secantes. Em caso afirmativo, ache o centro e o raio da circunferência S1 ∩ S2 (observe que
subtraindo as equações de S1 e S2 obtém-se uma equação do plano que contém S1∩S2: por quê?).
[24] Ache λ real tal que as superfícies esféricas S1 e S2 sejam tangentes:
S1 : (x− 1)2 + (y − 3)2 + z2 = 1 e S2 : x2 + y2 + z2 − 2λx+ 4λy + 4λz = 0.
[25] Dê uma equação da superfície esférica tangente ao plano z = 0 no ponto (1,−2, 0), que tangencia
externamente a superfície esférica x2 + y2 + z2 − 6x− 8y − 2z + 1 = 0.
[26] Obtenha as equações gerais das superfícies esféricas com centro (1, 0, 1) que tangenciam interior-
mente a superfície esférica S : x2 + y2 + z2 − 2x+ y − 10 = 0.
32
22 Superfícies Cilíndricas, Cônicas, Quádricas e de Revolução
[1] Ache uma equação da superfície cílindrica de diretriz C cujas geratrizes são paralelas à reta ∆ (faça
um esboço!), onde:
(a) C :
{
x2 + y2 = z
x− y + z = 0 e ∆ :
x = 1 + λ
y = 2− λ
z = 3− λ
(b) C :
{
x2 − xy + 1 = 0
z = 0
e ∆ :
{
x = 2z
y = z + 3
(c) C :
{
xy = z
x+ y − z = 0 e ∆ : x = y = z
(d) C :
{
x+ y + xy = 0
z = 0
e ∆ : x = y =
z
[2] Encontre uma equação da superfície cilíndrica de geratrizes paralelas a #«v = (3,−2, 1) circunscrita
à superfície esférica de centro (1,−2, 2) e raio √3.
[3] Mostre que uma relação do tipo F (X, Y ) = 0 em E3, é equação de uma superfície cilíndrica S de
diretriz C :
{
F (x, y) = 0
z = 0
.
[4] Ache uma equação da superfície cônica de vértice V cuja diretriz é a curva C (faça um esboço!),
onde:
(a) C :
{
x2 − 2z + 1 = 0
y − z + 1 = 0 e V = (0, 0, 0).
(b) C :
{
x2 + y2 − x = 0
z = 0
e V = (0, 0, 1).
(c) C :
{
xz = 1
y = 1
e V = (0, 0, 0).
(d) C :
{
x2 − z2 + 1 = 0
y = 1
e V = (0, 0, 0).
[5] Determine uma equação da superfície cônica tendo a origem como vértice, e circunscrita à super-
fície esférica S : x2 + y2 + z2 − 3x− y + 2 = 0.
[6] Ache uma equação da superfície cônica circular reta de vértice V = (1, 1, 1), sabendo que as
geratrizes formam ângulo medindo 60◦ com o eixo, que é a reta
r :

x = 1 + λ
y = 1 + 2λ
z = 1− λ
[7] Encontre uma equação da superfície de rotação gerada pela curva C :
{
x2 + y2 = 1
x+ z = 0
em torno
da reta
r :

x = λ
y = λ
z = λ
(λ ∈ R)
[8] Ache uma equação da superfície gerada pela rotação da curva C :
{
f(x, y) = 0
y = 0
em torno do
eixo Oz.
[9] Ache uma equação da superfície de rotação gerada pela curva C em torno da reta r (faça um
esboço!), onde:
33
(a) C :
{
x− 1 = y
z = 0
e r : x = y = z.
(b) C :
{
x− 1 = y
z = 0
e r : x− y = z = 0.
(c) C :
{
3z2 + 3x = 1
y = 0
e r : eixo Oz.
(d) C :
{
x2 + z2 = 1
y = 0
e r : eixo Oz.
(e) C :
{
(x− 1)2 + (z − 2)2 = 1
y = 0
e r :
eixo Oz.
(f) C :
{
3z2 + 3x = 1
y = 0
e r : eixo Ox.
(g) C :
{
x2 + z2 = 1
y = 0
e r : eixo Ox.
(h) C :
{
(x− 1)2 + (z − 2)2 = 1
y = 0
e r :
eixo Ox.
(i) C :
{
z − y2 = −1
x = 0
e r : eixo Oy.
(j) C :
 z
2
a2
+
y2
b2
= 1
x = 0
e r : eixo Oy/Oz.
(k) C :

x = α
y = α2
z = α2
(α ∈ R) e r : eixo
Oz.
[10] Obtenha uma equação da superfície definida como reunião das retas que se apoiam no eixo Ox
e na circunferência C :
{
x2 + y2 = 1
z = 2
matendo-se paralelas ao plano Oyz (esta não é uma
superfície cilíndrica, nem cônica, e tampouco de rotação; no entanto você pode adaptar as técnicas
que aprendeu nesses casos para resolver o exercício).
[11] Ache as equações das seguintes superfícies:
(a) O cilindro com geratriz perpendicular ao plano xy e cuja diretriz é a parábola y = x2.
(b) O elipsóide obtido girando a elipse x2
2
+ y
2
4
= 1 ao redor do eixo maior.
(c) O cone obtido girando a reta y = ax+ b, z = 0 ao redor dos eixo dos y.
(d) O cone obtido girando a reta x = t, y = 2t, z = 3t ao redor da reta x = −t, y = t, z = 2t.
[12] Mostre que, se dois dos números a, b, c são iguais, o elipsóide
E : x
2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
é uma superfície de rotação. Especifique o eixo de rotação em cada caso.
[13] Mostre que se a = b, o hiperbolóide de uma folha
H : x
2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
é uma superfície de rotação. Qual é o eixo de rotação?
[14] Mostre que se a = b, o hiperbolóide de duas folhas
H : −x
2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
é uma superfície de rotação. Qual é o eixo de rotação?
34
[15] Mostre que se a = b, o parabolóide elíptico
P : z = x
2
a2
+
y2
b2
é uma superfície de rotação. Qual é o eixo de rotação?
[16] A equação de um parabolóide hiperbólico S : z = −x
2
a2
+
y2
b2
pode ser escrita na forma
z =
(
−x
a
+
y
b
)(x
a
+
y
b
)
.
(a) Mostre que, dado c 6= 0, a reta
rc :

x
a
+
y
b
= c
−x
a
+
y
b
=
z
c
está contida em S. Também, dado d 6= 0, a reta
rd :

x
a
+
y
b
=
z
d
−x
a
+
y
b
= d
está contida em S.
(b) Prove que por cada ponto P de S de cota z 6= 0 passa uma única reta da forma rc, e uma
única reta da forma rd.
[17] Mostre que a superfície de equação z = xy é um parabolóide hiperbólico, efetuando uma mudança
de coordenadas de (O, #«e 1, #«e 2, #«e 3) para (O′,
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3), sendo O′ = O,
#«
f 1 =
#«e 1 +
#«e 2√
2
,
#«
f 2 =
#«e 2 − #«e 1√
2
e #«f 3 = #«e 3. Faça uma figura.
[18] Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do plano pi : x = 2 e do ponto
P = (−2, 0, 0). Reconheça esse lugar geométrico.
[19] Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E3 que equidistam das retas r : X =
(0, 0, 0) + λ(1, 0, 0) e s : X = (0, 1, 0) + λ(0, 0, 1). Descreva esse lugar geométrico.
[20] Identificar as quádricas cujas equações sejam:
(a) x2 − y2 + z2 = 0
(b) x2 − y2 + z2 = 1
(c) x2 − y2 + z2 = −1
(d) x2 − 4y2 = 0
(e) x2 − 4y2 = 4
(f) 2x = y2 + z2
(g) 9y = x2
(h) 4z = y2 − x2
(i) x2 + 4y2 + 9z2 = 25
(j) x2 − y2 = z
[21] Usando as translações e rotações dos eixos, identifique as superfícies cujas equações sejam:
35
(a) 4x2 + y2 + 4z2− 8x− 2y− 24z+ 44 = 1
(b) 2x2 + 4y2 + z2 − 8y − z + 61
4
= 0
(c) 4x2 + y2 − z2 + 12x− 2y + 4z = 12
(d) 2x2 − y2 + 3z2 + 1 = 0
(e) y2 + 2x− z = 0
36
Cálculo Diferencial
23 Limites e Continuidade
[1] Prove, usando a definição, que a função dada é contínua nos pontos dados.
(a) f(x) = 4x− 3 em p = 2;
(b) f(x) = −3x em p = 1;
(c) f(x) = x4 em p = −1;
(d) f(x) =
√
x em p = 0 e em p = 4;
(e) f(x) = 3
√
x em p = 1;
(f) f(x) = x3 + x em p = 1;
[2] Encontre os limites indicados se existirem:
(a) lim
x→1
(
x3 + x2 + 5x+ 1
)
R: 8
(b) lim
x→2
x2 + 5x− 4
x2 − 5 R:-10
(c) lim
x→6
x2 − 36
x− 6 R:12
(d) lim
x→2
x− 2√
2x− 4 R: 0
(e) lim
x→0
x
2−√4− x R: 4
(f) lim
x→1
2−√3 + x
x− 1 R: -1/4
(g) lim
x→2
√
2x2 − 3x+ 2− 2√
3x2 − 5x− 1− 1 R: 5/14
(h) lim
x→a
x2 − (a+ 1)x+ a
x3 − a3 R: (a−1)/3a
2
(i) lim
x→1
(
1
1− x −
3
1− x3
)
R: -1
(j) lim
x→0
√
1 + x− 1
3
√
1 + x− 1 R: 3/2
(k) lim
x→1
√
x− 1
x− 1 R: 1/2
(l) lim
x→64
√
x− 8
3
√
x− 4 R: 3
(m) lim
x→1
3
√
x− 1
4
√
x− 1 R: 4/3
(n) lim
x→1
3
√
x2 − 2 3√x+ 1
(x− 1)2 R: 1/9
(o) lim
x→3
√
x2 − 2x+ 6−√x2 + 2x− 6
x2 − 4x+ 3 R: -
1/3
(p) lim
x→4
3−√5 + x
1−√5− x R: -1/3
[3] Prove que lim
x→p
f(x) = 0 se, e somente se, lim
x→p
|f(x)| = 0.
[4] Mostre que lim
x→p
f(x) = L se, e somente se, lim
h→0
f(p+ h) = L.
[5] (Conservação do sinal) Suponha que lim
x→p
f(x) = L , com L > 0. Mostre que existe δ > 0 tal que,
para todo x ∈ Df:
0 < |x− p| < δ =⇒ f(x) > 0.
[6] Seja f : I ⊆ R −→ R uma função Lipschitziana, isto é, existeM > 0 tal que
|f(x)− f(y)| ≤M |x− y|
para quaisquer x, y ∈ I . Mostre que f é contínua.
37
[7] Prove (pela definição) que f : R∗ −→ R dada por f(x) = 1
x
, é contínua em todo p ∈ R∗.
[8] Considere f(x) =
{
1, x ∈ Q
−1, x ∈ R−Q . Mostre que f é descontínua em todos os números reais.
[9] Detemine os valores de a e b para os quais a função f(x) =

x2 − 4, x < −1
ax+ b, −1 ≤ x < 2
4− x2, x ≥ 2
é contínua,
qualquer que seja x ∈ R.
[10] Seja f : R→ R a função definida por f(x) =
{
2(x− 4), se x < 1
kx, se x ≥ 1 . Determine k, de modo
que f seja contínua em x = 1.
[11] Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados:
(a) f(x) = x
2 − 9
x− 3 em x = 3.
(b) f(x) = 3x− 5 em x = 2.
[12] Determine lim
x→2
f(x) em cada caso:
(a) lim
x→2
[f(x)− x] = 10 (b) lim
x→2
[xf(x)] = 8 (c) lim
x→2
4x
f(x)
=
12
5
[13] Mostre que se f : [a, b]→ R é uma função contínua então |f | : [a, b]→ R é contínua, isto é, se f
é contínua então o módulo de f também o é. Mostre através de um exemplo que a recíproca não
é verdadeira.
[14] Seja f(x) =
{
x+ 1 se x ∈ Q
−x+ 1 se x ∈ R−Q . Verifique se esta função possui limite em algum ponto.
Justifique sua resposta.
24 Limites Laterais
[1] Calcule caso exista. Jusfique em caso de não existência.
(a) lim
x→1+
|x− 1|
x− 1
(b) lim
x→1−
|x− 1|
x− 1
(c) lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 em que f(x) =
{
x+ 1 se x ≥ 1
2x se x < 1
(d) lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 em que f(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2x− 1 se x > 1
(e) lim
x→1
g(x)− g(2)
x− 2 em que g(x) =
{
x se x ≥ 2
x2
2
se x < 2
(f) lim
x→2+
x2 − 2x+ 1
x− 1
38
[2] Determine os pontos para os quais a função dada por
f(x) =
|x|
x
possui limite. A função tem limites laterais em x = 0.?
[3] Seja f(x) =
{ √
2−x
4
, se x < 2
0, se x = 2 . Verifique se esta função possui limite em x = 2. Caso não
possua, justifique sua resposta.
[4] Dada uma função f : Df −→ R, suponha que existe δ > 0 tal que
0 < |x− p| < δ =⇒ x ∈ Df .
Mostre que lim
x→p
f(x) = L se, e somente se, os limites laterais de f existem em x = p e
lim
x→p+
f(x) = lim
x→p−
f(x) = L.
[5] A afirmação
“ lim
x→p+
f(x) = lim
x→p−
f(x) =⇒ f é contínua em p′′
é verdadeira ou falsa? Justifique.
[6] Dê exemplo de uma função definida em R, que não seja contínua em 2, mas que
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2−
f(x)
[7] Para cada uma das funções a seguir, calcule f(x0), lim
x→x−0
f(x) e lim
x→x+0
f(x):
(a) f(x) =
{ |x|
x
, x 6= 0
0, x = 0
, x0 = 0.
(b) f(x) =

x− 1, x < 0
5, x = 3
8− x x > 0
, x0 = 3.
(c) f(x) =

x2 + 1, x > 2
5, x = 2
7x− 9, x < 2
, x0 = 2
25 Limites de função composta
[1] Calcule
(a) lim
x→−1
3
√
x3 + 1
x+ 1
R: 3
√
3
(b) lim
x→1
√
x2 + 3− 2
x2 − 1 R: 1/4
(c) lim
x→1
3
√
x+ 7− 2
x− 1 R: 1/12
(d) lim
x→1
3
√
3x+ 5
x2 − 1 R: 1/8
[2] Seja f : R −→ R uma função tal que lim
x→0
f(x)
x
= 1. Calcule:
39
(a) lim
x→0
f(3x)
x
(b) lim
x→0
f(x2)
x
(c) lim
x→1
f(x2 − 1)
x− 1 (d) limx→0
f(7x)
3x
26 Teorema do Confronto
[1] Sejam f, g : I ⊆ R −→ R tais que:
(i) lim
x→p
f(x) = 0. (ii) g é limitada.
Mostre que
lim
x→p
f(x)g(x) = 0
Dê um exemplo em que o teorema possa ser aplicado.
[2] Suponha que, para todo x, |g(x)| ≤ x4. Calcule lim
x→0
g(x)
x
.
[3] Seja n um número inteiro positivo. Demonstre que limx→0 xn sin
(
1
x
)
= 0.
[4] Sejam f : R −→ R uma função e p ∈ R tais que, para todo x,
|f(x)− f(p)| ≤M |x− p|2
Calcule, caso exista,
lim
x→p
f(x)− f(p)
x− p .
[5] Seja g(x) =
{ −1, se x ∈ Q
1, se x /∈ Q . Calcule limx→0x
2g(x).
[6] Sejam f, g : R −→ R tais que [f(x)]4 + [g(x)]4 = 4 para todo x real. Calcule:
(a) lim
x→0
x3g(x). (b) lim
x→3
f(x)
3
√
x2 − 9.
[7] Sejam a, b, c números reais fixos e suponha que, para todo x, |a+ ax+ bx2| ≤ |x|3. Prove que
|a| = |b| = |c| = 0
[8] Se
√
5− 2x2 ≤ f(x) ≤ √5− x2 para −1 ≤ x ≤ 1, determine lim
x→0
f(x).
[9] Suponha que 2− x2 ≤ g(x) ≤ 2 cosx para todo x real. Determine lim
x→0
g(x).
27 Limite e Continuidade das funções trigonométricas
[1] Mostre que as funções trigonométricas seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente
são contínuas onde estiverem definidas.
[2] (Limite Fundamental) Mostre que lim
x→0
sinx
x
= 1 e, em seguida, calcule lim
x→0
x2
sinx
.
[3] Encontre os limites indicados se existirem:
40
(a) lim
x→0
1− cosx
x2
R: 1/2
(b) lim
x→a
sinx− sin a
x− a ;
(c) lim
x→a
cosx− cos a
x− a ;
(d) lim
h→0
sin(x+ h)− sinx
h
;
(e) lim
x→0
1−√cosx
x2
.
(f) lim
x→0
sin 3x
2x
R: 3/2
(g) lim
x→0
sinx
4x
R: 1/4
(h) lim
x→0
tan 2x
3x
R: 2/3
(i) lim
x→0
tan 3x
tan 5x
R: 3/5
(j) lim
x→0
sin 3x− sin 2x
sinx
R: 1
(k) lim
x→0
sin 4x
sin 3x
R: 4/3
(l) lim
x→0
1− cosx
sinx
R: 0
(m) lim
x→0
1− cos 2x
sin 3x
R: 0
(n) lim
x→0
1− cos 4x
x
R: 0
(o) lim
x→0
tan 3x
sin 4x
R: 3/4
(p) lim
x→0
3x2
tanx sinx
R: 3
(q) lim
x→0
sin
(
x2 +
1
x
)
− sin 1
x
x
R: 0
(r) lim
x→0
x+ sinx
x2 − sinx R: -2
(s) lim
x→0
x− tanx
x+ tanx
R: 0
(t) lim
x→1
sin pix
x− 1 R: −pi
(u) lim
x→0
tanx− sinx
x3
R: 1/2
(v) lim
x→0
arctan 2x
sin 3x
R: 2/3
(w) lim
x→0
cotan (2x)cotan
(pi
2
− x
)
R: 1
(x) lim
x→0
arcsinx
x
R: 1
(y) lim
x→1
sin pix
x− 1 R: −pi
(z) lim
x→1
cos
pix
2
1−√x R: Não existe.
[4] (a) Prove que existe r > 0 tal que
cosx− 1 < sinx
x
− 1 < 0
para 0 < |x| < r.
(b) Calcule lim
x→0
x− sinx
x2
. (c) Calcule lim
x→0
6x− sin 2x
2x+ 3 sin 4x
.
28 Limites Infinitos e Limites no infinito
[1] Encontre os limites indicados se existirem:
(a) lim
x→+∞
(
5x3 − 3x) R: +∞
(b) lim
x→−∞
2x2 − 1
x2 − 1 R: 2
(c) lim
x→−∞
3x
x2 − 3 R: 0
(d) lim
x→−∞
x2 + x+ 1
(x+ 1)3 − x3 R:
1
3
41
(e) lim
x→+∞
(√
x2 + 3x+ 4− x
)
R: 3
2
(f) lim
x→+∞
√
x2 + 1
3x+ 2
(g) lim
x→+∞
√
x− 3√x
x2 + 3
(h) lim
x→+∞
[x−
√
x2 + 1]
(i) lim
x→−∞
2x3 + 1
x4 + 2x+ 3
(j) lim
x→−∞
3
√
x
x2 + 3
(k) lim
x→+∞
3
√
x3 + 2x− 1√
x2 + x+ 1
(l) lim
x→+∞
[
√
x+ 1−√x+ 3]
[2] Suponha que lim
x→p+
f(x) = 0 e que existe r > 0 tal que f(x) > 0 sempre que p < x < p + r.
Prove que
lim
x→p+
1
f(x)
= +∞
Solução. Seja � > 0 arbitrário. Como lim
x→p+
f(x) = 0, existe δ > 0, com δ ≤ r, tal que
p < x < δ =⇒ 0 < f(x) < 1
�
.
Isto implica que 1
f(x)
> � sempre que p < x < δ, e portanto, lim
x→p+
1
f(x)
= +∞.
[3] Suponha lim
x→+∞
f(x) = +∞ e lim
x→+∞
g(x) = +∞. Mostre que
(a) lim
x→+∞
(f(x) + g(x)) = +∞ (b) lim
x→+∞
f(x)g(x) = +∞
[4] Suponha lim
x→+∞
f(x) = L ∈ R e lim
x→+∞
g(x) = +∞. Mostre que
(a) lim
x→+∞
f(x)g(x) = +∞, se L > 0. (b) lim
x→+∞
f(x)g(x) = −∞, se L < 0.
[5] Calcule:
(a) lim
x→+∞
5x3 − 6x+ 1
6x3 + 2
(b) lim
x→−∞
x4 − 2x+ 3
3x4 + 7x− 1
(c) lim
x→+∞
x+ 1
x2 − 2
(d) lim
x→+∞
2x+ 3
3 + 2x
[6] Prove que lim
x→+∞
n
√
x = +∞, onde n > 0 é um inteiro.
[7] Calcule:
(a) lim
x→+∞
[2x−
√
x2 + 3]
(b) lim
x→−∞
[√
x+
√
x−√x− 1
] (c) limx→+∞
x+
√
x+ 3
2x− 1
(d) lim
x→+∞
[
x− 3
√
2 + 3x3
]
42
(e) lim
x→−∞
3
√
4x2 + 6x+ 3
x2 − 5
(f) lim
x→+∞
√
x√
x+
√
x+
√
x
[8] Calcule os seguintes limites.
(a) lim
x→0
(1 + x)3 − (1 + 3x+ 3x2)
x4 + x3
;(b) lim
x→2
x2 − 4
x3 − 2x2 + x− 2;
(c) lim
x→a
x2 − (a+ 1)x+ a
x3 − a3 ;
(d) lim
x→1
( 1
1− x −
3
1− x3
)
;
(e) lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
.
(f) lim
x→0
√
1 + x− 1
3
√
1 + x− 1;
(g) lim
x→1
√
x− 1
3
√
x− 1;
(h) lim
x→0
√
1 + x−√1− x
x
;
(i) lim
h→0
√
x+ h−√x
h
;
(j) lim
h→0
3
√
x+ h− 3√x
h
.
(k) lim
x→∞
2x2 − 3x− 4
4
√
x2 + 1
;
(l) lim
x→∞
100x
x2 − 1; ;
(m) lim
x→∞
x2 − 5x+ 1
3x+ 7
;
(n) lim
x→∞
x2
10 + x
√
x
;
(o) lim
x→∞
2x+ 3
x+ 3
√
x
.
(p) lim
x→∞
2x2 − 3x− 4
4
√
x2 + 1
;
(q) lim
x→∞
100x
x2 − 1; ;
(r) lim
x→∞
x2 − 5x+ 1
3x+ 7
;
(s) lim
x→∞
x2
10 + x
√
x
;
(t) lim
x→∞
2x+ 3
x+ 3
√
x
.
[9] Calcule:
(a) lim
x→1/2+
3x+ 1
4x2 − 1
(b) lim
x→3+
x2 − 3x
x2 − 6x+ 9
(c) lim
x→2−
3x
x− 2
(d) lim
x→1−
2x+ 3
x2 − 1
(e) lim
x→0+
sinx
x3 − x2
(f) lim
x→pi+
1 + cos x
x− pi
29 Sequências
[1] (Critério da Comparação) Sejam (an)n∈N e (bn)n∈N sequências reais e suponha que, para algum
n1 > 0 natural:
n > n1 =⇒ bn ≤ an
Mostre que, se lim
n→+∞
bn = +∞ então lim
n→+∞
an = +∞.
[2] Verifique se a sequência cujo termo geral é an =
n∑
k=1
1
k
, para n ≥ 1, é convergente.
43
Solução. Dado n natural, seja bn o único número inteiro que satisfaz
2bn−1 < n ≤ 2bn (5)
Em particular, segue do Critério da Comparação que lim
n→+∞
bn = +∞. Por outro lado, da desigual-
dade (5) obtemos
1
2bn
≤ 1
n
<
1
2bn−1
,
e portanto, podemos escrever:
an =
1
20
+
(
1
21
+
1
3
)
+
(
1
22
+
1
5
+
1
6
+
1
7
)
+ · · ·+
(
1
2bn
+
1
2bn + 1
+ · · ·+ 1
n
)
Observe que a j-ésima parcela na soma acima é igual a
1
2j−1
+
1
2j−1 + 1
+ · · ·+ 1
2j − 1
Esta soma é composta por 2j−1 parcelas e cada uma delas é maior que 1
2j
, e portanto,
1
2j−1
+
1
2j−1 + 1
+ · · ·+ 1
2j − 1 > 2
j−1 · 1
2j
,
ou seja,
1
2j−1
+
1
2j−1 + 1
+ · · ·+ 1
2j − 1 >
1
2
.
Além disso,
an >
1
20
+
(
1
21
+
1
3
)
+
(
1
22
+
1
5
+
1
6
+
1
7
)
+ · · ·+
(
1
2bn−1
+
1
2bn−1 + 1
+ · · ·+ 1
2bn − 1
)
Nesta última desigualdade, o lado direito é composto por uma soma com bn parcelas e, como vimos
acima, cada parcela é maior que 1/2, de onde segue-se que
an >
bn
2
Como lim
n→+∞
bn
2
= +∞, o Critério da Comparação implica que
lim
n→+∞
an = +∞
[3] Dado um número real a, mostre que:
(a) lim
n→+∞
an = 0, se 0 ≤ a < 1. (b) lim
n→+∞
an = +∞, se a > 1.
[4] Calcule os seguintes limites:
44
(a) lim
n→+∞
2n + 1
3n + 2
(b) lim
n→+∞
n∑
k=0
(
1
1, 5
)n (c) limn→+∞
[
(−1)n
2
+ 2
]
(d) lim
n→+∞
1 + 5n
2 + 3n
(e) lim
n→+∞
n2 + 2
2n3 + n− 1
(f) lim
n→+∞
n∑
k=1
1
k
[5] Supondo 0 < a < 1, mostre que lim
n→+∞
n∑
k=1
ak =
a
1− a .
[6] Considere a função dada por f(x) = x, para x ∈ R, e defina
Sn = f
(
1
n
)
1
n
+ f
(
2
n
)
2
n
+ · · ·+ f
(
n− 1
n
)
n− 1
n
+ f
(n
n
) n
n
(a) Calcule S3 e interprete o resultado geometricamente.
(b) Calcule lim
n→+∞
Sn e compare com o resultado esperado geometricamente.
[7] Mostre que
n∑
k=1
k2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
e calcule lim
n→+∞
1
n3
n∑
k=1
k2.
[8] Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com aceleração constante a > 0. Suponha que no
instante t = 0 a velocidade seja zero. A velocidade no instante t é, então, v(t) = at. Divida o
intervalo [0, T ] em n intervalos de amplitudes iguais a T
n
. No instante T
n
a velocidade será aT
n
, no
instante 2T
n
será 2aT
n
, e assim por diante. Supondo n suficientemente grande, o espaço percorrido
entre os instantes T
n
e 2T
n
será aproximandamente aT
n
· T
n
(por quê?); entre os instantes 2T
n
e 3T
n
o espaço percorrido será aproximandamente 2aT
n
· T
n
, e assim por diante.
(a) Calcule lim
n→+∞
[
aT
n
· T
n
+
2aT
n
· T
n
+ · · ·+ (n− 1)aT
n
· T
n
]
(b) Interprete cinematicamente e geometricamente o limite acima.
[9] Considere a sequência de termo geral an = 1 +
1
22
+
1
32
+ · · ·+ 1
n2
.
(a) Prove que (an)n∈N é crescente.
(b) Mostre que, para todo n ≥ 1, 1 + 1
22
+
1
32
+ · · ·+ 1
n2
< 2.
(c) Prove que lim
n→+∞
(
1 +
1
22
+
1
32
+ · · ·+ 1
n2
)
existe e que é menor que 2.
[10] (ENADE-2011) Considere a sequência numérica definida por a1 = a,an+1 = 4an
2 + a2n
, para n ≥ 1
Use o princípio de indução finita e mostre que an <
√
2, para todo número natural n ≥ 1 e para
0 < a <
√
2, seguindo os passos indicados nos itens a seguir:
45
(a) escreva a hipótese e a tese da propriedade a ser demonstrada;
(b) mostre que s := 4a
2 + a2
> 0, para todo a > 0;
(c) prove que s2 < 2, para todo 0 < a <
√
2;
(d) mostre que 0 < s <
√
2;
(e) suponha que an <
√
2 e prove que an+1 <
√
2;
(f) conclua a prova por indução.
[11] Dada uma função f : Df ⊆ R −→ R, suponha que lim
x→p
f(x) = L. Seja (an)n∈N uma sequência
em Df tal que lim
n→+∞
an = p e an 6= p para todo n. Mostre que
lim
n→+∞
f(an) = L
[12] Considere a função f definida por f(x) =
{
cos( 1
x
) sin( 1
x
), se x 6= 0
0, se x = 0 . Verifique se f é contí-
nua em p = 0. Justifique.
Solução. Considere a sequência (an) cujo termo geral é dado por
2
an
= 2pin+
pi
2
, n ∈ N.
Então, para cada n ∈ N, an = 4
(4n+ 1)pi
e portanto,
lim
n→+∞
an = 0.
E ainda,
lim
n→+∞
f(an) = lim
n→+∞
sin(2/an)
2
= lim
n→+∞
1
2
=
1
2
.
Como lim
n→+∞
f(an) 6= f(0), segue-se que f não é contínua em p = 0.
[13] Seja f : Df ⊆ R −→ R uma função e suponha que existem duas sequências (an) e (bn) em Df ,
com lim
n→+∞
an = lim
n→+∞
bn = p, an 6= p e bn 6= p para todo n, tais que
lim
n→+∞
f(an) 6= lim
n→+∞
f(bn)
Mostre que f não é contínua em p ∈ Df .
[14] Prove que lim
x→0
sin
(
1
x
)
e lim
x→+∞
cosx não existem.
[15] Seja f(x) =
{
x, se x ∈ Q
−x, se x /∈ Q . Calcule limx→0 f(x) e mostre que limx→p f(x) não existe, qualquer
que seja p ∈ R.
46
[16] Considere a sequência de termo geral an positivo. Sabendo-se que lim
n→+∞
an = a (real) e que
an+1 =
1
1 + an
para todo n, calcule a.
[17] Sejam f uma função, p um número real e suponha que existam duas sequêncas an e bn convergindo
a p, com an e bn pertencentes a Df para todo n, tais que
lim
n→+∞
f(an) = L e lim
n→+∞
f(bn) = L.
Podemos afirmar, então, que lim
x→p
f(x) = L? Por quê?
[18] Mostre que a sequência a1 =
√
2, a2 =
√
2
√
2, a3 =
√
2
√
2
√
2, . . . é convergente e calcule seu
limite.
[19] Mostre que a sequência a1 =
√
2, a2 =
√
2 +
√
2, a3 =
√
2 +
√
2 +
√
2, . . . é convergente e
calcule seu limite.
30 O número neperiano
[1] (Constante de Neper) Para n ≥ 1 inteiro, defina
an =
(
1 +
1
n
)n
(a) Prove que an ≤
n∑
k=0
1
k!
para todo n ≥ 1.
(b) Verifique que 2n ≤ (n+ 1)! para todo n ≥ 0
(c) Mostre que an < 3 para todo n ≥ 1.
(d) Prove que (an)n∈N é crescente.
(e) Conclua que (an)n∈N é convergente. O limite desta sequência, denotado por e ≈ 2, 7182818 . . .,
é chamado constante de Neper.
(f) Calcule lim
n→+∞
(
2 + 3n
5n
)n/2
.
(g) Calcule lim
n→+∞
(
2n+ 3
2n+ 1
)n+1
[2] (ENADE-2011) Sabe-se que, para todo inteiro n > 1, tem-se
n n
√
e
e
<
n
√
n! <
n n
√
ne
e
Nesse caso, se lim
n→+∞
n
√
n! = a então:
47
(a) a = 0