Exercicios de Cálculo 4 resolvidos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
Coordenação do Curso de Licenciatura em Física 
na Modalidade a Distância 
 
 
 
TAREFA 2 - RESOLUÇÕES 
Disciplina: Cálculo I (MTM 9109) 
Professora: Rosimary Pereira 
Tutor UFSC: Marcos Martins 
Ano/Semestre: 2015.2 
Data: 
Aluno: Polo: 
 
OBSERVAÇÃO: Esta tarefa deverá ser entregue (enviada), via ambiente, até as 23 horas do 
dia 24 de outubro de 2015. 
. 
(Questão 1) 
Esboce a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por 2( ) ( 1)f t t i t j
→ → →
= + − . Escreva e 
indique, pelo menos, três vetores posição. 
Resolução: 
• 
2( ) ( 1)f t t i t j
→ → →
= + − 
• Equações paramétricas: 2 1
x t
y t
=

= −
 
• Equação cartesiana: 2 1y x= − (C é uma parábola) 
 
 
• Exemplos: 
( )
( )
( )
0, 0
1, 0
1, 0
t f j
t f i
t f i
 = = −

= =

= − = −
�� �
�� �
�� �
 
 
(Questão 2) 
Considere a curva definida por ( ) 2cos 2 3r t t i sent j k
→ → → →
= + + . 
a) Esboce o gráfico da curva. 
Resolução: 
• ( ) 2cos 2sen 3r t t i t j k
→ → →
= + +
�
 
• Equações paramétricas: 
2cos
2sen
3
x t
y t
z
=

=

=
 
• Equações cartesianas: 2 2 4 e 3x y z+ = = ( C é uma circunferência centrada na origem e de raio 2 , no 
plano 3z = ) 
 
 
 
b) Escreva e indique, pelo menos, três vetores posição. 
 Resolução: 
 Exemplos: 
( )0, 0 2 3
, 3 3
2 2
t r i k
t r j kpi pi
 = = +

  
= = +  
 
� � �
� � �
 
 
 (Questão 3) 
 Considere C a curva definida por 022 =−− xyy . 
a) Escreva as equações paramétricas de C. 
Resolução: 
 ( )
( )
2
2
2
2 0
1 1 0
1 1
y y x
y x
y x
− − =
− − − =
− − =
 
 
• Faça y t= . 
• Então: ( )21 1x t= − − 
• Assim, ( ) ( )2: 1 1 ,C r t t i t j t = − − + ∈ 
� � �
� . 
 
b) Determine o vetor posição do ponto )2,0(0P . 
Resolução: 
( )0 0, 2
0 e 2
2 2
P
x y
y t
= =
= ⇒ =
 
Exemplos: 
( )0, 0 2 3
, 3 3
2 2
t r i k
t r j kpi pi
 = = +

  
= = +  
 
� � �
� � �
 
 
Assim, ( )2 2r j=� � . 
 
c) Determine um vetor tangente à C no ponto )2,0(0P . 
Resolução: 
 
( ) ( )
( )
2 1
2 2
r t t i j
r i j
′
= − +  
′
= +
� � �
� � �
 
 
d) Esboce o gráfico de C junto com o vetor posição e o vetor tangente à C no ponto )2,0(0P . 
Resolução: 
 
 
 
(Questão 4) 
 Suponha que certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por 2( , , ) 5 3V x y z x xy xyz= − + . 
a) Determine a taxa de variação do potencial em (3,4,5)Q na direção do vetor v i j k= + −
�� ��
. 
Resolução: 
• 
2( , , ) 5 3V x y z x xy xyz= − + 
• ( )3,4,5Q 
• v i j k= + −
� � � �
 
• 1 1 1 3v = + + = ⇒
�
 v
�
 não é unitário. 
• Faça: 
 ( )1 1,1, 1
3
v
u u
v
= ⇒ = −
�
� �
� 
• Assim, 
 ( ) [ ] [ ]1 110 3 3 7 3
3 3u
D V P x y yz x xz xy x y yz xz xy= − + − + − = − + + −� 
• Logo, 
 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
[ ]
1 7 3 3 4 4 5 3 5 3 4
3
1 21 12 20 15 12
3
32 32 3
33
u
D V P = − + + −  
= − + + −
= =
�
 
b) Em que direção V varia mais rapidamente em Q ? 
Resolução: 
• Na direção do ( )V Q∇ : 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )
10 3 , 3 ,
10 3 3 4 4 5 , 3 3 3 5 , 3 4
38,6,12
V P x y yz x xy xy
V Q
V Q
∇ = − + − +
∇ = − + − +
∇ =
 
 
 
c) Qual é a taxa máxima de variação em Q ? 
Resolução: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 238 6 12 1444 36 144 1624 2 406V Q∇ = + + = + + = = . 
 
 
 
(Questão 5) 
 Sabendo que o campo vetorial ( )3 2 2( , ) ln 2 3 xF x y y xy i x y j
y
 
= + + + 
 
� � �
é conservativo, determine a função 
potencial. 
Resolução: 
• Seja ( ),f x y [função escalar] a função potencial a ser determinada. 
• Como ( , )F x y� é conservativo, temos: 
 ( ) ( ) ( )( )( , ) , , , ,x yF x y f x y f x y f x y= ∇ =� . 
• Assim, 
 
( ) ( )
( ) ( )
3
2 2
, ln 2
, 3
x
y
f x y y xy
xf x y x y
y
= + ∗
= + ∗∗
. 
• Integrando ( )∗ em relação a x , temos: 
 
 
( ) ( ) ( )3
3
2 3
1
, , ln 2
ln 2
ln .
xf x y f x y dx y xy dx
y dx xy dx
x y x y C
= = +
= +
= + +
∫ ∫
∫ ∫ . 
 
• 1C é uma constante em relação a x , no entanto, pode depender de y , isto é, ( )1C g y= e, portanto, 
 ( ) ( ) ( )2 3, lnf x y x y x y g y= + + ∗∗∗ . 
• Derivando ( )∗∗∗ em relação a y e comparando com ( )∗∗ , temos: 
 ( ) ( )2 2 2 23 3 0x xx y g y x y g y
y y
′ ′+ + = + ⇒ = . 
 
• Daí, 
 ( ) ( ) 0g y g y dy dy C′= = =∫ ∫ [C é constante em relação a x e a y ]. 
 
• Logo, ( ) 2 3, lnf x y x y x y C= + + é a função potencial procurada. 
 
 
(Questão 6) 
Esboce o campo vetorial definido pela função ( , )f x y xi yj
→
= − +
� �
. 
Resolução: 
• ( , )f x y xi yj
→
= − +
� �
 
• Exemplos: 
 
(0,1)
(1,0)
(1,1)
( 1,1)
f j
f i
f i j
f i j
→
→
→
→
=
= −
= − +
− = +
�
�
� �
� �
 
 
 
 
(Questão 7) 
Determine o campo gradiente definido pela função 2 2( , ) 4f x y x y= − e esboce-o. 
Resolução: 
• 
2 2( , ) 4f x y x y= − 
• ( )( , ) 2 , 8f x y x y∇ = − 
( )
( )
( )
( )
( )
(0,0) 0,0
(1,0) 2,0
(0,1) 0, 8
( 1,1) 2,8
(1,1) 2, 8
f
f
f
f
f
→
→
→
→
→
=
=
= −
− = −
= −