Cap. 2 - NÚMEROS, DESIGUALDADES E VALOR ABSOLUTO

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Elementos de Cálculo I 
Professor Wallace Nascimento Pinto Jr 
 
Capítulo 2 – Números, Desigualdades e Valor Absoluto 
 
O Cálculo baseia-se no sistema de números reais. 
Começamos com os números naturais: 
{ }1,2,3, 4,5,...=ℕ 
Neste conjunto, as operações de adição e multiplicação podem ser realizadas livremente, isto é, 
ao adicionarmos ou multiplicarmos dois números naturais, o resultado (soma e produto, 
respectivamente) ainda estará neste conjunto. 
Entretanto, nas operações de subtração e divisão, nem sempre obtemos como resultado um 
número natural. Por exemplo, 1 3− e 7 2÷ . 
Para resolver o problema da subtração, incluímos neste conjunto o zero e os números negativos. 
Assim, temos o conjunto dos números inteiros: 
{ }..., 5, 4, 3, 2, 1,0,1, 2,3,4,5,...= − − − − −ℤ 
Para resolver o problema da divisão (exceto a divisão por 0), construímos os números racionais, 
que são as razões de inteiros. Assim, 
 e são números inteiros e 0m m n n
n
 
= ≠ 
 
ℚ 
� Exemplos: 
1
2
 
3
7
− 
8989
1
= 
230, 23
100
= 
Lembre-se que a divisão por 0 está sempre excluída; logo, expressões como 
5
0
 e 
0
0
 não são 
definidas. 
 
 Dúvida Frequente 
Por que não podemos dividir por 0? 
O motivo é simples: dividir por 0 causa contradições nos resultados das operações. 
Sabemos, por exemplo, que 
8 4
2
= , pois 4 2 8⋅ = . Agora, e 5
0
? Se 
5
0
a= , então 0 5a ⋅ = , ou seja, 
0 5= . Mas isso é uma incoerência, uma contradição. 
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E no caso 
0
0
? Ora, todo número dividido por ele mesmo é igual a 1. Por outro lado, 0 dividido por 
qualquer número é igual 0. Então, 
01 0
0
= = , o que é uma contradição. 
 
Existem alguns números reais, como 2 , que não podem ser expressos como a razão de números 
inteiros e são, portanto, chamados números irracionais. Pode ser mostrado, com variado grau de 
dificuldade, que os números a seguir são irracionais: 
3 5 3 2 pi sen 1° 10log 2 
Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, resulta o 
conjunto dos números reais, geralmente denotado pelo símbolo ℝ . Quando usamos a palavra 
número neste curso, estaremos nos referindo a um “número real”. 
Todo número real tem uma representação decimal. Se o número for racional, então a dízima 
correspondente é repetida indefinidamente (periódica). 
� Exemplos: 
1 0,5000... 0,50
2
= = 
2 0,66666... 0,6
3
= = 
157 0,3171717... 0,317
495
= = 
9 1, 285714285714... 1,285714
7
= = 
(A barra indica que a sequência de dígitos se repete indefinidamente.) Caso contrário, se o número 
for irracional, a dízima não será repetitiva. 
� Exemplos: 2 1, 41421356237...= 3,141592653589793...pi = 
Ao pararmos a expansão decimal de qualquer número em uma certa casa decimal, obtemos uma 
aproximação dele. Por exemplo, podemos escrever 
3,14pi ≈ 
onde o símbolo ≈ deve ser lido como “aproximadamente igual a”. 
 
A reta real e a ordem dos números reais 
 
Os números reais podem ser representados por pontos sobre uma reta, como na Figura 1. 
 
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A direção positiva (à direita) é indicada por uma flecha. Escolhemos um ponto de referência 
arbitrário, O, denominado origem, que corresponde ao número real 0. Dada qualquer unidade 
conveniente de medida, cada número positivo x é representado pelo ponto da reta que está a x 
unidades de distância, à direita, da origem e cada número negativo x− é representado pelo ponto 
sobre a reta que está x unidades de distância, à esquerda, da origem. Assim, todo número real é 
representado por um ponto sobre a reta, e todo ponto P sobre a reta corresponde a um único 
número real. 
O número real associado ao ponto P é chamado coordenada de P, e a reta é chamada reta real. 
Frequentemente, identificamos o ponto com sua coordenada e pensamos em um número como 
um ponto na reta real. 
Os números reais são ordenados. Dizemos que a é menor que b e escrevemos a b< se b a− for 
um número positivo. Geometricamente, isso significa que a está à esquerda de b sobre a reta 
real. De maneira equivalente, dizemos que b é maior que a e escrevemos b a> . 
O símbolo a b≤ (ou b a≥ ) significa que a b< ou a b= . Por exemplo, são verdadeiras as 
seguintes desigualdades: 
7 7, 4 7,5< < 3 pi− > − 2 2< 2 2≤ 2 2≤ 
 
Intervalos 
Certos conjuntos de números reais, denominados intervalos, ocorrem frequentemente no cálculo 
e correspondem geometricamente a segmentos de reta. 
Notação Descrição do conjunto Ilustração 
] [,a b { }|x a x b< < 
[ ],a b { }|x a x b≤ ≤ 
[ [,a b { }|x a x b≤ < 
] ],a b { }|x a x b< ≤ 
] [,a +∞ { }|x x a> 
[ [,a +∞ { }|x x a≥ 
] [,b−∞ { }|x x b< 
] ],b−∞ { }|x x b≤ 
] [,−∞ +∞ ℝ (conjunto dos números reais) 
 
Os quatro primeiros intervalos são limitados, com extremidades e a b : ] [,a b é um intervalo 
aberto, [ ],a b é fechado, [ [,a b é fechado à esquerda, ] ],a b é fechado à direita. 
Os cinco últimos intervalos são ilimitados. 
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 Observações 
1) Podemos utilizar os parênteses ( ) para indicar intervalos abertos. Entretanto, para evitar 
confusão, preferimos utilizar os colchetes porque os parênteses também são utilizados para 
indicar pares ordenados. 
2) Os símbolos −∞ (“menos infinito”) e +∞ (“mais infinito”) não representam números. Por 
exemplo, na notação [ [,a +∞ o símbolo +∞ indica que o intervalo se estende 
indefinidamente na direção positiva. 
 
Desigualdades 
Quando trabalhar com desigualdades, observe as seguintes regras: 
REGRAS PARA DESIGUALDADES 
1. Se a b< , então a c b c+ < + . 
2. Se a b< e c d< , então a c b d+ < + . 
3. Se a b< e 0c > , então ac bc< . 
4. Se a b< e 0c < , então ac bc> . 
5. Se 0 a b< < e 0c < , então 1 1
a b
> . 
 
� Exemplo 1: Resolva a inequação 1 7 5x x+ < + . Represente geometricamente o conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 2: Resolva 4 3 2 13x≤ − < . Represente geometricamente o conjunto solução. 
Aqui o conjunto solução consiste em todos os valores de x que satisfazem a ambas as desigualdades. 
 
 
 
 
 
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� Exemplo 3: Resolva 
2 5 6 0x x− + ≤ . Represente geometricamente o conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 4: Resolva 
3 23 4x x x+ > . Represente geometricamente o conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 5: Resolva 4
3
x
x
<
−
. Represente geometricamente o conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Módulo ou Valor Absoluto 
O módulo ou valor absoluto de um número a , denotado por a , é a distância de a até 0 na reta 
real. Como as distâncias são sempre positivas ou 0, então temos 
0a ≥ para todo número a 
� Exemplos: 
3 3= 3 3− = 0 0= 2 1 2 1− = − 3 3pi pi− = − 
Em geral, temos: 
a a= , se 0a ≥ 
a a= − , se 0a < 
 
� Exemplo 6: Expresse 3 2x − sem usar o símbolo de valor absoluto. 
 
 
 
 
 
 
Lembre-se que o símbolo significa “raiz quadrada positiva de”. Logo, r s= , significa que 
2s r= e 0s ≥ . Portanto, a equação 2a a= não é sempre verdadeira. Só é verdadeira quando 
0a ≥ . Se 0a < , então 2a a= − . Em vista da definição de módulo, temos então 
2a a= 
 
que é verdadeira para todos os valores a. 
Considere as seguintes propriedades: 
PROPRIEDADES DOS VALORES ABSOLUTOS 
Suponhamos que a e b sejam números reais quaisquer e n um inteiro. Então 
1. ab a b= 
2. 
aa
b b
= ( )0b ≠ 
3. 
nna a= 
 
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Para resolver as equações e inequações envolvendo valores absolutos, é útil usar as seguintes 
afirmações: 
Suponhamos0a > . Então 
4. x a= se, e somente se, x a= ± 
5. x a< se, e somente se, a x a− < < 
6. x a> se, e somente se, x a< − ou x a> 
 
Por exemplo, a desigualdade x a< diz que a distância de x à origem é menor que a , e você 
pode ver a partir da figura abaixo que isso é verdadeiro se e somente se x estiver entre a− e a . 
 
Se a e b forem números reais quaisquer, então a distância entre a e b é o valor absoluto da 
diferença, isto é, a b− , que também é igual a b a− . 
 
� Exemplo 7: Resolva 2 5 3x − = . 
 
 
� Exemplo 8: Resolva 5 4 7x + = − . 
 
 
 
 
� Exemplo 9: Resolva 5 2x − < . 
 
 
� Exemplo 10: Resolva 3 2 4x + ≥ .