Cap. 3 - NOÇÕES DE GEOMETRIA ANALÍTICA

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Elementos de Cálculo I 
Professor Wallace Nascimento Pinto Jr 
 
Capítulo 3 – Noções de Geometria Analítica 
 
Sistema de coordenadas cartesianas ou retangulares 
 
Da mesma forma que os pontos sobre uma reta podem ser identificados com números reais, 
atribuindo-se a eles coordenadas, também os pontos no plano podem ser identificados com pares 
ordenados de números reais. Para isso, desenhamos duas retas numéricas perpendiculares que se 
interceptam no ponto O, origem da numeração das retas. Geralmente, chamamos a reta 
horizontal de eixo x e a vertical de eixo y. 
Qualquer ponto P do plano pode ser localizado por um único par ordenado de números, traçando 
pelo ponto P as retas perpendiculares aos eixos x e y. Essas retas interceptam os eixos em pontos 
com as coordenadas a e b, conforme mostra a figura abaixo. 
 
Então, ao ponto P é atribuído o par ordenado ( ),a b . O primeiro número a é chamado coordenada 
x (ou abscissa) de P; o segundo número b é conhecido como coordenada y (ou ordenada) de P. 
Dizemos que P é um ponto com coordenadas ( ),a b e denotamos o ponto pelo símbolo ( ),P a b . 
Esse sistema de coordenadas é chamado sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas. O 
plano fornecido por este sistema de coordenadas, denominado plano coordenado ou cartesiano, 
é denotado por 
2
ℝ . 
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Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro quadrantes, denotados no sentido anti-
horário por I, II, III e IV. O primeiro quadrante consiste nos pontos com coordenadas x e y 
positivas. 
� Exemplo 1: Descreva e esboce as regiões dadas pelos seguintes conjuntos: 
( ) ( ){ }, | 0a x y x ≥ ( ) ( ){ }, | 1b x y y = ( ) ( ){ }, | 1c x y y < 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distância entre dois pontos do plano cartesiano 
 
Como vimos no capítulo anterior, a distância entre os pontos a e b sobre o eixo real é 
a b b a− = − . Assim, a distância entre os pontos ( )1 1,A x y e ( )2 1,C x y sobre uma reta horizontal 
é 2 1x x− e a distância entre os pontos ( )2 2,B x y e ( )2 1,C x y sobre uma reta vertical é 2 1y y− . 
 
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Para encontrar a distância AB , observamos que o triângulo ABC na figura acima é retângulo e, 
portanto, pelo Teorema de Pitágoras, temos 
( ) ( )
2 2 2 2
2 1 2 1
2 2
2 1 2 1
AB AC BC x x y y
x x y y
= + = − + −
= − + −
 
que é a fórmula da distância entre dois pontos quaisquer. 
 
� Exemplo 2: A distância entre ( )1, 2− e ( )5,3 é 
 
 
 
 
Retas 
 
Para determinar a equação de uma reta bastam dois pontos ou um ponto e o coeficiente angular 
(m nas equações abaixo). Há diversas formas de equações de retas: 
Forma geral: 0ax by c+ + = 
Forma reduzida: y mx n= + 
Forma ponto-declividade ou forma fundamental: ( )0 0y y m x x− = − 
A partir de uma forma podemos obter as demais (desde que 0b ≠ ). 
� Exemplo 3: Ache uma equação da reta que passa por ( )1, 7− com inclinação 12− . 
 
 
 
 
 
� Exemplo 4: Ache uma equação da reta que passa pelos ( )1,2− e ( )3, 4− . 
 
 
 
 
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 Observações 
1) Em particular, se a reta for horizontal, seu coeficiente angular é 0m = , logo sua equação é 
cy n
b
= − = . 
2) Se 0b = na forma geral, então a reta será vertical e sua equação é cx
a
= − . Seu coeficiente 
angular não está definido. 
 
� Exemplo 5: Esboce o gráfico da equação 3 5 15x y− = . 
 
 
� Exemplo 6: Represente graficamente a inequação 2 5x y+ > . 
 
 
 
 
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Retas paralelas e perpendiculares 
 
As inclinações podem ser usadas para mostrar que as retas são paralelas ou perpendiculares: 
1. Duas retas não verticais são paralelas se e somente se tiverem a mesma inclinação. 
2. Duas retas com inclinação rm e sm são perpendiculares se e somente se 1r sm m⋅ = − . 
� Exemplo 7: Determine uma equação da reta que passa pelo ponto ( )5, 2 e que é paralela à reta 
4 6 5 0x y+ + = . 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 8: Mostre que as retas 2 3 1x y+ = e 6 4 1 0x y− − = são perpendiculares.