Cap. 5 - LIMITES E CONTINUIDADE - NOTAS DE AULA parte 2

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Elementos de Cálculo I 
Professor Wallace Nascimento Pinto Jr 
 
Capítulo 5 – Limites e Continuidade – parte 2 
 
Limites Infinitos 
 
 Exemplo 8: Encontre 
20
1
lim
x x
 se ele existir. 
 
O que acontecerá com a imagem de x ao nos aproximarmos de zero? À medida que aproximamos 
o 
x
 de 0, 
2x
 também fica próximo de 0, e os valores de 
2
1
x
 ficam cada vez maiores. Veja a tabela 
e o gráfico abaixo: 
 
x
 
2
1
x
 
 
1
 1 
0,5
 4 
0,2
 25 
0,1
 100 
0.05
 400 
0,01
 10.000 
0,001
 1.000.000 
 
Para representar tal situação (a imagem crescer indefinidamente) introduziremos o símbolo 
 
 (mais infinito) 
 
e anotaremos 
20
1
lim
x x
 
 
 Dúvida Frequente 
 e são números? 
Não! Somente representam um crescimento além de qualquer número (ou decrescimento além 
de qualquer número, no caso de ). Neste caso, o limite não existe, pois não é um número. 
 
 
50 
 
 Exemplo 9: Encontre 
3
2
lim
3x
x
x
 se ele existir. 
 
Se 
x
 está próximo de 3, mas é maior do que 3, então o denominador 
3x
 é um “número positivo 
pequeno” e 
2x
 está próximo a 6. Portanto, o quociente 
2
3
x
x
 é um “número positivo grande”. Então, 
intuitivamente, vemos que 
3
2
lim
3x
x
x
 
 
Analogamente, se 
x
 está próximo de 3, mas é menor do que 3, então o denominador 
3x
 é um “número 
negativo pequeno”, mas 
2x
 ainda é um número positivo próximo a 6. Portanto, 
2
3
x
x
 é um “número 
negativo numericamente grande (seu módulo é grande)”. Então 
3
2
lim
3x
x
x
 
O gráfico da curva 
2
3
x
y
x
 está dado na figura abaixo. 
 
 
 
 
Definição de Limite Infinito. Suponha que 
( )f x
 está definida em ambos os lados de a, exceto 
possivelmente no próprio a. 
Então 
lim
x a
f x
 
 
significa que podemos tornar os valores de 
( )f x
 arbitrariamente grandes (tão grandes quanto 
quisermos), tomando 
x
 suficientemente próximo de 
a
, mas não igual a 
a
. 
51 
 
 
 
 
 
 
As ilustrações de alguns desses casos estão nas imagens abaixo: 
 
 
 
No exemplo 8, temos que o eixo y (ou seja, a reta 
0x
) é uma assíntota vertical da curva 
2
1
y
x
. 
Já no exemplo 9, temos que a reta 
3x
 é uma assíntota vertical de 
2
3
x
y
x
. 
Em geral, o conhecimento de assíntotas verticais é muito útil no esboço de gráficos. 
 
 
 
Definição de Assíntota Vertical. A reta 
x a
 é chamada assíntota vertical da curva 
y f x
 se 
pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita: 
 
lim
x a
f x
 
lim
x a
f x
 
lim
x a
f x
 
 
lim
x a
f x
 
lim
x a
f x
 
lim
x a
f x
 
Por sua vez 
lim
x a
f x
 
 
significa que podemos tornar os valores de 
( )f x
 arbitrariamente grandes, porém negativos, 
escolhendo 
x
 suficientemente próximo de 
a
, mas não igual a 
a
. 
52 
 
Cálculo de Limites usando as Propriedades dos Limites 
 
Nos exemplos anteriores, usamos o método numérico (fazendo a tabela de valores, usado 
calculadora e planilha eletrônica), o método gráfico e a intuição para descobrir os valores dos 
limites (ou o comportamento, nos casos em que o limite cresce ou decresce indefinidamente). 
Entretanto, vimos que tais métodos nem sempre levam a uma reposta correta. Nesta seção 
usaremos as seguintes Propriedades dos Limites para calculá-los. 
 
Essas cinco leis podem ser enunciadas da seguinte forma: 
1. O limite de uma soma é a soma dos limites. 
2. O limite de uma diferença é a diferença dos limites. 
3. O limite de uma constante vezes uma função é a constante vezes o limite da função. 
4. O limite de um produto é o produto dos limites. 
5. O limite de um quociente é o quociente dos limites (desde que o limite do denominador 
não seja zero). 
 Exemplo 10: Use as Propriedades do Limite e o gráfico de f e g na figura abaixo para calcular os 
seguintes limites, se existirem. 
 
a) 
2
lim 5
x
f x g x
 
b) 
1
lim
x
f x g x
 
c) 
2
lim
x
f x
g x
 
 
Propriedades dos Limites. Seja 
c
 uma constante e suponha que existam os limites 
lim
x a
f x
 e 
lim
x a
g x
 
Então 
1. 
lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x
 
2. 
lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x
 
3. 
lim lim
x a x a
cf x c f x
 
4. 
lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x
 
5. lim
lim
lim
x a
x a
x a
f xf x
g x g x
 se 
lim 0
x a
g x
 
53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao usarmos a Propriedade do Produto repetidamente com 
g x f x
, obtemos a seguinte 
propriedade. 
 
Ao aplicar essas seis propriedades, vamos precisar usar dois limites especiais: 
 
Esses limites são óbvios do ponto de vista intuitivo (faça um enunciado para eles e esboce os 
gráficos de 
y c
 e 
y x
). 
Se colocarmos agora 
f x x
 nas propriedades 6 e 8, vamos obter outro limite útil especial. 
 
Um limite similar pode ser verificado para as raízes da forma a seguir. 
 
10. 
lim n n
x a
x a
 onde n é um inteiro positivo 
(Se n for PAR, supomos que 
0a
.) 
9. 
lim n n
x a
x a
 onde n é um inteiro positivo 
7. 
lim
x a
c c
 
8. 
lim
x a
x a
 
6. 
lim lim
nn
x a x a
f x f x
 onde n é um inteiro positivo 
54 
 
Com mais generalidade, temos a seguinte propriedade, que é consequência da propriedade 
10. 
 
 Exemplo 11: Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem. 
a) 
2
5
lim 2 3 4
x
x x
 b) 3 2
2
2 1
lim
5 3x
x x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que, se tomarmos 
22 3 4f x x x
, então 
5 39f
. Em outras palavras, teríamos 
obtido a resposta correta no exemplo 11(a) substituindo 5 em 
x
. Analogamente, a substituição 
direta fornece a resposta correta na parte (b). As funções do exemplo 11 são polinomial e 
racional, respectivamente, e o uso similar das propriedades do limite mostra que a substituição 
direta sempre é possível para essas funções. 
Enunciamos esse fato a seguir. 
 
 
As funções com essa propriedade de substituição direta, chamadas de contínuas em a, serão 
estudadas adiante no curso. Entretanto, NEM TODOS OS LIMITES PODEM SER CALCULADOS PELA 
SUBSTITUIÇÃO DIRETA, como é mostrado nos exemplos a seguir. 
Propriedades da Substituição Direta. Se 
f
 for uma função POLINOMIAL ou RACIONAL e 
a
 estiver 
no domínio de 
f
, então 
lim
x a
f x f a
 
11. 
lim limn n
x a x a
f x f x
 onde n é um inteiro positivo 
(Se n for PAR, supomos que 
lim 0
x a
f x
.) 
55 
 
 Exemplo 12: Encontre 2
1
1
lim
1x
x
x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observação 
No exemplo 12 fomos capazes de calcular o limite substituindo a função dada 2 1
1
x
f x
x
, por 
outra mais simples, 
1g x x
, que tem o mesmo limite. Isso é válido porque 
f x g x
, 
exceto quando 
1x
, e no cálculo de um limite quando 
x
 tende a 1, não consideramos o que 
acontece quando 
x
 é exatamente igual a 1. Em geral, se 
f x g x
 quando 
x a
 então 
 
lim lim
x a x a
f x g x
 
 
 Exemplo 13: Encontre 
1
lim
x
p x
 onde 
1, se 1
, se 1
x x
p x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 Exemplo 14: Calcule2
0
3 9
lim
h
h
h
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 15: Calcule 2
20
9 3
lim
t
t
t
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar o limite de funções definidas por várias sentenças é melhor calcular primeiro os 
limites laterais (à esquerda e à direita). O seguinte teorema é uma lembrança do que descobrimos 
na seção Limites Laterais. Dizemos que o limite existe se e somente os limites laterais existem e 
forem iguais. 
 
 
Quando calculamos os limites laterais, usamos o fato de que as Propriedades dos Limites são 
válidas também para eles. 
 
Teorema. 
lim lim lim
x a x a x a
f x L f x L f x
 
57 
 
 Exemplo 16: Mostre que 
0
lim 0
x
x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 17: Prove que 
0
lim
x
x
x
 não existe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 18: Se 
4, se 4
8 2 , se 4
x x
f x
x x
 
determine se 
4
lim
x
f x
 existe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 Exemplo 19: Sendo 
2 , 3
( ) 2 , 3 3
5 , 3
x a se x
f x ax b se x
b x se x
 
determine os valores de 
a
 e 
b
 tais que 
3
lim ( )
x
f x
e 
3
lim ( )
x
f x
 existam.