Cap. 6 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

Prévia do material em texto

69 
 
Elementos de Cálculo I 
Professor Wallace Nascimento Pinto Jr 
 
Capítulo 6 – Funções Exponenciais e Logarítmicas 
 
Até o momento, estudamos limites envolvendo funções polinomiais e racionais. Neste capítulo, 
vamos retomar as funções exponenciais e logarítmicas e estudar os limites envolvendo estes tipos 
de função. 
 
Funções Exponenciais 
 
Vamos considerar uma pessoa que toma emprestada a quantia de $ 10.000 e cujo montante da 
dívida seja corrigido a uma taxa de juros de 5% que incide mês a mês sobre o montante do mês 
anterior (ou seja, a taxa é de juros compostos, modelo pelo qual muitas instituições financeiras 
calculam taxas). Vamos determinar o montante após 1, 2 e 3 meses e mostrar que existe uma 
função para calcular esse montante após x meses. 
 
- Após 1 mês, representando o montante por 
1M
, temos: 
1 valor inicial + 5% do valor inicialM
 
 
 
 
 
 
 
- Após 2 meses, representando o montante por 
2M
, temos: 
2 montante após 1 mês + 5% do montate após 1 mêsM
 
 
 
 
 
 
- Após 3 meses, representando o montante por 
3M
, temos: 
 
 
 
 
- Após x meses, o montante pode ser encontrado por meio da seguinte função: 
 
___________________M x
 
 
70 
 
Assim, nessa situação, o montante acumulado ao final de x meses é descrito por um múltiplo 
constante de uma função exponencial. Na tabela abaixo temos alguns valores do montante no 
decorrer dos meses e o gráfico dessa função. 
 
 
 
 
Observe que o gráfico dessa função cresce rapidamente à medida que o tempo passa. 
 
 
 
O comportamento do gráfico da função exponencial depende do valor da base 
a
: 
 
 Quando 
1a
, a função exponencial é crescente. 
 Quando 
0 1a
, a função exponencial é decrescente. 
 Exemplo 1: Os gráficos de 
2xy
 e 1
2
x
y
 estão na figura abaixo. 
Definição de Função Exponencial. Uma função exponencial é uma função da forma 
xf x a
 
em que 
a
, 
0a
 e 
1a
. 
71 
 
 
 
 Exemplo 2: Esboce o gráfico da função 
3 2xy
 e determine seu domínio e sua imagem. 
 
 
 
Cálculos envolvendo exponenciais são facilitados pelas propriedades dos expoentes. 
 
 
Limites envolvendo Funções Exponenciais 
 
A função exponencial é contínua em todos os pontos de seu domínio, isto é, 
lim x b
x b
a a
 
Em particular, 
0
0
lim 1x
x
a a
. 
Propriedades dos Expoentes. Se 
a
 e 
b
 são números reais positivos e 
x
 e 
y
 números reais 
quaisquer, então 
1. 
x y x ya a a
 
2. x
x y
y
a
a
a
 
3. 
y
x xya a
 
4. 
x x xa b a b
 
5. x x
x
a a
b b
 
 
72 
 
Analisando os gráficos abaixo, podemos encontrar os seguintes limites: 
 
 
1) Se 
1a
, então 
lim ___x
x
a
 
2) Se 
1a
, então 
lim ___x
x
a
 
3) Se 
0 1a
, então 
lim ___x
x
a
 
4) Se 
0 1a
, então 
lim ___x
x
a
 
 
Vale também que: 
lim
lim x b
f xf x
x b
a a
 
 
 Exemplo 3: Calcule os seguintes limites: 
 
 
 
73 
 
Capitalização contínua e o número e 
 
Aplicando C reais durante um ano, com juros compostos de 100% ao ano, ao final de um ano, 
teremos: 
1
1 100%C
 
Aplicando C reais durante 1 ano, a 50% ao semestre, ao final de um ano, teremos: 
2
1 50%C
 
Aplicando C reais durante 1 ano, a 25% o trimestre, ao final de um ano, teremos: 
4
1 25%C
 
Aplicando C reais durante 1 ano, a 
100
12
%
 ao mês, ao final de um ano, teremos: 
12
100
12
1 %C
 
Aplicando C reais durante 1 ano, a 
100
365
%
 ao dia, ao final de um ano, teremos: 
365
100
365
1 %C
 
Aplicando C reais durante 1 ano, a 
100
8760
%
 a hora, ao final de um ano, teremos: 
8760
100
8760
1 %C
 
Observando a sequência, podemos perceber que o fator de capitalização tende a, 
aproximadamente, 2,718. 
Se aplicarmos C reais durante 1 ano com capitalização instantânea, o fator de capitalização será 
dado por: 
1
lim 1
x
x
e
x
 
 
O fator de capitalização, nesse caso, é o chamado número de Euler ou número de Neper 
2,718281828459...e
 
O número de Euler é um número irracional e aparece em muitas relações na natureza, bem como 
em aplicações nas áreas de Administração e Economia, sendo usado como a base dos logaritmos 
naturais ou neperianos. 
74 
 
Logaritmos 
 
De volta ao problema da dívida, vamos supor que o montante de uma dívida no decorrer de x 
meses é dado por 
10000 1,05
x
M x
. Após quanto tempo o montante será de $ 40.000,00? 
Na expressão acima, vamos substituir 
40000M x
: 
40000 10000 1,05
40000
1,05
10000
1,05 4
x
x
x
 
Como obter o valor de x? A qual expoente devemos elevar 1,05 para obtermos 4? 
Não conseguiremos resolver esse problema com as ferramentas que temos até o momento. Logo, 
precisamos de uma nova ferramenta: logaritmos. 
 
De acordo com a definição, podemos escrever, por exemplo: 
3
2log 8 3 2 8
 
ou ainda 
2
5log 25 2 5 25
 
Quando se trabalha na base 10, denotamos 
10log c x
 simplesmente por 
logc x
. 
Ao trabalharmos na base 
e
, denotamos 
loge c x
 simplesmente por 
lnc x
. Esse logaritmo é 
conhecido como logaritmo natural ou logaritmo neperiano. 
Por exemplo, temos 
ln 51 3,932
, pois 
3,932 51e
. 
As calculadoras científicas possuem as teclas log e ln que calculam o valor do logaritmo nessas 
bases. As calculadoras financeiras também possuem pelo menos a tecla ln. 
Assim como no cálculo com exponenciais, na manipulação dos logaritmos, podemos trabalhar com 
as seguintes propriedades: 
Definição de Logaritmo. Dado um número 
a
, 
0a
 e 
1a
, e um número 
c
, 
0c
; o expoente 
x
 
que se eleva na base 
a
 resultando no número 
c
 é chamada logaritmo de 
c
 na base 
a
: 
log xa c x a c
 
em que 
a
, 
0a
 e 
1a
. 
75 
 
 
Agora, com duas das propriedades acima, resolveremos o problema da dívida que deu início à 
nossa discussão sobre logaritmos. 
Aplicando o logaritmo na base 10 nos dois lados da igualdade, temos 
log 1,05 log4
x
 
Aplicando a propriedade 3, temos: 
log 1,05 log 4
log 4
log 1,05
x
x
 
Usando a calculadora, obtemos o valor de x: 
0,602
0,021
x
 
28,667x
 
o que permite concluir que o montante da dívida será de $ 40.000,00 entre o 28º e o 29º mês. 
Funções Logarítmicas 
 
 
 
A função logarítmica tem domínio 
0,
 e a imagem . Além disso, ela é a inversa da função 
exponencial (desde que consideremos seu contradomínio igual a 
0,
). Logo, o gráfico da 
função logarítmica é a reflexão do gráfico de 
xy a
 em torno da reta 
y x
. 
Definição de Função Logarítmica. Uma função logarítmica de base 
a
 é uma função da forma 
logaf x x
 
em que 
a
, 
0a
 e 
1a
. 
Propriedades dos Logaritmos. Se 
a
 e 
b
 são números reais positivos e diferentes de 1 e 
x
 e 
y
 
números reais positivos, então 
1. 
log log loga a ax y x y
 
2. 
log log loga a a
x
x y
y
 
3. 
log logba ax b x
 
4. 
log 1 0a
 
5. 
log 1a a
 
 
76 
 
 
Observando os gráficos, temos que: 
 Quando 
1a
, a função logarítmica é crescente. 
 Quando 
0 1a
, a função logarítmica é decrescente. 
 Exemplo 4: Esboce o gráfico da função 
ln 2 1y x
 e determine seu domínio e sua imagem. 
 
 
 
Limites envolvendo Funções Logarítmicas 
 
A função logarítmica é contínua em todos os pontos de seu domínio, isto é, 
lim log loga a
xb
x b
 (onde 
0b
) 
Em particular, 
1
lim log log 1 0a a
x
x
. 
Analisando os gráficos da função logarítmica, podemos encontrar os seguintes limites: 
1) Se 
1a
, então 
lim log ___a
x
x
 
2) Se 
1a
, então 
0
lim log ___a
x
x
 
77 
 
3) Se 
0 1a
, então 
lim log ___a
x
x
 
4) Se 
0 1a
, então 
0
lim log ___a
x
x
 
 
Vale também que: 
lim log log lima a
x a x a
f x f x
 
 Exemplo 5: Calcule os seguintes limites: 
 
 
Limites Exponenciais Fundamentais 
 
Além dos limites acima, existem os chamados limites exponenciais fundamentais: 
1) 1
lim 1
x
x
e
x
 
2) 1
0
lim 1 x
x
x e
 
3) 
0
1
lim ln
x
x
a
a
x
 
 
 
78 
 
 Exemplo 6: Calcule os seguintes limites: 
 
 
 
79