Cap. 7 - DERIVADAS - parte 1

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Elementos de Cálculo I 
Professor Wallace Nascimento Pinto Jr 
 
Capítulo 7 – Derivadas – parte 1 
 
Neste capítulo, vamos estudar o Cálculo Diferencial, o qual se concentra na seguinte questão: 
como uma quantidade varia em relação a outra quantidade. 
 
Trabalhando os conceitos de taxa de variação instantânea e inclinações de retas tangentes, 
chegaremos ao conceito central do Cálculo Diferencial é a derivada de uma função em um ponto e 
seu significado numérico e gráfico. 
 
Velocidades 
 
Suponha que uma bola é solta a partir de um ponto de observação no alto de uma torre, 450m 
acima do solo. 
(a) Como encontrar a velocidade da bola entre 0 e 5 segundos? 
(b) Como encontrar a velocidade da bola após 5 segundos? 
 
(a) Se a distância percorrida pela bola após 
t
 segundos for chamada 
s t
 e medida em 
metros, então a função posição pode ser expressa por: 
 
2
24,9
2
gt
s t t
 
 
onde 
29,8 m/sg
 é uma constante, a aceleração da gravidade. 
 
A razão entre a variação da distância percorrida sobre a variação do tempo é o que chamamos de 
velocidade média. Assim, a velocidade média da bola entre 0 e 5 segundos pode ser calculada da 
seguinte maneira: 
 
(no intervalo de 0 a 5)
distância percorrida
velocidade média
tempo decorrido
 
24,5 m/s
s
t
 
 
Qual o significado desse resultado? ___________________________________________________ 
________________________________________________________________________________ 
 
81 
 
(b) Agora, vem uma segunda questão: Como encontrar a velocidade da bola após 5 segundos, 
isto é, no instante em que 
5t
? 
 
A dificuldade em encontrar a velocidade após 5 segundos está em tratarmos de um único instante 
de tempo, ou seja, não temos um intervalo de tempo. Porém, podemos aproximar a quantidade 
desejada calculando a velocidade média sobre o breve intervalo de tempo de um décimo de 
segundo, de 
5t
 a 
5,1t
: 
 
(no intervalo de 5 a 5,1)
 
velocidade média
 
49, 49 m/s
 
 
Fazendo cálculos similares da velocidade média em períodos de tempo cada vez menores, 
obtemos a seguinte tabela: 
Intervalo de tempo Velocidade média 
(m/s) 
5 6t
 
53,9
 
5 5,1t
 
49,49
 
5 5,05t
 
49,245
 
5 5,01t
 
49,049
 
5 5,001t
 
49,0049
 
 
Fica evidente que, à medida que encurtamos o período de tempo, a velocidade média fica cada 
vez mais próxima de ______. 
 
A velocidade instantânea quando 
5t
 é definida como o valor limite dessas velocidades 
médias em períodos de tempo cada vez menores. Assim, a velocidade (instantânea) após 5 
segundos é dada por: 
 
0 0
5 5
5 lim lim 49 m/s
t t
s t ss
v
t t
 
 
Qual o significado desse resultado? ___________________________________________________ 
________________________________________________________________________________ 
 
Agora que já sabemos calcular limites, vamos encontrar uma forma de descobrir a velocidade 
instantânea em um tempo 
t a
 qualquer: 
82 
 
0 0
0 0
0
 
lim lim
 
lim lim
lim = 9,8
t t
t t
t
s a t s a
v a
t
a
 
 
Tangentes 
 
A palavra tangente vem do latim tangens, que significa “tocando”. Assim, uma tangente a uma 
curva é uma reta que toca a curva. Ou seja, uma reta tangente deve ter a mesma direção e sentido 
que a curva no ponto de contato. Como tornar precisa essa ideia? 
 
Para um círculo poderíamos simplesmente seguir Euclides e dizer que a tangente é uma reta que 
intercepta o círculo uma única vez, conforme a figura (a) abaixo. Para curvas mais complicadas 
essa definição é inadequada. A figura (b) abaixo mostra duas retas, l e t, passando por um ponto P 
sobre a curva C. Mas qual das duas é a reta tangente? A reta l intercepta C somente uma vez, mas 
não aparenta o que pensamos ser uma reta tangente. A reta t, por outro lado, aparenta ser uma 
tangente, mas intercepta C duas vezes. 
 
 
 
Para sermos objetivos, vamos examinar no exemplo a seguir o problema de encontrar uma reta 
tangente t à parábola 
2y x
. 
 
 Exemplo 1: Encontre uma equação da reta tangente à parábola 
2y x
 no ponto 
1,1P
. 
Sabemos que, para encontrar a equação de uma reta, precisamos de duas informações: 
i) as coordenadas de um de seus pontos; 
ii) sua inclinação ou coeficiente angular. 
 
Como já temos as coordenadas do ponto P, se soubermos como encontrar a inclinação 
m
 
seremos capazes de achar uma equação da reta tangente 
t
. Mas, como encontrar essa inclinação? 
 
83 
 
A dificuldade está em termos somente o ponto P sobre 
t
, ao 
passo que para calcular a inclinação são necessários dois 
pontos. Observe, porém, que podemos calcular uma 
aproximação de 
m
 escolhendo um ponto próximo 
2,Q x x
 
sobre a parábola e calculando a inclinação 
PQm
 da reta 
secante 
PQ
. 
 
 
Vamos escolher 
1x
 de forma que 
Q P
. Então 
2 1
1
Q P
PQ
Q P
y y x
m
x x x
 
 
As tabelas mostram os valores de 
PQm
 para vários valores de 
x
 próximos de 1. 
x
 
PQm
 
x
 
PQm
 
2 3 0 1 
1,5 2,5 0,5 1,5 
1,1 2,1 0,9 1,9 
1,01 2,01 0,99 1,99 
1,001 2,001 0,999 1,999 
 
Quanto mais próximo 
Q
 estiver de 
P
, mais próximo 
x
 estará de 1, e fica evidente que 
PQm
 estará mais próximo de 2. 
Dizemos que a inclinação da reta tangente é o limite das inclinações das retas secantes, e 
expressamos isso escrevendo que 
lim PQ
Q P
m m
 e 2
1
1
lim 2
1x
x
m
x
 
 
Assim, usando a equação fundamental da reta, podemos escrever a equação da reta tangente no 
ponto 
1,1
 como 
1 2 1y x
 ou 
2 1y x
 
 
Agora que já sabemos calcular limites, vamos encontrar uma forma de descobrir a inclinação da 
reta tangente à parábola 
2y f x x
 em um ponto 
,a f a
 qualquer: 
84 
 
 
lim lim
 
lim lim 2
x a x a
x a x a
f x f a
m a
x a
a
 
 
Algumas vezes nos referimos à inclinação da reta tangente como a inclinação da curva no ponto. A 
ideia por trás disso é que, se dermos um grande zoom em direção ao ponto, a curva parecerá uma 
reta. 
Há outra expressão para a inclinação da reta tangente , às vezes mais fácil de ser usada. 
Seja 
h x a
. Então 
x a h
 e a inclinação da reta tangente é 
 
0
lim
h
f a h f a
m a
h
 
 
Você deve ter visto que as ideias e cálculos usados na solução desse problema são muito 
semelhantes àqueles usados anteriormente para encontrar as velocidades. Na realidade, os dois 
problemas são matematicamente equivalentes. Foi precisamente a descoberta da relação entre 
esses dois problemas que alavancou o desenvolvimento do Cálculo no século 17, transformando-o 
em uma ferramenta indispensável para a solução de problemas práticos. 
 
 
Outras Taxas de Variação 
 
Além da velocidade, que é uma taxa de variação da distância percorrida pelo tempo gasto, existem 
outras taxas de variação, como: 
 taxa de variação de uma população de bactérias em relação ao tempo 
 taxa de variação da área de uma placa metálica em relação à temperatura 
 taxa de variação da distância percorrida em relação à quantidade de combustível gasto 
 taxa de variação do custo de produção em relação ao número de peças produzidas 
(chamado custo marginal) 
 taxa de variação do lucro de uma companhiaem relação ao tempo 
 taxa de variação do faturamento de uma agência de viagens em relação ao gasto da 
agência em publicidade. 
 
Mas, matematicamente, como definimos uma taxa de variação (instantânea)? 
Suponha que 
y
 é uma quantidade que depende de outra quantidade 
x
. Assim, 
y
 é uma função 
de 
x
 e escrevemos 
y f x
. Quando a variável independente varia de 
x
 a 
x x
, a 
correspondente variação de 
y
 será 
y f x x f x
. 
 
85 
 
A razão f x x f xy
x x
 representa a taxa de variação média de 
y
 em relação a 
x
 no 
intervalo 
,x x x
. 
 
O limite dessas taxas de variação médias, isto é, 
0 0
lim lim
x x
f x x f xy
x x
 é chamado taxa 
de variação (instantânea) de 
y
 em relação a 
x
. 
 
 
Derivadas 
 
Vimos que o mesmo tipo de limite aparece ao encontrar a inclinação de uma reta tangente a uma 
curva ou a velocidade de um objeto. Este tipo especial de limite é chamado derivada. 
 
 
 
Também podemos escrever: 
/
0
lim lim
x x a
f a x f a f x f a
f a
x x a
. 
 
 Exemplo 2: Encontre a derivada da função 
2 8 9f x x x
 no ponto 
a
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição de Derivada. A derivada de uma função 
f
 em um ponto (ou número) 
a
, denotada por 
/f a
, é 
/
0
lim
h
f a h f a
f a
h
 
se o limite existir. Neste caso, dizemos que 
f
 é derivável (ou diferenciável) no ponto 
a
. 
 
em que 
a
, 
0a
 e 
1a
. 
86 
 
Com base no que vimos acima sobre a taxa de variação e sobre a inclinação da reta tangente, 
podemos escrever que: 
 
 
 
 
 Exemplo 3: Encontre uma equação da reta tangente à parábola 
2 8 9y x x
 no ponto 
3, 6
. 
Faça um esboço. 
 
 
 Exemplo 4: Seja 
2xf x
. Encontre 
/ 0f
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 5: Um fabricante produz peças de automóvel com largura fixa, e o custo da produção 
de 
x
 metros desse material é 
C f x
. 
(a) Qual o significado da derivada 
/f x
? Quais suas unidades? 
 
 
 
 
 
 
A derivada 
/f a
 é a inclinação da reta tangente ao gráfico de 
y f x
 no ponto 
,a f a
. 
A derivada 
/f a
 é a taxa de variação (instantânea) de 
y f x
 em relação a 
x
 quando 
x a
. 
87 
 
(b) Em termos práticos, o que significa dizer que 
/ 1000 9f
?