Cap. 7 - DERIVADAS - parte 2

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Elementos de Cálculo I 
Professor Wallace Nascimento Pinto Jr 
 
Capítulo 7 – Derivadas – parte 2 
 
A Função Derivada 
 
Na seção anterior consideramos a derivada de uma função f em um número fixo a : 
 
( ) ( ) ( )/
0
lim
h
f a h f af a
h→
+ −
= 
 
O resultado deste limite, quando existe, é também um número. Então, a derivada calculada EM 
UM NÚMERO, é UM NÚMERO. 
Agora, mudamos nosso ponto de vista e vamos variar o número a . Se substituirmos a na equação 
acima por uma variável x , obtemos: 
 
( ) ( ) ( )/
0
lim
h
f x h f xf x
h→
+ −
= (*) 
 
Dado qualquer número x para o qual esse limite exista, atribuímos a x o número ( )/f x : 
 
( )/x f x֏ 
 
Assim, podemos considerar /f como uma nova função, chamada função derivada de f . Se 
quisermos determinar a derivada num ponto particular a , basta inseri-lo na função derivada e 
tomarmos o resultado. 
A função /f é denominada função derivada de f , pois foi “derivada” a partir de f pela operação 
limite na equação (*) acima. O domínio de /f é o conjunto ( ){ }/ existex f x e pode ser menor 
que o domínio de f . 
 
� Exemplo 6: Se ( ) 3f x x x= − , encontre uma fórmula para ( )/f x e escreva o domínio de /f . 
 
 
 
 
 
 
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Ainda sobre o Exemplo 6, observe os gráficos de f e /f na figura abaixo: 
 
Considerando as retas tangentes ao gráfico de f , vamos responder as questões seguintes: 
Quando é que ( )/ 0f x = ? ___________________________________________________________ 
Quando é ( )/f x é positivo? ________________________________________________________ 
Quando é ( )/f x é negativo? ________________________________________________________ 
Portanto, esses gráficos servem como verificação da fórmula que obtemos. 
 
� Exemplo 7: Se ( )f x x= , encontre a função derivada de f e escreva seu domínio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Vejamos se o resultado do Exemplo 7 é razoável observando os gráficos de f e /f na figura 
abaixo. 
 
Vamos responder as questões seguintes: 
Considerando as retas tangentes ao gráfico de f , vamos responder as questões seguintes: 
Quando x está próximo de 0 no gráfico de f , o que acontece com as retas tangentes? 
________________________________________________________________________________ 
Diante da resposta acima, o que ocorre com ( )/f x quando x está próximo de 0? 
________________________________________________________________________________ 
Quando x assume valores grandes e positivos no gráfico de f , o que acontece com as retas 
tangentes? 
________________________________________________________________________________ 
Diante da resposta acima, o que ocorre com ( )/f x quando x é grande e positivo? 
________________________________________________________________________________ 
 
Outras notações 
 
Se usarmos a notação tradicional ( )y f x= para indicar que a variável independente é x e a 
dependente é y , então algumas notações alternativas para a derivada são as seguintes: 
 
( ) ( )/ / dy df df x y f x
dx dx dx
= = = = 
 
O símbolo 
d
dx
 é chamado operador diferencial, pois indica a operação de diferenciação, que é o 
processo de cálculo de uma derivada. 
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O símbolo 
dy
dx
, introduzido por Leibniz, não deve ser encarado como um quociente (por ora); 
trata-se simplesmente de um sinônimo para ( )/f x . 
Para indicar o valor de uma derivada 
dy
dx
 na notação de Leibniz em um número específico a , 
usamos a notação 
 
x a
dy
dx
=
 
 
que é um sinônimo para ( )/f a . 
 
 
 
� Exemplo 8: Onde a função ( )f x x= é diferenciável? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No exemplo anterior, uma fórmula para /f é dada por: 
 
( )/ 1, se 0
1, se 0
xf x
x
>
= 
− <
 
Definição. Uma função é derivável ou diferenciável em a se ( )/f a existir. É derivável ou 
diferenciável em um intervalo aberto ( ),a b [ou ( ),a +∞ ou ( ),a−∞ ou ( ),−∞ +∞ ] se for 
diferenciável em cada número do intervalo. 
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e seu gráfico está ilustrado na figura (b) abaixo: 
 
 
O fato de que ( )/ 0f não existe está refletido geometricamente no fato de que a curva y x= não 
tem reta tangente em ( )0,0 . [Veja a figura (a) acima.] 
 
Tanto a continuidade como a diferenciabilidade são propriedades desejáveis em uma função. O 
seguinte teorema mostra como essas propriedades estão relacionadas. 
 
 
 
 
 
Como pode uma função não ser diferenciável? 
 
Vimos que a função ( )f x x= não é diferenciável em 0 e a figura (a) logo após o exemplo mostra 
que em 0x = a curva muda abruptamente de direção. Em geral, se o gráfico de uma função f 
tiver uma “quina”, então o gráfico de f não terá reta tangente nesse ponto e f não será 
diferenciável ali. (Ao tentar calcular ( )/f a , vamos descobrir que os limites à esquerda e à direita 
são diferentes.) 
Uma segunda possibilidade de uma função deixar de ter uma derivada são as descontinuidades. 
Se f for descontínua em a , então, pelo teorema acima, f não será diferenciável em a . 
OBS. A recíproca deste teorema é falsa, isto é, há funções que são contínuas, mas não são 
diferenciáveis. Por exemplo, a função ( )f x x= é contínua em 0, pois 
 
( ) ( )
0 0
lim lim 0 0
x x
f x x f
→ →
= = = 
Mas no exemplo 8 mostramos que f não é diferenciável em 0. 
Teorema. Se f for diferenciável em a , então f é contínua em a . 
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Uma terceira possibilidade surge quando a curva tem uma reta tangente vertical em x a= , isto é, 
f é contínua em a e 
( )/
0
lim
x
f x
→
= ±∞ . 
A figura abaixo ilustra as três possibilidades discutidas.