Cap. 7 - DERIVADAS - parte 3

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Elementos de Cálculo I 
Professor Wallace Nascimento Pinto Jr 
 
Capítulo 7 – Derivadas – parte 3 
 
Regras de Derivação 
 
Nas seções anteriores, usamos a definição de derivada para calcular as derivadas de funções 
definidas por fórmulas. Mas seria tedioso se sempre tivéssemos que usar a definição. Neste 
capítulo desenvolveremos regras para encontrar as derivadas sem usar diretamente a definição. 
(N.L: notação de Leibniz) 
 
 
 
 
 
� Exemplo 9: 
a) Se ( ) ( )1002f x = − , então ( )/ ____________f x = 
b) Se ( ) 6f x x= , então ( )/ ____________f x = 
c) Se 
4y t= , então ____________dy
dt
= 
Derivada de uma Função Potência: ( ) nf x x= , onde n é um número real 
( )/ 1nf x nx −= N.L: ( ) 1n nd x nxdx −= 
Demonstração: 
 
Derivada de uma Função Constante: ( )f x c= 
( )/ 0f x = N.L: ( ) 0d c
dx
= 
Demonstração: 
 
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d) Se 
1y
x
= , então 
dy
dx
= 
e) ( )d rdr pi = 
f) ( )ddr pipi = 
 
� Exemplo 10: Ache uma equação da reta tangente à curva y x x= no ponto ( )1,1 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regras do Múltiplo Constante, da Soma e da Diferença 
 
 
 
 
 
 
Regra da Soma (a derivada da soma é a soma das derivadas): 
Se f e g forem ambas diferenciáveis, então a derivada da função f g+ é: 
( ) ( )/ /f x g x+ N.L: ( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g x
dx dx dx
 + = +  
Regra do Múltiplo Constante (a derivada de uma constante vezes uma função é a constante 
vezes a derivada da função): 
Se c for uma constante e f uma função diferenciável, então a derivada da função cf é 
( )/cf x N.L: ( ) ( )d dcf x c f x
dx dx
  =  
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� Exemplo 11: 
a) Se ( ) 3 23 2 1f x x x x= − + − , então 
( )/f x = 
 
 
 
 
b) Se 
8 5 4 312 4 10 6 5y x x x x x= + − + − + , então 
dy
dx
= 
 
 
 
 
 
� Exemplo 12: Encontre os pontos sobre a curva 
4 26 4y x x= − + nos quais as retas tangentes são 
horizontais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra da Diferença (a derivada da diferença é a diferença das derivadas): 
Se f e g forem ambas diferenciáveis, então a derivada da função f g− é: 
( ) ( )/ /f x g x− N.L: ( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g x
dx dx dx
 − = −  
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Regras do Produto e do Quociente 
 
Por analogia com as regras da Soma e da Diferença, podemos ser tentados a pensar, com o Leibniz 
o fez três séculos atrás, que a derivada de um produto de funções é o produto das derivadas. 
Porém, podemos observar que esta regra não segue este padrão, examinando o exemplo a seguir: 
 
A falsa regra do produto 
Seja ( )f x x= e ( ) 2g x x= . 
Temos: ( )/f x = ( )/g x = ( ) ( )/ /f x g x = 
( )( ) ( ) ( )fg x f x g x= = ( ) ( )/fg x = 
Comparando os resultados obtidos, concluímos que: 
( )/ / /fg f g≠ 
 
Então, qual é a verdadeira Regra do Produto? 
 
 
 
� Exemplo 13: Determine ( )/f x se ( ) ( )( )3 46 7f x x x= . 
 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 14: Se ( ) ( )h x xg x= , onde ( )3 5g = e ( )/ 3 2g = , encontre ( )/ 3h . 
 
 
 
Regra do Produto: 
Se f e g forem ambas diferenciáveis, então a derivada da função fg é: 
( ) ( ) ( ) ( )/ /f x g x f x g x+ N.L: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g x f x g x
dx dx dx
   
  = +        
 
90 
 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 15: Determine 
dy
dx
 se 
2
3
2
6
x xy
x
+ −
=
+
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: Não use as Regras do Produto e do Quociente toda vez que você vir um produto ou 
quociente. Algumas vezes é mais fácil reescrever a lei da função primeiro, colocando-a em uma 
forma mais simples para a resolução da diferenciação. 
� Exemplo 16: Determine ( )/f x no Exemplo 13, sem utilizar a regra do produto. 
 
 
Regra do Quociente: 
Se f e g forem ambas diferenciáveis, então a derivada da função f
g
 é: 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
/ /
2
f x g x f x g x
g x
−
  
 N.L: 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2
d df x g x f x g xf xd dx dx
dx g x g x
   
−        
= 
      
 
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� Exemplo 7 Determine 
dy
dx
 se 
23 2x xy
x
+
= .