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Lista de exec´ıcios: Interpolac¸a˜o e Ajuste de curva.
Professor: Fernando Disciplina: Ca´lculo Nume´rico
Interpolac¸a˜o : Polinoˆmio de Lagrange
P (x) =
n∑
i=1

yi.
n∏
j = 1
j 6= i
(x− xj)
n∏
j = 1
j 6= i
(xi − xj)

Ajuste de Curvas
Mı´nimos Quadrados
Linear: f(x) = a+ bx {
na + (
∑
xi)b = (
∑
yi)
(
∑
xi)a+ (
∑
x2i )b = (
∑
xi.yi)
CC = r =
∑
xy − nxy√∑
x2 − nx2.
√∑
y2 − ny2
e CDL =
a
∑
y + b
∑
xy − ny2∑
y2 − ny2
Linearizac¸o˜es padro˜es:
• Exponencial: f(x) = a.ebx
• Logar´ıtmica: f(x) = a+ bln x
• Poteˆncia: f(x) = a.xb
• Inversa: f(x) = a+ b.1/x
Quadra´tico: f(x) = a+ bx+ cx2
na + (
∑
xi)b + (
∑
xi
2)c = (
∑
yi)
(
∑
xi)a+ (
∑
x2i )b+ (
∑
xi
3)c = (
∑
xi.yi)
(
∑
x2i )a+ (
∑
x3i )b+ (
∑
xi
4)c = (
∑
x2i .yi)
CDQ =
a
∑
y + b
∑
xy + c
∑
x2y − ny2∑
y2 − ny2
1
Questa˜o 1 Em cada caso, determine o polinoˆmio de Lagrange, para os pontos e
calcule a predic¸a˜o para xo:
i (1,-2), (3,-1) e xo = 2
ii (1,-2), (3,-1), (7,1) e xo = 4
iii (1,-2), (3,-1), (7,0) e xo = 4
iv (1,-2), (3,-1), (7,0), (8,3) e xo = 6
Observe a tabela a seguir para resolver as questo˜es 2, 3, 4 e 5.
TABELA 1
x 1 2 4 6
y 1 3 4 2
Questa˜o 2 Fac¸a um ajuste linear y = mx+ n, por mı´nimos quadrados.
Questa˜o 3 Fac¸a um ajuste exponencial linearizado, v = α.eβu.
Questa˜o 4 Fac¸a um ajuste poteˆncia linearizado, v = α.xβ.
Questa˜o 5 Para cada ajuste feito nas questo˜es anteriores, calcule a melhor predic¸a˜o
para x = 3 e x = 5, isto e´, o y correspondente pela respectiva func¸a˜o obtida.
Questa˜o 6 Admitindo uma dependeˆncia linear (modelado por reta) entre a altura x,
em metros, e o peso y, em quilogramas, qual e´ a melhor predic¸a˜o para uma pessoa,
com 1, 80 m de altura, em uma populac¸a˜o da qual se tem a amostra:
TABELA 2
altura 1, 65 1, 72 1, 53 1, 75 1, 90 1, 73 1, 69 1, 60
peso 60 65 52 80 85 88 56 49
Questa˜o 7 Fac¸a o gra´fico de dispersa˜o da tabela abaixo, isto e´, esboce os pontos de
coordenadas (x, y) no plano cartesiano, com escalas iguais.
TABELA 3
x 1 2 3 6 10
y −5 −2 0 2 3
Note que, neste caso, um ajuste do tipo logar´ıtmico e´ mais indicado que o linear.
Efetue os dois ajustes, calcule os respectivos coeficientes de correlac¸a˜o linear de Pe-
arson CC = r. Calcule, a predic¸a˜o para x = 9 pelo mais indicado.
Questa˜o 8 Utilize o me´todo dos mı´nimos quadrados para escrever o sistema linear
cuja soluc¸a˜o ajusta a func¸a˜o polinomial inversa f(x) = a + b.
1
x
+ c.
1
x2
. Efetue este
ajuste para os dados da tabela 3:
2
TABELA 3
x 1/2 1/3 1/4 1/5
y 3 2 1 1
Questa˜o 9 Linearizar, isto e´, comparar v = f(u) com y = a + bx, as seguintes
func¸o˜es com dois coeficientes de ajuste a e b apresentando as relac¸o˜es de linearizac¸a˜o:
a)1/v = 1/a+ bu b)v = au+ b.eu
2
c)v = a/u+ b/u2
d)v = a.cos u+ b.sen u e)v = 1− a.ebu f)v = 1 + ln (a+ bu)
g)v = a.ln (bu) h)v = 1/(a+ bu) i)v = 1/(1 + ea+bu)
Respostas
2) y = 0, 1695.x+ 1, 9492
3) v = 1, 5652.e0,1066u
4) v = 1, 4246.x0,4552
5) (1)y(3) = 2, 4577 e y(5) = 2, 7967
....(2)u(3) = 2, 1550 e u(5) = 2, 6672
....(3)u(3) = 2, 3490 e u(5) = 2, 9639
6) Fac¸a um ajuste linear. 78, 6232kg
7) v = 3, 5039.ln(0, 2749.u), u(9) = 3, 1741 e y(9) = 27, 0104
8)

na + (
∑
xi)b + (
∑
xi
2)c = (
∑
yi)
(
∑
xi)a+ (
∑
x2i )b+ (
∑
xi
3)c = (
∑
xi.yi)
(
∑
x2i )a+ (
∑
x3i )b+ (
∑
xi
4)c = (
∑
x2i .yi)
e
f(x) = 12, 2466− 61, 8596.1/x+ 87, 1421.1/x2
9) (d)v = a.cos u + b.sen u = cos u(a + b.tg u) ⇒ v/cos u = a + b.tg u, enta˜o
y = v/cos x, a = a, b = b e x = tg u.
3