schroedinger2_ns1

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 1 
 Considere uma partícula de massa m confinada entre os pontos x = −a/2 e x = a/2, que 
pode se mover livremente nesta região ao longo do eixo x. Suponha que as paredes que 
limitam esta região sejam completamente impenetráveis (poço de potencial infinito 
unidimensional) e a partícula está submetida a um potencial nulo. Para o.estado de menor 
energia da partícula a sua função de onda é dada por 
 
( )






≥−≤
><−
pi
=Ψ
−
22
,0
22
,ecos
,
a
xou
a
x
a
x
a
a
x
A
tx
tEi
h
 
 
onde A é uma constante real e E a energia total para este estado, determine: 
a) A energia total da partícula; 
b) A constante A que normaliza a função de onda; 
c) O valor esperado de x; 
d) O valor esperado de p; 
e) O valor esperado de x
 2
; 
f) O valor esperado de p
 2
; 
g) A incerteza na posição da partícula; 
h) A incerteza no momento da partícula 
í) Se é válido o Princípio da Incerteza de Heisenberg. 
 
 
 Solução 
 
a) Usando a Equação de Schrödinger 
 
( ) ( ) ( ) ( )
t
tx
itxtxV
x
tx
m ∂
Ψ∂
=Ψ+
∂
Ψ∂
−
,
,,
,
2 2
22
h
h
 
 
 O problema diz que no interior do poço a partícula está submetida a um potencial nulo 
( ( ) 0, =txV ), portanto podemos reescrever a Equação de Schrödinge na forma 
 
( ) ( )
t
tx
i
x
tx
m ∂
Ψ∂
=
∂
Ψ∂
−
,,
2 2
22
h
h
 (I) 
 
 Calculando as derivadas da função de onda em relação a x e t, obtemos 
 
( ) htEi
a
x
a
A
x
tx
−pipi
−=
∂
Ψ∂
esen
,
 (II) 
( )
( )
( )tx
aa
x
A
ax
tx
tx
tEi
,ecos
,
2
,
2
2
2
Ψ




 pi
−=
pi





 pi
−=
∂
Ψ∂
Ψ
−
444 3444 21
h (III) 
( )
( )
( )txEi
a
x
A
Ei
t
tx
tx
tEi
,ecos
,
,
Ψ−=
pi
−=
∂
Ψ∂
Ψ
−
h444 3444 21h
h (IV) 
 
substituindo as derivadas (III) e (IV) na expressão (I), temos 
 
( ) ( )
( ) ( )txEitx
am
tx
Ei
itx
am
,,
2
,,
2
2
22
22
Ψ−=Ψ




 pi




Ψ−=








Ψ




 pi
−−
h
h
h
h
 
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 2 
lembrando dos números complexos que i
 2
 = −1 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )txEtx
am
txEtx
am
,,
2
,1,
2
2
22
2
22
Ψ=Ψ
pi
Ψ−−=Ψ
pi
h
h
 
 
 A última igualdade estará satisfeita se a energia tiver o valor de 
 
2
22
2 am
E
hpi
= 
 
b) Para determinarmos a constante de normalização devemos ter 
 
∫ =ΨΨ 1* xd 
 
onde Ψ* representa o Complexo Conjugado da função Ψ, invertendo o sinal da parte 
imaginária, temos ( ) h
tEi
a
x
Atx ecos,*
pi
=Ψ e o cálculo da constante fica 
 
∫
∫
∫
−
−
−
−
−
=
pi
=
pi
=
pipi
2
2
22
2
2
1
22
2
2
1cos
1eecos
1ecosecos
a
a
a
a
tEitEi
a
a
tEitEi
xd
a
x
A
xd
a
x
A
xd
a
x
A
a
x
A
44 344 21
hh
hh
 
 
a constante 2A pode sair da integral e fazendo a substituição 
a
x
a
x pi
+=
pi 2
cos
2
1
2
1
cos 2 a 
integral fica 
 
Observação: lembrando das seguintes propriedades trigonométricas 
 
( )
( ) aaaaaaaa
aaaaaaaaa
22
22
sencos1sensencoscoscos
sencos2cossensencoscoscos
+=⇒+=−
−=⇒−=+
 
 
somando as duas expressões acima vem 
 
aa
aa
aa
aaa
2cos
2
1
2
1
cos
cos22cos1
sencos1
sencos2cos
2
2
22
22
+=
=+
+=
−=
 
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 3 
∫
−
=




 pi
+
2
2
2 1
2
cos
2
1
2
1
a
a
xd
a
x
A 
 
colocando o fator 
2
1 para fora da integral e sendo a integral da soma igual a soma das 
integrais podemos escrever 
 
1
2
cos
2
2
2
2
2
2
=












pi
+ ∫∫
−−
a
a
a
a
xd
a
x
xd
A
 
 
integração de ∫
−
pi
2
2
2
cos
a
a
xd
a
x
 
 
fazendo a mudança de variável 
 
ud
a
xdxd
a
ud
a
x
u
pi
=⇒
pi
=
pi
=
2
2
2
 
 
fazendo a mudança dos extremos de integração 
 
para 
2
a
x = para 
2
a
x −= 
temos pi=⇒
pi
= u
a
a
u
2
2
 temos pi−=⇒





−
pi
= u
a
a
u
2
2
 
 
( )[ ] [ ] 00
2
00
2
sensen
2
sen
2
cos
22
cos
2
cos
2
2
=
pi
=−
pi
=pi−−pi
pi
=
=
pi
=
pi
=
pi
=
pi pi
pi−
pi
pi−
pi
pi−−
∫∫∫
aaa
a
udu
a
ud
a
uxd
a
x
a
a 
 
1
2
1
222
1
222
10
2
2
2
2
2
2
2
=
=



+
=











−−
=








+−
a
A
aaA
aaA
x
A
a
a
 
a
A
22 = 
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 4 
a
A
2
= 
 
c) O valor esperado de x é dado por 
 
∫ ΨΨ=>< xdxx ^* 
 
onde 
^
x é o operador momento dado por xx =^ 
 
∫
∫
∫
−
−
−
−
−
pi
=><
pi
=><
pipi
=><
2
2
22
2
2
1
22
2
2
cos
eecos
ecosecos
a
a
a
a
tEitEi
a
a
tEitEi
xd
a
x
xAx
xd
a
x
xAx
xd
a
x
Ax
a
x
Ax
44 344 21
hh
hh
 
 
a constante 2A pode sair da integral 
 
∫
−
pi
=><
2
2
22 cos
a
a
xd
a
x
xAx 
 
integração de ∫
−
pi
2
2
2cos
a
a
xd
a
x
x 
 
 A função x é uma função ímpar, a função 
a
xpi2cos é uma função par, uma função 
ímpar multiplicada por uma função par resulta numa função ímpar que integrada num intervalo 
simétrico é zero, portanto 
 
0cos
2
2
2 =
pi∫
−
a
a
xd
a
x
x 
 
0.2Ax =>< 
 
0=>< x 
 
d) O valor esperado de p é dado por 
 
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 5 
∫ ΨΨ=>< xdpp ^* 
 
onde 
^
p é o operador momento dado por 
x
ip
∂
∂
−= h^ 
 
∫
−
Ψ





∂
∂
−Ψ=><
2
2
*
a
a
xd
x
ip h 
 
colocado o fator constante hi− para fora da integral e aplicando a derivada parcial à função Ψ, 
temos 
 
∫
−
∂
Ψ∂
Ψ−=><
2
2
*
a
a
xd
x
ip h 
 
 Utilizando o valor de Ψ* e a primeira derivada de Ψ obtida em (II), escrevemos 
 
∫
∫
−
−
−
−
pipi





 pi
−−=><







 pipi
−
pi
−=><
2
2
1
2
2
eesencos
esenecos
a
a
tEitEi
a
a
tEitEi
xd
a
x
a
x
a
AAip
xd
a
x
a
A
a
x
Aip
44 344 21
h
h
hh
hh
 
 
colocando a constante 
a
A
a
AA
pi
−=




 pi
− 2 para fora da integral 
 
∫
−
pipipi
=><
2
2
2 sencos
a
a
xd
a
x
a
x
a
Aip h 
 
integração de ∫
−
pipi
2
2
sencos
a
a
xd
a
x
a
x
 
 
 A função 
a
xpi
cos é uma função par, a função 
a
xpi
sen é uma função ímpar, uma 
função par multiplicada por uma função ímpar resulta numa função ímpar que integrada num 
intervalo simétrico é zero, portanto 
 
0sencos
2
2
=
pipi∫
−
a
a
xd
a
x
a
x
 
 
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 6 
0.2
a
Aip
pi
=>< h 
 
0=>< p 
 
e) Para o cálculo do valor esperado de x
 2
, temos 
 
∫ ΨΨ=>< xdxx
2
^2 * 
 
onde 
2
^x é o operador momento dado por 2
2
^
xx = 
 
∫
∫
∫
−
−
−
−
−
pi
=><
pi
=><
pipi
=><
2
2
2222
2
2
1
22222
2
22
cos
eecos
ecosecos
a
a
a
a
tEitEi
a
a
tEitEi
xd
a
x
xAx
xd
a
x
xAx
xd
a
x
Ax
a
x
Ax
44 344 21
hh
hh
 
 
a constante 2A pode sair da integral 
 
∫
−
pi
=><
2
2
2222 cos
a
a
xd
a
x
xAx 
 
integração de ∫
−
pi
2
2
22 cos
a
a
xd
a
x
x 
 
 Fazendo a substituição 
a
x
a
x pi
+=
pi 2
cos
2
1
2
1
cos 2 usada no item (b), temos 
 
∫∫∫
−−−







 pi
+=




 pi
+=
pi
2
2
22
2
2
2
2
2
22 2cos
22
2
cos
2
1
2
1
cos
a
a
a
a
a
a
xd
a
xxx
xd
a
x
xxd
a
x
x 
 
como a integral da soma é a soma das integrais e colocando o fator 
2
1
 em evidência 
 












pi
+=
pi ∫∫∫
−−−
2
2
2
2
2
2
2
2
22 2cos
2
1
cos
a
a
a
a
a
a
xd
a
x
xxdxxd
a
x
x (V) 
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 7 
 A segunda integral, ∫
−
pi
2
2
2 2cos
a
a
xd
a
x
x pode ser resolvida usando-se Integração por 
Partes ∫∫ ′−=′ vuvuvu escolhendo 
 
a
xa
vxu
a
x
vxu
pi
pi
==′
pi
=′=
2
sen
2
2
2
cos2
 
 
( )
( ) ( )
=
pi
pi
−
pi
=
pi
pi
−








+−
pi
=
=
pi
pi
−








−−−
pi
=
=
pi
pi
−








pi−−pi
pi
=
=
pi
pi
−














−
pi






−−
pi






pi
=
=
pi
pi
−
pi
pi
=
pi
∫∫
∫
∫
∫
∫∫
−−
−
−
−
−
−
−
2
2
2
2
22
2
2
22
2
2
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sen0.
2
2
sen
442
2
sen1
4
1
42
2
sencos
4
cos
42
2
sen
2
2
cos
22
2
cos
22
2
sen
2
2
2
cos
2
2
cos
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
xd
a
x
x
aa
xd
a
x
x
aaaa
xd
a
x
x
aaaa
xd
a
x
x
aaaa
xd
a
x
x
aa
a
aa
a
aa
xd
a
xa
x
a
xa
xxd
a
x
x
 
∫
−
pi
pi
−=
2
2
2
sen
a
a
xd
a
x
x
a
 (VI) 
 
substituindo (VI) em (V) a integração se torna 
 












pi
pi
−=
pi ∫∫∫
−−−
2
2
2
2
2
2
2
22 2sen
2
1
cos
a
a
a
a
a
a
xd
a
x
x
a
xdxxd
a
x
x (VII) 
 
 A segunda integral, ∫
−
pi
2
2
2
sen
a
a
xd
a
x
x deve ser resolvida novamente usando-se 
Integração por Partes escolhendo 
 
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 8 
a
xa
vu
a
x
vxu
pi
pi
−==′
pi
=′=
2
cos
2
1
2
sen
 
 
( )
( ) ( )
( )( ) [ ] ( ) =−
pi
−−
pi
−=pi−−pi
pi
−



−−
pi
−=












−
pi
−
pi
pi
+



−+−
pi
−=
=
pi
pi
+



pi−+pi
pi
−=
=
pi
pi
+











−
pi






−−
pi
pi
−=
=
pi
pi
−−
pi
pi
−=
pi
−
−
−
−
−
∫
∫∫
00
22
sensen
2222
2
2
sen
2
2
sen
2
1
2
1
22
2
sen
2
cos
4
cos
22
2
cos
22
2
cos
22
2
cos
22
2
cos
2
2
cos
2
2
sen
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
aaaaa
a
a
a
a
aaaa
a
xaaaa
xd
a
xaa
a
aa
a
aa
xd
a
xa
a
xa
xxd
a
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
 
 
pi
=
2
2a
 (VIII) 
 
substituindo (VIII) em (VII) e calculando a primeira integral do lado direito, temos 
 








−
pi
pi
=








pi
−=
=








pi
−=








pi
−








+=








pi
−
















−−=
=








pi
−














−−





=










pipi
−=
pi
−
−
∫
1
64243
1
2
1
243
1
2
1
2883
1
2
1
2883
1
2
1
2223
1
2
1
232
1
cos
2
2
3
2
33
2
33
2
333
2
333
2
23322
2
3
2
2
22
aaa
aaaaaaaa
aaaaax
xd
a
x
x
a
a
a
a
 
 
 Assim usando o valor da integral obtida acima e o valor da constante A do item (b) o 
valor esperado de x
 2
 será 
 








−
pi
pi
=><








−
pi
pi







=><
1
64
2
1
64
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
a
a
x
a
a
x
 
 








−
pi
pi
=>< 1
62
2
2
2
2 ax 
 
f) O valor esperado de p
 2
 é dado por 
 
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 9 
∫ ΨΨ=>< xdpp
2
^2 * 
 
onde 
2
^
p é o quadrado do operador momento dado por 
 
2
2
2
2
2
22
2
2
^
xx
i
x
ip
∂
∂
−=
∂
∂
=





∂
∂
−= hhh 
 
∫
−
Ψ







∂
∂
−Ψ=><
2
2
2
2
22 *
a
a
xd
x
p h 
 
colocado o fator constante 2h− para fora da integral e aplicando a derivada parcial à função Ψ, 
temos 
 
∫
−
∂
Ψ∂
Ψ−=><
2
2
2
2
22 *
a
a
xd
x
p h 
 
 Utilizando o valor de Ψ* e a segunda derivada de Ψ obtida em (III), escrevemos 
 
∫
∫
− ψ
−
Ψ
−
−
pipi





 pi
−−=><







 pi





 pi
−
pi
−=><
2
2 *
2
22
2
2
2
22
ecosecos
ecosecos
a
a
tEitEi
a
a
tEitEi
xd
a
x
A
a
x
A
a
p
xd
a
x
a
A
a
x
Ap
444 3444 21444 3444 21
h
h
hh
hh
 
 
colocando a constante 
2





 pi
−
a
 para fora da integral 
 
∫
−
Ψψ




 pi
=><
2
2
2
22 *
a
a
xd
a
p h 
 
a integral, ∫
−
Ψψ
2
2
*
a
a
xd , representa a probabilidade de se encontrar a partícula em qualquer 
ponto dentro do poço, e como visto no item (b) é igual a um, assim 
 
2
2 




 pi
=><
a
p
h
 
 
g) A incerteza na posição da partícula é dada por 
 
222 ><−><=∆ xxx 
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 10 
usando os resultados obtidos nos itens (c) e (e) para <x> e <x
 2
> respectivamente, temos 
 
2
2
2
2
2 01
62
−







−
pi
pi
=∆
a
x 
 








−
pi
pi
=∆ 1
62
2
2
2a
x 
 
h) A incerteza no momento da partícula é dada por 
 
><−><=∆ 222 ppp 
 
usando os resultados obtidos nos itens (d) e (f) para <p> e <p
 2
> respectivamente, temos 
 
2
2
2 0−




 pi
=∆
a
p
h
 
 
2





 pi
=∆
a
p
h
 
 
i) O Princípio da Incerteza de Heisenberg nos diz que 
 
2
h
≥∆∆ px 
 
substituindo os valores das incertezas na posição e no momento obtidos acima 
 
2
1
62
2
1
62
2
1
62
2
1
62
22
2
222
2
2
22
2
2
22
2
2
hh
hh
hh
hh
≥







−
pi
≥
pi








−pi
pi
≥




 pi








−
pi
pi
≥




 pi








−
pi
pi
a
a
a
a
a
a
 
 
sendo 
pi
=
2
h
h , onde h é a constante de Planck que é igual a 6,67.10
 − 11 J.s, substituindo os 
valores, obtemos 
 
1212
112
2
11
10.31,510.02,6
14,3.2
10.67,6
.
2
1
1
6
14,3
.
14,3.2
10.67,6
.
2
1
−−
−−
≥








≥







−







 
 
e assim verificamos que o Princípio da Incerteza de Heisenberg é válido. 
``