trigonometria exercícios

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TRIGONOMETRIA
A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações 
trigonométricas num triângulo retângulo.
Num triângulo ABC, retângulo em A, indicaremos por Bˆ e por Cˆ as medidas dos ângulos 
internos, respectivamente nos vértices B e C.
TEOREMA DE PITÁGORAS: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas 
dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.
222 cba 
Definições: 
1. Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do 
cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
a
b
hipotenusa
Bˆânguloaoopostocateto
Bˆsen 
a
c
hipotenusa
Cˆânguloaoopostocateto
Cˆsen 
2. Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do 
cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
a
c
hipotenusa
Bˆânguloaoadjacentecateto
Bˆcos 
a
b
hipotenusa
Cˆânguloaoadjacentecateto
Cˆcos 
3. Em todo triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida dos 
catetos oposto e adjacente a esse ângulo.
c
b
Bˆânguloaoadjacentecateto
Bˆânguloaoopostocateto
Bˆtg 
b
c
Cˆânguloaoadjacentecateto
Cˆânguloaoopostocateto
Cˆtg 
Observação: 
Note que 
Bˆcos
Bˆsen
a
c
a
b
c
b
Bˆtg  . 
Em geral, utilizaremos 
xcos
xsen
xtg  , para o ângulo x.
VALORES NOTÁVEIS
1) Considere o triângulo eqüilátero de medida de lado a.
2
1
a
2
a
)30(sen  
2
3
a
2
3a
)30cos( 
3
3
3
1
2
3a
2
a
)30(tg 
2
3
a
2
3a
)60(sen  
2
1
a
2
a
)60cos(  3
2
a
2
3a
)60(tg 
2) Considere o quadrado de medida de lado a.
2
2
2
1
2a
a
)45(sen  
2
2
2
1
2a
a
)45cos(  1
a
a
)45(tg 
Resumindo:
30o 45o 60o
Seno
2
1
2
2
2
3
Cosseno
2
3
2
2
2
1
Tangente
3
3 1 3
ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA
Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes, 
denominadas arcos, que indicaremos por ou .
As unidades usuais para arcos de circunferência são: grau e radiano.
MEDIDA DE ARCOS
Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Definimos:
GRAU: é o arco unitário correspondente a 
360
1
 da circunferência que contém o arco a ser 
medido.
RADIANO: é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o 
arco a ser medido. ( oradiano 571  )
As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são diretamente proporcionais, 
possibilitando a obtenção da equação de conversão de unidades, através de uma regra de três 
simples, em que  é a medida em graus e  em radianos.
medida em graus medida em radianos
 
 180 


180
CICLO TRIGONOMÉTRICO
Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Imagine um ponto A se 
deslocando sobre a circunferência.
Existe uma diferença muito importante para se graduar uma reta e uma circunferência: enquanto 
que na reta cada ponto corresponde a um único número real, na circunferência cada ponto 
corresponde a uma infinidade de números reais e todos diferem de múltiplos inteiros de 2 .
A figura a seguir ilustra a graduação, em radianos, de uma circunferência de raio 1.
Ao marcarmos o ponto P na circunferência de raio 1, temos um triângulo retângulo 
correspondente, de onde calculamos:
p
p
x
1
x
cos  ; p
p y
y
sen 
1
 ; 122  pp yx obtendo-se 122  sencos
A figura acima mostra que no eixo x temos o valor do cosseno e no eixo y, temos o seno, 
definindo o chamado ciclo trigonométrico.
Para os pontos A, B, C e D podemos obter os seguintes valores:
sen0 = yA = 0 cos0 =xA = 1
 sen 2
 = yB = 1 cos 2
 =xB = 0
sen = yC = 0 cos =xC = -1
 sen 23
 = yD = 1 cos 23
 =xD = 0
sen2 = yA = 0 cos2 =xA = 1
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Estudaremos as funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, nos ciclos
trigonométricos.
Veremos a periodicidade e os gráficos das funções seno cosseno e tangente.
O que é periodicidade?
Para que fique bem claro o que este termo quer dizer, vamos exemplificar com os dias da 
semana, de 7 em 7 dias eles se repetem, chamamos este fato de periódico, e o período é 7.
Estas três funções que serão apresentadas são ditas funções periódicas.
Definição: Uma função f é periódica se existir um número real p > 0 tal que f(x+p) = f(x), 
fDomx . Neste caso, o menor valor de p que satisfaz tal condição é chamado período de f. 
Observação: o gráfico de uma função periódica é caracterizado por ter seu “desenho” se 
repetindo. Assim, para desenharmos a curva toda, basta desenharmos a parte correspondente a 
um período e copiar à direita e à esquerda infinitas cópias da parte desenhada.
Vamos analisar a periodicidade destas três funções trigonométricas:
1) Seno
sen(x) = sen(x + 2 ) = sen(x + 4 ) =..... = sen(x + k2 ), k  Z.
Seno é função periódica de período 2
2) Cosseno
cos(x) = cos(x + 2 ) = cos(x + 4 ) =..... = cos(x + k2 ), k  Z.
Cosseno é função periódica de período 2
3) Tangente
tg(x) = tg(x +  ) = tg(x+ 2 ) =..... = tg(x + k ), k  Z.
Tangente é função periódica de período 
Generalizando: y = a sen(kx) e y = a cos(kx) p = 
k
2
Generalizando: y = a tg(kx) p = 
k

Exemplos: 
1) Determine o período de cada função:
a). y = 3 sen(x) p = 2
b) y = 3 sen(2x) p = 
2
2
c). y = 2 sen(x/2) p =  4
2/1
2
d) y = 3 cos(2x) p = 
2
2
e) y = cos(3x/5) p = 
3
10
5/3
2 
2) Determine o período de cada função:
a). y = tg(2x) p = 
2

b). y = 2 tg(x) p = 
a). y = tg(x/2) p =  2
2/1
GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO
y = sen x
Propriedades
a) Dom = 
b) Img = [-1, 1]
c) Período = 2
d) sen (-x) = - sen (x)
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO
y = cos x
Propriedades
a) Dom = 
b) Img = [-1, 1]
c) Período = 2
d) cos (-x) = cos (x)
GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE
y = tg x
Propriedades
a) Dom = }kx/x{  2
b) Img = 
c) Período = 
d) tg (-x) = -tg (x) 
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
tg x = 
xcos
senx
, para  k
2
x com Zk sen
2x + cos2x = 1, para Rx
cotg x = 
senx
xcos
, para  kx com Zk sec2x = 1 + tg2x, para  k
2
x com Zk
sec x = 
xcos
1
, para  k
2
x com Zk cossec
2x = 1 + cotg2x, para  kx com Zk
cossec x = 
senx
1
, para  kx com Zk
FÓRMULAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Sendo “a” e “b” dois números reais.
sen(a + b) = sena.cosb + cosa.senb sen(a – b) = sena.cosb – cosa.senb
cos(a + b) = cosa.cosb - sena.senb cos(a – b) = cosa.cosb + sena.senb
tg(a + b) = 
tgb.tga
tgbtga


1
tg(a - b) = 
tgb.tga
tgbtga


1
Exemplos
1) Calcule
a) )15cos( 
Solução: 
4
26
2
1
2
2
2
3
2
2
)30(sen)45(sen)30cos()45cos()3045cos()15cos(

 
b) )15(sen 
Solução: 
4
26
2
1
2
2
2
3
2
2
)30cos()45(sen)30cos()45(sen)3045(sen)15(sen

 
b) )15(tg 
Solução: 
 
 
 
32
6
326
6
3612
39
3369
33
33323
33
33
33
33
33
33
3
33
3
33
3
3
11
3
3
1
)30(tg)45(tg1
)30(tg)45(tg
)3045(tg)15(tg
22
22



















 

FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO: ARCO DUPLO (2a)
A partir das fórmulas de adição e subtração, podemos obter as seguintes fórmulas de 
multiplicação:cos(2a) = cos(a+a) = cos a cos a – sen a sen a = cos2a – sen2a = 
 =cos2a –(1- cos2a ) = 2 cos2a -1 
sen(2a) = sen(a+a) = sen a cos a + sen a cos b = 2 sen a cos a
tg(2a) = tg (a+a) = 
atg1
tga2
tga.tga1
tgatga
2



Ou seja, 
cos 2a = asenacos 22  sen 2a = 2 sen a . cos a
cos 2a = 2 cos2a – 1
tg 2a = 
.atg1
tga2
2
cos 2a= 1 – 2 sen2a
Exemplos
1) Sabendo que 
3
1
)x(tg  , calcule tg(2x).
Solução
tg(2x) = 
4
3
8
9
3
2
9
8
3
2
9
1
1
3
1
2
.xtg1
xtg2
2





2) Resolva a equação 1)x(sen3)x2cos(  .
Solução
02)x(sen3)x(sen2
1)x(sen3)x(sen)x(sen1
1)x(sen3)x(sen)x(cos
1)x(sen3)x2cos(
2
22
22




Resolvendo a equação de 2º grau em sen(x), temos:
25169)2(2432 
xexistenão2
4
53
ou
k2
6
5
xouk2
6
x
2
1
4
53
4
53
)x(sen



Conjunto solução: 





  Zk,k2
6
5
xouk2
6
xRxS
FÓRMULAS DE BISSECÇÃO
As fórmulas de bissecção podem ser obtidas do seguinte modo:
2
)b2cos(1
bsen)b2cos(1bsen2bsen21)b2cos( 222
 e, se considerarmos b= 
2
a
,
obtemos 
2
1
2
2 acosasen
 .
Seguindo essa idéia, temos
2
1
2
2 acosasen

2
1
2
2 acosacos

acos
acosa
tg


1
1
2
2
RELAÇÕES DE PROSTAFÉRESE
Fazendo 





qba
pba
, ou seja, 







2
qp
b
2
qp
a
 e substituindo nas fórmulas de adição e subtração, 
obtemos as relações de prostaférese dadas por 
sen p + sen q = 
2
qp
cos
2
qp
sen2

sen p - sen q = 
2
qp
cos
2
qp
sen2

cos p + cos q = 
2
qp
cos
2
qp
cos2

cos p - cos q = 
2
qp
sen
2
qp
sen2

tg p + tg q = 
)qcos().pcos(
)qp(sen 
tg p - tg q = 
)qcos().pcos(
)qp(sen 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Nosso problema agora é procurar, se existirem, valores de y para os quais sen y = x, 
lembrando que 1x1  .
Dado x, o valor de y correspondente tal que sen y = x determina uma função. Mas, para que o 
valor de x determinado seja único, teremos que usar a restrição 
2
y
2
 .
Para solucionarmos esta questão, temos que estudar as funções trigonométricas inversas.
1) Função arco-seno (arcsen)
A cada x  [–1,1] associa-se um único y 


 
2
,
2
 tais que sen y = x.
Assim, definimos a função 
arcsen : [–1,1] 


 
2
,
2
 x )x(arcseny 
Exemplos
1) Calcule
a) y = arcsen(1/2)
Solução
y = arcsen(1/2)  sen y = 1/2 . Lembrando que y 


 
2
,
2
, temos y =  /6, ou seja,
62
1
arcsen





.
b) y = arcsen(0)
Solução
y = arcsen(0)  sen y = 0 . Lembrando que y 


 
2
,
2
, temos y = 0, ou seja,   00arcsen  .
c) y = arcsen(-1/2)
Solução
y = arcsen(-1/2)  sen y = -1/2 . Lembrando que y 


 
2
,
2
, temos y =  /6, ou seja, 
62
1
arcsen




 .
d) y = arcsen(1)
Solução
y = arcsen(1)  sen y = 1 . Lembrando que y 


 
2
,
2
, temos y =  /2, ou seja,  
2
1arcsen
 .
2) Função arco-cosseno (arccos)
A cada x  [–1,1] associa-se um único y   ,0 tais que cos y = x.
Assim, definimos a função 
arccos : [–1,1]   ,0
 x )xarccos(y 
Exemplos
1) Calcule
a) y = arccos(1/2)
Solução
y = arccos(1/2)  cos y = 1/2 . Lembrando que y   ,0 , temos y =  /3, ou seja, 
32
1
arccos





.
b) y = arccos(0)
Solução
y = arccos(0)  cos y = 0 . Lembrando que y   ,0 , temos y =  /2, ou seja,  
2
0arccos
 .
c) y = arccos(-1/2)
Solução
y = arccos(-1/2)  cos y = -1/2. Lembrando que y   ,0 temos y = 2 /3, ou seja, 
3
2
2
1
arccos




 .
d) y = arccos(1)
Solução
y = arccos(1)  cos y = 1 . Lembrando que y   ,0 temos y =  , ou seja,   1arccos .
3) Função arco-tangente (arctg)
A cada x  [–1,1] associa-se um único y 



 
2
,
2
 tais que tg y = x.
Assim, definimos a função 
arcsen : [–1,1] 



 
2
,
2
 x )x(arctgy 
Exemplos
1) Calcule
a) y = arctg(1)
Solução
y = arctg(1)  tg y = 1 . Lembrando que y 



 
2
,
2
, temos y =  /4, ou seja,  
4
1arctg
 .
b) y = arcsen( 3 )
Solução
y = arctg( 3 )  tg y = 3 . Lembrando que y 



 
2
,
2
, temos y =  /3, ou seja, 
 
3
3arctg
 .
c) y = arctg(-1)
Solução
y = arctg(-1)  tg y = -1 . Lembrando que y 



 
2
,
2
, temos y =  /4, ou seja,  
4
1arctg
 .
EXERCÍCIOS SOBRE TRIGONOMETRIA
1) Em cada um dos casos, calcule o seno, o cosseno, a tangente do ângulo agudo assinalado:
2) Um barco deveria sair do porto da cidade A e ir até o porto da cidade B em uma linha reta, (no 
sentido norte-sul). Entretanto, uma correnteza fez com que o barco sofresse um desvio de na 
direção leste. Ultrapassando o trecho de correnteza o capitão necessitou efetuar uma correção no 
rumo no barco de 45º para a esquerda, de tal forma que ao reencontrar a rota original é possível 
traçar um triângulo retângulo. 
 (norte) A
 5 milhas
 (leste)
 (sul) B
3) A lua é satélite natural da Terra e faz uma revolução em torno do sol em aproximadamente 28 
dias.
a) De quantos radianos é o movimento da lua em um dia? 
b) Qual a distância percorrida pela lua em uma revolução completa? (adote a distância da terra à 
lua de 385.000km).
4) Reduza os arcos à primeira volta, represente-os graficamente e calcule o valor de seu seno, 
cosseno e tangente.
a)1470º b) –1020º c) 
4
25
 d) 
2
5 
5) Determine o valor de
(a) sen 1620º (b) sen (-990º) 
6) Sendo sen a = 1/2 e cos b = -1/2, sabendo que a e b são arcos do 2º quadrante, calcule:
a) sen (a+b) b) cos(a-b) c) tg (a+b)
Se o barco percorreu 5 milhas na direção 
leste, quanto ele teve que andar para 
retornar á rota original?
7) Resolva a expressão matemática
a) x = sen (/6)- cos (2/3)-3*sen()
b) y = tg(/4)+2*sen(5/6) – [sen (/3)-cos(/6)]
8) (MACK) O valor se sen 55º.cos35º+sen35º.cos55º é:
a) –1 b) -0,5 c) zero d)0,5 e) 1,0
9) Simplifique as expressões:
a) )x5(sen)x9(sen  b) sen (x-900º) + cos (x-540º)
10) Construa o gráfico (dois períodos completos) das seguintes funções, explicitando o domínio, a 
imagem e o período:
a) y = 4 sen x b) y=1 - sen x c) y = 2 sen x/4
11) Calcule :
a) sen (9/4) e cos (9/4)
b) sen (-2/3) e sen (-2/3) 
c) sen 8 e cos8 
12. Encontre os valores do ângulo no intervalo [0, 2) que satisfaça as equações:
a) sen =1; cos=-1; tg=1; sec=1;
b) sen =0; cos=0; tg=0; sec=0;
c) sen = -1/2; cos= 1/2; tg= -1; sec=2.
13. Determine o período das funções:
a) y = sen (8) b) z= 4 sen (8) 
c) x = cos (4/7) d) p=3 cos(/4+/2) 
14. Simplifique a expressão 



  cos
2
sen)sen()sen( .
15. Sabendo-se que sen  = -1/3, calcule:
a) sen (  - ) b) sen (  + ) c) cos (/2 - ) 
16. Usando as fórmulas de adição, calcule:
a) sen (+/2) b) cos75º c) cos (5/6), (sugestão 5/6 = /2+/3) 
17. Mostre que  cossen22sen .
18. Mostre que 
2
2cos
2
1
cos2
 .
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULOZERO - TRIGONOMETRIA
1) a) 
2
1
tg ,
5
52
cos ,
5
5
sen  b) 
4
3
tg ,
5
4
cos ,
5
3
sen 
2) 5 2
3) a) /14 rad b) 770.000  km
4) a) 1470º equivale a 30º portando sen 30º = ½; cos 30º = 3 /2 e tg 30º = 3 /3
 b) – 920 º equivale a 60º portando sen 60º = 3 /2 , cos 60º =1/2 e tg 60º = 3
 c) 25/4 equivale a /4 portando sen /4 = 2 /2 , cos /4 = 2 /2 e tg /4 = 1
 d) -5/2 equivale a 3/2 portando sen 3/2 = -1 , cos 3/2 = 0 e tg 3/2 = indefinida
5) a) zero b) 1
6) a) 1 b) 3 /2 c)indefinido
7) a) -1 b) 2
8) e
9) a) 2 sen x b) -sen x - cos x 
10) a) Dom =  , Im = [-4, 4], p=2 b) ) Dom =  , Im = [0, 1], p=2 
 
 
 c) Dom =  , Im = [-2, 2], p=8 
11) a) 2 /2 e 2 /2 b) - 3 /2 e -1/2 c) 0 e 1
12) a) /2, , /4 e 5/4, 0
 b) 0 e , /2 e 3/2, 0 e , /2 e 3/2
 c) 7/6 e 11/6, /3 e 5/3, 3/4 e 7/4, /3 e 5/3
13) a) /4 b) /4 c) 7/2 d) 8
14) –2sen
15) a) – 1/3 b) 1/3 c) -1/2
16) a) - 3 /2 b)   4/26  c) - 3 /2