Gabarito Questão Oficina Vetores 2017 1

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IF/UFRJ Introdução às Ciências Físicas I 
1o Semestre de 2017 Oficina de Vetores 
Profs Lucas Sigaud e Sergio Jorás 
 
1
 
Questão da Oficina de Vetores 
 
Esta questão só pode ser entregue pelos alunos que fizerem toda a Oficina de Vetores. 
Com ela, a AD1 valerá 13 pontos. O prazo de entrega será divulgado pelo tutor que 
ministrará as oficinas. 
 
Um carro parte da cidade A que está a uma distância de 100 km da origem do sistema de eixos 
coordenados O na direção 7-8 (que forma um ângulo de 45o com a direção 3-4, conforme a 
figura 1). Ele segue primeiro para a cidade B, que dista 60 km de A, na direção 1-2 (conforme o 
desenho), no sentido de 1 para 2. Depois ele segue para a cidade C, que dista 120 km de B, na 
direção 5-6 (que forma um ângulo de 30° com a direção 3-4), no sentido de 6 para 5. As 
direções estão representadas na figura 1, assim como a posição da cidade A e a origem do 
sistema de eixos O. 
-0,1 POR ÍTEM QUE NÃO FOR COLOCADA A UNIDADE DE MEDIDA CORRETA. 
0,0 EM TODO ITEM CUJA NOTAÇÃO VETORIAL FOR CONFUNDIDA COM ESCALAR. 
 
 
 
 
 
 
 
NO SEU GRÁFICO 1,0 cm DEVE CORRESPONDER A 20 km. 
a) Desenhe na figura 1 o vetor deslocamento 
 
 
 
d 1
 do carro que vai de A até B. (0,1) 
Vetor desenhado em verde. 
b) Desenhe na figura 1 o vetor deslocamento 
 
 
 
d 2
 do carro que vai de B até C. (0,1) 
Vetor desenhado em vermelho. 
c) Desenhe na figura 1 o vetor deslocamento 
 
 
 
d 3
 do carro que vai de A até C. (0,1) 
Vetor desenhado em roxo. 
d) Trace na figura 1 um sistema de eixos coordenados com a origem em O. Para isso, 
considere que o eixo OX tem a direção 3-4, com sentido positivo de 4 para 3 e que o eixo 
OY tem a direção 1-2 com o sentido positivo de 2 para 1. Os vetores unitários dos eixos OX 
e OY são representados respectivamente por 
 
ˆ i e 
 
ˆ j 
. (0,1 cada) 
Os eixos estão desenhados em preto. 
e) Projete os vetores deslocamentos 
 
 
 
d 1
 e 
 
 
 
d 2
 nas direções dos vetores unitários 
 
ˆ i e 
 
ˆ j 
. 
Desenhe na figura 1 os vetores projetados 
 
 
 
d 1x
, 
 
 
 
d 1y
, 
 
 
 
d 2x
e 
 
 
 
d 2y
. (0,4 – 0,1 cada) 
O vetor 𝑑1𝑥, por ser nulo, está representado pelo ponto azul e o vetor 𝑑1𝑦 está desenhado 
em azul, enquanto os vetores 𝑑2𝑥 e 𝑑2𝑦 estão desenhados em laranja. 
 
Figura 1 
IF/UFRJ Introdução às Ciências Físicas I 
1o Semestre de 2017 Oficina de Vetores 
Profs Lucas Sigaud e Sergio Jorás 
 
2
 
f) Calcule as componentes dos vetores 
 
 
 
d 1
 e 
 
 
 
d 2
. Não é para medir no desenho. 
(0,4 – 0,1 cada) 
Vetor 𝑑1: módulo de 60 km apenas na direção y: 
𝑑1𝑥 = 0 
𝑑1𝑦 = −60 𝑘𝑚. 
Vetor 𝑑2: módulo de 120 km em um ângulo de 30º com a direção 3-4: 
𝑑2⃗⃗⃗⃗⃗ = 120 𝑘𝑚 cos 30° (− 𝑖̂ ) + 120 𝑘𝑚 sin 30° (+ 𝑗̂ ) 
𝑑2𝑥 = −104 𝑘𝑚. 
𝑑2𝑦 = +60 𝑘𝑚. 
 
 
 
g) Calcule as componentes do deslocamento total 
 
 
 
d 3
. Calcule o módulo de 
 
 
 
d 3
 e o ângulo que 
ele faz com o eixo OX. Não é para medir no desenho. 
 (0,4 – 0,2 cada componente, 0,1 para o módulo, 0,1 para o ângulo) 
𝑑3⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑1⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑑2⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝑑3𝑥 = −104 𝑘𝑚 
𝑑3𝑦 = 0 𝑘𝑚 
 
|𝑑3⃗⃗⃗⃗⃗| = √(𝑑3𝑥)2 + (𝑑3𝑦)
2
 
|𝑑3⃗⃗⃗⃗⃗| = 104 𝑘𝑚 
 
𝜃3 = atan |
𝑑3𝑦
𝑑3𝑥
| = 180° 
 
 
 
h) Desenhe na figura 1 os vetores posição dos pontos A, B e C. Represente esses vetores em 
termos dos vetores unitários 
 
ˆ i e
 
ˆ j 
. Não é para medir no desenho. 
(0,9 – 0,3 cada vetor) 
Vetores posição desenhados em cinza. 
 
𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ = (100 𝑘𝑚 cos 45°) 𝑖̂ + (100 𝑘𝑚 sin 45°)𝑗̂ 
𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ = 71 𝑘𝑚 𝑖̂ + 71 𝑘𝑚 𝑗̂ 
 
𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝑑1⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ = 71 𝑘𝑚 �̂� + 11 𝑘𝑚 𝑗̂ 
 
𝑟𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑑2⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝑟𝐶⃗⃗⃗⃗ = − 33 𝑘𝑚 𝑖̂ + 71 𝑘𝑚 𝑗̂ 
 
 
 
 
i) Sabendo que o carro levou duas horas para se deslocar de B até C, calcule o vetor 
velocidade média (em km/h) associada a este trecho do seu percurso. Escreva esse vetor 
em termos dos unitários
 
ˆ i e
 
ˆ j 
. Determine o módulo do vetor velocidade média. 
 (0,4 – 0,2 para o vetor, 0,2 para o módulo) 
𝑣𝑚⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑑2⃗⃗⃗⃗⃗
𝑡
= −52
𝑘𝑚
ℎ
𝑖̂ + 30
𝑘𝑚
ℎ
 𝑗̂ 
 
|𝑣𝑚⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(52)2 + (30)2 = 60
𝑘𝑚
ℎ
.