Unidade_10_-_função_afim

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Matemática Básica Unidade 10 
1 
 
 
Unidade 10 
Função afim 
 
 
 
 
Metas 
Esta unidade é sobre a noção particular de função, conhecida como função afim. 
 
Objetivos 
Ao final desta unidade você deve: 
 conhecer a noção de função afim; 
 saber esboçar o gráfico de uma função afim a partir de sua expressão; 
 saber determinar a expressão de uma função afim a partir de uma representação do 
seu gráfico. 
 
 
 
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Função Afim 
 Uma função afim é uma função do tipo f :  , com f(x) = ax + b, onde a, b 
 são constantes pré fixadas. Apesar da simplicidade desta função, ela é bastante 
importante no estudo geral das funções, além de modelar vários problemas práticos. 
 Podemos começar o estudo de uma função afim pela descrição do seu gráfico. A 
representação gráfica no plano cartesiano 2 da função afim coincide com a 
representação de uma reta no plano. Isto é, o conjunto {(x, y)  2 | y = ax + b} 
marcado no plano R
2
 forma uma reta. 
 
 
 y = ax + b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O aluno pode verificar esta afirmação sobre o gráfico da função afim estudando 
algumas equações e representando-as numa folha quadriculada. Ou, pode verificar em 
algum programa matemático como fica o gráfico de alguns exemplos. Um programa 
bom para isto é o GeoGebra. Veja, por exemplo, a figura obtida neste programa para o 
gráfico da função dada por y = 3x + 1. 
 
 
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Atividade 1: Esta atividade é referente à função dada pela relação y = 3x + 1, cujo 
gráfico está ilustrado na figura anterior. 
a) Um ponto notável do gráfico de uma função ocorre quando fazemos x = 0. Este ponto 
indica o ponto de interseção do gráfico da função com o eixo y. A figura anterior indica 
que este ponto de interseção é (0, 1). Verifique se este ponto pertence de fato ao gráfico 
da função, isto é, verifique se f(0) = 1. 
b) O desenho não indica explicitamente o ponto do eixo x por onde passa a reta. Você 
consegue encontra-lo? Lembre-se que um ponto sobre o eixo x tem a segunda 
coordenada igual a zero. Vejo se o valor encontrado está de acordo com o aspecto do 
desenho. 
 
 Na análise gráfica de uma função afim, podemos verificar que os coeficientes a 
e b têm um papel importante na determinação do aspecto do gráfico. A saber, o 
coeficiente a mede a inclinação da reta com relação ao eixo x, enquanto que o 
coeficiente b marca o ponto onde a reta corta o eixo y. 
 
 a > 0 a < 0 a = 0 
 
 
 
 
 
 
 b 
 
 
 
 
 
Observação: O coeficiente a é chamado coeficiente angular e b é chamado coeficiente 
linear. 
 
Atividade 2: 
a) Faça uma representação gráfica da função afim dada. Compare o aspecto do gráfico 
com os respectivos valores dos coeficientes. 
1) y = x + 1 2) y = 2x + 1 3) y = – x 4) y = 
2
1
x + 1 
5) y = x – 3 6) y = 2 7) y = x 8) y = 2x 9) y = x + 1 
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b) Nos gráficos obtidos no item anterior, marque, para cada item, a raiz da função, isto 
é, o x tal que f(x) = 0. 
c) Represente, num mesmo sistema de coordenadas, o gráfico das funções dadas por f(x) 
= 
2
1
x, g(x) = 2x e h(x) = 3x. 
d) Diga se é verdadeiro ou falso. 
ii) A reta y = 2x tem uma inclinação maior do que a reta y = 3x. 
iii) As retas y = 4x, y = 4x  2 e y = 4x + 15 são paralelas. 
iiii) As retas y = 2x + 1 e y = 5x  2 são concorrentes. 
 
 
 A primeira aplicação do esboço de gráfico de funções afins se dá na resolução de 
inequações envolvendo expressões polinomiais do 1º grau. A saber, o fato do valor da 
expressão y = ax + b ser positivo, nulo ou negativo pode ser imediatamente reconhecido 
pelo desenho do gráfico da função f(x) = ax + b. Vejamos, como exemplo, a figura a 
seguir que representa uma parte do gráfico da função f :  , com f(x) = 3x  6. 
 
Desenho obtido no GeoGebra 
 Pela figura do gráfico, é imediato a avaliação do sinal do valor de y = 3x  6, 
qualquer que seja o ponto x. Temos que, para pontos x maiores do que 2, y = 3x  6 é 
um número positivo. Para pontos x menores de 2, y = 3x  6 é um número negativo. E 
quando x = 2, y = 3x  6 = 0. Note que a avaliação foi feita sem nos preocuparmos com 
o valor exato da expressão y = 3x  6. Por exemplo, podemos verificar, no desenho, que 
o valor de y = 3x  6 para x = 3 é 3, um número positivo, e podemos verificar que o 
valor de y = 3x  6 para x = 1 é 3, um número negativo. Mas, para a resolução da 
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inequação, não precisamos saber o valor de y = 3x  6, só precisamos saber se este é 
positivo, negativo ou nulo. Isto é imediato do desenho do gráfico da função. 
 Outro aspecto desta abordagem geométrica é evitar a manipulação algébrica. Por 
exemplo, o aluno deve ter aprendido na unidade 4 a resolver a inequação 3x  6 > 0 
procedendo da seguinte maneira: 3x  6 > 0  3x > 6  x > 6/3  x > 2. Esta mesma 
resposta pode ser obtida imediatamente da representação gráfica da função. 
 Vejamos outro exemplo. Agora, os coeficientes não são dados, só um esboço do 
gráfico de uma função que tem como expressão y = ax + b, onde a < 0. Note, leitor, que 
o desenho é só um esboço, mesmo. Não existe graduação na reta nem marcação de 
valores, com exceção da raiz da função, x0. Ainda assim, este desenho rústico é 
suficiente para o estudo das inequações ax + b > 0 ou ax + b < 0. 
 
 
 Pelo desenho, para x < x0, os valores y = ax + b são positivos e, para x > x0, os 
valores y = ax + b são negativos. Temos que ax + b = 0 quando x = x0. 
 
Atividade 3: Resolva as inequações. Para analisar o sinal de cada expressão polinomial 
do 1º grau, faça um esboço bem simples do gráfico. 
a) 2x  1 > 0 b) x + 3  0 c) x + 1 < 3 d) 3x  2 < 5x +1 
e) 





023
012
x
x f) 





022,0
01
x
x g) 





02
0
x
x  
 
Exemplo: Vejamos uma inequação envolvendo produto de duas expressões polinomiais 
do 1º grau, (2x + 4)(3x + 7) > 0. A solução deste problema é baseada na regra de sinais 
para a multiplicação, positivo com positivo é positivo, positivo com negativo, ou 
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negativo com positivo, é negativo e negativo com negativo. Para que a expressão (2x + 
4)(3x + 7) > 0 seja verificada, é preciso que os fatores estejam de acordo com a regra 
de sinais para multiplicação. No caso, é preciso que os dois fatores sejam positivos ao 
mesmo tempo, ou que sejam negativos ao mesmo tempo. Para termos estas 
informações, podemos fazer um estudo de sinais dos dois fatores. 
2x + 4 3x + 7 
 
Vamos chamar o primeiro fator de P1, isto é, P1 = 2x + 4 e seja P2 = 3x + 7. 
Precisamos analisar o sinal de P1 . P2. Podemos fazer isto com o auxílio de uma tabela. 
O aluno deve comparar os sinais das duas primeiras linhas com os esboços de gráficos 
acima. A terceira linha é preenchida com a regra de sinais para a multiplicação. 
 
No final da tabela, o pedaço da linha mais escuro indica os pontos que satisfazem a 
inequação. Assim, o conjunto solução é dado por S = (2, 7/3) 
 
Atividade 4: Resolva as inequações. 
a) (x  1)(2x + 6) < 0 b) x(3x + 1)  0 c) (x 3)(2x + 5)(5x + 15) >0 
d) 
0
12
31



x
x
 e) 
0
)1)(5(


x
xx  
 
 Para se determinar a equação de uma função afim, f(x) = ax + b, basta conhecer 
seus valores em dois pontos, y1 = f(x1) e y2 = f(x2). Neste caso, as constantes a e b são 
determinadas pela solução do sistema 





baxy
baxy22
11
. 
 
2 7/3 
 
+ + 
 
2 7/3 
+ 
+ + 
+ 
+ 
  
 
 P1 
P2 
P1P2 
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Exemplo: A relação entre y e x é uma função afim. Sabendo que y = 1, se x = 1, e y = 
3, se x = 1, determinar a equação da função. 
Solução: Se a expressão relacionando y com x é uma função afim então y = ax + b. Para 
resolver esta questão, é preciso encontrar os valores a e b. Para isto, usando as 
informações fornecidas, basta determinar a solução do sistema 





ba
ba
3
1 
Resposta: y = –2x – 1. 
 
Atividade 5: 
a) Encontre a equação da reta que contém os pontos: 
i) (0, 1) e (1, 0); 
ii) (4, 1) e (2, 1); 
iii) (0, 1) e (1, 2); 
iv) (0, 2) e (1, 3); 
v) (2, 1) e (2, 3). 
b) Encontre a equação da reta a partir dos dados fornecidos. 
i) a = 2 e a reta passa por (2, 7); 
ii) b = 1 e a reta passa por (1, 0); 
iii) a = 3 e y = 3 quando x = 1; 
iv) a = 3 e y tem valor 8 no ponto x = 1; 
v) a reta corta o eixo y em 2 e y = 1 se x = 1; 
vi) a reta intercepta o eixo x em 5 e (1, 2) pertence à reta; 
vii) a reta é paralela ao eixo x e (1, 3) pertence à reta; 
viii) b = 2 e y = 2 quando x = 33. 
c) Suponha que custa $15 para fabricar um determinado produto, além de uma despesa 
fixa diária de $400. Se x unidades forem produzidas por dia e y Reais for o custo 
total diário para o fabricante, determine a expressão de y como função de x. 
d) Um galpão retangular deve ser construído num terreno com a forma de um triângulo 
retângulo, de catetos medindo 10m e 20m. Determinar a fórmula da área do galpão 
em função de x dado no desenho (é preciso expressar y em função de x). 
 
e) Determine a imagem da função f : [0, 5)  , f(x) = 3x  1. 
f) Observe o gráfico da f a seguir e determine sua expressão. 
x 
y 
 
10 
20 
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Taxa de variação de uma função afim 
 
 Como fica a taxa de variação média de uma função afim? Se y e x estão 
relacionadas por y = ax + b, então 
a
xx
xxa
xx
baxbax
xx
yy
x
y












12
12
12
12
12
12 )()()(
. 
Isto é, 
x
y


 = a. 
 
Neste caso, tem-se que a taxa de variação média de uma função afim é constante e não 
depende do intervalo de variação de x1 a x2 (compare esta observação com os exemplos 
ilustrados na unidade anterior). 
 Com respeito ao comentário acima, vale a seguinte 
 
Propriedade: A relação de dependência da variável y com relação à variável x é uma 
função afim se, e somente se, a taxa de variação média de y com relação a x em todo 
intervalo é sempre constante. 
 
Observação: Em uma função afim, y = ax + b, o coeficiente a determina a taxa de 
variação da função. 
 
Observação: Já vimos nesta unidade que, numa relação afim y = ax + b, o coeficiente a 
indica se a função é crescente, decrescente ou constante, dependendo de ser a > 0, a < 0 
ou a = 0, respectivamente. Com a descrição do coeficiente a como a taxa de variação da 
função, vemos agora que o coeficiente a diz mais precisamente com que rapidez y varia 
em função de x. Por exemplo, nas duas funções afins, y = 7x e y = 13x, além de 
sabermos que y varia de modo crescente nas duas equações, sabemos mais ainda: que y 
varia com mais rapidez na segunda. 
 
Aplicação: Uma pessoa, recolhendo a água que jorra de uma mangueira, obtém os 
seguintes dados: 
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 em 5 s recolhe 15 litros; 
 em 10 s recolhe 30 litros; 
 em 15 s recolhe 45 litros; 
 em 20 s recolhe 60 litros e etc. 
Calculando a taxa de variação média em cada intervalo de 5 s, por exemplo, encontra-se 
o valor constante 
x
y


 = 3. Assim, o melhor modelo para representar o fenômeno 
descrito é uma função afim. Pelos dados fornecidos, temos a = 3 e b = 0 (= f(0)), e 
encontramos a equação 
y = 3x. 
 
Exemplo: Só para ilustrar, pelo exemplo de queda livre visto na unidade anterior, y = 
5x
2
, tem-se que a taxa de variação entre o intervalo de 0 a 1 é 
x
y


 = 
01
05


= 5, enquanto 
que a taxa de variação no intervalo de 1 a 2 é 
x
y


 = 
12
520


 
= 15. Como a taxa de 
variação não é constante, a relação entre a distância e o tempo não é uma função afim. 
De fato, já tinha sido visto que a equação da distância em relação ao tempo é d = 5t
2
. 
 
 
Atividade 6: 
a) Em um lago, a pressão p varia com a profundidade h de acordo com a fórmula p = 
10
1
h + 1, para h  0 (p em atmosferas e h em metros). 
i) Represente o gráfico da pressão em função da profundidade. 
ii) Qual a taxa de variação da pressão em relação à profundidade? Em que unidade 
é medida? 
iii) Se descermos 20 metros a partir de um determinado ponto, de quanto varia a 
pressão? 
b) Um tanque contém inicialmente 20 litros de água. Uma torneira despeja água no 
tanque à razão constante de 5 litros por minuto. 
i) Qual o volume de água no tanque após 10 minutos? 
ii) Qual o volume V de água no tanque após t minutos? 
iii) Qual a taxa de variação de V em relação a t? Em que unidades é medida? 
c) A massa m do oxigênio contido em um tanque varia com o tempo t de acordo com a 
expressão m = 30  4t (m em Kg e t em horas). 
i) Qual a taxa de variação da massa em relação ao tempo? Interprete. 
ii) Em quanto tempo o tanque perde 10 kg de oxigênio? 
 
 
Funções Partidas 
 
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 Um exemplo que encontramos frequentemente de função partida é quando uma 
loja com uma copiadora divulga que preços que dão desconto de acordo com a 
quantidade de cópias. Digamos que a tabela a seguir ilustre uma destas situações. 
 
Número de cópias do mesmo original Preço por cópia 
de 1 a 9 R$ 0,12 
de 10 a 19 R$ 0,10 
20 ou mais R$ 0,08 
 
Se quisermos definir uma regra matemática que determine o custo y de x cópias, 
precisamos fazer em partes. Quando x é menor do que 10, temos que y = 0,12x. Para x  
[10, 19), temos y = 0,10x. E, para x  20, temos y = 0,08x. Assim, a função que 
representa o custo de cópias de um mesmo original é dada por 
f :  , 









20,8,0
]19,10[,10,0
]9,0[,12,0
)(
xx
xx
xx
xf
. 
Observe que o domínio é dado por números naturais, pois o número de cópias é sempre 
uma quantidade inteira. 
 Só para exercitar nossos conhecimentos, vamos apresentar o gráfico desta 
função. O desenho a seguir, na verdade, representa o gráfico da função partida definida 
em (0, +), em vez de . Veja que coisa curiosa, aluno. Uma análise rápida do gráfico 
mostra um fato inesperado. Quando o custo pula da primeira faixa de preço para a 
segunda, existe uma queda de valores. O aluno sabe interpretar este fato? Para isso, 
calcule o custo de 9 cópias e depois calcule o custo de 10 cópias. Verificamos que 9 
cópias custam R$ 1,08 e 10 cópias custam R$ 1,00. Ou seja, neste caso, fica mais barato 
tirar uma cópia a mais. O aluno pode verificar que este fenômeno também ocorre na 
mudança da segunda faixa de preços para a terceira. 
 
 
 
 
 
 
Atividade 7: Construa o gráfico da função partida dada. Não deixe de marcar os pontos 
de interseção com os eixos coordenados. 
a) f(x) = 





0,12
0,1
xx
xx ; b) f(x) = 





1,12
1,1
xx
xx ; c) h(x) = 





1,1
1,1
xx
xx ; 
d) g(x) = 





1,22
1,1
xx
xx ; e) g(x) = 





1,1
1,1
xx
xx ; f) f(x) = 





)3,1[,4)1,2[,12
xx
xx ; 
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g) h(x) = 








2,25,0
]2,0(,15,0
0,5,0
xx
xx
xx
; h) f(x) = 








2,2
)1,1(,1
]1,3[,25,1
xx
x
xx
. 
 
 
Atividade 7: Baseada no gráfico, determine a expressão de f(x). 
a) 
 
b) 
 
 
Solução das atividades 
 
Atividade 1  solução: 
a) Quando x = 0, temos y = 3.0 + 1 = 1. Logo, o ponto (0, 1) pertence ao gráfico de da 
função. 
b) Quando y = 0, temos 0 = 3x + 1, donde x = 1/3. Olhando o desenho com cuidado, 
parece que o valor está de acordo, isto é, parece que a reta está cortando o eixo x em um 
terço da unidade. 
 
Atividade 2  solução: 
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a) 1) 2) 
Observação: nos itens (1) e (2), as duas equações tem o mesmo coeficiente linear, b = 1. 
Veja como as duas retas cruzam o eixo y. Note também que o coeficiente angular da 
segunda equação é maior, a = 2, do que o coeficiente angular da primeira equação, a = 
1. Veja, no desenho, como isto afeta a inclinação das retas. 
3) 4) 
5) 6) 
7) 8) 
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9) 
b) Tem que marcar no eixo x o ponto que satisfaz a equação ax + b = 0. 
1) x + 1 = 0  x = 1 
2) 2x + 1 = 0  x = 
2
1
 
3) x = 0  x = 0 
4) 
2
1
x + 1 = 0  x = 2 
5) x  3 = 0  x = 3 
6) Neste caso, não existe solução para a equação y = 0 (confira no gráfico) 
7) x = 0 
8) 2x = 0  x = 0 
9) x + 1 = 0  x = 1 
 Verifique, em cada item, que a raiz encontrada coincide com a interseção do 
gráfico que você obteve com o eixo x. 
c) Os três gráficos estão representados abaixo. Como exercício, você consegue 
identificar qual função cada linha representa? Se tiver dúvidas, peça ajuda ao tutor. 
 
 
d) 
1) Falso, basta fazer um esboço do gráfico das duas funções para verificar a 
falsidade. 
2) Verdadeiro, pois têm o mesmo coeficiente angular. Verifique com um desenho 
do gráfico. 
3) Verdadeiro, pois não são paralelas, isto é, têm coeficientes angulares diferentes. 
Como exercício, encontre o ponto de interseção. 
 
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Atividade 3 – solução: 
a) S = {x : x > 
2
1
 } = (
2
1
, +) 
b) S = [3, +) 
c) x  2 < 0 
S = (, 2) 
d) 2x + 3 > 0 
S = (
2
3
, +) 
e) A solução de da 1ª inequação é representada na reta numérica por 
 
 
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Pelo desenho, vemos que os pontos que satisfazem as duas inequações ao mesmo tempo 
estão entre 1/2 e 2/3, excluindo as extremidades. Assim, o conjunto solução é S = (1/2, 
2/3). 
f) S = . 
g) S = [√ , ]. 
 
Atividade 4-solução: 
a) Neste problema, a expressão da inequação é um produto de fatores de grau 1. O que 
vamos fazer é fazer o estudo de sinais de cada fator para, então, analisar os sinais da 
expressão produto. 
 P1 = x  1: 
P2 = 2x + 6: 
 
Estudo de sinal: 
 
Conjunto solução: S = (3, 1) 
 
b) P1 = x, P2 = 3x + 1 
 
Estudo de sinal: 
3 1 
+ 
+ + 
+ + 
 
 
 
 P1 
P2 
P1P2 
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Conjunto solução: S = [3, 1] 
 
c) P1 = x  3, P2 = 2x + 5, P2 = 5x + 15 
Estudo de sinal: 
 
S = (, 5/2) 
d) P1 = 1  3x, P2 = 2x + 1 
0
12
31



x
x
 
Estudo de sinal: 
 
S = (, 1/2)  (1/3, +) 
e) P1 = x  5, P2 = x + 1, P2 = x. 
Estudo de sinal: 
0 1/3 
+ 
+ + 
+ 
+ 
  
 
 P1 
P2 
P1P2 
-5/2 3 
+ 
+  
+ 
_ 
+  
+ 
 P1 
P2 
P1P2P
P3 
 
 + 
1/2 1/3 
 
+  
+ 
+ 
  
+ 
+ P1 
P2 
P1P2 
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S = (1/, 0)  (5, +) 
 
Observação: Você pode obter as respostas fazendo y = (expressão) no GeoGebra. Na 
representação do gráfico da função obtida com o programa, a visualização da resposta é 
imediata. 
 
Atividade 5 – solução: 
a) 
i) Basta substituir os pontos dados na equação y = ax + b, lembrando que x é referente à 
primeira coordenada e y é referente à segunda coordenada. Assim, para os pontos (0, 1) 
e (1, 0), temos 





ba
ba
1.0
0.1 , 
sistema cuja solução é dada por a = 1 e b = 1. Logo a equação da reta é y = x + 1. 
Para os outros itens, o procedimento é o mesmo. Se você tiver dúvidas na resposta, 
basta verificar se os pontos dados satisfazem à equação da reta obtida. Por exemplo, no 
item (a), podemos verificar imediatamente que (0, 1) e (1, 0) satisfazem à condição y = 
x + 1. 
ii) y = 1. 
iii) y = x + 1. 
iv) y = x + 2. 
v) x = 2. 
 
b) 
i) 7 = 2.2 + b, donde b = 3. Logo, a equação é y = 2x + 3. 
ii) 0 = a.1 + 1, donde a = 1. Logo, a equação é y = x + 1. 
iii) 3 = 3.1 + b, donde b = 6. Logo, a equação é y = 3x + 6. 
iv) 8 = 3.1 + b, donde b = 11. Logo, a equação é y = 3x + 11. 
v) 1 = a.1  2, donde a = 3. Logo, a equação é y = 3x  2. 
vi) 0 = a.5 + b e 2 = a.1 + b, donde a = 1/2 e b = 5/2. Logo, a equação é y = x/2 + 5/2. 
vii) a = 0 e b = 3. Logo, a equação é y = 3. 
viii) 2 = a.33 + 2, donde a = 0. Logo, a equação é y = 2. 
 
c) y = 15x + 400 
-1/ 5 
+ 
+  
 
+ 
 + 
+ 
 P1 
P2 
P1P2/
P3 
P3 
 
+  
0 
 
+ 
+ 
 
Matemática Básica Unidade 10 
18 
 
d) Imagine a figura dentro de um sistema de coordenadas cartesianas. O vértice do 
galpão, (x, y), está sobre a reta de equação y = 
2
x
 + 10. Como a área do galpão é dada 
por x.y, a resposta final é A = x(
2
x
 + 10) = 
2
2x + 10x. 
e) A equação y = 3x  1 representa a reta esboçada abaixo. Pela representação do 
gráfico, é imediato verificar que Im(f) = [1, 14). 
 
f) Pelo gráfico, temos que (2, 0) satisfaz a equação y = ax + b e b = 3. Logo, a = 3/2. 
 
 
Atividade 6 – solução: 
a) i) 
ii) 1/10. 
iii) Temos que p/h = 1/10. Quando h = 20, temos p = 2. 
b) i) 20 + 5.10 = 70 litros. 
ii) V = 5t + 20. 
Matemática Básica Unidade 10 
19 
 
iii) A taxa é de 5 litros por minutos. 
c) i) A taxa de variação é 4, ou seja, a massa diminui 4 Kg a cada hora transcorrida. 
ii) Quando m = 10, temos 10/t = 4, donde t = 5/2 = 2horas e 30 minutos.