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56) Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores 2u e -v, sendo u = (2, -1, 0) e v = (1, -3, 2)
|i j k|
|-1 3 -2|
|4 -2 0|
-8j + 2k -12k - 4i
-4, -8, -10
16 + 64 + 100
sqrt180
6 raiz de 5
58) Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A(3, 2, 1) e uma diagonal de extremidades B(1, 1, -1) e C(0, 1, 2)
Vamos calcular a área do triangulo formado pelos 3 pontos e multiplicar por 2
AB = -2, -1, -2
AC = -3, -1, 1
|i j k|
|-2 -1 -2|
|-3 -1 1|
-i + 6j +2k -3k + 2j -2i
-3i + 8j -k
-3 8 -1
64 + 9 + 1
sqrt74/2 é a área dos triangulos
logo a do paralelogramo é sqrt74
60) Dado o triângulo de vértices A(0, 1, -1), B(-2, 0, 1) e C(1, -2, 0), calcular a media da altura relativa ao lado BC
A(0, 1, -1)
B(-2, 0, 1)
C(1, -2, 0)
AB = -2, -1, 2 = sqrt(9) = 3
AC = 1, -3, 1 = sqrt(5) = 2,23
BC = 3, -2, -1 = sqrt(14) = 3,74
|i j k|
|-2 -1 2|
|1 -3 1|
-i + 2j + 6k + 1k + 2j + 6i
5i + 4j + 7k
5, 4, 7
sqrt(90)/2 = sqrt14*h/2
sqrt(90) = sqrt(14)*h
sqrt90/sqrt14
(sqrt90*sqrt14)/14
h = 2,5354
?????????????????????????????????????????????? não entendi mas o resultado tá certo
62) Dados os vetores u = (0, 1, -1), e w = (1, -1, 2), determinar o vetor x, paralelo a x, que satisfaz a condição: x x u = v
(1, -1, 2) * y = (y, -y, 2y)
|i j k|
|y -y 2y|
|0 1 -1|
iy + ky + jy - 2yi
-yi + yk + jy
(-y, y, y) = (2, -2, -2)
y = -2
logo
(-2, 2, -4)
64) Demonstrar que a x b = b x c = c x a
a = (a1, a2, a3)
b = (b1, b2, b3)
c = (c1, c2, c3)
X =
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
DetX = a2b3i + a3b1j + a1b2k - a2b1k - a1b3j - a3b2i
Y =
i j k
b1 b2 b3
c1 c2 c3
DetY = b2c3i + b3c1j + b1c2k - b2c1k - b1c3j - b3c2i
Z =
i j k
c1 c2 c3
a1 a2 a3
DetZ = c2a3i + c3a1j + c1a2k - c2a1k - c1a3j - c3a2i
a = (2, 3, 4)
b = (-1, -1, -3)
c = (-1, -2, -1)
a + b + c = (2-1-1, 3-1-2, 4-3-1) = 0
Daí,
DetX = 3*-3i + 4*-1j + 2*-1k - 3*-1k - 2*-3j - 4*-1i =
-9i -4j -2k + 3k + 6j + 4i = -5, 2, 1
DetY = -1*-1i + -3*-1j + -1*-2k - -1*-1k - -1*-1j - -3*-2i = i + 3j + 2k - 1k -1j - 6i = -5, 2, 1
DetZ = -2*4i + -1*2j + -1*3k - -2*2k - -1*4j - -1*3i = -8i -2j -3k + 4k + 4j +3i = -5, 2, 1
66) Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triangulo é paralelo ao terceiro lado e igual a sua metade.
A(0, 1, -1)
B(-2, 0, 1)
C(1, -2, 0)
AB = -2, -1, 2 = sqrt(9) = 3
AC = 1, -3, 1 = sqrt(5) = 2,23
BC = 3, -2, -1 = sqrt(14) = 3,74
Metade de AB = -1, -1/2, 1 = m1
Metade de AC = 1/2, -3/2, 1/2 = m2
m1 e m2 são os extremos de um vetor m, cujo começo é em m1 e fim é em m2, então m = m2 - m1, ou seja
m = 3/2, -1, -1/2
...que é o equivalente a BC multiplicado por 1/2 (ou seja, são paralelos):
3/2, -2/2, -1/2
Além disso,
|m| = 9/4 + 1 + 1/4 = raíz de 7/2 = numericamente igual a raíz de 14 sobre 2 (1,87 aproximadamente)
68) Verificar se são coplanares os pontos:
a)
AB =-3 -2 -4
BC = 2 3 1
CD =-1 -2 0
-3 -2 -4
2 3 1
-1 -2 0
2 + 16 - 12 -6
18 - 18
0
Coplanares
b)
AB = -2 0 1
BC = 3 4 -2
CD = -3 -6 1
-2 0 1
 3 4 -2
-3 -6 1
-8 - 18 + 12 - 24
-50 + 12
Não são coplanares
c)
AB = 1, 1, 1
BC = -4 -3 -5
CD = 1 2 0
 1 1 1
-4 -3 -5
 1 2 0
-5 - 8 + 3 + 10
-13 + 13
0
Coplanares
70) Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:
a)
a = (2, -1, k)
b = (1, 0, 2)
c = (k, 3, k)
2 -1 k
1 0 2
k 3 k
-2k +3k -k - 12 = 0
2k = 12
k = 6
b)
a = (2, 1, 0)
b = (1, 1, -3)
c = (k, 1, -k)
2 1 0
1 1 -3
k 1 -k
-2k -3k + k + 6
-4k = -6
k = -6/-4
k = 3/2
c)
a = (2, k, 1)
b = (1, 2, k)
c = (3, 0, -3)
2 k 1
1 2 k
3 0 -3
-12 + 3k² -6 + 3k = 0
3k² + 3k - 18 = 0
k² + k - 6 = 0
delta = 1 - 4 * 1 * (-6)
delta = 25
raíz de delta = 5
k = (-1 +-5) / 2
k1 = 2
k2 = -3
72) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepipedo determinado pelos vetores v1 = 2i - j, v2 = 6i + mj - 2k e v3 = -4i + k seja igual a 10
v1 = 2, -1, 0
v2 = 6, m, -2
v3 = -4, 0, 1
2m -8 + 6 = 10
|2m - 2| = 10
2m = 12
m = 6
ou
-2m + 2 = 10
-2m = 8
m = -4
74) Dados os pontos A(1, -2, 3), B(2, -1, -4), C(0, 2, 0) e D(-1, m, 1), determinar o valor de m para que seja 20 unidades de volume o volume do paralelepipedo determinado pelos vetores AB, AC e AD
AB = 1, 1, -7
AC = -1, 4, -3
AD = -2,m+2,-2
-8 + 6 + 7m + 14 - 56 - 2 +3m + 6
|10m - 40| = 20
10m = 60
m = 6
ou
-10m + 40 = 20
-10m = -20
m = 2