2ª Verificação de Aprendizagem - 2015.2 - LC1

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UNIVERSIDADE FEDEREAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
SEMESTRE: 2015.2
DISCIPLINA: A´LGEBRA VETORIAL E LINEAR PARA COMPUTAC¸A˜O
TURMA: LICENCIATURA EM COMPUTAC¸A˜O
PROFESSOR: GILSON SIMO˜ES
2a VERIFICAC¸A˜O DE APRENDIZAGEM - 10/12/2015
NOME: CPF:
ATENC¸A˜O:
-Na˜o e´ permitido o uso de calculadoras e celulares.
-Leia cada enunciado com atenc¸a˜o antes de iniciar uma resoluc¸a˜o.
-Na˜o esquec¸a de justificar todas as suas respostas.
-Escreva todos os detalhes dos ca´lculos que o levarem a uma soluc¸a˜o.
Questa˜o 1 . Considere o espac¸o vetorial V = R3.
a) (1,0 ponto) Mostre que α = {(1,−1, 2), (0, 1,−1), (0, 0, 1)} e´ uma base de R3.
b) (1,5 ponto) Sabendo que β = {(1, 0, 0), (1,−1, 0), (1, 0, 1)} e´ base de R3, determine a matriz mudanc¸a de
base [I]αβ .
c) (0,5 pontos) Seja v ∈ R3 tal que [v]α =
 1−1
2
 . Determine [v]β .
Questa˜o 2 . Considere o espac¸o vetorial V = R3 com o produto interno canoˆnico.
a) (1,0 ponto) Determine o aˆngulo entre os vetores u = (2,−1, 1) e v = (1, 1, 2).
b) (1,5 pontos) Seja β = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0)} base de R3. Use o processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-
Schmidt para obeter uma base ortogonal β′ de R3 em relac¸a˜o ao produto interno canoˆnico.
c) (0,5 pontos) Dado o subespac¸o de R3
U = [(2, 1, 0), (−3, 0, 1)],
determine uma base para U⊥
Questa˜o 3 . Julgue como verdadeira ou falsa cada afirmac¸a˜o a seguir. Justifique.
a) (0,5 pontos) T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (x− 1, y, z + 1) e´ uma transformac¸a˜o linear.
b) (0,5 pontos) Existe uma transformac¸a˜o linear T : R2015 → R2015 tal que Ker(T ) = Im(T ).
c) (0,5 pontos) T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (|x|,−y) e´ uma transformac¸a˜o linear.
Questa˜o 4 . Seja T : R2 → R3 a transformac¸a˜o linear dada por
T (1, 0) = (1, 1, 0), T (0, 1) = (1, 2, 0).
a) (1,0 ponto) Determine T (x, y).
b) (1,0 ponto) Determine Ker(T ) e Im(T ).
c) (0,5 pontos) T e´ injetiva? E´ sobrejetiva? Justifique.
BOA PROVA!
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