Aula 01 Introduçao (Soma Vetorial e Equilibrio de Corpos)

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Introdução à ResistênciaIntrodução à ResistênciaIntrodução à ResistênciaIntrodução à Resistência
DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição
O que é a Resistência dos Materiais?
O desenvolvimento da resistência dos materiais seguiu-se ao desenvolvimento das
leis da estática. Galileu (1564-1642) foi o primeiro a tentar uma explicação para o
comportamento de algumas vigas submetidas a carregamentos e suas
propriedades e aplicou este estudo, na época, para os materiais utilizados nas vigas
dos cascos de navios para marinha italiana.
Podemos definir que a ESTÁTICA (parte da Física que estuda sistemas sob a ação de
forças que se equilibram) considera os efeitos externos das forças que atuam num
corpo e a RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS, por sua vez, fornece uma explicação mais
satisfatória, do comportamento dos sólidos submetidos à esforços externos,
considerando o efeito interno.
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DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição
Na construção mecânica, as peças componentes de uma determinada estrutura devem ter
dimensões e proporções adequadas para suportarem esforços impostos sobre elas. Exemplos:
O eixo de transmissão de uma
máquina deve ter dimensões
adequadas para resistir ao
torque a ser aplicado.
As paredes de um reservatório de
pressão deve ter resistência
apropriada para suportar a pressão
interna, etc.
A asa de um avião deve suportar ás
cargas aerodinâmicas que aparecem
durante o voo.
Classes de Classes de Classes de Classes de SolicitaçõesSolicitaçõesSolicitaçõesSolicitações
• Quando um sistema de forças atua sobre um corpo, o efeito produzido é
diferente segundo a direção e sentido e ponto de aplicação destas forças. Os
efeitos provocados em um corpo podem ser classificados em esforços normais ou
axiais, que atuam no sentido do eixo de um corpo, e em esforços transversais,
atuam na direção perpendicular ao eixo de um corpo. Entre os esforços axiais
temos a tração e a compressão, e entre os transversais, o cisalhamento, a flexão e
a torção.
• Quando as forças agem para fora do corpo, tendendo a alongá-lo no sentido da
sua linha de aplicação, a solicitação é chamada de TRAÇÃO; se as forças agem
para dentro, tendendo a encurtá-lo no sentido da carga aplicada, a solicitação é
chamada de COMPRESSÃO.
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Classes de SolicitaçõesClasses de SolicitaçõesClasses de SolicitaçõesClasses de Solicitações
Pés da mesa estão
submetidos à compressão.
Cabo de sustentação
submetido à tração.
Viga submetida a flexão sendo essa uma
solicitação transversal em que o corpo sofre
uma deformação que tende a modificar seu
eixo longitudinal.
Classes de SolicitaçõesClasses de SolicitaçõesClasses de SolicitaçõesClasses de Solicitações
Rebite submetido ao cisalhamento sendo
esse esforço aquele que ocorre quando
um corpo tende a resistir a ação de duas
forças agindo próxima e paralelamente,
mas em sentidos contrários.
Eixo de transmissão submetido a
solicitações compostas, ou seja, duas ou
mais solicitações simples que nesse caso é
Flexão-torção
Ponta de um eixo submetido
a torção que tende a girar as
seções de um corpo, uma em
relação à outra.
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EstáticaEstáticaEstáticaEstática
Forças
O conceito de força é introduzido na mecânica em geral. As forças mais conhecidas são os
pesos, que tem sempre sentido vertical para baixo, como por exemplo, o peso próprio de
uma viga, ou o peso de uma laje sobre esta mesma viga.
As forças podem ser classificadas em CONCENTRADAS e DISTRIBUÍDAS. Na realidade todas
as forças encontradas são distribuídas, ou seja, forças que atuam ao longo de um trecho,
como os exemplos citados anteriormente e ainda em barragens, comportas, tanques,
hélices, etc. Quando um carregamento distribuído atua numa região de área desprezível, é
chamado de força concentrada. A força concentrada, tratada como um vetor, é uma
idealização, que em inúmeros casos nos traz resultados com precisão satisfatória.
EstáticaEstáticaEstáticaEstática
Forças
No sistema internacional (SI) as forças
concentradas são expressas em Newton
[N]. As forças distribuídas ao longo de um
comprimento são expressas com as
unidades de força pelo comprimento [N/m],
[N/cm], [N/mm],etc.
A força é uma grandeza vetorial que
necessita para sua definição, além da
intensidade, da direção, do sentido e
também da indicação do ponto de
aplicação.
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EstáticaEstáticaEstáticaEstática
Forças
Duas ou mais forças constituem um sistema de forças, sendo que cada uma delas é
chamada de componente. Todo sistema de forças pode ser substituído por uma
única força chamada resultante, que produz o mesmo efeito das componentes.
Quando as forças agem numa mesma linha de ação são chamadas de coincidentes.
A resultante destas forças terá a mesma linha de ação das componentes, com
intensidade e sentido igual a soma algébrica das componentes.
Somatório de Forças Somatório de Forças Somatório de Forças Somatório de Forças ---- ExemploExemploExemploExemplo
1) Calcule a resultante das forças �� � 50�, �� � 80�, �
 � 70� aplicadas no bloco da figura
abaixo:
F2 F1 F3 �
��������� �	?
����������� � �� � �� � �
 � 50 80 � 70 � 40�	
FResultante
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ForçaForçaForçaForça
No caso em que as forças têm um mesmo ponto de aplicação, ou se
encontram num mesmo ponto depois de prolongadas, recebem o
nome de forças concorrentes. A resultante destas forças pode ser
determinada de forma gráfica ou analiticamente.
Força Força Força Força ---- ResultanteResultanteResultanteResultante
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Forças Forças Forças Forças –––– Operações VetoriaisOperações VetoriaisOperações VetoriaisOperações Vetoriais
"
Forças Forças Forças Forças –––– Operações VetoriaisOperações VetoriaisOperações VetoriaisOperações Vetoriais
Quando os problemas envolvem a adição de mais de duas forças, pode-
se aplicar de modo sucessivo a regra do paralelogramo ou o triângulo
de vetores de modo a se obter a força resultante.
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ForçasForçasForçasForças
Sendo dada uma força F num plano “xy”, é possível decompô-la em duas outras
forças �# 	$	�%, conforme figura abaixo:
Da trigonometria sabemos que:
sin " �
)*+$+,	-.,/+,
01.,+$23/*
		$		 cos " �
)*+$+,	678*9$2+$
01.,+$23/*
Então, temos:
sin " �
�%
�
		$		 cos " �
�#
�
Portanto:
�% � � · sin " 			e				�# � � · cos "	
Força Resultante Força Resultante Força Resultante Força Resultante –––– Módulo e DireçãoMódulo e DireçãoMódulo e DireçãoMódulo e Direção
• Decompor as forças nos eixos x e y.
• Utilizar trigonometria, decomposição em seno e cosseno.
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Força Resultante Força Resultante Força Resultante Força Resultante –––– Módulo e DireçãoMódulo e DireçãoMódulo e DireçãoMódulo e Direção
• Módulo da Força Resultante: • Direção da Força Resultante:
RESOLUÇÃO
�# � � · cos " � 200 · cos 60° � 200 ·
1
2
� 100�
�% � � · /$2 " � 200 · sen 60° � 200 ·
3
2
� 100 3
EXERCÍCIO 1EXERCÍCIO 1EXERCÍCIO 1EXERCÍCIO 1
Calcule o componentes horizontal e vertical da força de 200 N aplicada 
na viga conforme figura abaixo:
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RESOLUÇÃO
�# � 200 · cos 80 � 300 · cos 30 � 294,54	�
�% � 200 · /$2 80 300 · /$2 30 � 46,96	N
�� � 294,54
� � 46,96� � 298,26	�
Ou
�� � 200
� � 300� � 2 · 200 · 300 · cos 110 � 298,26	�
A direção pode ser medida por " � tanE�
FG
FH
� 9,06°
EXERCÍCIO 2EXERCÍCIO 2EXERCÍCIO 2EXERCÍCIO 2
O parafuso da figura abaixo está sujeito a duas forças �� e �� .
Determine o módulo e a direção da força resultante:
EXERCÍCIO EXERCÍCIO EXERCÍCIO EXERCÍCIO 3333
Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com
problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante é igual
a 30kN, encontre suas componentes nas direções AC e BC.
Respostas: �IJ � 20,52	K� e �IL � 15,96	K�Dica: Lei dos Senos ou Decomposição de Forças 
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EXERCÍCIO PROPOSTO 1EXERCÍCIO PROPOSTO 1EXERCÍCIO PROPOSTO 1EXERCÍCIO PROPOSTO 1
O parafuso tipo gancho mostrado na figura está sujeito a duas forças ��
e ��. Determine o módulo e a direção da força resultante.
Respostas: �� � 212,55	�	$	" � 54,76°
EXERCÍCIO PROPOSTO 2EXERCÍCIO PROPOSTO 2EXERCÍCIO PROPOSTO 2EXERCÍCIO PROPOSTO 2
A caminhonete mostrada é rebocada por duas cordas. Determine os
valores de �J e �L de modo a produzir uma força resultante de 950N
orientada no eixo x positivo, considere M � 50°.
Respostas: �J � 774,45	� e �L � 345, 77	�
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EXERCÍCIO PROPOSTO 3EXERCÍCIO PROPOSTO 3EXERCÍCIO PROPOSTO 3EXERCÍCIO PROPOSTO 3
A chapa está submetida a duas forças �J e �L como mostra a figura. Se
M � 60°, determine a intensidade da força resultante e sua intensidade
em relação ao eixo horizontal.
Respostas: �# N 10.785	�	$	�� � 10.801,4	�
EXERCÍCIO PROPOSTO 4EXERCÍCIO PROPOSTO 4EXERCÍCIO PROPOSTO 4EXERCÍCIO PROPOSTO 4
Determine a intensidade da força resultante e indique sua direção.
Respostas: �� � 997,74	�	$	" � 45,18°
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EXERCÍCIO PROPOSTO 5EXERCÍCIO PROPOSTO 5EXERCÍCIO PROPOSTO 5EXERCÍCIO PROPOSTO 5
O gancho da figura está submetido as forças �� e ��, determine a
intensidade e a direção da força resultante.
Respostas: �� � 25, 08	K�	$	" � 4,53°
Equilíbrio Equilíbrio Equilíbrio Equilíbrio Estático Estático Estático Estático e e e e Análise Análise Análise Análise das das das das EstruturasEstruturasEstruturasEstruturas
Condições de Equilíbrio:
(1) A soma vetorial das forças que atuam sobre o corpo deve ser zero. (∑�# � 0 , ∑�% � 0Q logo o
corpo estará em repouso ou então com velocidade constante.
(2) A resultante dos torques de todas as forças que atuam sobre um corpo, calculadas em relação a
um eixo (qualquer), deve ser zero. (∑RS � 0Q
Torque ou Momento de Força: é o produto de uma força “F” pela distância “d” a um ponto do eixo:
T � � · U
O momento mede a tendência da força F de provocar uma rotação em torno de um eixo. A segunda
condição de equilíbrio corresponde à ausência de qualquer tendência à rotação.
Unidades: Torque: 1 N·m
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Diagrama de Corpo LivreDiagrama de Corpo LivreDiagrama de Corpo LivreDiagrama de Corpo Livre
O diagrama de corpo livre representa um esboço do ponto material que
mostra todas as forças que atuam sobre ele.
EXERCÍCIO 4EXERCÍCIO 4EXERCÍCIO 4EXERCÍCIO 4
Calcule a carga nos cabos que sustentam o peso de 4 kN, como
indicado na figura abaixo:
�#: 	��# ��# � 0
�� · cos 40° �� · cos 30° � 0
�� �
�� · cos 40°
cos 30°
�%: 	��% � ��% X � 0
�� · /$2 40° � �� · /$2 30° � 4000
�� �
4000	 �� · /$2 40°
sen 30°
+
+
Resposta: �� � 3,26	K�	$	�� � 3, 69K�
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EXERCÍCIO 5EXERCÍCIO 5EXERCÍCIO 5EXERCÍCIO 5
Uma lanterna, de massa 10 kg, está presa por um sistema de suspensão constituído
por uma corrente e uma haste, apoiadas na parede. A inclinação entre a corrente e
a haste horizontal é de 45°.Considerando a lanterna em equilíbrio, determine a
força que a corrente e a haste suportam.
FH
FC
FL
� � Y · Z		
[Z � 9,81	Y//�)
Σ�%: 	�I · /$2	45° �] � 0
�^ · /$2 45° � 10 · 9,81
�I �
98,1
sen 45°
� 138,73	�
+
Σ�#: 	�_ �I · cos 45° � 0
�_ � �I · cos 45°
+
�_ � 138,73 · cos 45° � 98,1	�
EXERCÍCIO PROPOSTO 6EXERCÍCIO PROPOSTO 6EXERCÍCIO PROPOSTO 6EXERCÍCIO PROPOSTO 6
Um sinaleiro de 125 N de peso está pendurado por um cabo preso a
outros dois cabos como indicado na figura. Encontre a tensão dos três
cabos.
Σ�#: 	 �`# �`# � 0
�` · cos 53° �` · cos 37° � 0
�` �
�` · cos 53°
cos 37°
Σ�%: 	 �`% � �`% 
` � 0
�` · /$2 53° � �` · /$2 37° �125
�` �
125	 �` · /$2 53°
sen 37°
+
+
Respostas: �` � 75,23	�, �` � 99,83	�	$	 
` � 125	�
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EXERCÍCIO PROPOSTO 7EXERCÍCIO PROPOSTO 7EXERCÍCIO PROPOSTO 7EXERCÍCIO PROPOSTO 7
Determine a tensão nos cabos AB e AD para o equilíbrio do motor de
250kg mostrado na figura. Dado: Z � 9,81	Y//�.
Respostas: L` � 4904	�	$	 a` � 4247	�
EXERCÍCIO PROPOSTO 8EXERCÍCIO PROPOSTO 8EXERCÍCIO PROPOSTO 8EXERCÍCIO PROPOSTO 8
Determine a força necessária nos cabos AB e AC para suportar o
semáforo de 12kg. Dado: Z � 9,81	Y//�.
Respostas: �JI � 237,47	�	$	�JL � 233,07	�
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Momento de um Corpo em EquilíbrioMomento de um Corpo em EquilíbrioMomento de um Corpo em EquilíbrioMomento de um Corpo em Equilíbrio
No caso de ponto material, basta garantir que o corpo não translade, estará
garantido que o corpo estará em equilíbrio. No caso de uma barra ou uma ponte
(corpos extensos) teremos que garantir que o corpo não rotacione também. A
grandeza física que relaciona força e rotação num ponto é chamada de momento
ou torque.
Definimos Momento (M) em relação a um referencial, no caso ponto A, o produto
da força aplicada a um corpo pela distância desta força até o ponto de referência.
RJ � b	� · 7
Momento de um Corpo em EquilíbrioMomento de um Corpo em EquilíbrioMomento de um Corpo em EquilíbrioMomento de um Corpo em Equilíbrio
Momento é uma grandeza escalar,
como tal, pode ser positiva ou negativa.
O sinal segue a seguinte convenção:
OBSERVAÇÂO
Para garantirmos que um corpo permanece em
equilíbrio estático teremos que impor a condição
que não permita rotação de nenhuma força
aplicada, ou seja:
ΣRJ � 0
Unidades no SI:
F: Força → Newton (N)
d: Distância → metro (m)
M: Momento → Newton x metro (N.m)
Força aplicada fornece uma
rotação em relação ao ponto de
referência no sentido anti-horário,
teremos momento negativo:
Força aplicada fornece uma
rotação em relação ao ponto de
referência no sentido horário,
teremos momento postivo:
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EXERCÍCIO 6EXERCÍCIO 6EXERCÍCIO 6EXERCÍCIO 6
Calcule o momento resultante em relação ao ponto O em cada um dos itens abaixo:
� � Y · Z		
[Z � 9,81	Y//�)
ΣRc: 20 · 1 10 · 3 � 50	� · Y+
ΣRc: 10 · 4 � 20 · 2 � 30 · 3 � �	90	� · Y+
Não estão em equilíbrio!
EXERCÍCIO 7EXERCÍCIO 7EXERCÍCIO 7EXERCÍCIO 7
Determine o momento da força em relação ao ponto O em cada uma das barras
mostradas.
ΣRc: �100 · 2 � �200	� · Y+ ΣRc: �50 · 0,75 � �37,5	� · Y+
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EXERCÍCIO PROPOSTO 9EXERCÍCIO PROPOSTO 9EXERCÍCIO PROPOSTO 9EXERCÍCIO PROPOSTO 9
Determine os momentos da força de 800N em relação aos pontos A, B,
C e D.
Respostas: RJ � 2000	�Y, RL � 1200	�Y, RI � 0 e 
	Ra� 400	�Y.
Resolução: 						Rc � �50 · 2 � 60 · 0 20 · sin 30° ·
3 � 40 · [4 � cos 30° · 3Q � �334	� · Y
EXERCÍCIO PROPOSTO 10EXERCÍCIO PROPOSTO 10EXERCÍCIO PROPOSTO 10EXERCÍCIO PROPOSTO 10
Determine o momento das forças que atuam na estrutura mostrada em
relação ao ponto O.
+
Respostas: Rc � �334	Nm
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Exercício 8 Exercício 8 Exercício 8 Exercício 8 –––– Equilíbrio EstáticoEquilíbrio EstáticoEquilíbrio EstáticoEquilíbrio Estático
Uma prancha de comprimento e � 3Y e massa
R � 2KZ está apoiada nas plataformas de duas
balanças como mostra a figura. Um corpo de
massa Y � 6KZ está sobre a prancha à distância
f� � 2,5Y da extremidade esquerda e à distância
f� � 0,5 da extremidade direita. Determine as
leituras �� e �� das balanças em Newtons e Quilos.
� � Y · Z		
[Z � 9,81	Y//�)
ΣR�: �2 · 9,81 · 1,5 � 6 · 9,81 · 2,5 �� · 3 �0+
+ Σ�%: 	�� 2 · 9,81 6 · 9,81 � �� � 0
+ �%: 	�� � �� � 78,48� DCL
1
ΣR�: �� �
 29,43 147,15
 3
� 58,86�
+ �� � 78,48 58,86 � 19,62�
Exercício Exercício Exercício Exercício 9 9 9 9 ---- Equilíbrio Equilíbrio Equilíbrio Equilíbrio EstáticoEstáticoEstáticoEstático
A barra homogênea e uniforme mostrada abaixo tem peso igual a
2000N e está em equilíbrio sobre dois apoios. Quanto vale a força de
reação noapoio B? E no apoio A?
ΣRJ: �2000 · 5 �L · 8 �0+
+ Σ�%: 	�J 2000 � �L � 0
+ Σ�%: 	�J � �L � 2000�
ΣRJ: �L �
 10000
 8
� 1250�
+ �J � 2000 1250 � 750�
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AlavancasAlavancasAlavancasAlavancas
Alavancas: uma barra é colocada sobre um apoio, chamado fulcro ou ponto de
apoio de forma que a distância entre o fulcro e uma das extremidades da barra seja
maior que a distância entre o fulcro e a outra extremidade. O fulcro funciona como
eixo de rotação da barra. O peso da carga produz um torque em um sentido que
deve ser vencido por um torque no sentido oposto, produzido por uma força
aplicada à extremidade mais longa. Como o braço de alavanca é maior, é possível
levantar a carga exercendo uma força menor do que o peso da carga.
AlavancasAlavancasAlavancasAlavancas
A alavanca consiste numa barra rígida que pode girar ao redor de um ponto de
apoio.
Tipos de Alavancas
• Alavanca Interfixa: o ponto de apoio (A) fica entre o Força Resistente (R) e o
Esforço Aplicado (P). Exemplos: as tesouras, a barra para o levantamento de
pesos e o alicate.
Lei da Alavanca: igualdade dos torques:
X · g � h · *
Onde,
P e R representam as forças e, a e b as distâncias.
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AlavancasAlavancasAlavancasAlavancas
• Alavanca Inter-Resistente: o ponto de
apoio (A) fica em uma extremidade e
o esforço (P) é aplicado na outra.
Exemplos: o carrinho de mão e o
quebra-nozes.
• Alavanca Inter-Motriz: o esforço (P) é
aplicado entre a foraça resistente (R) e
o ponto de apoio (A). Exemplos: as
pinças e o antebraço humano.
X · [* � gQ � h · g X · * � h · [g � *Q
AlavancasAlavancasAlavancasAlavancas
Em resumo temos:
Onde, �i - Força Motriz e �� - Força Resistente 
�T · jT � �
 · j
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Exercício 10Exercício 10Exercício 10Exercício 10
Duas crianças, cujos pesos estão indicados em Newton, se equilibram
em um balanço. Determine o valor da força vertical n e a posição x da
segunda criança.
ΣRJ: 2 · 1,5 � 40 · 1,5 � 350 · [1,5 � fQ �0+
+ Σ�%: 500 40 350 � 2 � 0
+ Σ�%: 2 � 890�
ΣRJ: 1335 � 60 � 525 � 350f � 0							 ∴ 						f N 2,143Y+
A
Exercício 11Exercício 11Exercício 11Exercício 11
Classifique o tipo de alavanca e calcule a força necessária para mantê-
las em equilíbrio:
Tipo Inter Resistente Tipo Interfixa
X · 50 � 5000 · 25
X � 2500	�
X · 1,2 � 10000 · 0,4
X � 3333,33	�
X · 20 � 100 ·8
X � 40	�
Tipo Inter Resistente
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EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO 11111111
Um móbile de 4 ornamentos e 3 varas. As distâncias (cm) estão
indicados na figura, e a massa de um dos ornamentos é conhecida.
Determine as massas dos ornamentos A, B e C de modo que o móbile
fique em equilíbrio.
ΣR�: 20 · 4 � YJ · 8 � 0				 ∴ 				YJ � 10Z				 ∴ 				 �� � 30Zl+
+ Σ�%: 20 YJ � �� � 0			 ∴ 			�� � YJ � 20
1
2
3
Vara 1
ΣR�: YL · 3 � 30 · 5 � 0				 ∴ 				YL � 50Z				 ∴ 				 �� � 80Zl+
+ Σ�%: YL 30 � �� � 0			 ∴ 			�� � YL � 30
Vara 2
ΣR
: 80 · 2 � YI · 6 � 0		 ∴ 		YI � 26,67Z		 ∴ 		 �
 � 106,67Zl+
+ Σ�%: 80 YI � �
 � 0			 ∴ 			 �
 � YI � 80
Vara 3
Respostas: XJ � 30	Z, XL � 80	Z, XI � 106,67	Z
EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO 12121212
Uma prancha de comprimento e � 3Y e massa R � 35KZ está apoiada em duas
balanças, cada qual localizada a 7 � 0,5	Y de uma das extremidades. Determine as
leituras das balanças em Newtons (N) quando Maria (Y � 45	KZQ fica de pé na
extremidade esquerda da prancha.
+ Σ�%: 45 · 9,81 � �Lm 35 · 9,81 � �La � 0
�Lm � �La �784,8N 
ΣRLa: 45 · 9,81 · 2,5 � �Lm · 2 35 · 9,81 · 1 � 0
�Lm N 723,5�	
+
�La N 61,3�	
Respostas: �Lm � 723,5	�, �La � 61,3	�