Aula 02 Tensao Normal e Deformaçao (Lei de Hooke)

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02/09/2015
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ApoiosApoiosApoiosApoios
Apoios ou vínculos, são componentes ou partes de uma mesma peça
que impedem o movimento em uma ou mais direções. Considerando o
movimento no plano, podemos estabelecer três possibilidades de
movimento:
• Translação horizontal (←→);
• Translação ver+cal (↑↓);
• Rotação ( )
Apoios Apoios Apoios Apoios ---- ClassificaçãoClassificaçãoClassificaçãoClassificação
Os apoios são classificados
de acordo com o grau de
liberdade, ou seja, os
movimentos que
permitem. Desta forma
temos:
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TensãoTensãoTensãoTensão
• Tensão Normal e Tensão Transversal
Duas barras submetidas a uma Força de Tração F sendo uma barra de seção
transversal A e a outra barra de seção transversal maior � · �, é possível deduzir
que a segunda barra trabalha em condições menos severas do que a primeira.
Isso sugere a necessidade de definição de uma grandeza que tenha relação com
força e área, de forma que os esforços possam ser comparados e caracterizados
para os mais diversos materiais. Essa grandeza é a TENSÃO.
F
F F
Área de Seção (A)
F F
Área de Seção (2⋅A)
TensãoTensãoTensãoTensão
Tensão é a grandeza física definida pela força atuante em uma superfície e a área dessa
superfície.
Ou seja,
����ã	 
�	�ç�
Á���
					 ∴ 					� 
�
�
Por essa definição, a unidade de tensão tem a mesma dimensão de pressão, no Sistema
Internacional, a unidade básica é a mesma da pressão: Pascal (Pa) ou Newton por metro
quadrado (N/m2).
O Pascal algumas vezes torna-se uma medida muito pequena para tensão, então usa-se
múltiplos desta unidade, que são o Quilopascal (kPa), Megapascal (MPa) e o Gigapascal
(GPa).
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TensãoTensãoTensãoTensão
A Figura (a) representa uma barra tracionada por uma
força F. A parte (b) da figura mostra um seccionamento
transversal hipotético. Então, a tensão σ, normal ao
corte, é dada por:
� 
�
�
Onde, A é a área da seção transversal da barra.
OBS: é suposto que as tensões estão uniformemente
distribuídas ao longo da seção. Em vários casos, isso não
pode ser considerado verdadeiro e o resultado da
fórmula acima é um valor médio.
Exercício 12Exercício 12Exercício 12Exercício 12
Uma barra de seção circular com 50 mm de diâmetro, é tracionada por
uma carga normal de 36 kN. Determine a Tensão Normal atuante na
barra.
� 
�
�
�����
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Exercício 13Exercício 13Exercício 13Exercício 13
Uma barra de seção circular com 1 inch de raio, é tracionada por uma
carga normal de 6 kips. Determine a Tensão Normal atuante na barra.
� 
�
�
����
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���
�
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�
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6 kips = 6000 lbf
6 kips
Diagrama Tensão x DeformaçãoDiagrama Tensão x DeformaçãoDiagrama Tensão x DeformaçãoDiagrama Tensão x Deformação
Em Resistência dos Materiais é necessário conhecer o comportamento dos materiais
quando submetidos a carregamentos. Para obtermos estas informações, é feito um ensaio
mecânico numa amostra do material chamada de corpo de prova. Neste ensaio, são
medidas a área de seção transversal “A” do C.P. e a distância “()” entre dois pontos
marcados neste.
No ensaio de tração, o CP é submetido a um carga normal “F”. A medida que este
carregamento aumenta, pode ser observado um aumento na distância entre os pontos
marcados e uma redução na área de seção transversal, até a ruptura do material. A partir
da medição da variação destas grandezas, feita pela máquina de ensaio, é obtido o
diagrama de Tensão x Deformação (σ x ϵ) .
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Diagrama Tensão x DeformaçãoDiagrama Tensão x DeformaçãoDiagrama Tensão x DeformaçãoDiagrama Tensão x Deformação
Através dos diagramas σ x ε dos materiais é possível distinguir algumas características entre eles
levando a divisão dos materiais em duas importantes categorias, que são os materiais Dúcteis e os
materiais Frágeis.
Os materiais dúcteis, como o aço, cobre, alumínio e outros, são caracterizados por apresentarem
escoamento a temperaturas normais. O corpo de prova é submetido a carregamento crescente, e
com isso seu comprimento aumenta, de início lenta e proporcionalmente ao carregamento. A
deformação longitudinal de uma material é definida como:
, 
-� . -�
-�
/
-�
Onde,
0 – deformação [%]
1) - comprimento inicial do corpo de prova [mm, cm, ...]
12 - comprimento ficial do corpo de prova [mm, cm, ...]
-�
-� 3 	/
F F
Exercício 14Exercício 14Exercício 14Exercício 14
Uma barra de com comprimento L = 2 m quando tensionada alonga-se
1,4 mm. Qual foi a deformação da barra por unidade de comprimento
em mm/m e %?
, 
/
4
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4
F F
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EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO 13131313
Um pequeno poste construído a partir de um tubo circular oco de alumínio suporta
uma carga de compressão de 26 kN. O diâmetro interno e externo do tubo são 89 
4,0	<= e 8> 
 4, 5	 cm respectivamente e o comprimento ( 
 16	<= . O
encurtamento do posto devido ao carga é de 0,012 cm. Determine a Tensão
Compressiva (B) e a Taxa de Deformação (0) do poste em %. (Desconsidere o peso
do poste e assuma que o poste não sofre flambagem)
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Respostas: B 
 7790	HI		J		0 
 0,075%
kN
cm
Diagrama Tensão x DeformaçãoDiagrama Tensão x DeformaçãoDiagrama Tensão x DeformaçãoDiagrama Tensão x Deformação
Quando o carregamento atinge um certo valor máximo, o diâmetro do C.P. começa a diminuir,
devido a perda de resistência local e esse fenômeno é dado o nome de Estricção.
K 
L) . LM
L)
· 100	N%O
Onde,
K – estricção [%]
L) - área de secção transversal inicial [mm², cm², ...]
LM - área de secção transversal final [mm², cm², ...]
Após ter começado a estricção, um carregamento mais baixo é o suficiente para a deformação do
corpo de prova, até a sua ruptura. A tensão correspondente ao início do escoamento é chamada de
tensão de escoamento (BPQR) do material; a tensão correspondente a carga máxima aplicada ao
material é conhecida como tensão limite de resistência (BST) e a tensão correspondente ao ponto
de ruptura é chamada tensão de ruptura (BTUV".
��
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Ensaio de TraçãoEnsaio de TraçãoEnsaio de TraçãoEnsaio de Tração
Diagrama de Tensão x DeformaçãoDiagrama de Tensão x DeformaçãoDiagrama de Tensão x DeformaçãoDiagrama de Tensão x Deformação
0 ���� A: as tensões são diretamente proporcionais às deformações e
o diagrama é linear;
A ���� B: fim da proporcionalidade;
B ���� C: a deformação ocorre sem que ocorra aumento da tensão
(escoamento);
C ���� D: a partir do ponto C, o material começa a oferecer resistência
adicional ao aumento da carga (encruamento), acarretando
acréscimo de tensão para um aumento de deformação, atingindo o
valor máximo de tensão no ponto D;
D ���� E: após o ponto D, uma maior deformação é acompanhada por
uma redução da carga, ocorrendo, até a ruptura do C.P. no ponto E;
E’: durante o alongamento da barra, há contração lateral, que resulta
na diminuição da área da seção transversal. Isto não tem nenhum
efeito no diagrama tensão-deformação até o ponto C. Porém, deste
ponto em diante, a redução da área faz com que a tensão verdadeira
seja sempre crescente (como indicado na linha pontilhada até E´).
Tensão 
Máxima
Tensão 
Escoamento
Limite 
Proporcional
Região 
Linear 
(Elástico)
Região de 
Escoamento 
(Elástico-Plástico)
Região de 
Encruamento 
(Plástico)
Região de 
Estricção
(Plástico)
Ruptura
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Diagrama Tensão x DeformaçãoDiagrama Tensão x DeformaçãoDiagrama Tensão x DeformaçãoDiagrama Tensão x Deformação
Estricção e Ruptura Dúctil Sem Deformação - Ruptura Frágil
Materiais Dúcteis e FrágeisMateriais Dúcteis e FrágeisMateriais Dúcteis e FrágeisMateriais Dúcteis e Frágeis
• Um material é considerado dúctil, quando apresentar grandes deformações antes de
romper-se, como por exemplo, o alumínio e o cobre, que sob condições normais de
temperatura e pressão tem comportamento dúctil.
• Um material é considerado frágil quando apresenta pouca deformação antes de romper-
se, exemplo de materiais frágeis são os materiais cerâmicos.
OBS: Vale ressaltar que todos os materiais são deformáveis sob ação de esforços.
• A ductilidade é a propriedade que representa o grau de deformação que um material
suporta até o momento de sua fratura. Materiais que suportam pouca ou quase
nenhuma deformação no processo de ensaio de tração são considerados materiais
frágeis.
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Materiais Dúcteis e FrágeisMateriais Dúcteis e FrágeisMateriais Dúcteis e FrágeisMateriais Dúcteis e Frágeis
• Os materiais frágeis não apresentam
limite de escoamento (BPQR) definido,
ou seja, delimitação das regiões
elástica e plástica. Assim, para efeito
de dimensionamento, usa-se a Tensão
de Ruptura (BTUV);
• Os materiais dúcteis possuem o limite
de escoamento bem definido logo são
dimensionados pela tensão de
escoamento (BPQR);
Lei de HookeLei de HookeLei de HookeLei de Hooke
A partir do Diagrama de Tensão x Deformação pode-se observar que a região
elástica possui um regime linear onde a tensão (σ) é diretamente
proporcional à deformação (ε) assim podemos descrever como:
� 
 W · ,
Essa relação é conhecida como Lei de Hooke. O coeficiente E é chamado
Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young, que é determinado pela força
de atração entre átomos dos materiais, isto é, quanto maior a atração entre
átomos, maior o seu módulo de elasticidade.
Ex: XYçZ 
 210	\HI; XY]^_ía9Z 
 70	\HI
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Lei de HookeLei de HookeLei de HookeLei de Hooke
Lei de Lei de Lei de Lei de HookeHookeHookeHooke
Como sabemos que: 
, 
∆-
-�
/
-�
								 ∴ 								� 
�
�
								 ∴ 								� 
 W · ,
Podemos escrever a seguinte relação para o alongamento (c):
/ 
� · -�
� · W
O alongamento será positivo (+), quando a carga aplicada tracionar a peça, e 
será negativo (-) quando a carga aplicada comprimir a peça.
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Exercício 15Exercício 15Exercício 15Exercício 15
Uma barra de alumínio possui uma secção transversal quadrada com 60 mm de
lado, o seu comprimento é de 0,8 m. A carga axial aplicada na barra é de 30 kN.
Determine o alongamento (c). Dado: XY]^_ía9Z 
 70	\HI
d 
 30	fg
/ 
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� · W
����� · �, �
���� · ��!� · 5� · ���
 �, ��������	#
� 
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 �� · ��!�
E
 �� · ��!�	#²
Alongamento TotalAlongamento TotalAlongamento TotalAlongamento Total
A figura mostra uma barra carregada axialmente. O procedimento para
determinação da deformação da barra consiste em obter a força axial
em cada parte da barra (AB, BC e CD) e, em seguida, calcular
separadamente o alongamento (ou encurtamento) de cada parte.
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� · 4�
� · W
	
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�� · j
�� · W
/�h 
 /�i 3 /ih
A
B
C
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Exercício 16Exercício 16Exercício 16Exercício 16
A barra da figura abaixo é solicitada pelo sistema de forças. Sabendo que a barra é
constituída de 3 trechos: trecho AB = 300 cm e seção transversal com área A = 10
cm²; trecho BC = 200 cm e seção transversal com área A = 15 cm² e trecho CD = 200
cm e seção transversal com área A = 18 cm². Determine as tensões e as
deformações em cada trecho, bem como o alongamento total. Dado: E = 210 GPa
(21000 kN/cm²).
EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO 14141414
A peça de aço abaixo foi submetida ao ensaio de compressão e sofreu rupturas
com a carga de 32 t. Calcular a Tensão de Ruptura devido a compressão do
material, sendo XYçZ 
 210	\HI		J		k 
 9,81	=/m².
� 
 - · n 
 �, �� · �, �� 
 �, ����	#²
� 
�
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����� · �, ��
�, ����
 ���, �	���
Respostas: B 
 392,4	oHI
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EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO 15151515
Calcular o encurtamento, em milímetros, dos pés da mesa de aço considerando
que a carga é dividida igualmente por todos os pés. Dados: XYçZ 
 210	\HI		J		k 
9,81	=/m².
� 
�
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Respostas: c 
 0,159	==
EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO 16161616
Determine a tensão atuante no elo da corrente que sustenta e estrutura abaixo.
Dados: XYçZ 
 210	\HI, pP]Z	RZqq>ar> 
 1,5	<=	J		k 
 9,81	=/m².
L 
s · pP]Z
E
4
s · 0,015E
4
 1,77 · 10!t	=²
A Σdv: 	dR · mJx	30° . H 
 0
dz · mJx 30° 
 1962	g
dR 
 3924	g
+
Σd{: 	d| . dR · cos 30° 
 0
d| 
 dR · cos 30°
+
d| 
 3924 · cos 30° 
 3398,3	g
FH
FC
P
dP]Z 
3924
2
 1962	g
BP]Z 
1962
1,77 · 10!t
 11,08	oHI
Respostas: BP]Z 
 11,08	oHI
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EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO 17171717
Determinar a Tensão na barra de sustentação A da estrutura abaixo, considerando
que sua seção transversal é: a) circular (diâmetro = 20 mm), b) circular vazada
(diâmetro = 20 mm, espessura = 4 mm). Dados: XYçZ 
 210	\HI	J		k 
 9,81	=/m².
I"	L 
s · 0,002E
4
 3,14 · 10!€	=E
B 
3924
3,14 · 10!€
 1249	oHI
Σdv: 	dY · mJx	30° . H 
 0
dY · mJx 30° 
 1962	g
dY 
 3924	g
+
Σd{: 	d| . dY · cos 30° 
 0
d| 
 dY · cos 30°
+
d| 
 3924 · cos 30° 
 3398,3	g
FH
FA P
"	L 
s · 0,002E.0,0012E"
4
 2,01 · 10!€	=E
B 
3924
2,01 · 10!€
 1951,3	oHI
Respostas:	a"	B 
 1249	oHI				"	B 
 1951,3	oHI
EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO 18181818
A luminária de 80 kg é suportada por duas barras AB e BC, conforme mostrado na
figura a seguir. Se AB tem um diâmetro de 10 mm e BC um diâmetro de 8 mm,
determine qual das barras está sujeita à maior tensão normal média. Dados: k 
9,81	=/m².
Respostas:		BYƒ 
 8,05	oHI			J				BƒR 
 7,86	oHI
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EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO 19191919
A barra abaixo possui largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm.
Determine a tensão normal média máxima na barra quando ela é submetida à
carga mostrada.
Como a seção da barra é constante a tensão normal
máxima será onde o carregamento for máximo, ou
seja, ente BC cuja carga é 30 kN.
B„á{9_† 
30000
0,035 · 0,010
 85,7	oHI
EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO 20202020
O elemento AC mostrado abaixo está submetido a uma força vertical de 3 kN.
Determine a posição x dessa força de modo que a tensão de compressão média no
apoio liso C seja igual à tensão de tração média na barra AB. A área da seção
transversal da barra é 400 mm² e a área em C é 650 mm².
BYƒ 
 BR →
dYƒ
400
dR
650
	→ dYƒ 
8
13
dR
Σdv: 		dYƒ 3 dR . 3000 
 0+
dR 
 1857	g
ΣoY: 	33000 · ˆ 3 dR · 0,2 
 0+
dYƒ 
 1143	g
ˆ 
 124	==
02/09/2015
16
1 
5000
200 · 10€
 5	==
EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO EXERCÍCIO PROPOSTO 21212121
Σdv: 	3dY 3 dƒ . 6250 
 0+
dƒ 
 5000	g
ΣoY: .dƒ · 1,0 3 6250 · 0,8 
 0+dY 
 1250	g
Um engenheiro deve projetar os pés de uma mesa de testes para suportar uma
carga F = 12500 N, conforme indicado na figura. Considerando que todos os pés
sejam iguais , maciços e de aço, com tensão de escoamento de 200 Mpa, o menor
lado da seção transversal quadra de cada pé, em mm, vale: Dados: k 
 9,81	=/m².
Respostas:		1 
 5	==