BC0005_aula_08_Nocoes_de_Estatistica_2009-1d

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BC-0005
Bases Computacionais da 
Ciência
2009
Aula 08
Noções de Estatística
Média, desvio padrão, erro padrão
Exercicíos – utilização da base de dados da turma
Roteiro da Aula
 PARTE I – Noções de Estatística
 O que é Estatística Descritiva e Estatística Inferencial
 Medidas de Tendência Central
 Medidas de Dispersão
 PARTE II –Exercícios
 Determinação da altura média, peso médio
 Gráficos
 idade X altura; idade x peso 
 Histograma de times
Idade Altura Peso Taxa 
Pulsação
Pressão 
Sistólica
Pressão 
diastólica
Colesterol IMC
(anos) (m) (Kg) bat/min mmHg mmHg mg
58 1,8 76,1 68 125 78 522 23,5
22 1,68 64,9 64 107 54 127 23
32 1,82 80,7 88 126 81 740 24,3
31 1,74 79,1 72 110 68 49 26
28 1,72 68,7 64 110 66 230 23,3
46 1,76 75,1 72 107 83 316 24,3
41 1,69 60,8 60 113 71 590 21,3
56 1,71 90,7 88 126 72 466 31,1
20 1,73 78,8 76 137 85 121 26,2
54 1,67 62,6 60 110 71 578 22,5
17 1,6 70,3 96 109 65 78 27,5
73 1,73 84 72 153 87 265 27,9
52 1,86 86 56 112 77 250 24,9
25 1,72 68,1 64 119 81 265 23,1
29 1,73 94,2 60 113 82 273 31,6
17 1,8 106,7 64 125 76 272 32,8
41 1,56 79,5 84 131 80 972 32,8
52 1,94 99,3 76 121 75 75 26,5
32 1,68 74,7 84 132 81 138 26,4
20 1,77 61,8 88 112 44 139 19,7
20 1,66 73,9 72 121 65 638 26,8
29 1,78 73,1 56 116 64 613 23,1
Estatística
 Quais são a altura, peso 
e IMC médios desta 
amostra?
 Qual a altura média da 
turma?
 Qual a taxa de 
aprovação no vestibular 
de uma determinada 
escola?
 Qual a maior torcida 
presente nesta sala?
A Estastística é capaz de responder com maior 
exatidão essas questões
 Estatística Descritiva  apresentação, organização e resumo dos dados 
 Pode incluir a construção de gráficos, tabelas e computação de várias medidas, tais como, medidas de 
tendência central (média, mediana, moda), medidas de dispersão (amplitude, desvio médio, variância, 
desvio padrão), percentagem e outras
 O propósito desta estatística é fazer com que os dados coletados sejam compreendidos mais facilmente
 Estatística Inferencial  generalização de uma amostra de dados para um grande número de 
sujeitos 
 métodos estatísticos são usados para tirar conclusões, fazer estimativas, predições e generalizações 
sobre todo um conjunto de dados, estudando apenas parte dele, ou seja, a estatística inferencial nos 
permite usar informações de pequenos grupos para fazer inferências sobre grandes grupos dos quais os 
dados foram retirados 
Medidas de Tendência Central
 Valor médio ou típico de um conjunto 
de dados
 Média Aritmética ou Média: utilizada 
para dados quantitativos
 Mediana: utilizada para dados ordinais
 Moda: utilizada também para dados 
nominais (variáveis qualitativas)
Média Aritmética 
 É o centro de gravidade dos dados
Soma de um conjunto de valores dividida pelo número de 
dados do conjunto :
N
X
X
N
i
i∑
=
=
1
N
iX
 é o número total de valores do conjunto
é um valor do conjunto 
Alunos Notas
1 3,0
2 5,0
3 6,0
4 4,0
5 5,0
6 8,0
7 9,0
8 6,0
9 2,0
10 5,0
Total 53
Média 5,3
Função no Excel ou BrOffice: MÉDIA
2 3 4
5
6
8 90 1
Mediana:
 valor central do conjunto que divide a 
distribuição em duas partes iguais 
(mesmo número de dados abaixo e 
acima do valor)
 Os dados devem estar ordenados
 Notação: Mediana = 
 Posição da mediana => 
 No caso de um número par de sujeitos 
a mediana será a média entre os dois 
valores centrais.
 Dadas as alturas: 62 54 82 49 75 64
 Ordene: 49 54 62 64 75 82
 Med = 62+64 = 63
 2
Notas Freqüência 
Simples
Freqüência 
Acumulada
2 1 1
3 1 2
4 1 3
5 3 6
6 2 8
7 1 9
8 1 10
9 1 11
iX
2
1+
=
Ni
Função no Excel ou BrOffice: MED
i= 11 + 1 = 6  Posição 6  Nota 5
 2
Moda
 é a categoria que ocorre com 
maior frequência
 A moda pode não existir OU pode 
não ser única 
 Exemplos: 
1,1,3,3,5,7,7,7,11,13  moda 7 
3,5,8,11,13,18  não tem moda 
3,5,5,5,6,6,7,7,7,11,12  tem 
duas modas: 5,7 (bimodal) 
 
Notas Freq.
2 1
3 1
4 1
5 3
6 2
7 1
8 1
9 1
Notas Freq.
2 1
3 3
4 1
5 1
7 3
8 1
9 1
0
1
2
3
4
2 3 4 5 6 7 8 9
Frequência
Nota
Distribuição Unimodal
0
1
2
3
4
2 3 4 5 7 8 9
Frequência
Nota
Distribuição Bimodal
Função no Excel ou BrOffice: MODO
Características das medidas de tendência central
Abaixo de 100
100
300
500
700
900
1000
3000
5000
acima de 5000
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
Renda Média Mensal (R$)
Fr
eq
uê
nc
ia
Média
Mediana
Moda
Média  influência de 
cada amostra depende 
de seu valor (os valores 
extremos influenciam 
fortemente)
Mediana  influência 
de cada amostra 
depende de sua posição 
(valor central)
Moda  influência de 
cada amostra depende 
de sua frequência (valor 
com mais ocorrência)
Mediana e Moda  são 
menos influenciadas por 
valores extremos
Fonte: Censo Demográfico IBGE 2000
Distribuição de Renda na Califórnia e nos EUA
Medidas de Dispersão ou Variabilidade:
 quanto os dados numéricos dispersam-se em torno de um valor 
médio 
 Variância: Soma dos quadrados dos desvios, onde desvio é a 
diferença entre cada dado e a média do conjunto.
Dados 
)(X 
Desvios 
)( XX − 
Quadrados dos Desvios 
2)( XX − 
0 -5 25 
4 -1 1 
6 1 1 
8 3 9 
7 2 4 
5=X ∑ =− 0)( XX ∑ =− 40)( 2XX 
 
Função no Excel ou BrOffice: VAR
2
2 ( ) 40 / 4 10
1
x X
s
N
−
= = =
−
∑
Medidas de Dispersão ou 
Variabilidade:
 Desvio Padrão  reflete o quanto os dados se 
dispersam da média 
 È a raiz quadrada da variância
Função no Excel ou BrOffice: DESVPAD
2( )
10 3,16
1
x X
s
N
−
= = =
−
∑
Erro Padrão da Média - EPM
Alunos Notas
1 3,0
2 5,0
3 6,0
4 4,0
5 5,0
6 8,0
7 9,0
8 6,0
9 2,0
10 5,0
Total 53
Média 5,3
DVP 2,11
EPM 0,7
Quando se obtém uma amostra aleatória de tamanho n, 
estima-se a média populacional. É bastante intuitivo supor 
que se uma nova amostra aleatória for realizada a estimativa 
obtida será diferente daquela primeira. Desta forma, 
reconhece-se que as médias amostrais estão sujeitas à 
variação e formam populações de médias amostrais, quando 
todas as possíveis amostras são retiradas de uma 
população. 
O erro padrão analisa a variabilidade de uma média
Quanto maior o número de dados, menor o erro padrão da 
média
1−
=
N
s
Xσ
Erro Padrão da Média - EPM
1−
=
N
s
Xσ
Não existe uma Função direta no Excel ou BrOffice para cálculo do EPM
Portanto, calcula-se a partir do desvio padrão
EPM = s/ RAIZ (CONT.NÚM-1)
Alunos Turma A Turma B
1 5 8
2 5 9
3 5 7
4 5 7
5 5 2
6 6 5
7 4 2
8 6 0
9 5 2
10 5 10
Total 53 53
Média 5,1 5,2
DVP 0,57 3,49
EPM 0,18 1,1Turma A Turma B
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Distribuição Normal
 A distribuição normal (também chamada distribuição gaussiana, em homenagem 
a Carl Friedrich Gauss) é um importante modelo de distribuição estatística, 
observado frequentemente em experimentos relacionados ao estudo de 
fenômenos de ciências tão distintas quanto biologia, física e economia.
Exemplo
Um instituto de pesquisas realiza uma 
amostragem com 5000 pessoas para 
obter uma estimativa da altura média do 
brasileiro adulto. Estas pessoas são 
sorteadas para a pesquisa através de 
uma estratificação adequada, que reflita 
os dados de toda a população do país. 
Observe os resultados, categorizados 
por faixas de altura:
www.financasnet.com.br
Cálculo da frequência relativa 
(porcentagem) = 
freq. Absoluta/ freq.total * 100
Distribuição Normal
Média: 
1,653
Desvio 
Padrão: 
0,173
www.financasnet.com.br
Ela é hipotética e essencial na tomada de decisões em estatística. Muitos dos 
testes estatísticos só têm validade se seus dados constituírem uma distribuição 
normal.
Características da Distribuição Normal
 Quanto mais valores são 
plotados em uma distribuição, 
mais ela se assemelha a uma 
normal
 É determinada por dois 
parâmetros: 
    - Média da população    
    - Desvio padrão da 
população   
 Distribuição é simétrica e 
unimodal em relação à média 
 Valores de média, moda e 
mediana são iguais 
 Área total sob a curva é igual 
a 100%, com exatos 50% 
distribuídos à esquerda da 
média e 50% à sua direita
Áreas sob a Curva Normal
 A área sob a curva de uma 
distribuição normal é 
fundamental na solução de 
problemas. Ela corresponde a 
100% dos dados
 Uma área de 34,13 % da 
totalidade dos dados é 
delimitada entre a média e 1 
desvio padrão da média 
 Quando o desvio padrão da 
média é 2 a área aumenta para 
47,87% 
 Quando é 3 a área aumenta 
para 49,87%. 
 Estas proporções são 
constantes em uma 
distribuição normal
Tipos de distribuição
 Distribuição Unimodal e Simétrica: Média, Mediana e Moda 
são iguais!!!!
 o ponto de Freqüência Máxima (moda) é também o mais 
central (mediana) e o centro de gravidade (média)
 Em geral, em uma distribuição assimétrica:
 A moda está sempre próxima ao “pico”
 A média está mais próxima da “cauda” (sofre influência dos 
valores extremos)
 mediana está entre a moda e mediana
 Medida de Tendência Central mais adequada:
 Distribuição Simétrica  Média
 Distribuição Assimétrica  Mediana ou Moda
 Distribuição Bimodal  Modas
Tipos de Distribuição e medidas de tendência 
central
 Distribuição Unimodal e 
Simétrica: 
 Média, Mediana e Moda são 
iguais!!!!
 Ponto de Freqüência Máxima 
(moda) é também o mais central 
(mediana) e o centro de 
gravidade (média).
 Distribuição assimétrica:
 A moda está sempre próxima ao 
“pico”
 A média está mais próxima da 
“cauda” (sofre influência dos 
valores extremos)
 A mediana está entre a moda e 
mediana
Distribuição Assimétrica
0
1
2
3
4
5
2 3 4 7 8 9 10N o ta
F
re
q
ü
ê
n
ci
a
M oda
M ediana
M édia
Distribuições assimétricas => 
mediana !!!
Distribuição bimodal => Moda!!!
Exercício 1 em sala: 
Idade Altura Peso Taxa 
Pulsação
Pressão 
Sistólica
Pressão 
diastólica
Colesterol IMC
(anos) (m) (Kg) bat/min mmHg mmHg mg
58 1,8 76,1 68 125 78 522 23,5
22 1,68 64,9 64 107 54 127 23
32 1,82 80,7 88 126 81 740 24,3
31 1,74 79,1 72 110 68 49 26
28 1,72 68,7 64 110 66 230 23,3
46 1,76 75,1 72 107 83 316 24,3
41 1,69 60,8 60 113 71 590 21,3
56 1,71 90,7 88 126 72 466 31,1
20 1,73 78,8 76 137 85 121 26,2
54 1,67 62,6 60 110 71 578 22,5
17 1,6 70,3 96 109 65 78 27,5
73 1,73 84 72 153 87 265 27,9
52 1,86 86 56 112 77 250 24,9
25 1,72 68,1 64 119 81 265 23,1
29 1,73 94,2 60 113 82 273 31,6
17 1,8 106,7 64 125 76 272 32,8
41 1,56 79,5 84 131 80 972 32,8
52 1,94 99,3 76 121 75 75 26,5
32 1,68 74,7 84 132 81 138 26,4
20 1,77 61,8 88 112 44 139 19,7
20 1,66 73,9 72 121 65 638 26,8
29 1,78 73,1 56 116 64 613 23,1
18 1,6 68,3 68 95 58 762 26,8
26 1,74 64,8 64 110 70 303 21,4
33 1,73 92,1 60 110 66 690 30,6
55 1,76 87,2 68 125 82 31 28,1
53 1,76 77,8 60 124 79 189 25,2
28 1,73 72,9 60 131 69 957 24,4
28 1,83 78,7 56 109 64 339 23,6
37 1,68 76,4 84 112 79 416 27,1
40 1,84 96 72 127 72 120 28,4
33 1,85 89,1 84 132 74 702 25,9
26 1,73 78 88 116 81 1252 26
53 1,74 96,5 56 125 84 288 31,7
36 1,79 61,7 64 112 77 176 19,3
34 1,62 53,8 56 125 77 277 20,5
42 1,81 85,1 56 120 83 649 26,1
18 1,67 74,1 60 118 68 113 26,7
44 1,73 76,5 64 115 75 656 25,4
20 1,68 68 72 115 65 172 24
Calcule Média, Mediana,Moda, desvio padrão e erro padrão dos dados abaixo
Exercício 2 em sala: 
Um teste de memória foi aplicado a 10 idosos e 10 jovens com o objetivo de verificar o 
declínio de memória decorrente do processo de envelhecimento. Além do resultado do teste, 
foram registrados outros dados dos indivíduos, tais como: idade, sexo e anos de escolaridade 
(ver apostila). Estas características foram registradas pois podem influenciar o desempenho 
dos indivíduos nos testes. Construa uma planilha no BROffice utilizando os dados destas 
amostras.
a) Desempenho de cada sujeito: (varia de 0 a 20)
Idosos: 16/17/19/19/15/17/18/20/20/16
Jovens: 20/20/19/19/20/20/17/19/20/18
b) Calcule a média, desvio padrão e erro padrão da média do desempenho para idosos e 
jovens
c) Faça um gráfico de colunas da média do desempenho de idosos e jovens, com o título Teste 
de Memória
d) Inclua as barras de erros com o erro padrão da média 
e) Discuta a diferença do desempenho entre os grupos com base nos valores de média e erro.
Para inserir o erro padrão no BROffice
Selecionar 
os valores 
de erro 
calculados 
na planilha
Exercício 3 em Sala
 Considere a seguinte tabela de dados de 
pressão sanguínea obtida para um grupo de 40 
pessoas:
Indivíduo Pres s ão 
S is tólic a
Pres s ão 
dia s tólic a
mmHg mmHg
1 1 2 5 7 8
2 1 0 7 5 4
3 1 2 6 8 1
4 1 1 0 6 8
5 1 1 0 6 6
6 1 0 7 8 3
7 1 1 3 7 1
8 1 2 6 7 2
9 1 3 7 8 5
1 0 1 1 0 7 1
1 1 1 0 9 6 5
1 2 1 5 3 8 7
1 3 1 1 2 7 7
1 4 1 1 9 8 1
1 5 1 1 3 8 2
1 6 1 2 5 7 6
1 7 1 3 1 8 0
1 8 1 2 1 7 5
1 9 1 3 2 8 1
2 0 1 1 2 4 4
2 1 1 2 1 6 5
2 2 1 1 6 6 4
2 3 9 5 5 8
2 4 1 1 0 7 0
2 5 1 1 0 6 6
2 6 1 2 5 8 2
2 7 1 2 4 7 9
2 8 1 3 1 6 9
2 9 1 0 9 6 4
3 0 1 1 2 7 9
3 1 1 2 7 7 2
3 2 1 3 2 7 4
3 3 1 1 6 8 1
3 4 1 2 5 8 4
3 5 1 1 2 7 7
3 6 1 2 5 7 7
3 7 1 2 0 8 3
3 8 1 1 8 6 8
3 9 1 1 5 7 5
4 0 1 1 5 6 5
 Utilizando os dados de pressão diastólica, 
calcule a média, desvio padrão e construa 
duas tabelas de frequência: 
1) com intervalos de 5 batimentos (<50, 51-
55, 56-60, ...) 
2) com intervalos de 10 batimentos (<50, 51-
60, 61-70, ...)
 Faça os respectivos gráficos de 
distribuição.
 Qual das duas tabelas de frequência 
melhor representa uma distribuição 
normal? Por quê? E se ao invés de 40, 
tomássemos a pressão sanguínea de 4000 
indivíduos, qual das tabelas de frequência 
você acredita que seria mais adequada? 
Por quê?
Exercício 1 para Casa
 Escolha um cruzamento que tenha o tráfego controlado por um semáforo. 
Pode ser o que você observa diretamente da janela de seu apartamento ou 
da padaria. 
 Enquanto você toma um café (isso é opcional) conte o número de carros que 
passa (escolha uma direção e sentido) a cada intervalo de tempo em que o 
sinal é verde. Tome no mínimo 30 medidas. Faça uma tabela que registre 
cada medida. Anote o cruzamento, direção, sentido e hora da experiência. 
Calcule a média e o desvio padrão.
 Elabore tabelas de frequência considerando diferentes intervalos (observe 
que o intervalo aqui é dado em número de carros). Faça os respectivos 
gráficos de distribuição. 
 Faça uma nova série de medidas para comparação. Pode ser outro 
cruzamento, outro horário (hora do rush/trânsito livre, dia útil/domingo) 
etc. Que conclusões você pode tirar comparando as duas séries? Baseie sua 
resposta nos valores médios, desvio padrão e forma da distribuição.
Exercício 2 para Casa – Finalizar 
exercício da planilha de memória 
como está na apostila
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