CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 - perguntas e respostas

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1a Questão (Ref.: 201502192579) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k 
 
 j + k 
 i - j + k 
 j 
 k 
 j - k 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201502192603) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 t2 i + 2 j 
 
 2t j 
 3t2 i + 2t j 
 - 3t2 i + 2t j 
 0 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201502192588) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
 
 6ti+2j 
 6ti+j 
 6i+2j 
 ti+2j 
 6ti -2j 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201502192491) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
 2sent i - cost j + t2 k + C 
 2senti + cost j - t2 k + C 
 πsenti - cost j + t2 k + C 
 -cost j + t2 k + C 
 sent i - t2 k + C 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201502192785) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta. 
 
 (0,0,0) 
 (0,-1,-1) 
 (0, 1,-2) 
 (0,0,2) 
 (0,-1,2) 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201502192573) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t 
 x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 
 
 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201502192467) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + te-tj + (sentt)k 
 
 
 i + k 
 i + j + k 
 i + j 
 i + j - k 
 j + k 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201502071895) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a integral da função vetorial: 
[∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k 
 
 
 π 
 π2+1 
 π4+1 
 3π2 +1 
 3π4+1 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201502075608) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j 
 
 v(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 v(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 v(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 v(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201502193003) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular 
constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta 
correta que determina a acelaração em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
 
 aw2coswt i + aw2senwtj 
 -aw2coswt i - awsenwtj 
 -w2coswt i - w2senwtj 
 aw2coswt i - aw2senwtj 
 -aw2coswt i - aw2senwt j 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201502192543) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é: 
 
 2i + j + π24k 
 2i - j + π24k 
 2i + j + (π2)k 
 i - j - π24k 
 i+j- π2 k 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201502069210) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
(cost)i + 3tj 
 (cost)i - sentj + 3tk 
 
-(sent)i -3tj 
 (sent)i + t³j 
 
(cost)i - 3tj 
 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201502283852) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt, 
qual a resposta correta? 
 
 (cost)i-3tj 
 
(cost)i-(sent)j+3tk 
 (sent)i + t4j 
 
(cost)i+3tj 
 
-(sent)i-3tj 
 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201502824198) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Elimine o parâmetro tpara encontrar uma equação cartesiana da curva: x=3t-5 e y=2t+1 
 
 y=(23)x+133 
 
y=(23)x+103 
 
y=(13)x+133 
 
y=-(23)x+133 
 y=(23)x-133 
 
 
 
 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201502069793) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 (c) 
 (a) 
 (d) 
 
(b) 
 
(e) 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201502074014) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: 
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3. 
 
 a(t)=3i +89j-6k 
 a(t)=(e3)i+29(e3)j-2(e3)k 
 a(t)=e3i +2e3j-4e3k 
 a(t)=3i+8j-6k 
 a(t)=e3i +29e3j-2e3k 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201502075587) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada 
pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 2i 
 
2i + 2j 
 2j 
 
2i + j 
 
i/2 + j/2 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201502192455) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta. 
 
 (1-cost,0,0) 
 (1 +cost,sent,0) 
 (1-cost,sent,0) 
 (1-cost,sent,1) 
 (1-sent,sent,0) 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201502071400) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Sendo f(x,y,z)=exyz encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a cada variável no 
pontoP(1,0,1). 
 
 
 
e 
 1 
 
3e 
 
0 
 2e 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201502192448) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única resposta correta. 
 
 (sent,-cost,0) 
 (sect,-cost,1) 
 (sent,-cost,1) 
 (sent,-cost,2t) 
 (-sent, cost,1) 
 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201502075158) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i 
+ (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 
4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 3 
 2 
 1 
 
9 
 
14 
 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201502192450) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única resposta correta. 
Considere a resposta em t=π4 
 
 (-2,2,π4) 
 (-22,- 22,-π4) 
 (22,22,π2) 
 (-22,22,π2) 
 (22,22,π4) 
 
 
 
 
 
 
1a Questão (Ref.: 201502192981) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de posição r(t) = (t2, et, tet). Indique a única 
resposta correta. 
 
 (2t,et,(1+t)et) 
 (t,et,(1+t)et) 
 (t,et,(2+t)et) 
 (2,et,(1+t)et) 
 (2t,et,(1 - t)et) 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201502061404) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 z=-8x+12y-18 
 z=-8x+12y -14 
 z=-8x+10y-10 
 z=8x-12y+18 
 z=8x - 10y -30 
 
 
 
 
 
 3a Questão(Ref.: 201502081268) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 
 
 
2sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
2cos(x - 3y) 
 
2sen(x - 3y) 
 2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201502076466) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r2 = 
4r cosΘ 
 
 
(x - 4)2 + y2 = 2 
 
(x + 2)2 + y2 = 4 
 (x - 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 2)2 + y2 = 10 
 (x - 2)2 + (y + 4)2 = 4 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201502193001) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular 
constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta 
correta que determina a velocidade em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
 
 -senwt i + awcoswtj 
 -senwt i + coswtj 
 -awsenwt i - awcoswtj 
 awsenwt i + awcoswtj 
 - awsenwt i + awcoswtj 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201502081271) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
 
 ∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 ∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 ∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 ∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 ∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201502081269) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂y 
 
 
-6sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 -6sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
-6sen(x - 3y) 
 sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201502074425) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Determine o versor tangente à curva de função vetorial r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no 
ponto t=π4. 
 
 
(12)i -(12)j+(22)k 
 (25)i+(25)j+(255)k 
 
 (2)i -(2)j+(2))k 
 
(22)i -(22)j+(22)k 
 (105)i -(105)j+(255)k 
 
 
 
 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201502071732) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 
 
 w2 
 -wsen(wt) 
 w2sen(wt)cos(wt) 
 0 
 cos2(wt) 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201502075622) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2 
 
 
ln t + sen t 
 ln t 
 
tg t 
 cos t 
 
sen t 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201502075633) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k 
 
 (-sen t)i - (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 (-sen t)i + (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201502073905) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas 
parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e x,ye z são 
funções de outra variável t 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w com relação a t e representa a 
taxa de variação de w à medida que t varia. 
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, 
calcule dwdt sendot= 0 
 
 
10 
 
20 
 
12 
 8 
 18 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201502075628) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 0 
 
 
sen t 
 1/t + sen t + cos t 
 1/t 
 
cos t 
 
1/t + sen t 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201502074670) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre a derivada direcional da função f(x,y,z)=lnxyz em P(1,2,2) na direção do 
vetor v=i+j -k. 
 
 
 23 
 33 
 3 
 22 
 32 
 
 
 
 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201502271143) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às 
variáveis x, y e z, onde x varia no intervalo [4 , 9] , y varia no intervalo [0 , 1] e z varia no intervalo [1 , 2]. 
 
 
12/7 
 19/12 
 12/19 
 19/4 
 
12/5 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201502271160) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às 
variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4]. 
 
 203 * ( 2*x^(1/2) - 3 ) / 24 
 
203 * ( 3*x^(1/2) - 2 ) / 24 
 
( 203 * x^(1/2) ) / 6 
 
( 203 * x^(1/2) ) / 8 
 203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201502271169) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às 
variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2]. 
 
 35/2 
 35/4 
 
35/3 
 7 
 
35/6 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201502670593) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Deseja-se pintar a estrutura externa lateral de um monumento em forma de um paraboloide que pode ser 
descrita pela equação z=x2 + y2, situada na região do espaço de coordenadas cartesianas(x, y, z) dada pela 
condição z≤9 . Os eixos coordenados estão dimensionados em metros e gasta-se um litro e meio de tinta a cada 
metro quadrado de área da superfície a ser pintada. 
 A quantidade de tinta, em litros, necessária para pintar a superfície lateral do monumento é dada pela integral 
dupla 
 
 6∫0π2∫03(1+4r2)rdrdθ= 
 6∫0π2∫-33(1+4r2)rdrdθ= 
 
 4∫0π2∫03(1+4r2)rdrdθ= 
 
 4∫03∫09-x2(x2+y2)dxdy 
 
6∫03∫09-x2(x2+y2)dxdy 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201502679869) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a integral dupla ∫∫De(y2)dA, onde D={(x,y)|0≤y≤1,0≤x≤y}. O valor 
dessa integral é dada por: 
 
 
 0 
 e-1 
 12(e-1) 
 e2 
 e 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201502625963) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Determine a integral ∫01∫02∫01-zdydxdz 
 
 
0 
 1-z 
 
2-2z 
 1 
 
2 
 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201502625676) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy 
 
 
cos(2π)-sen(π) 
 π+senx 
 
π 
 2π 
 
0 
 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201502271173) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(2) * y^(1/3) ) / z. Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às 
variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [8 , 27] e z varia no intervalo [1 , e]. 
 
 455/4 
 
455/2 
 
455/3 
 
845/3 
 845/2 
 
 
 
 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201502271297) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -
2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
 
 
14 * (2)^(1/2) 
 
4 * (2)^(1/2) 
 4 * (14)^(1/2) 
 4 
 
2 * (14)^(1/2) 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201502271298) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -
2t (i) + 3t (j) - t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
 
 
14 * (2)^(1/2) 
 4 
 2 * (14)^(1/2) 
 
4 * (14)^(1/2) 
 
4 * (2)^(1/2) 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201502609500)Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Integre f(x, y, z) = x - 3.y2 + z sobre o segmento de reta C que une a 
origem (0,0,0) ao ponto (1,1,1) passando primeiro por (1,1,0). Dado a 
parametrização r(t) = ti + tj + tk, 0 ≤ t ≤ 1. 
 
 4 
 0 
 
3 
 
1 
 
2 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201502830642) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere f:R3→R definida por f(x,y,z) = x2 + y2 + z2. Considere ainda a 
hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), t∈[0,2π]. Calcule ∫c fds. 
 
 2.(π+π33) 
 2.(2π+8π33) 
 2.(π+8π3) 
 3.(2π+8π33) 
 2π+8π33 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201502830646) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), 
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 
 
 π2 
 2π3 
 3π2 
 2π2 
 2π 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201502063833) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a função f(x,y)= y.lnx + x.ey . 
Identifique as afirmações verdadeiras (V) e as falsas (F): 
1) ( ) A derivada da função f(x,y) em P(1,0) na direção do 
vetor v = i-j é nula. 
2) ( ) A função f(x,y) aumenta mais rapidamente na direção do 
vetor u= i + j. 
3) ( ) Existe uma direção na qual a taxa de variação da função é 2. 
4) ( ) A taxa de variação da função é 21/2 
5) ( ) A reta tangente à curva f(x,y) no ponto P(1,0) é y=x-1. 
 
 1) (V) 2) (V) 3) (F) 4) (V) 5) (V) 
 
1) (F) 2) (V) 3) (V) 4) (V) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (V) 5) (F) 
 1) (V) 2) (V) 3) (F) 4) (V) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201502077330) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). 
Seja z=sen(xy)+xseny . 
 Encontre∂z∂uquando u=0 ; v=1 ; x=u2 +v2 e y=u.v. 
 
 -1 
 -2 
 2 
 0 
 1 
 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201502830616) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Integre a função f(x,y,z) = x - 3y2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,1). 
Considere a parametrização r(t) = ti + tj + tk, onde t pertence ao intervalo [0,1]. Portanto, a integral 
de f sobre C é: 
 
 0 
 
4 
 3 
 
2 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
1a Questão (Ref.: 201502271305) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular o 
divergente da função F(x,y,z). 
 
 
9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2) 
 6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) + 
 
6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2) 
 6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z 
 
6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201502271299) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a função F(x,y,z) = ( x^(3) * y^(1/2) ) / z. Calcular o gradiente da função F(x,y,z) 
 
 ( x^(2) * y^(1/2) ) / (2 * z) (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / (2 * z^(2)) (k) 
 ( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 
( x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 * z ) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 
( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 *z) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 ( 3* x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) / (2 * y^(1/2) * z ) ) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201502077396) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Determine o plano tangente à superfície esférica 
 x2 + 3y2+ z2=22 no ponto P(1,2,3). 
 
 x+12y+3z=20 
 3x+4y+3z=20 
 x+6y+3z=22 
 3x+6y+3z=22 
 2x+12y+3z=44 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201502830653) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição de temperatura 
em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em 
A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em 
B(0,-1,0) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Marque a 
alternativa que indica a direção e o sentido que a partícula B deve 
tomar. 
 
 (0, -1, 0) 
 (0, -2, 0) 
 (2, 3, 5) 
 (0, -20, 10) 
 (-4, -6, -10) 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201502072362) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 Encontre a área da região R limitada pela parábola y=x2 e pela reta y=x+2 utilizando 
integral dupla. . 
 
 52 u.a. 
 
12 u.a. 
 92u.a. 
 
72 u.a. 
 
32u.a. 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201502830651) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição de temperatura 
em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em 
A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em 
B(0,-1,0) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Marque a 
alternativa que indica a direção e o sentido que a partícula A deve 
tomar. 
 
 (4, 3, 0) 
 (0, -2, 0) 
 (20, -10, -30) 
 (1,2,3) 
 (-4, -6, -10) 
 
 
 
 
 
 
 
1a Questão (Ref.: 201502075710) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Inverta a ordem da integral, esboce a região de integração se achar necessário e calcule a 
integral ∫0π∫xπsenyydydx 
 
 
e + 1 
 
5 
 
10 
 2 
 
1 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201502072632) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Transforme para o sistema de coordenadas polares a integral ∫-11∫01-
x2dydx(1+x2+y2)2. Em seguida, calcule o seu valor. 
 
 π5 
 π3 
 π 
 π2 
 π4 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201502075683) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule ∫14∫0x32eyxdydx 
 
 7e-7 
 
e-1 
 
7 
 e7 
 
7e 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201502075724) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2 
 
 
5/6 
 1/2 
 
1 
 3 
 9/2 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201502075680) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx 
 
 16 
 
20 
 
10 
 1 
 2 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201502075663) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre a derivada parcial para a função f(x,y,z)=e-(x2+y2+z2) 
 
 ∂f∂x=-e-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=e-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=e-(x2+y2+z2) 
 ∂f∂x=xe-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=ye-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=ze-(x2+y2+z2) 
 ∂f∂x=-2xe-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=-2ye-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=-2ze-(x2+y2+z2) 
 ∂f∂x=-2xe e ∂f∂y=-2ye e ∂f∂z=-2ze 
 ∂f∂x=-2xe-(x2+y2) e ∂f∂y=-2ye-(x2+y2) e ∂f∂z=-2ze-(x2+y2) 
 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201502075719) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Resolva a integral ∫02ln3∫y2ln3ex2dxdy invertendo a ordem de integração 
 
 
e 
 
2 
 e+2 
 
3 
 2 
 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201502075714) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Resolva a integral ∫01∫y1x2exydxdy invertando a ordem de integração 
 
 e-24 
 
2e+22 
 
2e+24 
 e-22 
 
2e-22 
 
 
 
 
 
 
 
1a Questão (Ref.: 201502071915) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 Encontre o comprimento da curva dada pela função vetorial r(t)=6t3i-
2t3j-3t3k, considerando 1≤t≤2. 
 
 28 
 49 
 
21 
 
14 
 
7 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201502075675) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a função w = ln (2x + 3y), encontre ∂2w∂y∂x 
 
 -6(2x+3y)3 
 -6(2x+3y)2 
 (2x+3y)2 
 -6x-y(2x+3y)2 
 -62x+3y 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201502074643) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0)A derivada direcional permite calcular a taxa de variação de uma 
função fem um ponto P na direção de um versor u; é igual ao produto 
escalar do vetor gradiente de f (∇f) e o versor u. 
 Encontre a derivada direcional da 
função f(x,y,z)=cos(xy)+eyz+lnxzem P(1,0,12) na direção do 
vetor v=i+2j+2k. 
 
 13 
 1 
 3 
 12 
 2 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201502075731) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar de ∫-11∫01-x2dydx 
 
 
3 
 π2 
 π2+3 
 
1/2 
 
π 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201502072100) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule o módulo do operador rotacional do campo vetorial 
 V→=(ex+z.cosy)i+(x2.z-ey)j+(x.y2+z2seny)k no ponto P(0,0,1). 
 
 
3 
 2 
 
5 
 
3 
 2 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201502074732) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo 
limitado por x=0; y=0 e y=1-x. 
 
 
 12 
 15 
 0 
 13 
 14 
 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201502076527) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva C: o triângulo limitado 
por x = 0, x + y =1 e y = 0 
 
 0 
 
3 
 
4 
 1 
 
2 
 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201502077422) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcular a integral de linha ∫C (x-y+z-
2)ds onde C é o segmento de reta do ponto P(0,1,1) até o 
ponto Q(1,0,1). 
 
 
 -2 
 3 
 2 
 3 
 1