Apostila de Transferencia de calor prof lia

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INTRODUÇÃO À 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
Eduardo Emery Cunha Quites 
Luis Renato Bastos Lia 
segunda edição 
 
 
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Santos, Julho de 2016 
 
 
 
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APRESENTAÇÃO 
 
Esta apostila é uma coletânea de notas de aula e a tem a finalidade exclusiva de servir de material de apoio da disciplina Transferência 
de Calor nos Cursos de Engenharia da Universidade Santa Cecília de Santos, não tendo valor comercial e não sendo autorizado seu uso 
com outras finalidades. 
Esta apostila não se destina a substituir a bibliografia básica e complementar da disciplina, servindo unicamente como roteiro de estudos, 
fornecendo aos alunos os conceitos fundamentais básicos da mesma forma que são ministrados em sala de aula. Esta abordagem tem 
por objetivo permitir que os alunos se concentrem nas explanações dadas em aula, livrando-os da tarefa de reproduzir o que for 
apresentado no quadro negro. 
Também estão incluídos diversos exercícios resolvidos e exercícios propostos com as respectivas respostas. Os exercícios aqui 
apresentados, em sua grande maioria, fizeram partes das provas ministradas durante os últimos anos. 
Nesta segunda edição desta apostila, devido ao grande número de modificações, certamente ainda estarão presentes erros e 
imperfeições. Entretanto, estamos certos de que os alunos nos auxiliarão apontado os erros, comentado e sugerindo, de forma que nas 
próximas edições este trabalho possa ser ainda mais aperfeiçoado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eduardo Emery Cunha Quites 
Engenheiro Metalúrgico, MSc. 
 
 
Luis Renato Bastos Lia 
Engenheiro Químico, PhD. 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................................... 6 
1.1 CONCEITO E MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR .............................................................................................................. 6 
1.2 MECANISMOS COMBINADOS .......................................................................................................................................................... 7 
1.3 RELAÇÃO ENTRE A TRANSFERÊNCIA DE CALOR E A TERMODINÂMICA .............................................................................................. 8 
1.4 REGIMES DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR ......................................................................................................................................... 9 
1.5 RELEVÂNCIA DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR .................................................................................................................................. 10 
1.5 SISTEMAS DE UNIDADES ................................................................................................................................................................ 10 
2. CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE .......................................................................................... 14 
2.1. MECANISMO DA CONDUÇÃO ....................................................................................................................................................... 14 
2.2. LEI DE FOURIER ............................................................................................................................................................................ 15 
2.3. CONDUÇÃO ATRAVÉS DE PAREDES PLANAS .................................................................................................................................. 17 
2.4. ANALOGIA ENTRE RESISTÊNCIA TÉRMICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA............................................................................................... 20 
2.5. ASSOCIAÇÃO DE PAREDES PLANAS EM SÉRIE ................................................................................................................................ 21 
2.6. ASSOCIAÇÃO DE PAREDES PLANAS EM PARALELO ........................................................................................................................ 21 
2.7. CONDUÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DE CONFIGURAÇÕES CILÍNDRICAS ............................................................................................. 25 
2.8. CONDUÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DE CONFIGURAÇÕES ESFÉRICAS................................................................................................. 27 
3. FUNDAMENTOS DA CONVECÇÃO ........................................................................................................................................ 35 
3.1. MECANISMO DA CONVECÇÃO ...................................................................................................................................................... 35 
3.2. LEI BÁSICA DA CONVECÇÃO .......................................................................................................................................................... 36 
3.3. CAMADA LIMITE ........................................................................................................................................................................... 37 
3.4. DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE PELÍCULA ........................................................................................................................... 38 
3.5. RESISTÊNCIA TÉRMICA NA CONVECÇÃO ....................................................................................................................................... 40 
3.6. MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR (CONDUÇÃO E CONVECÇÃO) .......................................................... 41 
4. RADIAÇÃO TÉRMICA ................................................................................................................................................................ 58 
4.1. MECANISMO DA RADIAÇÃO TÉRMICA .......................................................................................................................................... 58 
4.2. CORPO NEGRO E CORPO CINZENTO .............................................................................................................................................. 59 
4.3. LEI DE STEFAN-BOLTZMANN ......................................................................................................................................................... 61 
4.4. FATOR FORMA ............................................................................................................................................................................. 61 
4.5. CÁLCULO DA TAXA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO ............................................................................................... 61 
4.6. EFEITO COMBINADO CONDUÇÃO - CONVECÇÃO - RADIAÇÃO ....................................................................................................... 63 
5. ALETAS ........................................................................................................................................................................................ 69 
5.1. CONCEITO .................................................................................................................................................................................... 69 
5.2. FLUXO DE CALOR ATRAVÉS DE UMA SUPERFÍCIE COM ALETAS ...................................................................................................... 69 
5.3. EFICIÊNCIA DE UMA ALETA ...........................................................................................................................................................70 
5.4. TIPOS DE ALETAS .......................................................................................................................................................................... 71 
5.5. EFICÁCIA DE UMA ALETA .............................................................................................................................................................. 73 
6. TROCADORES DE CALOR ...................................................................................................................................................... 85 
6.1 TIPOS DE TROCADORES ................................................................................................................................................................. 85 
6.2. MÉDIA LOGARÍTMICA DAS DIFERENÇAS DE TEMPERATURAS ........................................................................................................ 87 
6.3. BALANÇO TÉRMICO EM TROCADORES DE CALOR.......................................................................................................................... 90 
6.4. COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR ................................................................................................................... 91 
6.5. FATOR DE FULIGEM (INCRUSTAÇÃO) ............................................................................................................................................ 92 
6.6. FLUXO DE CALOR PARA TROCADORES COM MAIS DE UM PASSE ................................................................................................... 94 
 
 
5 
 
6.7. SELEÇÃO DE TROCADORES DE CALOR ........................................................................................................................................... 96 
7. ISOLAMENTO TÉRMICO..........................................................................................................................................................106 
7.1. DEFINIÇÃO ..................................................................................................................................................................................106 
7.2. CARACTERÍSTICAS DE UM BOM ISOLANTE ...................................................................................................................................106 
7.3. MATERIAIS ISOLANTES BÁSICOS ..................................................................................................................................................107 
7.4. FORMAS DOS ISOLANTES ............................................................................................................................................................108 
7.5. APLICAÇÃO DE ISOLANTES ...........................................................................................................................................................109 
7.6. CÁLCULO DE ESPESSURAS DE ISOLANTES .....................................................................................................................................109 
7.7. ISOLAMENTO DE TUBOS - CONCEITO DE RAIO CRÍTICO ................................................................................................................111 
8. APÊNDICES ....................................................................................................................................................................................116 
APÊNDICE A: CÁLCULO DA EFICIÊNCIA DA ALETA ..................................................................................................................................116 
APÊNDICE B: CÁLCULO DA MÉDIA LOGARITMICA DAS DIFERENÇAS DE TEMPERATURA .........................................................................119 
APÊNDICE C: MÉTODO DA EFETIVIDADE - NTU ......................................................................................................................................120 
 
 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
1.1 CONCEITO E MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
Transferência de Calor é energia em trânsito devido a uma diferença de temperatura. Sempre que existir uma diferença de temperatura 
em um meio ou entre meios ocorrerá transferência de calor. 
Por exemplo, se em um sistema composto por dois corpos, em diferentes temperaturas, os corpos são colocados em contato direto, 
como mostra a Figura 1.1, ocorrera transferência de calor do corpo de temperatura mais elevada para o corpo de menor temperatura 
até que haja equivalência de temperatura entre eles. Dizemos que o sistema tende a atingir o equilíbrio térmico. 
 𝑆𝑒 𝑇1 > 𝑇2 ⟹ 𝑇1 > 𝑇 > 𝑇2 
 
Figura 1.1 
 
Está implícito na definição acima que um corpo nunca contém calor. Um corpo contém energia interna e isto é representado pela 
temperatura. O calor é identificado com tal quando a energia cruza a fronteira de um sistema. O calor é, portanto, um fenômeno 
transitório, que cessa quando não existe mais uma diferença de temperatura. 
Os diferentes processos de transferência de calor são referidos como mecanismos de transferência de calor. Existem três mecanismos: 
Condução, Convecção e Radiação. 
Condução 
É condução quando a transferência de energia ocorrer em um meio estacionário (onde as partículas têm apenas movimento 
microscópico) e em virtude de uma diferença de temperatura no meio. Simplificadamente, a transferência de energia se dá pelo choque 
de partículas com mais energia com partículas com menor energia. 
A Figura 1.2 ilustra a transferência de calor por condução através de uma barra de metal quando existe uma diferença de temperatura 
entre as extremidades da barra. 
 
 
Figura 1.2 
Convecção 
É convecção quando a transferência de energia ocorrer entre uma superfície e um fluido em movimento em virtude da diferença de 
temperatura entre eles. Simplificadamente, a transferência de energia se dá pelo transporte de massa em conjunto com a transferência 
de calor por condução junto à superfície. 
 
 
7 
 
A Figura 1.3 ilustra uma transferência de calor de calor por convecção quando ar quente de um secador de cabelo escoa sobre a superfície 
da cabeça de uma pessoa, transferindo calor, pelo contato com a superfície. Neste caso, o calor é transferindo pelo movimento das 
moléculas de ar e condução na superfície. A convecção pode ser natural (o movimento do fluido é causado por forças de flutuação) ou 
forçada (o movimento de fluido é causado por agente externo), como na Figura 1.3. 
 
Figura 1.3 
Radiação 
É radiação quando, na ausência de um meio interveniente, ocorre uma troca líquida de energia entre duas superfícies em diferentes 
temperaturas. Simplificadamente, a transferência de energia se dá pela propagação de ondas eletromagnéticas que são geradas 
proporcionalmente às temperaturas de cada corpo. 
A Figura 1.4 ilustra a transferência de calor por radiação entre as superfícies quentes de uma lareira para as superfícies mais frias do 
ambiente e das pessoas no ambiente. 
 
 
Figura 1.4 
 
A Tabela 1.1 resume as principais características dos três mecanismos descritos, em termos de força motriz, meio onde ocorre e 
fenômeno físico preponderante. 
 
Tabela 1.1 
 Condução Convecção Radiação 
A Força Motriz A diferença de temperatura A diferença de temperatura A diferença de temperatura 
O Meio Meio estacionário Fluido em movimento Não precisa de meio 
O Fenômeno Choque entre partículas Condução + transporte de massa Ondas Eletromagnéticas 
 
 
1.2 MECANISMOS COMBINADOS 
 
Na maioria das situações práticas ocorrem ao mesmo tempo dois ou três mecanismos de transferência de calor atuando em conjunto.Nos problemas da engenharia, quando um dos mecanismos domina quantitativamente, soluções aproximadas podem ser obtidas 
desprezando-se todos, exceto o mecanismo dominante. Entretanto, deve ficar entendido que variações nas condições do problema 
podem fazer com que um mecanismo desprezado se torne importante. 
 
 
8 
 
Como exemplo de um sistema onde ocorrem, ao mesmo tempo, vários mecanismos de transferência de calor, consideremos uma garrafa 
térmica. Neste caso, podemos ter a atuação conjunta dos seguintes mecanismos esquematizados na Figura 1.5. 
 
Figura 1.5 
q1 : convecção natural entre o café e a parede do frasco de vidro 
q2 : condução através da parede do frasco de vidro 
q3 : convecção natural do frasco de vidro para o ar 
q4 : radiação entre as superfícies externa do frasco de vidro e interna da capa plástica 
q5 : convecção natural do ar para a capa plástica 
q6 : condução através da capa plástica 
q7 : convecção natural da capa plástica para o ar ambiente 
q8 : radiação entre a superfície externa da capa e as vizinhanças 
 
Melhorias, não representada na Figura 1.5, no projeto de uma garrafa térmica estão associadas com uso de superfícies aluminizadas 
(bloqueio de radiação) para a parede interna do vidro e utilização de vidro de parede dupla, com o ar evacuado do espaço entre as 
paredes de vidro (bloqueio de condução e convecção). 
 
1.3 RELAÇÃO ENTRE A TRANSFERÊNCIA DE CALOR E A TERMODINÂMICA 
 
Iremos nos referir as energias cinética e de rotação, entre outras, dos átomos ou moléculas de um sistema como energia interna e a 
transferência desta energia como transferência de calor ou simplesmente calor. A energia pode ser transportada de ou para um dado 
sistema por dois mecanismos: calor (Q) e trabalho (W). Um transporte de energia é transferência de calor se sua força motriz é uma 
diferença de temperatura. Caso contrário, é trabalho. O movimento de um pistão, um eixo em rotação e energia elétrica fluindo em um 
cabo são todos associados com realização de trabalho. 
A relação entre calor e trabalho é regida pela primeira lei da termodinâmica: "A variação líquida de energia de um sistema é sempre igual 
à transferência líquida de energia na forma de calor e trabalho". A Figura 1.6 ilustra quantitativamente a relação: ao transferir calor para 
um gás em um recipiente com êmbolo, o mesmo tem aumento de energia interna e realiza trabalho. 
 
 
Figura 1.6 
 
 
9 
 
Se um sistema não realiza trabalho, como no caso de um fluido aquecendo ou resfriando em trocador de calor ou uma peça de metal 
sendo aquecida em uma estufa, a quantidade de calor transferido é igual à variação da energia interna, conforme Equação 1-1. 
Equação 1-1 ∆𝐸 = 𝑄 − 𝑊⏞
=0
 ⟹ 𝑄 = ∆𝐸 
 
A partir da definição de calor especifico (cp) de uma substância, que é a energia requerida para elevar a temperatura de uma unidade de 
massa da substância em um grau, pode ser derivada uma expressão da termodinâmica para o cálculo da variação de energia interna ou 
a quantidade de calor transferido em processos que não realizam trabalho, conforme Equação 1-2. 
 
Equação 1-2 𝑸 = ∆𝑬 = 𝒎 . 𝒄𝒑 . ∆𝑻 (𝑱) 
𝑚: 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 (𝑘𝑔) 
𝑐𝑝: 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 (𝐽 𝑘𝑔. 𝐾)⁄ 
∆𝑇: 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 (𝐾) 
 
A quantidade de calor transferida durante um processo é simbolizada por “Q” e pode ser obtida pelas relações Termodinâmicas. 
Entretanto, somente na Transferência de Calor pode obter a quantidade de calor transferido por unidade de tempo, também denominada 
de taxa de transferência de calor ou fluxo de calor (simbolizado por “�̇�”, onde o ponto acima significa “por unidade de tempo”). 
Existe então uma diferença fundamental entre a transferência de calor e a termodinâmica. Embora a termodinâmica trate das interações 
do calor e o papel que ele desempenha na primeira lei, ela não leva em conta nem o mecanismo de transferência nem os métodos de 
cálculo da taxa de transferência de calor. 
A termodinâmica trata com estados de equilíbrio da matéria onde inexistem gradientes de temperatura. A termodinâmica pode ser 
usada para determinar a quantidade de energia requerida na forma de calor para um sistema passar de um estado de equilíbrio para 
outro, entretanto ela não pode quantificar a taxa (velocidade) na qual a transferência do calor ocorre. A disciplina de transferência de 
calor procura fazer aquilo o que a termodinâmica é inerentemente incapaz de fazer. 
 
1.4 REGIMES DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
O conceito de regime de transferência de calor pode ser melhor entendido através de exemplos. Analisemos, por exemplo, a 
transferência de calor através da parede de uma estufa. Consideremos duas situações: operação normal e desligamento ou religamento. 
Durante a operação normal, enquanto a estufa estiver ligada, a temperatura na superfície interna da parede não varia. Caso a 
temperatura ambiente externa não varia significativamente, a temperatura da superfície externa também é constante. Sob estas 
condições a quantidade de calor transferida por condução através da parede é constante e o perfil de temperatura ao longo da parede, 
mostrado na Figura 1.7 (a), não varia. Neste caso, dizemos que estamos no regime permanente. 
 
 
Figura 1.7 
 
 
 
10 
 
Na outra situação consideremos, por exemplo, o desligamento. Quando a estufa é desligada as temperaturas diminuem gradativamente, 
de modo que o perfil de temperatura varia com o tempo, como pode ser visto da Figura 1.7 (b) e (c). Como consequência, a quantidade 
de calor transferida para fora é cada vez menor e após algum tempo a estufa entra em equilíbrio térmico com o ambiente e fluxo de calor 
é nulo. Neste caso, a temperatura em cada ponto da parede varia com o tempo até atingir o equilíbrio e dizemos que estamos no regime 
transiente. 
Os problemas de fluxo de calor em regime transiente são mais complexos. Entretanto, a maioria dos problemas de transferência de calor 
são ou podem ser tratados como regime permanente. 
 
1.5 RELEVÂNCIA DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
A transferência de calor é fundamental para todos os ramos da engenharia. Assim como o engenheiro mecânico enfrenta problemas de 
refrigeração de motores, de ventilação, ar condicionado, etc., o engenheiro metalúrgico não pode dispensar a transferência de calor nos 
problemas relacionados aos processos piro metalúrgicos e hidro metalúrgicos, ou no projeto de fornos, regeneradores, conversores, etc. 
Em nível idêntico, o engenheiro químico ou nuclear necessita da mesma ciência em estudos sobre evaporação, condensação ou em 
trabalhos em refinarias e reatores, enquanto o eletricista e o eletrônico a utiliza no cálculo de transformadores e geradores e dissipadores 
de calor em microeletrônica e o engenheiro naval aplica em profundidade a transferência de calor em caldeiras, máquinas térmicas, etc. 
Até mesmo o engenheiro civil e o arquiteto sentem a importância de, em seus projetos, preverem o isolamento térmico adequado que 
garanta o conforto dos ambientes. 
Como visto, a transferência de calor é importante para a maioria dos problemas industriais. A título de exemplo, pode-se citar: 
 O projeto, operação e manutenção de trocadores de calor. Este tipo de equipamento encontra-se, por exemplo, em geradores de 
vapor de centrais térmicas, fábricas de processos químicos, instalações de aquecimento de água, ar condicionado, refrigeração, 
radiadores de veículos motorizados, etc. 
 Seleção de isolamentos térmicos para minimização da taxa de transferência de calor em edifícios, condutas, equipamentos térmicos,etc. Essa minimização é geralmente condicionada por restrições de natureza económica, tal como o custo do isolamento, e 
geométrica, tal como a espessura ou o volume do isolamento. 
 Controle da temperatura em equipamentos industriais, mecânicos ou electrónicos. O controle da temperatura requer, 
frequentemente, que a temperatura de uma superfície quente não ultrapasse um determinado valor crítico que pode conduzir à 
fusão de um material ou à deterioração da resistência mecânica de uma estrutura ou equipamento. É o caso, por exemplo, da parede 
de um forno industrial ou da superfície exterior de veículos aeroespaciais durante a reentrada na atmosfera terrestre. 
 
1.5 SISTEMAS DE UNIDADES 
 
Unidades são meios de expressar numericamente as dimensões. As dimensões fundamentais (previamente definidas) são quatro: tempo, 
comprimento, massa e temperatura. 
As unidades são agrupadas em sistemas coerentes. Apesar de ter sido adotado internacionalmente o sistema de unidades denominado 
Sistema Internacional (S.I), o Sistema Inglês e o Sistema Métrico ainda são amplamente utilizados em vários países do mundo. Na Tabela 
1.2 estão as unidades fundamentais para os três sistemas citados: 
 
Tabela 1.2 
Sistema Tempo Comprimento Massa Temperatura 
S.I. segundo, s metro, m quilograma, kg Kelvin, K 
 MÉTRICO segundo, s (hora, h) metro, m quilograma, kg Celsius, °C 
INGLÊS segundo, s (hora, h) pé, ft * libra-massa, lbm ** Fahrenheit, °F *** 
 * 1 pé (ft) = 12 polegadas (inch) 1 ft = 0,305 m ** 1 lbm = 0,45 kg *** T(°F) = T(°C) x 1,8 + 32 
 
 
11 
 
Todas as outras unidades são derivadas a partir das unidades fundamentais por meio de definições relacionadas a leis ou fenômenos 
físicos. Como exemplo, são derivadas a seguir algumas das unidades mais importantes para a transferência de calor (Força, Energia e 
Potência) e também mostradas resumidamente na Tabela 1.3. 
 
 Força: as unidades de força são definidas a partir da Segunda Lei de Newton (F = m.a): 
 
 Newton (N) é a força necessária para acelerar uma massa de 1 Kg a uma taxa de 1 m/s2. 
 
 1 N = 1 kg . 1 m/s2 
 kilograma-força (kgf) é a força necessária para acelerar uma massa de 1 utm (=9,8 kg) a uma taxa de 1 m/s2. 
 
 1 kgf = 9,8 kg . 1 m/s2 ou 1 kgf = 1 utm . 1 m/s2 
 libra-força (lbf) é a força necessária para acelerar uma massa de 1 slug (=32,2 lbm) a uma taxa de 1 ft/s2. 
 
 1 lbf = 32,2 lbm . 1 ft/s2 ou 1 lbf = 1 slug . 1 m/s2 
 
A unidade de massa de um corpo é frequentemente usada incorretamente para expressar o peso do corpo, como nas balanças de 
farmácia. Na verdade, o peso (G) é uma força resultante da aceleração gravitacional (g) sobre a massa (m) de um corpo e sua intensidade 
é determinada pela segunda lei de Newton (G = m.g). Ao nível do mar uma massa de 1 kg pesa 9,8 N: 
𝐺 = 𝑚. 𝑔 = 1 𝑘𝑔 .9,8
𝑚
𝑠2
= 9,8 𝑁 (𝑁 = 𝑘𝑔 .
𝑚
𝑠2
) 
A mesma massa de 1 kg (1 kg = 1/9,8 utm) pesará 1 kgf em unidades do sistema métrico. 
𝐺 = 𝑚. 𝑔 =
1
9,8
 𝑢𝑡𝑚 .9,8
𝑚
𝑠2
= 1 𝑘𝑔𝑓 (𝑘𝑔𝑓 = 𝑢𝑡𝑚 .
𝑚
𝑠2
) 
 
 Trabalho (uma forma de Energia) é definido como produto da força pela distância ( = F.x), então: 
 
 Joule (J) é o trabalho ou a energia despendida por uma força de 1 N em um deslocamento de 1 m. 
 
 
 1 J = 1 N . 1 m 
 
 
 
 kgf.m (kgm) é a unidade no sistema métrico, kilocaloria (kcal) é mais usada (1 kcal = 1000 calorias). 
 lbf.ft é a unidade no sistema inglês, porém o Btu (British thermal unity) é mais usado. 
 
As unidades mais usuais de energia (Btu e Kcal) são baseadas em fenômenos térmicos, e definidas como: 
 Btu é a energia requerida na forma de calor para elevar a temperatura de 1lb de água de 67,5 °F a 68,5 °F 
 kcal é a energia requerida na forma de calor para elevar a temperatura de 1 kg de água de 14,5 °C a 15,5 °C 
 
 Potência é a capacidade de realizar trabalho na unidade de tempo ( =  / t), então: 
 
1 kg a = 1 m/s
2 
F = 1 N 
1 utm a = 1 m/s
2 
 F = 1 kgf 
1 slug a = 1 ft/s
2 
 F = 1 lbf 
 
 F = 1 N F = 1 N 
x = 1 m 
 
 
12 
 
 Watt (W) é a potência dissipada quando um trabalho de 1 J é realizado em um tempo de 1 s 
 
 
 1 W = 1 J / 1 s 
 
 
 
 kcal/h é a unidade mais comum no sistema métrico. 
 Btu/h é a unidade mais comum no sistema inglês. 
 
Tabela 1.3 
Sistema Força Energia Potência 
S.I. newton, N Joule, J Watt, W 
 MÉTRICO kilograma-força, kgf kgm (kcal) kcal/h 
INGLÊS libra-força, lbf lbf-ft (Btu) Btu/h 
 
O fluxo ou taxa de calor transferido (�̇�) é a quantidade de calor (Q) transferido na unidade de tempo (t). Neste caso, as seguintes unidades 
são, em geral, utilizadas: 
�̇� =
𝑄
𝑡
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 {
�̇�: fluxo de calor transferido (potência) em 𝑊 [
𝐽
𝑠
] ,
𝐵𝑡𝑢
ℎ
,
𝐾𝑐𝑎𝑙
ℎ
𝑄: quantidade de calor transferida (energia) em 𝐽, 𝐵𝑡𝑢, 𝑘𝑐𝑎𝑙 
} 
 
Algumas relações de conversão entre os sistemas de unidades: 
Força: 1 N = 0,225 lbf = 0,102 kgf 
Energia: 1 J = 0,000948 Btu = 0,000239 Kcal 
Potencia: 1 W = 3,412 Btu/h = 0,860 Kcal/h = 0,00136 CV = 0,00134 HP 
 
Tabela de prefixos padrões do Sistema Internacional: 
Múltiplo 1012 109 106 103 102 101 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 
Prefixo tera,T giga,G mega,M kilo,k hecto,h deca,da deci,d centi,c mili,m micro,µ nano,n pico,ρ 
 
Exercícios Resolvidos 
 
Exercício R.1.1. Converter para o sistema internacional (SI) a seguinte massa especifica:  = 624 lb/ft3, sendo dado que: 1 kg = 2,205 lb 
e 1 m = 3,281 ft. 
𝜌 = 624
𝑙𝑏
𝑓𝑡3
 ×
1
2,205
𝑘𝑔
𝑙𝑏
 × (
3,281
1
𝑓𝑡
𝑚
)
3
= 928,5
𝑘𝑔
𝑚3
 
 
Exercício R.1.2. Determinar a unidade de peso específico () no SI a partir da formula:  =  . g 
[𝛾] = [𝜌] . [𝑔] =
𝑘𝑔
𝑚3
×
𝑚
𝑠2
= 
1
𝑚3
× (𝑘𝑔 ×
𝑚
𝑠2
) =
1
𝑚3
× 𝑁 =
𝑁
𝑚3
 
 
 
 F = 1 N F = 1 N 
x = 1 m 
t = 1 s 
 
 
13 
 
Exercício R.1.3. Converter para o sistema SI o seguinte coeficiente de película: h = 10 Kcal/h.m2. °C, sendo dado que: 1 W = 0,86 Kcal/h 
e 1 K = 1 °C. (Nota: 1 °C equivale dimensionalmente a 1 K, porém para converter uma temperatura em Celsius para Kelvin devemos somar 
uma constante: T[°C] = T[K] + 273). 
ℎ = 10 
𝑘𝑐𝑎𝑙
ℎ. 𝑚2. °𝐶
 ×
1
0,86
 
𝑊
𝑘𝑐𝑎𝑙
ℎ⁄
×
1
1
 
°𝐶
𝐾
= 11,63 
𝑊
𝑚2. 𝐾
 
 
Exercício R.1.4. Determinar a unidade de energia cinética (Ec) no SI a partir da formula: Ec = ½m.v2, sendo dado que: [N] = Kg . m/s2 e 
[v] = m/s. 
[𝐸𝑐] = [𝑚] × [𝑣
2] = 𝑘𝑔 ×
𝑚2
𝑠2
= (𝑘𝑔 ×
𝑚
𝑠2
) × 𝑚 = 𝑁 × 𝑚 = 𝐽 
 
Exercício R.1.5. Determinar a unidade de fluxo de calor (�̇�) no SI, no Sistema Métrico e Sistema Inglês a partir da formula: q = Q/t , onde: 
Q = quantidade de calor ( Kcal, J ) e t = tempo. 
SI: �̇� =
[𝑄]
[𝑡]
=
𝐽
𝑠
= 𝑊 Métrico: �̇� =
[𝑄]
[𝑡]
=
𝑘𝑐𝑎𝑙
ℎ
 Inglês: �̇� =
[𝑄]
[𝑡]
=
𝐵𝑡𝑢
ℎ
 
 
Exercício R.1.6. Se uma maçã pesa 100 g (0,1 kg), quantas maçãs são aproximadamente necessárias para que o peso total seja equivalente 
a 1 N, 1 lbf e 1 kgf? Dado: g = 9,8 m/s2 (SI e métrico) e g = 32,2 ft/s2 (sist. Inglês) e 1 lbm =0,45 kg. 
𝐺 = 𝑚. 𝑔 = (0,1. 𝑥) 𝑘𝑔 × 9,8
𝑚
𝑠2
= 1 𝑁 (𝑁 = 𝑘𝑔 .
𝑚
𝑠2
) ⟹ 𝑥 = 1,02 maçãs 
𝐺 = 𝑚. 𝑔 =
(0,1. 𝑥) 
9,8
𝑢𝑡𝑚 × 9,8
𝑚
𝑠2
= 1 𝑘𝑔 (𝑘𝑔𝑓 = 𝑢𝑡𝑚 .
𝑚
𝑠2
) ⟹ 𝑥 = 10 maçãs 
𝐺 = 𝑚. 𝑔 =
(0,1. 𝑥) 
0,45
𝑠𝑙𝑢𝑔 × 32,2
𝑓𝑡
𝑠2
= 1 𝑙𝑏𝑓 (𝑙𝑏𝑓 = 𝑠𝑙𝑢𝑔 .
𝑓𝑡
𝑠2
) ⟹ 𝑥 = 4,5 maçãs 
 
 
 
Exercícios Propostos: 
 
Exercício P.1.1. Determinar a unidade de peso específico () no Métrico a partir da formula:  =  . g 
Kgf/m3 
 
Exercício P.1.2. Converter para o sistema SI o seguinte coeficiente de película: h = 10 Btu/hft2. °F, sendo dado que: 1 W = 3,412 Btu/h, 
1 ft = 0,305 m e 1 °F = 1,8 K. (Nota: 1 °F equivale dimensionalmente a 1,8 K, porém para converter uma temperatura em Fahrenheit para 
Kelvin devemos a seguinte relação T(°F) = [T(K) – 273] * 1,8 + 32. 
56,7 W/m2.K 
 
Exercício P.1.3. Determinar a unidade de energia potencial (Ep) no SI a partir da formula: Ep =m.g.h, sendo dado que: [N] = Kg . m/s2, 
[m] = kg, [h] = m e [g] = m/s2. 
J (Joule) 
 
 
 
14 
 
2. CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE 
 
No tratamento unidimensional a temperatura é função de apenas uma coordenada. Este tipo de tratamento pode ser aplicado em muitos 
dos problemas industriais. Por exemplo, no caso da transferência de calor em um sistema que consiste de um fluido que escoa ao longo 
de um tubo, ilustrado na Figura 2.1, a temperatura da parede do tubo pode ser considerada função apenas do raio do tubo. Esta suposição 
é válida se o fluido escoa uniformemente ao longo de toda a superfície interna e se o tubo não for longo o suficiente para que ocorram 
grandes variações de temperatura do fluido devido à transferência de calor ou é usada uma temperatura média entre a entrada e a saída. 
 
Figura 2.1 
 
2.1. MECANISMO DA CONDUÇÃO 
 
A condução pode ser definida como o processo pelo qual a energia é transferida de uma região de alta temperatura para outra de 
temperatura mais baixa dentro de um meio (sólido, líquido ou gasoso) ou entre meios diferentes em contato direto. Este mecanismo 
pode ser visualizado como a transferência de energia de partículas mais energéticas para partículas menos energéticas de uma substância 
devido a interações entre elas. 
O mecanismo da condução pode ser mais facilmente entendido considerando, como exemplo, um gás submetido a uma diferença de 
temperatura conforme mostra a Figura 2.2. Nestas condições (T1 > T2), observamos os seguintes fenômenos: 
 
Figura 2.2 
 
1. O gás ocupa o espaço entre as duas superfícies (1) e (2), mantidas a diferentes temperaturas (T1 > T2). Consideremos que o gás não 
está sujeito a nenhum movimento macroscópico, apenas a movimento microscópico. 
2. Como altas temperaturas estão associadas com energias moleculares mais elevadas, as moléculas próximas à superfície (1) são mais 
energéticas (movimentam-se mais rápido). 
3. O plano hipotético X é constantemente atravessado por moléculas de que vem de cima e de baixo. Entretanto, as moléculas de cima 
estão associadas com mais energia que as de baixo. Portanto existe uma transferência líquida de energia de (1) para (2) por condução. 
Para os líquidos o processo é basicamente o mesmo, embora as moléculas estejam menos espaçadas e as interações sejam mais fortes 
e mais frequentes. Para os sólidos existem basicamente dois processos (ambos bastantes complexos): 
 Sólido mau condutor de calor: ondas de vibração da estrutura cristalina 
 Sólido bom condutor de calor: movimento dos elétrons livres e vibração da estrutura cristalina. 
 
 
15 
 
2.2. LEI DE FOURIER 
 
 A lei de Fourier é fenomenológica, ou seja, foi desenvolvida a partir da observação dos fenômenos da natureza em experimentos. 
Imaginemos um experimento onde o fluxo de calor resultante é medido após a variação das condições experimentais. Consideremos, 
por exemplo, a transferência de calor através de uma barra de ferro com uma das extremidades aquecidas e com a área lateral isolada 
termicamente, como mostra a Figura 2.3. 
 
Figura 2.3 
 
Com base em experiências, variando a área da seção da barra, a diferença de temperatura e a distância entre as extremidades, chega-se 
a seguinte relação de proporcionalidade: 
 
Equação 2-1 �̇� ∝ 𝑨.
∆𝑻
∆𝒙
 
 
A relação de proporcionalidade pode ser convertida para igualdade através da introdução de um coeficiente de proporcionalidade (k) 
dando origem à Equação de Fourier na forma diferencial (Equação 2-2). 
Equação 2-2 �̇� = −𝒌. 𝑨.
𝒅𝑻
𝒅𝒙
 
�̇�: fluxo de calor por condução (W, no SI); 
K: condutividade térmica do material; 
A: área da seção através da qual o calor flui por condução, medida perpendicularmente à direção do fluxo (m2, no SI); 
𝑑𝑇 𝑑𝑥⁄ : gradiente de temperatura na seção, isto é, taxa de variação da temperatura T com a distância, na direção x do fluxo de 
calor (K/m). Se o regime for permanente (temperaturas não variam com o tempo), o gradiente (𝑑𝑇 𝑑𝑥⁄ ) é constante e a 
distribuição de temperatura é uma linha reta como na Figura 2.4. 
 
A razão do sinal menos na equação de Fourier é que a direção do aumento da distância x deve ser a direção do fluxo de calor positivo 
(Figura 2.4). Como o calor flui do ponto de temperatura mais alta para o de temperatura mais baixa (gradiente negativo), o fluxo só será 
positivo quando o gradiente for positivo (multiplicado por -1). 
 
Figura 2.4 
 
 
16 
 
O coeficiente de proporcionalidade k, denominado de condutividade térmica, que surge da equação de Fourier é uma propriedade de 
cada material e vem exprimir a maior ou menor facilidade que um material apresenta à condução de calor. As unidades de condutividade 
térmica são facilmente obtidas da própria equação de Fourier (Equação 2-2), conforme mostrado a seguir: 
�̇� = −𝑘. 𝐴.
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 ⇒ 𝑘 = − 
�̇�
𝐴.
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
No SI: [𝑘] = 
𝑊
𝑚2.
𝐾
𝑚
 = 
𝑊
𝑚.𝐾
 
No Sistema Métrico: [𝑘] = 
𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ
𝑚2.
°𝐶
𝑚
 = 
𝑊
ℎ.𝑚.°𝐶
 
No Sistema Inglês: [𝑘] = 
𝐵𝑡𝑢/ℎ
𝑓𝑡2.
°𝐹
𝑚
 = 
𝐵𝑡𝑢
ℎ.𝑓𝑡.°𝐹
 
 
Considerando a equação de Fourier, para uma mesma condição de fluxo de calor (�̇�), quando menor a condutividade do material (k), 
maior o gradiente de temperatura (𝑑𝑡 𝑑𝑥⁄ ) no mesmo, ou seja, quanto menor o k, maior a inclinação da linha de distribuição de 
temperatura, ou seja, maior a variação da temperatura no material. 
Os valores numéricos de k variam em extensa faixa dependendo da constituição química, estado físico e temperatura dos materiais. 
Quando o valor de k é elevado o material é considerado condutor térmico e, caso contrário, é isolante térmico. Com relação à 
temperatura, em alguns materiais como o alumínio e o cobre, o k varia muito pouco com a temperatura, porém em outros, como em 
alguns aços, o k varia significativamente com a temperatura. Nestes casos, adota-se como solução de engenharia um valor médio de k 
em um intervalo de temperatura. A Tabela 2.1 abaixo lista a condutividade de alguns materiais (no SI) comuns na temperatura ambiente 
e a Figura 2.5 ilustra as faixas de condutividades térmicas de diferentes grupos de materiais. 
 
Tabela 2.1 
Material Diamante Cobre Ouro Alumínio Gelo Vidro Tijolo Madeira Fibra de Vidro Isopor Ar Parado 
k (W/m.K) 2300 401 317 237 2,21 0,78 0,72 0,17 0,043 0,026 0,024 
 
 
Figura 2.5 
 
 
17 
 
2.3. CONDUÇÃO ATRAVÉS DE PAREDESPLANAS 
 
Consideremos a transferência de calor por condução através de uma parede plana submetida a uma diferença de temperatura. Ou seja, 
submetida a uma fonte de calor, de temperatura constante e conhecida, de um lado, e a um sorvedouro de calor do outro lado, também 
de temperatura constante e conhecida. 
Um bom exemplo disto é a transferência de calor através da parede de um forno de um fogão de cozinha. Consideremos, na Figura 2.6, 
uma parede como esta, que tem espessura L, área transversal A e foi construída com material de condutividade térmica k. Do lado de 
dentro a fonte de calor (combustão de gás) mantém a temperatura na superfície interna da parede constante e igual a T1 e externamente 
o sorvedouro de calor (ambiente externo) faz com que a superfície externa permaneça constante e igual a T2. 
 
Figura 2.6 
Para calcular a transferência de calor por condução através da parede plana, partimos da equação de Fourier (Equação 2-2): 
�̇� = −𝑘. 𝐴.
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
Fazendo a separação de variáveis, obtemos: 
Equação 2-3 �̇�. 𝒅𝒙 = −𝒌. 𝑨. 𝒅𝑻 
 
Na Figura 2.6 observamos que na face interna (x=0) a temperatura é T1 e na face externa (x=L) a temperatura é T2. Considerando que, no 
regime permanente, o fluxo de calor transferido não varia com o tempo e que a área transversal da parede é uniforme e a condutividade 
térmica k é um valor médio, a integração da Equação 2-3, entre os limites que podem ser verificados na Figura 2.6, fica assim: 
q̇ . ∫ dx
𝐿
0
= −k. A. ∫ dT
𝑇2
𝑇1
 
�̇�. (𝐿 − 0) = −𝑘. 𝐴. (𝑇2 − 𝑇1) 
�̇�. 𝐿 = 𝑘. 𝐴. (𝑇1 − 𝑇2) 
Considerando que (T = T1-T2) é a diferença de temperatura entre as faces da parede, o fluxo de calor a que atravessa a parede plana por 
condução é: 
Equação 2-4 �̇� = 
𝑘.𝐴
𝐿
. ∆𝑇 
 
Para melhor entender o significado da Equação 2-4, consideremos um exemplo prático. Suponhamos que o engenheiro responsável pela 
fabricação de um forno de fogão de cozinha necessita reduzir as perdas térmicas pelas paredes do forno por razões econômicas 
(economizar gás). Considerando os termos da Equação 2-4, o engenheiro tem, por exemplo, as opções listadas na Tabela 2.2. 
 
 
 
18 
 
Tabela 2.2 
Var Sentido Ação Explicação 
k Diminuir Utilização de material de baixa condutividade 
Na Equação 2-4 quanto menor a condutividade (k), menor a 
transferência de calor (q̇) 
L Aumentar Aumentar a espessura da parede 
Na Equação 2-4 quanto maior a espessura (L), menor a 
transferência de calor (q̇) 
A Diminuir Diminuir a área do forno 
Na Equação 2-4 quanto menor a área (A), menor a transferência 
de calor (q̇) 
ΔT Diminuir Diminuir a diferença de temperatura 
Na Equação 2-4 quanto menor a diferença de temperatura (∆𝑻), 
menor a transferência de calor (q̇) 
Comentário: Obviamente o engenheiro teria dificuldade em diminuir a área do forno (A) e a diferença de temperatura (∆𝑻), que são 
necessidades inerentes ao projeto. A melhor solução de engenharia seria trabalhar com o isolamento térmico do forno, reduzindo a 
condutividade térmica e aumentando a espessura do isolante, considerando também o aspecto de custo versus benefício. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
Exercício R.2.1. Uma sala tem 15 m de comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura e as paredes são feitas de tijolos com condutividade 
térmica de 0,14 Kcal/h.m.°C e espessura de 25 cm de espessura. Um equipamento condicionador de ar deve manter a face interna das 
paredes a 22 °C, enquanto que a face externa das paredes pode estar até a 40 °C em um dia de verão. Determine o fluxo de calor a ser 
extraído da sala pelo condicionador (em Btu/h). Considere as seguintes hipóteses simplificadoras: sala sem janela e sem pessoas no 
interior. Despreze a transferência de calor pelo piso e pelo teto. (Dado: 1Btu/h = 0,252 Kcal/h). 
, 
Desconsiderando a influência de janelas, a área lateral das paredes, desprezando o piso e o teto, é: 
𝐴 = 2 × (6 × 3) + 2 × (15 × 3) = 126 𝑚2 
Utilizando a Equação 2-4, podemos calcular o fluxo de calor que entra na sala por condução: 
�̇� = 
𝑘.𝐴
𝐿
. ∆𝑇 = 
0,14 (𝑘𝑐𝑎𝑙 ℎ.𝑚.°𝐶⁄ ) ×126 𝑚2
0,25 𝑚
× (40 − 22) °𝐶 = 1270 𝑘𝑐𝑎𝑙 ℎ⁄ 
Este mesmo fluxo de calor deverá ser extraído pelo condicionador de ar. Usando a relação de conversão de kcal/h para Btu/h fornecida: 
�̇� = 1270 𝑘𝑐𝑎𝑙 ℎ⁄ ×
1 𝐵𝑡𝑢 ℎ⁄
0,252 𝑘𝑐𝑎𝑙 ℎ⁄
= 5039,6 𝐵𝑡𝑢 ℎ⁄ 
A potência térmica que deve ser removida de um ambiente condicionado para manter a temperatura em um valor estipulado costuma 
ser chamada de carga térmica e envolve, além da transferência de calor pelas estruturas da construção, as condições climáticas, o perfil 
de ocupação pelas pessoas, a presença de iluminação e equipamentos, etc. 
 
Exercício R.2.2. As faces internas das paredes de uma casa devem ser mantidas a 20 °C, enquanto que a temperatura média nas faces 
externas é -20 °C. Para isto, um sistema de aquecimento utiliza óleo combustível. As paredes da casa medem 25 cm de espessura, e foram 
construídas com tijolos de condutividade térmica de 0,75 W/m.K. 
a) calcule a perda de calor para cada metro quadrado de superfície por hora. 
 
𝑇1 = 40 °𝐶 𝑇2 = 22 °𝐶 
𝑘 = 0,14 𝑘𝑐𝑎𝑙 ℎ. 𝑚2. °𝐶⁄ 
𝐿 = 25 𝑐𝑚 = 0,25 𝑚 
 
 
19 
 
b) considerando que a área total de transferência de calor das paredes da casa é 250 m2 e que o poder calorífico do óleo combustível é 
de 37.215 kJ/litro, determine o volume de óleo combustível a ser utilizado no sistema de aquecimento durante um período de 24 h. 
Supor o rendimento do sistema de aquecimento igual a 70%. 
 
a) desprezando o efeito das janelas, utilizamos a equação para a condução em paredes planas. Portanto, o fluxo de calor transferido por 
cada metro quadrado de parede (A = 1 m2) é: 
�̇� = 
𝑘.𝐴
𝐿
. ∆𝑇 = 
0,75 (𝑊 𝑚.𝐾⁄ ) ×1 𝑚2
0,25 𝑚
× [20 − (−20)] 𝐾 = 120 𝑊 (por m2 de área) 
b) esta perda de calor pelas paredes da casa deve ser reposta pelo sistema de aquecimento, de modo a manter o interior a 20 °C. A perda 
pela área total do edifício de 250 m2 é: 
�̇� = 120 
𝑊
𝑚2
 × 250 𝑚2 = 30.000 𝑊 = 30.000 𝐽 𝑠⁄ = 30 
𝑘𝐽
𝑠⁄ 
O tempo de utilização do sistema de aquecimento é 24 horas. Neste período a energia perdida para o exterior é: 
�̇� =
𝑄
𝑡
 ⇒ 𝑄 = 𝑞 ̇ × 𝑡 = 30 𝑘𝐽 𝑠⁄ × 24 ℎ × 60 
𝑚𝑖𝑛
ℎ
 × 60 
𝑠
𝑚𝑖𝑛
 = 2.592.000 𝑘𝐽 
Com o rendimento do sistema é 70% a quantidade de calor a ser fornecida pelo óleo é: 
𝑄 =
𝑄
𝜂
 2.592.000 𝑘𝐽
0,70
= 3.702.857 𝑘𝐽 
Cada quilo de óleo pode fornecer 37215 kJ/litro, então o volume de óleo combustível é: 
𝑉ó𝑙𝑒𝑜 =
3.702.857 𝑘𝐽
37.215 𝑘𝐽 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜⁄
= 99,5 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
Exercício R.2.2. (Questão ENADE). Uma placa é fabricada com três lâminas de materiais diferentes. Um ensaio foi realizado em regime 
permanente, sem geração interna de calor, para verificar qual dos materiais possui a maior condutividade térmica. O gráfico de 
comportamento da temperatura nesse experimento é apresentado a seguir. 
 
Com base nessa situação, avalie as seguintes asserções e a relação proposta para elas: 
I. No experimento, constata-se que, entre os três materiais da placa, o material B tem maior condutividade e o material A tem 
menor condutividade. 
II. Como o fluxo de calor no experimento é unidimensional e constante, quanto maior for o valor de (𝒅𝑻 𝒅𝒙⁄ ), maior será a 
condutividade térmica do material. 
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta: 
A. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
B. As asserçõesI e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
C. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
𝑇1 = 20 °𝐶 𝑇2 = −20 °𝐶 
𝑘 = 0,75 𝑊 𝑚. 𝐾⁄ 
𝐿 = 25 𝑐𝑚 = 0,25 𝑚 
 
 
20 
 
D. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
E. As asserções I e II são proposições falsas. 
Resolução: 
A afirmação I é verdadeira, pois materiais de baixa condutividade (isolantes) resultam em redução da temperatura ao longo de suas 
espessuras. No caso, o material A tem baixo valor de k, pois a temperatura diminui com taxa alta. Por outro lado, o material B apresenta 
a menor taxa de variação da temperatura e, portanto, tem maior condutividade. 
A afirmação II é falsa, pois analisando a equação a equação de Fourier, mostrada abaixo, verificamos que, no caso de fluxo de calor 
unidimensional ser constante, quanto maior for a condutividade térmica do material (k), menor será o valor do gradiente (𝑑𝑇 𝑑𝑥⁄ ). 
�̇� = −𝑘. 𝐴.
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
A resposta correta é a letra “C” (a asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa) 
 
2.4. ANALOGIA ENTRE RESISTÊNCIA TÉRMICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA 
 
Dois sistemas são análogos quando eles obedecem a equações semelhantes. Isto significa que a equação de descrição de um sistema 
pode ser transformada em uma equação para outro sistema pela simples troca dos símbolos das variáveis. Por exemplo, a Equação 2-4 
que fornece o fluxo de calor através de uma parede plana pode ser colocada na seguinte forma: 
Equação 2-5 �̇� = 
𝒌.𝑨
𝑳
. ∆𝑻 = 
∆𝑻
𝑳
𝒌 .𝑨
 
O denominador e o numerador da Equação 2-5 podem ser entendidos assim: 
 T: a diferença entre a temperatura da face quente e da face fria, consiste no potencial que causa a transferência de calor 
 
𝐿
𝑘 .𝐴
 : é equivalente a uma resistência térmica (R) que a parede oferece à transferência de calor 
Portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser expresso da seguinte forma: 
Equação 2-6 �̇� = 
∆𝑇
𝑅
 𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑅 = 
𝐿
𝑘 .𝐴
 (resistência térmica da parede plana) 
Se substituirmos na Equação 2-6 o símbolo do potencial de temperatura (ΔT) pelo de potencial elétrico, isto é, a diferença de tensão 
(ΔU), e o símbolo da resistência térmica (R) pelo da resistência elétrica (Re), obtemos a Equação 2-7 (lei de Ohm) para i, a intensidade de 
corrente elétrica: 
Equação 2-7 �̇� = 
∆𝑼
𝑹𝒆
 
Dada esta analogia, é comum a utilização de uma notação semelhante à usada em circuitos elétricos, quando representamos a resistência 
térmica de uma parede ou associações de paredes. Assim, uma parede de resistência R, submetida a um potencial T e atravessada por 
um fluxo de calor �̇�, pode ser representada como na Figura 2.7: 
 
Figura 2.7 
 
 
21 
 
2.5. ASSOCIAÇÃO DE PAREDES PLANAS EM SÉRIE 
 
Consideremos um sistema de paredes planas associadas em série, submetidas a uma fonte de calor, de temperatura constante e 
conhecida, de um lado e a um sorvedouro de calor do outro lado, também de temperatura constante e conhecida. Assim, haverá a 
transferência de um fluxo de calor contínuo no regime permanente através da parede composta. Como exemplo, analisemos a 
transferência de calor através da parede de um forno, que pode ser composta de uma camada interna de refratário (condutividade k1 e 
espessura L1), uma camada intermediária de isolante térmico (condutividade k2 e espessura L2) e uma camada externa de chapa de aço 
(condutividade k3 e espessura L3). A figura 3.7 ilustra o perfil de temperatura ao longo da espessura da parede composta: 
 
Figura 2.8 
O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada uma das paredes planas individualmente: 
Equação 2-8 �̇� = 
𝒌𝟏.𝑨𝟏
𝑳𝟏
. (𝑻𝟏 − 𝑻𝟐) �̇� = 
𝒌𝟐.𝑨𝟐
𝑳𝟐
. (𝑻𝟐 − 𝑻𝟑) �̇� = 
𝒌𝟑.𝑨𝟑
𝑳𝟑
. (𝑻𝟑 − 𝑻𝟒) 
Colocando em evidência as diferenças de temperatura na Equação 2-8 e somando membro a membro, obtemos: 
 (𝑇1 − 𝑇2) =
�̇�. 𝐿1 
𝑘1. 𝐴1
 
(𝑇2 − 𝑇3) = 
�̇�. 𝐿2
𝑘2. 𝐴2
 
 (𝑇3 − 𝑇4) = 
�̇�. 𝐿3
𝑘3. 𝐴3
 
𝑇1 − 𝑇2 + 𝑇2 − 𝑇3 + 𝑇3 − 𝑇4 =
�̇�. 𝐿1 
𝑘1. 𝐴1
+
�̇�. 𝐿2
𝑘2. 𝐴2
+ 
�̇�. 𝐿3
𝑘3. 𝐴3
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
 
Eliminando as temperaturas T2 e T3 e colocando o fluxo de calor (�̇�) em evidência, obtemos: 
Equação 2-9 𝑻𝟏 − 𝑻𝟒 = �̇�. [
𝑳𝟏 
𝒌𝟏.𝑨𝟏
+
𝑳𝟐
𝒌𝟐.𝑨𝟐
+ 
 𝑳𝟑
𝒌𝟑.𝑨𝟑
] 
Substituindo os valores das resistências térmicas em cada parede na Equação 2-9, obtemos o fluxo de calor pela parede composta: 
𝑇1 − 𝑇4 = �̇�. [𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3] 
Equação 2-10 �̇� = 
𝑻𝟏−𝑻𝟒
𝑹𝟏+𝑹𝟐+ 𝑹𝟑
 
Portanto, para o caso geral, em que temos uma associação de “n” paredes planas associadas em série o fluxo de calor é dado por: 
Equação 2-11 �̇� = 
(∆𝑻)𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝑹𝒕
 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑹𝒕 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 + ⋯ . + 𝑹𝒏 
 
2.6. ASSOCIAÇÃO DE PAREDES PLANAS EM PARALELO 
 
Consideremos um sistema de paredes planas associadas em paralelo, submetidas a uma fonte de calor, de temperatura constante e 
conhecida, de um lado e a um sorvedouro de calor do outro lado, também de temperatura constante e conhecida, do outro lado. Assim, 
haverá a transferência de um fluxo de calor contínuo no regime permanente através da parede composta. Como exemplo, analisemos a 
L L L
1
2 3
k k k
1
2 3
q
.
T
T
T
1
2
3
4
T
 
 
22 
 
transferência de calor através da parede de um forno, que pode ser composta de uma metade inferior de refratário especial 
(condutividade k2) e uma metade superior de refratário comum (condutividade k1), como mostra a Figura 2.9. Faremos as seguintes 
considerações: 
 Todas as paredes estão sujeitas a mesma diferença de temperatura; 
 As paredes podem ser de materiais e/ou dimensões diferentes; 
 O fluxo de calor total é a soma dos fluxos por cada parede individual. 
 
Figura 2.9 
 
O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada uma das paredes planas individualmente: 
Equação 2-12 �̇�𝟏 = 
𝒌𝟏.𝑨𝟏
𝑳𝟏
. (𝑻𝟏 − 𝑻𝟐) �̇�𝟐 = 
𝒌𝟐.𝑨𝟐
𝑳𝟐
. (𝑻𝟏 − 𝑻𝟐) 
O fluxo de calor total é igual à soma dos fluxos da Equação 2-12: 
Equação 2-13 �̇� = �̇�𝟏 + �̇�𝟐 = 
𝒌𝟏.𝑨𝟏
𝑳𝟏
. (𝑻𝟏 − 𝑻𝟐) + 
𝒌𝟐.𝑨𝟐
𝑳𝟐
. (𝑻𝟏 − 𝑻𝟐) = [
𝒌𝟏.𝑨𝟏
𝑳𝟏
+ 
𝒌𝟐.𝑨𝟐
𝑳𝟐
] . (𝑻𝟏 − 𝑻𝟐) 
A partir da definição de resistência térmica para parede plana (Equação 2-6), temos que: 
Equação 2-14 𝑹 = 
𝑳
𝒌 .𝑨
 ⇒ 
𝟏
𝑹
=
𝒌 .𝑨
𝑳
 
Substituindo a Equação 2-14 na Equação 2-13, obtemos: 
�̇� = [
1
𝑅1
+
1
𝑅2
] . (𝑇1 − 𝑇2) = 
𝑇1−𝑇2
𝑅𝑡
 onde: 
1
𝑅𝑡
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
 
Portanto, para o caso geral em que temos uma associação de “n” paredes planas associadas em paralelo o fluxo de calor é dado por: 
Equação 2-15 �̇� = 
(∆𝑇)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑅𝑡
 𝑜𝑛𝑑𝑒: 
1
𝑅𝑡
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
 
Em uma configuração em paralelo, embora se tenha transferência de calor bidimensional, é frequentemente razoável adotar condições 
unidimensionais. Nestas condições, admite-se que as superfícies paralelas à direção x são isotérmicas. Entretanto, a medida que a 
diferença entre as condutividades térmicas das paredes(k1 e k2) aumenta, os efeitos bidimensionais tornam-se cada vez mais 
importantes. 
Exercícios Resolvidos 
 
Exercício R.2.3. (Questão ENADE 2014). Visando ao conforto térmico e à economia de energia, um engenheiro propõe a instalação de 
um sistema de isolamento nas janelas de uma unidade industrial situada em um local frio, com vento intenso e constante, onde a 
temperatura do ambiente externo é de 4,8 °C ao longo do ano. Para manter a temperatura da face interna da janela em 25 °C, as janelas 
foram adaptadas de modo a criar uma lacuna de 50 mm preenchida por ar estagnado entre duas lâminas de vidro com espessura de 10 
mm cada, conforme o esquema abaixo. 
 
 
 
23 
 
 
Com base no exposto e admitindo que o sistema se encontra no estado estacionário, pede-se: 
a) represente, por meio de um esquema, a direção do fluxo de calor no sistema e os perfis de temperatura nas lâminas de vidro e na 
camada de ar estagnado; 
b) calcule o fluxo de calor que deve ser suprido no sistema para que a temperatura da face interna da janela seja mantida em 25 °C nas 
condições especificadas no problema; 
c) explique o que acontecerá se a camada de ar interna não for estagnada, ou seja, se houver convecção nesta região. 
Resolução 
a) a figura abaixo apresenta um esquema em que a direção do fluxo de calor e os perfis de temperatura nas duas lâminas de vidro e na 
camada de ar são representados, observando-se que a inclinação no vidro é menor do que a no ar devido a maior condutividade do vidro. 
 
b) o fluxo de calor pode ser calculado considerando que a temperatura da parede externa é igual ao do ambiente externo e que há 
somente condução na camada de ar interna. (ar estagnado). Para uma área unitária de 1 m2, temos 
𝐴 = 1 𝑚2 𝐿𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 = 10 𝑚𝑚 = 0,01𝑚 𝐿𝑎𝑟 = 50 𝑚𝑚 = 0,05 𝑚 𝑘𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 = 1 𝑊 𝑚. 𝐾⁄ 𝑘𝑎𝑟 = 0,025 𝑊 𝑚. 𝐾⁄ 
Cálculo das resistências térmicas: 
𝑅𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 = 
𝐿𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜
𝑘𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 . 𝐴
=
0,01
1 × 1
= 0,01 
𝐾
𝑊
 𝑅𝑎𝑟 = 
𝐿𝑎𝑟
𝑘𝑎𝑟 . 𝐴
=
0,05
0,025 × 1
= 2 
𝐾
𝑊
 
Cálculo do fluxo de calor por m2 de janela: 
�̇� = 
(𝑇1 − 𝑇2)
𝑅𝑡
 = 
(𝑇1 − 𝑇2)
𝑅𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 + 𝑅𝑎𝑟 + 𝑅𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜
=
(25 − 4,8) 𝐾
0,01 + 2 + 0,01 𝐾 𝑊⁄
= 10 𝑊 
c) caso a camada de ar interna não for estagnada, na resposta deverá ser mencionado pelo menos um dos itens abaixo: 
 Haverá aumento no fluxo de calor ou maior troca térmica ou maior perda de calor; 
 Haverá diminuição da resistência térmica à transferência de calor; 
 Mais energia térmica deverá ser fornecida para manter a temperatura da face interna da janela em 25 °C (maior gasto de energia 
ou haverá menor “eficiência” no isolamento térmico); 
 A temperatura interna irá diminuir caso a energia térmica fornecida seja mantida. 
 
Exercício R.2.4. A figura abaixo mostra, fora de escala, um corte em uma parede de 1 metro de altura, 1 metro de largura e espessura 
total mede 16 cm. A parede é composta por vários materiais associados e as condutividades térmicas de cada material da parede são 
indicadas na tabela abaixo. Para uma temperatura da face quente de 1000 °C e da face fria de 100 °C, determine o fluxo de calor 
transferido através da parede composta: 
 
 
24 
 
 
Usando a analogia elétrica, o circuito equivalente à parede composta fica assim: 
 
As espessuras das paredes são obtidas da figura: 
𝐿𝑎 = 𝐿𝑒 = 3 𝑐𝑚 = 003 𝑚 𝐿𝑏 = 𝐿𝑐 = 𝐿𝑑 = 2 𝑐𝑚 = 002 𝑚 𝐿𝑓 = 𝐿𝑔 = 8 𝑐𝑚 = 0,08 𝑚 
Para uma área unitária de transferência de calor (A= 1x1 = 1 m2), as áreas de cada camada são: 
𝐴𝑎 = 𝐴𝑒 = 1 × 1 = 1 𝑚
2 𝐴𝑏 = 𝐴𝑑 =
20
100
× 1 = 0,2 𝑚2 𝐴𝑐 =
60
100
× 1 = 0,6 𝑚2 𝐴𝑓 = 𝐴𝑔 =
50
100
× 1 = 0,5 𝑚2 
As resistências térmicas de cada parede individual são: 
𝑅𝑎 = 
𝐿𝑎
𝑘𝑎 . 𝐴𝑎
=
0,03 𝑚
100
𝑊
𝑚. 𝐾 × 1 𝑚
2
= 0,0003
𝐾
𝑊
 𝑅𝑏 = 
0,02 𝑚
40
𝑊
𝑚. 𝐾 × 0,2 𝑚
2
= 0,0025
𝐾
𝑊
 
𝑅𝑐 = 
0,02 𝑚
10
𝑊
𝑚. 𝐾 × 0,6 𝑚
2
= 0,003333
𝐾
𝑊
 𝑅𝑑 = 
0,02 𝑚
50
𝑊
𝑚. 𝐾 × 0,2 𝑚
2
= 0,002
𝐾
𝑊
 
𝑅𝑒 = 
0,03 𝑚
30
𝑊
𝑚. 𝐾 × 1 𝑚
2
= 0,001
𝐾
𝑊
 𝑅𝑓 = 
0,08 𝑚
40
𝑊
𝑚. 𝐾 × 0,5 𝑚
2
= 0,004
𝐾
𝑊
 𝑅𝑓 = 
0,08 𝑚
20
𝑊
𝑚. 𝐾 × 0,5 𝑚
2
= 0,008
𝐾
𝑊
 
Para os circuitos paralelos, temos: 
1
𝑅𝑏𝑐𝑑
= 
1
𝑅𝑏
+
1
𝑅𝑐
+
1
𝑅𝑑
=
1
0,0025
+
1
0,003333
+
1
0,002
= 1200 ⟹ 𝑅𝑏𝑐𝑑 = 0,000833
𝐾
𝑊
 
1
𝑅𝑓𝑔
= 
1
𝑅𝑓
+
1
𝑅𝑔
+
1
𝑅𝑑
=
1
0,004
+
1
0,008
= 90 ⟹ 𝑅𝑏𝑐𝑑 = 0,002667 
𝐾
𝑊
 
Para os circuitos em série: 
𝑅𝑡 = 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏𝑐𝑑 + 𝑅𝑒 + 𝑅𝑓𝑔 = 0,0003 + 0,00833 + 0,001 + 0,002667 = 0,0048
𝐾
𝑊
 
Portanto, 
�̇� = 
(∆𝑇)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑅𝑡
= 
(1000 − 100) 𝐾
0,0048
𝐾
𝑊
= 187.500 𝑊 
 
Exercício R.2.5. Obter a equação para o fluxo de calor em uma parede plana na qual a condutividade térmica (k) varia com a temperatura 
de acordo com a seguinte função: k = a + b . T, onde a e b são constantes e T a temperatura. 
Partindo da equação de Fourier, temos: 
Material a b c d e f g 
k (W/m.K) 100 40 10 50 30 40 20 
 
 
25 
 
�̇� = −𝑘. 𝐴.
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
�̇�. 𝒅𝒙 = −𝒌. 𝑨. 𝒅𝑻 
Agora o k é uma função da temperatura, portanto não pode ser retirada para fora da integral. A integração da equação acima, entre os 
limites que podem ser verificados na figura 3.5, fica assim: 
�̇� . ∫ 𝑑𝑥
𝐿
0
= −𝐴. ∫ (𝑎 + 𝑏𝑇)𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
 
�̇� . ∫ 𝑑𝑥
𝐿
0
= −𝐴. [𝑎. ∫ 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
+ 𝑏. ∫ 𝑇. 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
] 
�̇�. (𝐿 − 0) = −𝐴. [ 𝑎. (𝑇2 − 𝑇1) +
𝑏
2
. (𝑇2
2 − 𝑇1
2)] 
�̇�. 𝐿 = 𝐴. [𝑎. (𝑇1 − 𝑇2) +
𝑏
2
. (𝑇1
2 − 𝑇2
2)] 
�̇� = 
𝑎. 𝐴
𝐿
. (𝑇1 − 𝑇2) +
𝑏. 𝐴
2. 𝐿
. (𝑇1
2 − 𝑇2
2) 
 
2.7. CONDUÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DE CONFIGURAÇÕES CILÍNDRICAS 
 
Consideremos um cilindro vazado submetido à uma diferença de temperatura entre a superfície interna e a superfície externa, como 
ilustra a Figura 2.10. Se a temperatura de toda a superfície interna for constante e igual a T1, enquanto que a temperatura de toda a 
superfície externa se mantém constante e igual a T2, teremos uma transferência de calor por condução unidimensional e no regime 
permanente. Como exemplo, analisemos a transferência de calor em uma tubulação de comprimento L que conduz vapor em alta 
temperatura. Neste caso calor é transferido de dentro para fora. 
 
Figura 2.10 
O fluxo de calor que atravessa a parede cilíndrica poder ser obtido através da equação de Fourier, ou seja: 
Equação 2-16 �̇� = −𝒌 . 𝑨 .
𝒅𝑻
𝒅𝒓
̇
 
Onde (
𝑑𝑇
𝑑𝑟
) é o gradiente de temperatura na direção radial 
Para configurações cilíndricas a área é uma função do raio: 
Equação 2-17 𝑨 = 𝟐 . 𝝅 . 𝒓 . 𝑳 
Levando a Equação 2-17 na Equação 2-16, obtemos: 
�̇� = −𝑘 . 2 . 𝜋 . 𝑟 . 𝐿 .
𝑑𝑇
𝑑𝑟
̇
 
 
 
26 
 
Considerando regime permanente (�̇� é constante), fazendo a separação de variáveis e integrando entre de r1 a r2 e de T1 a T2, conforme 
condições da Figura 2.10, chega-se a: 
�̇�. ∫
𝑑𝑟
𝑟
𝑟2
𝑟1
= −𝑘 . 2 . 𝜋 . 𝐿 . ∫ 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
 
�̇�. (ln 𝑟2 − ln 𝑟1) = −𝑘 . 2 . 𝜋 . 𝐿 . (𝑇2 − 𝑇1) 
Utilizando propriedades dos logaritmos e usando o sinal “-“ para inverter o ΔT, obtemos: 
�̇�. ln(𝑟2
𝑟1⁄ ) = 𝑘 . 2 . 𝜋 . 𝐿 . (𝑇1 − 𝑇2) 
O fluxo de calor através de uma parede cilíndrica será então: 
Equação 2-18 �̇� =
𝑘 .2 .𝜋 .𝐿 
𝑙𝑛(
𝑟2
𝑟1⁄ )
. 𝛥𝑇 
Para melhor entender o significado da Equação 2-18 consideremos um exemplo prático. Suponhamos que o engenheiro responsável pela 
linha de distribuição de vapor em uma empresa necessita reduzir as perdas térmicas pelas paredes da tubulação por razões econômicas 
(economizar energia nas caldeiras que produzem o vapor). Considerando os termos da Equação 2-18, o engenheiro tem, por exemplo, 
as opções listadas na Tabela 2.3. 
 
Tabela 2.3 
Var Sentido Ação Explicação 
k Diminuir Utilização de material de baixa condutividade 
Na Equação 2-18 quanto menor a condutividade (k), menor a 
transferência de calor (q̇) 
𝒓𝟐
𝒓𝟏
 Aumentar 
Aumentar o 𝑟2 𝑟1⁄ é o mesmo que aumentar a 
espessura da parede da tubulação 
Na Equação 2-18 quanto maior a espessura da tubulação, menor 
a transferência de calor (q̇) 
L Diminuir Diminuir o comprimento da tubulação 
Na Equação 2-18 quanto menor o comprimento (L), menor a 
transferência de calor (q̇) 
ΔT Diminuir Diminuir a diferença de temperatura 
Na Equação 2-18 quanto menor a diferença de temperatura 
(∆𝑻), menor a transferência de calor (q̇) 
Comentário: Obviamente o engenheiro teria dificuldade em diminuir o comprimento da tubulação (L), e a diferença de temperatura 
(∆𝑻), que são itens inerentes ao projeto. A melhor solução de engenharia seria trabalhar no isolamento térmico do tubo, reduzindo 
a condutividade térmica e aumentando a espessura do isolante, considerando também o aspecto de custo versus benefício. 
 
O conceito de resistência térmica também pode ser aplicado à parede cilíndrica. Devido à analogia com a eletricidade, um fluxo de calor 
na parede cilíndrica também pode ser representado como: 
�̇� =
𝑘 . 2 . 𝜋 . 𝑟. 𝐿 
𝑙𝑛(
𝑟2
𝑟1⁄ )
. 𝛥𝑇 =
𝛥𝑇
𝑙𝑛(
𝐫𝟐
𝐫𝟏⁄ )
𝑘 . 2 . 𝜋 . 𝐿
= 
𝛥𝑇
𝑅
 
Então para a parede cilíndrica, a resistência térmica é: 
Equação 2-19 𝑹 = 
𝒍𝒏(
𝒓𝟐
𝒓𝟏⁄ )
𝒌 .𝟐 .𝝅 .𝑳
 
Para o caso geral em que temos uma associação de paredes “n” cilíndricas associadas em série, por analogia com paredes planas, o fluxo 
de calor é dado por: 
�̇� = 
(∆𝑇)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑅𝑡
 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅𝑡 = 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ . + 𝑅𝑛 
Paredes cilíndrica associadas em paralelo não são comuns, mas também seria tratado de maneira similar ao caso das paredes planas: 
�̇� = 
(∆𝑇)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑅𝑡
 𝑜𝑛𝑑𝑒: 
1
𝑅𝑡
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
 
 
 
27 
 
2.8. CONDUÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DE CONFIGURAÇÕES ESFÉRICAS 
 
Uma das utilizações mais frequentes das configurações esféricas na indústria é na armazenagem de fluidos em baixa temperatura. Devido 
a uma maior relação volume/superfície da esfera, os fluxos de calor são minimizados. 
Consideremos uma esfera oca submetida à uma diferença de temperatura entre a superfície interna e a superfície externa, como pode 
ser visto na Figura 2.11. Se a temperatura da superfície interna for constante e igual a T1, enquanto que a temperatura da superfície 
externa se mantém constante e igual a T2, teremos uma transferência de calor por condução no regime permanente. Como exemplo 
analisemos a transferência de calor em um reservatório esférico de raio r que contém um fluido em alta temperatura: 
 
Figura 2.11 
O fluxo de calor que atravessa a parede esférica poder ser obtido através da equação de Fourier, ou seja: 
Equação 2-20 �̇� = −𝒌 . 𝑨 .
𝒅𝑻
𝒅𝒓
̇
 
Onde (
𝑑𝑇
𝑑𝑟
) é o gradiente de temperatura na direção radial 
Para configurações esféricas a área é uma função do raio: 
Equação 2-21 𝑨 = 𝟒 . 𝝅 . 𝒓𝟐 
Levando a Equação 2-21 na Equação 2-20, obtemos: 
�̇� = −𝑘 . 4 . 𝜋 . 𝑟2 .
𝑑𝑇
𝑑𝑟
̇
 
Considerando regime permanente (�̇� é constante), fazendo a separação de variáveis e integrando entre de r1 a r2 e de T1 a T2, conforme 
condições da Figura 2.11, chega-se a: 
�̇�. ∫
𝑑𝑟
𝑟2
𝑟2
𝑟1
= −𝑘 . 4 . 𝜋 . ∫ 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
 
�̇�. ∫ 𝑟−2𝑑𝑟
𝑟2
𝑟1
= −𝑘 . 4 . 𝜋 . ∫ 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
 
�̇�. [−𝑟2
−1 − (−𝑟1
−1)] = −𝑘 . 4 . 𝜋 . (𝑇2 − 𝑇1) 
Manipulando e usando o sinal “-“ para inverter o ΔT, obtemos: 
�̇�. (−
1
𝑟2
+
1
𝑟1
) = 𝑘 . 4 . 𝜋 . (𝑇1 − 𝑇2) 
�̇�. (
1
𝑟1
−
1
𝑟2
) = 𝑘 . 4 . 𝜋 . ∆𝑇 
O fluxo de calor através de uma parede esférica será então: 
Equação 2-22 �̇� =
𝑘 .4 .𝜋
(
1
𝑟1
−
1
𝑟2
)
 . ∆𝑇 
Para melhor entender o significado da Equação 2-22 consideremos um exemplo prático. Suponhamos que o engenheiro responsável um 
reservatório esférico em uma empresa necessita reduzir as perdas térmicas pelas paredes do reservatório por razões econômicas 
(economizar energia). Considerando os termos da Equação 2-22, o engenheiro tem, por exemplo, as opções listadas na Tabela 2.4. 
 
 
28 
 
Tabela 2.4 
Var Sentido Ação Explicação 
k Diminuir 
Utilização de material de baixa 
condutividade 
Na Equação 2-22 quanto menor a condutividade (k), menor 
a transferência de calor (q̇) 
𝟏
𝒓𝟏
−
𝟏
𝒓𝟐
 Aumentar 
Aumentar esta relação é o mesmo que 
aumentar a espessura da parede 
Na Equação 2-22 quanto maior a espessura da tubulação, 
menor a transferência de calor (q̇) 
ΔT Diminuir Diminuir a diferença de temperatura 
Na Equação 2-22 quanto menor a diferença de temperatura 
(∆𝑻), menor a transferência de calor (q̇) 
Comentário: Obviamente o engenheiro teria dificuldade em diminuir a diferença de temperatura (∆𝑻), que é uma necessidade 
inerente ao projeto. A melhor solução de engenharia seria trabalhar com o isolamento térmico do reservatório, reduzindo a 
condutividade térmica e aumentando a espessura do isolante, considerando também o aspecto de custo versus benefício. 
 
O conceito de resistência térmica também pode ser aplicado à parede esférica. Devido à analogia com a eletricidade, um fluxo de calor 
na parede esférica também pode ser representado como: 
�̇� =
𝑘 . 4 . 𝜋
(
1
𝑟1
−
1
𝑟2
)
 . ∆𝑇 =
𝛥𝑇
(
1
𝑟1
−
1
𝑟2
)
𝑘 . 4 . 𝜋
= 
𝛥𝑇
𝑅
 
Então para a parede esférica, a resistência térmica é: 
Equação 2-23 𝑹 = 
(
𝟏
𝒓𝟏
−
𝟏
𝒓𝟐
)
𝒌 .𝟒 .𝝅
 
Para o caso geral em que temos uma associação de “n” paredes esféricas associadas em série, por analogia com paredes planas, o fluxo 
de calor é dado por: 
�̇� = 
(∆𝑇)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑅𝑡
 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅𝑡 = 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ . + 𝑅𝑛 
Paredes esféricas associadas em paralelo não são comuns, mas também seria tratado de maneira similar ao caso das paredes planas: 
�̇� = 
(∆𝑇)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑅𝑡
 𝑜𝑛𝑑𝑒: 
1
𝑅𝑡
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
Exercício R.2.6. Uma tubulação industrial tem a configuração de parede cilíndrica, composta de três camadas de diferentes materiais 
(tubo de metal, isolante e revestimento), conforme esquema simplificado da figura abaixo. Sendo fornecidos os dados abaixo, calcular: 
a) o fluxo de calor transferido por metro de comprimento do tubo 
,b) a temperatura na interface entre a camada isolante e a camada de revestimento 
 
𝑟1 = 90 𝑚𝑚 = 0,09 𝑚 𝑟2 = 100 𝑚𝑚 = 0,10 𝑚 
𝑟3 = 120 𝑚𝑚 = 0,12 𝑚 𝑟2 = 130 𝑚𝑚 = 0,13 𝑚 
𝑘𝐴 = 22,0 𝑊 𝑚. 𝐾 (tubo metálico)⁄ 
𝑘𝐵 = 0,051 𝑊 𝑚. 𝐾 (camada isolante)⁄ 
𝑘𝐴 = 0,212 𝑊 𝑚. 𝐾 (camada de revestimento)⁄ 
𝑇1 = 210 °𝐶 (superfície interna do tubo) 
𝑇2 = 30 °𝐶 (superfícieexterna do revestimento) 
 
 
 
29 
 
a) considerando um comprimento do duto de um metro (L = 1 m), temos: 
𝑅𝐴 = 
ln (
𝑟2
𝑟1
)
𝑘𝐴. 2. 𝜋. 𝐿
=
ln (
0,10
0,09)
22,0
𝑊
𝑚. 𝐾 × 2 × 𝜋 × 1𝑚
= 0,000762
𝐾
𝑊
 
𝑅𝐵 =
ln (
0,12
0,10)
0,051
𝑊
𝑚. 𝐾 × 2 × 𝜋 × 1𝑚
= 0,569
𝐾
𝑊
 𝑅𝐶 =
ln (
0,13
0,12)
0,212
𝑊
𝑚. 𝐾 × 2 × 𝜋 × 1𝑚
= 0,0601
𝐾
𝑊
 
Todas as resistências estão em série: 
𝑅𝑡 = 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 + 𝑅𝐶 = 0,000762 + 0,569 + 0,0601 = 0,630 K/W 
�̇� = 
(∆𝑇)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑅𝑡
= 
𝑇1−𝑇2
𝑅𝑡
= 
210−30
0,0630
= 285,7 𝑊 
b) para calcular a temperatura de interface isolante/revestimento usamos a analogia com a eletricidade, de modo que o fluxo de calor 
calculado no item anterior pode ser expresso como: 
 
�̇� =
𝑇𝑖𝑛𝑡 − 𝑇2
𝑅𝐶
 ⟹ 285,7 =
𝑇𝑖𝑛𝑡 − 30
0,0601
 ⟹ 𝑇𝑖𝑛𝑡 = 47,2 °𝐶 
Observe que também poderia ser usada a expressão abaixo para obter o mesmo resultado 
�̇� =
𝑇1 − 𝑇𝑖𝑛𝑡
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
 ⟹ 285,7 =
210 − 𝑇𝑖𝑛𝑡
0,000762 + 0,569
 ⟹ 𝑇𝑖𝑛𝑡 = 47,2 °𝐶 
 
Exercício R.2.7. Um tanque de aço (k=40 Kcal/h.m.°C), de formato esférico e raio interno de 0,5 m e espessura de 5 mm, é isolado com 
1½" de lã de rocha (k=0,04 Kcal/h.m.°C). A temperatura da face interna do tanque é 220 °C e a da face externa do isolante é 30 °C. Após 
alguns anos de utilização, a lã de rocha foi substituída por outro isolante, também de 1½" de espessura. Foi então notado um aumento 
de 10% no calor perdido para o ambiente (mantiveram-se as demais condições). Determinar: 
a) fluxo de calor pelo tanque isolado com lã de rocha; 
b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante; 
c) qual deveria ser a espessura (em polegadas) do novo isolante para que se tenha o mesmo fluxo de calor que era trocado com a lã de 
rocha. 
 
 
 
 
 
 
a) no caso, temos duas resistências térmicas de parede esférica associadas em série: 
𝑅𝑎ç𝑜
𝐶𝐷 =
(1 𝑟1⁄ −
1
𝑟2⁄ )
𝑘1.4.𝜋
=
(1 0,5⁄ −
1
0,505⁄ )
40× 4×𝜋
= 0,0000394 
ℎ.°𝐶
𝑘𝑐𝑎𝑙
 𝑅𝑖𝑠𝑜
𝐶𝐷 = 
(1 𝑟2⁄ −
1
𝑟3⁄ )
𝑘2.4.𝜋
= 
(1 0,505⁄ −
1
0,5431⁄ )
0,04× 4×𝜋
= 0,2764 
ℎ.°𝐶
𝑘𝑐𝑎𝑙
 
 Observando que a resistência do aço é muito menor que a do isolante, podemos calcular o fluxo de calor assim: 
�̇� = 
𝑇3 − 𝑇1
𝑅𝑎ç𝑜𝐶𝐷 + 𝑅𝑖𝑠𝑜
𝐶𝐷 = 
(220 − 30) °𝐶
(0,0000394 + 0,2764) 
ℎ. °𝐶
𝑘𝑐𝑎𝑙 
= 687,41
𝑘𝑐𝑎𝑙
ℎ
 
 
𝑟1 = 0,5 𝑚 
𝑟2 = 0,5 + 0,005 = 0,505 𝑚 
𝑟3 = 0,505 + 1,5" × 0,0254 = 0,5431𝑚 
𝑘1 = 40 𝑘𝑐𝑎𝑙 ℎ. 𝑚. °𝐶 ⁄ 
𝑘2 = 0,04 𝑘𝑐𝑎𝑙 ℎ. 𝑚. °𝐶 ⁄ 
𝑇1 = 220 °𝐶 𝑇2 = 30 °𝐶 
 
 
 
30 
 
b) levando em conta a elevação de 10% no fluxo de calor, após a troca do isolamento: 
𝑞′̇ = 1,1 × �̇� = 1,1 × 687,41 = 756,15 𝑘𝑐𝑎𝑙 ℎ⁄ 
Somente a resistência térmica da parede isolante é alterada. Com novo fluxo de calor é possível calcular o seu novo valor: 
𝑞′̇ = 
𝑇3 − 𝑇1
𝑅𝑎ç𝑜𝐶𝐷 + 𝑅′ 𝑖𝑠𝑜
𝐶𝐷 ⟹ 𝑅
′ 𝑖𝑠𝑜
𝐶𝐷 = 
𝑇3 − 𝑇1
𝑞′̇
− 𝑅𝑎ç𝑜
𝐶𝐷 = 
220 − 30
756,15
− 0,0000394 = 0,2512 
ℎ. °𝐶
𝑘𝑐𝑎𝑙
 
A partir do valor da nova resistência pode ser calculada a condutividade do novo isolante: 
𝑅𝑖𝑠𝑜
′ 𝐶𝐷 = 
(1 𝑟2⁄ −
1
𝑟3⁄ )
𝑘′2. 4. 𝜋
 ⟹ 0,2512 = 
(1 0,505⁄ −
1
0,5431⁄ )
𝑘′2 × 4 × 𝜋
 ⟹ 𝑘′2 = 0,044 
𝑘𝑐𝑎𝑙
ℎ. 𝑚. °𝐶
 
c) para obter o mesmo fluxo de calor de antes, a resistência do isolante deve ter o mesmo valor de antes. Como o novo isolante é de pior 
qualidade (maior condutividade), será necessário usar uma maior espessura isolante: 
𝑅𝑖𝑠𝑜
𝐶𝐷 = 
(1 𝑟2⁄ −
1
𝑟′3
⁄ )
𝑘′2. 4. 𝜋
 ⟹ 0,2764 = 
(1 0,505⁄ −
1
𝑟′3
⁄ )
0,044 × 4 × 𝜋
 ⟹ 𝑟′3 = 0,5472 𝑚 
A nova espessura é calculada pela diferença de raios; 
𝑒 = 𝑟′3 − 𝑟2 = 0,5472 − 0,505 = 0,0422 𝑚 = 4,22 𝑐𝑚 = 1,66" 
 
Exercício R.2.8. Um tanque de armazenamento tem diâmetro de 1,20 m, comprimento de 6 m e as extremidades hemisféricas é feito de 
aço e tem resistência térmica desprezível. O tanque contém oxigênio líquido a -182,8 °C, que é a temperatura de vaporização do oxigênio. 
Procura-se um isolante térmico que reduza a taxa de evaporação em regime permanente a não mais que 10 Kg/h. O calor de vaporização 
do oxigênio é 51,82 Kcal/Kg. A temperatura ambiente varia entre 15 °C (inverno) e 40 °C (verão) e a espessura do isolante deve ser 75 
mm. Desconsiderando as resistências de convecção, calcule qual deverá ser a condutividade térmica do isolante. 
 
Como o oxigênio está na temperatura de ebulição, todo o calor transferido para o tanque será utilizado na transformação de fase. 
Portanto, o fluxo de calor máximo permitido pode ser calculado a partir da máxima taxa de vaporização permitida: 
�̇� = �̇� . ∆𝐻𝑣𝑎𝑝 = ̇ 10 𝑘𝑔 ℎ × 51,82 𝑘𝑐𝑎𝑙 ℎ⁄ = 518,2 𝑘𝑐𝑎𝑙 ℎ⁄ ⁄ 
Este fluxo de calor atravessa a camada isolante por condução, uma parte através da camada esférica (composta de duas metades 
hemisféricas) e outra através da camada cilíndrica. Então: 
�̇� = �̇�𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑜 + �̇�𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑜 = 
(𝑇𝑒 − 𝑇𝑖)
ln (
𝑟𝑖𝑠𝑜
𝑟𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒
)
𝑘𝑖𝑠𝑜. 2. 𝜋. 𝐿
+
(𝑇𝑒 − 𝑇𝑖)
(
1
𝑟𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒
−
1
𝑟𝑖𝑠𝑜
)
𝑘𝑖𝑠𝑜. 4. 𝜋
=
(40 − [−182,8])
ln (
0,675
0,6
)
𝑘𝑖𝑠𝑜. 2. 𝜋. 4,8
+
(40 − [−182,8])
(
1
0,6 −
1
0,675
)
𝑘𝑖𝑠𝑜. 4. 𝜋
 
518,2
222,8
1
𝑘𝑖𝑠𝑜
×
0,118
30,16
+
222,8
1
𝑘𝑖𝑠𝑜
×
0,185
12,6
 ⟹ 𝑘𝑖𝑠𝑜 = 0,0072 
𝑘𝑐𝑎𝑙
ℎ. 𝑚. °𝐶
 
 
Exercício R.2.9. A parede de um forno industrial é composta de duas camadas: tijolos refratários (k = 0,3 Btu/h.ft.°F) por dentro, e tijolos 
isolantes por fora (k = 0,05 Btu/h.ft.°F). A temperatura da face interna do refratário é 1600 °F e a da face externa do isolante é 80 °F. O 
forno tem formato de prisma retangular de 8,0 ft de comprimento, 4,5 ft largura e 5,0 ft de altura e a espessura total da parede é 1,3 ft. 
Considerando uma perda de calor de 36000 Btu/h e que a transferência de calor se dá apenas pelas paredes laterais, pede-se: 
𝑟𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 = 1,2/2 = 0,6 𝑚 𝑒 = 75 𝑚𝑚 = 0,075 𝑚 
𝐿 = 6 − 2 × 0,6 = 4,8 𝑚 (parte cilindrica) 
𝑟𝑖𝑠𝑜 = 𝑟𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 + 𝑒 = 0,6 + 0,075 = 0,675𝑚 
𝑇𝑖 = −182,8 °𝐶 𝑇2 = 40 °𝐶 (máximo ∆T) 
�̇� = 10 𝑘𝑔/ℎ ∆𝐻𝑣𝑎𝑝 = 51,82 𝑘𝑐𝑎𝑙/𝑘𝑔 
 
 
31 
 
a) a espessura de cada um dos materiais que compõem a parede; 
b) colocando-se uma janela de inspeção retangular de 0,45 ft X 0,30 ft, feita com vidro refratário de 6" de espessura (k = 0,65 Btu/h.ft.°F) 
em uma das paredes do forno, determinar o novo fluxo de calor; 
c) qual deveria ser a espessura dos tijolos isolantes, no caso do item anterior, para que o fluxo de calor fosse mantido em 36000 Btu/h. 
 
 
 
 
 
 
a) A resistência térmica da parede composta a partir do fluxo de calor perdido pelas paredes e da diferença de temperatura total: 
�̇� = 
(∆𝑇)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑅𝑡
 ⟹ 36.000
𝐵𝑡𝑢
ℎ
=
(1600 − 80) °𝐹
𝑅𝑡
 ⟹ 𝑅𝑡 = 0,0422 
ℎ. °𝐹
𝐵𝑡𝑢
 
Em associação em série a resistência total é igual à soma das resistências individuais: 
𝑅𝑡 = 𝑅𝑟𝑒𝑓 + 𝑅𝑖𝑠𝑜 = 
𝐿𝑟𝑒𝑓
𝑘𝑟𝑒𝑓. 𝐴
+ 
𝐿𝑖𝑠𝑜
𝑘𝑖𝑠𝑜 . 𝐴
 ⟹ 
𝐿𝑟𝑒𝑓
0,3 × 125
+ 
𝐿𝑖𝑠𝑜