O computador e a matemática

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Manuel Luís Catela Borrões
O COMPUTADOR
 NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Premiado no
V Concurso de Materiais de Apoio à Integração e Utilização
das Tecnologias de Informação e Comunicação nos
Ensinos Básico e Secundário (1998)
do Programa Nónio Século XXI
Setembro de 1998
ÍNDICE
Introdução........................................................................................................ 1
I PARTE Orientações Actuais no Ensino da Matemática
I.1. A Posição dos Profissionais de Ensino e das suas Associações de Classe .... 4
I.1.1. "Recomendações para o Ensino da Matemática nos Anos 80" ...........4
I.1.2. "Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar" ..... 9
I.1.3. "Matemática Fundamental para o Século XXI" ..................................14
I.1.4. A posição da Associação de Professores de Matemática (APM) ........19
I.2. A Posição do Ministério da Educação ........................................................22
I.3. Síntese, Crítica e Conclusões .....................................................................28
I.3.1. Síntese... ........................................................................................28
I.3.2. ...Crítica... .......................................................................................30
I.3.3. ...e Conclusões .................................................................................32
II PARTE Algumas Propostas de Actividades de Ensino/Aprendizagem
da Matemática Usando Computadores
II.1.A Folha de Cálculo no Processo de Ensino/Aprendizagem da Matemática...36
II.1.1. Aprendizagem por Descoberta ........................................................36
II.1.2. Resolução de Problemas ................................................................. 44
II.1.3. Modelação ......................................................................................49
II.1.4. Alguns problemas para resolver com o auxílio da folha de cálculo ....53
II.2.O Programa "Cabri-Géomètre" no Processo de Ensino/Aprendizagem
da Matemática ...........................................................................................54
II.2.1. Aprendizagem por Descoberta ........................................................54
II.2.2. Resolução de Problemas ................................................................. 60
II.2.3. Modelação ......................................................................................63
II.2.4. Algumas actividades e problemas para resolver no "Cabri-Géomètre"67
Anexo 1 ........................................................................................................68
Anexo 2 ........................................................................................................71
Anexo 3 ........................................................................................................74
Bibliografia........................................................................................................75
1
INTRODUÇÃO
O ensino e a aprendizagem passam actualmente, a nível mundial, por um profundo
processo de renovação. Renovação não apenas de conteúdos, mas sobretudo de objectivos e
de metodologias.
Emergem as metodologias centradas em processos (logo na pessoa do educando) em
detrimento das metodologias centradas em conteúdos ou em produtos. É mais importante
desenvolver cognitivamente o aluno do que transmitir conhecimentos (a curto prazo obsoletos
e inúteis) ou desenvolver "skills" que, por serem adquiridos mecânicamente, não constituem
aprendizagens reais (são dependentes do contexto, logo não transferíveis) (Barrón Ruiz,
1991). A aprendizagem já não é entendida como processo de transmissão-recepção de
informação, mas sim como processo de construção cognitiva que se favorece mediante a
estimulação dos processos de investigação dos alunos. (Barrón Ruiz, 1991).
O ensino/aprendizagem da Matemática não é alheio a este movimento renovador.
Pretende-se actualmente que os alunos participem em numerosas e variadas experiências que
lhes estimulem o gosto e o prazer da criação matemática; que os encorajem a conjecturar, a
explorar, a aprender com os erros (NCTM, 1991; Papert, 1991). O computador, pelas suas
potencialidades a nível de cálculo, visualização, modelação e geração de micromundos, é o
instrumento mais poderoso de que actualmente dispõem os educadores matemáticos para
proporcionar este tipo de experiências aos seus alunos (Ponte, 1986).
Contudo, apesar de educadores matemáticos e instâncias políticas de Educação estarem de
acordo (como mostramos no capítulo I) quanto à necessidade de utilizar o computador na
educação matemática, a realidade mostra que isso raramente acontece. As razões para esta
situação são variadas e ainda não totalmente conhecidas, dada a quase inexistência de estudos
neste âmbito. Da nossa experiência de formação contínua de professores nesta área (cursos no
âmbito do Programa FOCO/FORGEST relacionados com a utilização das Novas Tecnologias
da Informação (NTI) no processo de ensino/aprendizagem e na gestão escolar) podemos
2
concluir pela existência de duas razões principais: 1) falta de formação (técnica e didáctico-
pedagógica) dos docentes e 2) insuficiência de meios computacionais (hardware) e/ou de
programas (software) adequados.
Se quanto à segunda pouco ou nada podemos fazer para alterar a situação, quanto à
primeira algo temos feito (cursos FOCO/FORGEST) e continuamos a fazer (preparação de
doutoramento na área). Este mesmo trabalho visa contribuir para a formação didáctico-
pedagógica dos docentes de Matemática na área das NTI na educação matemática.
De facto, no trabalho que agora se apresenta, ilustramos as potencialidades do
computador na educação matemática, a partir de uma perspectiva que poderíamos chamar de
cognitivista-construtivista, fornecendo simultâneamente pistas metodológicas e exemplos
concretos dessa utilização.
Estruturámos o trabalho à volta de duas grandes áreas curriculares: Álgebra e Geometria
(euclideana). Dentro de cada uma destas áreas demos atenção aos três tipos de actividades
que, naquela perspectiva, mais favorecem uma aprendizagem significativa da Matemática: a
aprendizagem por descoberta, a resolução de problemas e a modelação. No capítulo II
apresentamos algumas propostas concretas, devidamente planificadas, destas actividades.
No capítulo I fazemos uma revisão, necessáriamente sucinta, das posições dos profis-
sionais de ensino da Matemática e do próprio Ministério da Educação relativamente às
orientações actuais no ensino/aprendizagem da Matemática, e sua fundamentação psico-
pedagógica, com vista a um enquadramento epistemológico desta problemática.
3
REFERÊNCIAS
Barrón Ruiz, A. (1991). Aprendizage por Descubrimiento, Análisis Crítico y
Reconstrución Teórica. Salamanca: Ed. Universidad y Amarú.
NCTM (1991). Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar. Lisboa:
APM.
Papert, S. (1991). Ensinar crianças a serem matemáticos versus ensinar Matemática. In J.
P. Ponte (org.), O computador na Educação Matemática. Lisboa: APM.
Ponte, J. (1986). O computador — Um Instrumento da Educação. Lisboa: Texto Editora.
4
I.
ORIENTAÇÕES ACTUAIS
NO ENSINO DA MATEMÁTICA
I.1. A POSIÇÃO DOS PROFISSIONAIS DE ENSINO E DAS SUAS ASSOCIAÇÕES
DE CLASSE
I.1.1. "Recomendações para o Ensino da Matemática nos Anos 80"
Em 1980, o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) dos EUA publicava,
sob o título genérico "Uma Agenda para a Acção", as "Recomendações para o Ensino da
Matemática nos Anos 80" *. Eram em número de 8 e cobriam todos os aspectos do ensino e da
aprendizagem da Matemática, desde o Curriculum à Formação de Docentes, das Metodologias
à Avaliação, etc., sem esquecer os aspectos sociais e organizacionais do ensino.
Das 8 recomendações,as três primeiras têm um interesse particular para este trabalho, já
que são aquelas que mais directamente se prendem com as suas finalidades:
 
* Editadas em Portugal pela Associação de Professores de Matemática.
5
Recomendação 1. :
"Que o foco do ensino da Matemática nos anos 80 seja a resolução de problemas";
Recomendação 2. :
"Que as capacidades básicas em Matemática sejam definidas de modo a incluirem
mais do que facilidades de cálculo";
Recomendação 3. :
"Que os programas de Matemática tirem todas as vantagens das capacidades das
calculadoras e dos computadores em todos os níveis de ensino".
No desenvolvimento da recomendação 1. pode ler-se:
"(...) A resolução de problemas engloba, a par de múltiplas actividades
comuns e de rotina, funções não rotineiras consideradas essenciais para o
dia-a-dia de cada cidadão. Mas também deve preparar indivíduos para lidar
com os problemas especiais que terão de enfrentar nas suas vidas futuras.
A resolução de problemas envolve a aplicação da Matemática ao
mundo real, servindo a teoria e a práctica das ciências actuais e das
emergentes, e resolvendo questões que ultrapassam as fronteiras das
ciências matemáticas.
(...) A verdadeira capacidade de resolução de problemas requer um
vasto conjunto de conhecimentos, não só de conceitos e de capacidades
particulares mas também das relações entre eles e os princípios que os
unificam. Cada problema não pode ser tratado como um exemplo isolado.
(...) Assim, a Matemática necessita de ser ensinada como Matemática, e não
como um auxiliar para os seus campos de aplicação.
6
(...) Os programas de Matemática dos anos 80 devem ser delineados de
forma a equiparem os estudantes com os métodos matemáticos que apoiam
toda a resolução de problemas, incluindo:
· conceitos tradicionais e técnicas de cálculo (...), os conjuntos dos
números racionais e dos números reais, a noção de função, o uso do
simbolismo matemático para descrever relações do mundo real, o uso
do raciocínio dedutivo e indutivo para tirar conclusões acerca dessa
relações, e as noções geométricas tão úteis ao representá-las;
· métodos de recolher, organizar e interpretar a informação, deduzindo e
testando inferências a partir dos dados, e comunicando os resultados;
· o uso das capacidades de resolução de problemas apresentadas pelos
computadores como forma de alargar as abordagens tradicionais de
resolução de problemas e implementar novas estratégias de interacção e
simulação;
· o uso do imaginário, da visualização e dos conceitos espaciais.
Os programas de Matemática devem fornecer aos estudantes
experiência na aplicação da Matemática, e em seleccionar e fazer
corresponder estratégias à situação em causa. Os estudantes devem
aprender a:
· formular questões chave;
· analisar e conceptualizar problemas;
· definir o problema e o objectivo;
· descobrir modelos e semelhanças;
· procurar os dados apropriados;
· experimentar;
7
· transferir capacidades e estratégias para novas situações;
· retirar da sua experiência básica conhecimentos para aplicar a
Matemática.
Fundamental na aptidão para a resolução de problemas é um espírito
aberto, uma atitude de curiosidade e exploração, a disposição de
demonstrar, experimentar, construir hipóteses.
(...) Tanto quanto a tecnologia o torne possível, os problemas devem
ser apresentados em situações naturais ou em simulações de condições
reais.
Os educadores devem dar prioridade à identificação e análise de
estratégias específicas de resolução de problemas
Os educadores devem desenvolver e disseminar exemplos de «bons
problemas» e estratégias, e sugerir o âmbito das actividades de resolução de
problemas para cada nível de escolaridade.
(...) Os estudantes devem ser encorajados a questionar, experimentar,
estimar, explorar e sugerir explicações. A resolução de problemas, que é
essencialmente uma actividade criativa, não pode ser construída a partir de
actividades rotineiras, receitas ou fórmulas.
(...) O currículo de Matemática deve proporcionar oportunidades para
o estudante se confrontar com situações problemáticas numa maior
variedade de formas do que os tradicionais formatos verbais; por exemplo,
apresentação através de actividades, modelos gráficos, observação de
fenómenos, diagramas esquemáticos, simulação de situações da vida real, e
interacção com programas de computador." (APM, 1985).
8
No desenvolvimento da recomendação 2. pode ler-se:
"(...) básico deve incluir aquilo que é essencial para que um cidadão
tenha uma vida produtiva e com significado, agora e no futuro.
(...) Uma listagem completa do que é essencial deve conter pelo menos
as dez áreas (...) : a resolução de problemas; a aplicação da Matemática a
situações do dia-a-dia; a análise da razoabilidade dos resultados; a
estimação e a aproximação; a aquisição de capacidades de cálculo; a
geometria; a medida; a leitura, a interpretação e a construção de tabelas,
cartas e gráficos; o uso da Matemática para fazer previsões; e a aquisição
de conhecimentos básicos de computadores." (APM, 1985).
No desenvolvimento da recomendação 3. pode ler-se:
"Para além do conhecimento do papel dos computadores e
calculadoras na sociedade, a maioria dos estudantes deve saber trabalhar
com eles e usá-los na resolução de problemas.
(...) Todos os estudantes devem ter acesso a calculadoras e cada vez
mais aos computadores ao longo dos seus programas de Matemática nas
escolas.
(...) Calculadoras e computadores devem ser usados de formas
imaginativas para explorar, descobrir, e desenvolver conceitos matemáticos
e não sómente para verificar resultados ou realizar exercícios práticos.
Os professores devem conduzir a sua aula de forma que o uso de
computadores por cada estudante em actividades isoladas não substitua a
interacção dos estudantes com os colegas e com o professor. (...) é na
discussão que (se) promove(m) os valores da comunicação, cooperação,
empatia, respeito mútuo, e muito do desenvolvimento cognitivo (...).
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(...) Os educadores devem ter cuidado na escolha do software que se
ajuste aos objectivos e metas do programa e não perverter os objectivos e a
sequência do desenvolvimento para se adaptarem à tecnologia e software
disponível.
Um curso de conhecimentos básicos de computadores familiarizando o
estudante com o papel e o impacto do computador, deve constituir uma
parte da educação geral de todos os estudantes.
(...) Todos os professores de Matemática devem adquirir formação
básica em computadores, quer através dos programas de formação inicial
quer através dos programas de formação em serviço (...).
As universidades devem proporcionar cursos de formação inicial e
formação em serviço em conhecimentos básicos de computadores,
programação, e uso educativo de calculadoras e computadores." (APM,
1985).
I.1.2. "Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar"
Em 1989, o NCTM publicou um novo documento sobre Educação Matemática: as
"Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar" *. Exceptuando a novidade
das Normas para a Avaliação, este documento retoma, na sua essência, as "Recomendações..."
ampliando-as, sistematizando-as e exemplificando-as, quer por conteúdos quer por anos de
escolaridade.
 
* Editadas em Portugal pela Associação de Professores de Matemática.
10
Na fundamentação das Normas pode ler-se:
"(...) O sistema educativo da época industrial não corresponde às
necessidades económicas do tempo presente. Os novos objectivos sociais da
educação incluem (1) trabalhadores matematicamente alfabetizados,
(2) aprendizagem durante toda a vida, (3) oportunidadespara todos, e
(4) um eleitorado informado.
(...) Henry Pollak (1987), um conhecido matemático e industrial, re-
sumiu o que se espera dos novos empregados da indústria, no que diz
respeito à Matemática:
· A capacidade de atacar problemas com as operações apropriadas.
· O conhecimento de várias técnicas para abordar e trabalhar em
problemas.
· Compreensão dos aspectos matemáticos subjacentes a um problema.
· A capacidade para trabalhar em grupo na resolução de problemas.
· A capacidade para reconhecer a aplicabilidade de ideias matemáticas a
problemas correntes ou complexos.
· Preparação para situações problemáticas abertas, dado que muitos
problemas da vida real não estão bem formulados.
· Crença no valor e utilidade da Matemática.
Repare-se na diferença entre as capacidades e a formação inerentes a estas
expectativas e a situação actual de alunos trabalhando isoladamente na
resolução de conjuntos de exercícios bem delimitados de prática e destreza
(drill and practice).
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(...) a matemática escolar deve valorizar a aquisição de formas
dinâmicas de conhecimento matemático. A resolução de problemas ¾ que
inclui os modos como os problemas são representados, os significados da
linguagem matemática, e os modos como se conjectura e raciocina ¾ deve
ser central na vida escolar, de tal modo que os alunos possam explorar,
criar, adaptar-se a novas condições, e activamente criar novo conhecimento
no decurso das suas vidas.
As injustiças das práticas escolares do passado não podem ser
toleradas durante mais tempo.
(...) a sociedade actual espera que as escolas garantam que todos os
estudantes tenham a oportunidade de se tornar matematicamente
alfabetizados, sejam capazes de prolongar a sua aprendizagem, tenham
iguais oportunidades de aprender e se tornem cidadãos aptos a
compreender as questões em aberto numa sociedade tecnológica. Tal como
a sociedade muda, também as suas escolas devem transformar-se.
(...) as normas (...) articulam cinco objectivos gerais para todos os
alunos: (1) que aprendam a dar valor à matemática, (2) que adquiram
confiança na sua capacidade de fazer matemática, (3) que se tornem aptos a
resolver problemas matemáticos, (4) que aprendam a comunicar
matematicamente, e (5) que aprendam a raciocinar matematicamente.
Estes objectivos implicam que os alunos devem:
- participar em numerosas e variadas experiências relacionadas entre si que
os encoragem a dar apreço ao desenvolvimento da matemática, a
desenvolver hábitos de pensamento matemático e a compreender e
apreciar o papel da matemática na vida da humanidade;
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- ser encorajados a explorar, a fazer tentativas, e mesmo a fazer erros e a
corrigi-los, de tal modo que ganhem confiança na sua capacidade de
resolver problemas complexos;
- ler, escrever e discutir matemática, e ainda conjecturar, testar e construir
argumentos sobre a validade de uma conjectura.
(...) a matemática é mais do que uma colecção de conceitos e
capacidades a adquirir; ela inclui métodos de investigação e de raciocínio,
meios de comunicação, e noções de contexto. Além disso, para cada
indivíduo, o poder matemático inclui o desenvolvimento da autoconfiança
pessoal.
Neste sentido, nós vemos as aulas de Matemática como lugares onde
problemas interessantes são regularmente explorados, utilizando ideias
matemáticas importantes. Partimos da premissa que aquilo que um aluno
aprende depende em alto grau de como o aprendeu.
(...) Três aspectos da matemática estão subjacentes nas Normas . Em
primeiro lugar, saber matemática é fazer matemática. Uma pessoa recolhe,
descobre ou cria conhecimento no decurso de alguma actividade com
finalidade.
(...) Em segundo lugar, alguns aspectos relativos ao fazer matemática
mudaram na última década. A capacidade do computador para processar
grandes quantidades de informação tornou a quantificação e a análise lógica
da informação possível em áreas como o comércio, a economia, a
linguística, a biologia, a medicina e a sociologia.
(...) Considerando que a matemática é uma ciência básica para outras
disciplinas (...) um currículo para todos os alunos deve dar oportunidade
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para a aquisição da compreensão de modelos, estruturas e simulações
matemáticas aplicáveis a muitas disciplinas.
Em terceiro lugar, as mudanças na tecnologia e o alargamento das
áreas em que a matemática se aplica resultaram em crescimento e mudanças
da própria matemática.
Em virtude de a tecnologia estar a mudar a matemática e as suas
aplicações, acreditamos que ¾
· calculadoras apropriadas devem estejar sempre acessíveis a todos os
alunos;
· um computador deve estar disponível em todas as aulas para finalidades
de demonstração;
· todo o aluno deve ter acesso a um computador para trabalho individual
e em grupo;
· os alunos devem aprender a utilizar o computador como uma
ferramenta para processamento da informação e para efectuar cálculos
quando investigam e resolvem problemas.
Reconhecemos, contudo, que o acesso a esta tecnologia não dá
qualquer garantia de que o aluno se torne alfabetizado em matemática. As
calculadoras e os computadores, quando se usam em matemática (...) são
ferramentas que simplificam, mas não executam, o trabalho que está entre
mãos. Assim, a nossa visão da matemática escolar está baseada na
matemática fundmental que os alunos necessitam, e não na formação
tecnológica que facilita o uso daquela matemática." (NCTM, 1991).
14
I.1.3. "Matemática Fundamental para o Século XXI"
Na edição de Setembro de 1989 do Mathematics Teacher, o National Council of
Supervisors of Mathematics (NCSM) dos EUA descreve, num artigo com o título "Matemática
Fundamental para o Século XXI", aquilo a que chamou "as competências matemáticas
fundamentais de que os cidadãos terão necessidade para iniciarem a vida adulta no próximo
milénio" .
Considerando a sua posição como complementar e de apoio às posições defendidas pelo
NCTM atrás referidas, o NCSM considera que as competências necessárias para abrir as
portas do mundo do trabalho ou do ensino superior são competências fundamentais. A
Matemática fundamental, tal como é seguidamente descrita, representa o conjunto de
competências matemáticas fundamentais para que os alunos possam ter uma idade adulta
responsável.
Os alunos que hoje educamos deverão, muito provavelmente, mudar de actividade
profissional várias vezes ao longo da sua vida. Os cargos que vierem a desempenhar
desenvolver-se-ão e modificar-se-ão. Muitas vezes, as capacidades específicas exigidas para
um cargo não poderão ser transferidas para outro.
A fim de se prepararem para esta mobilidade, os alunos devem desenvolver uma profunda
compreensão dos conceitos e princípios matemáticos; têm de raciocinar com rigor e comunicar
com clareza; têm de reconhecer as aplicações matemáticas no mundo que os rodeia e devem
enfrentar os problemas matemáticos com confiança. Os indivíduos terão necessidade de
desenvolver as capacidades fundamentais que lhes permitam aplicar os seus conhecimentos a
novas situações e controlar de forma contínua a sua auto-formação, ao longo de toda a vida.
A aptidão para o cálculo não é um indicador adequado da competência matemática.
Também não é suficiente desenvolver capacidades desintegradas das suas aplicações ou
memorizar regras sem compreender os conceitos em que essas regras se baseiam. Os alunos
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têm que compreender os princípios matemáticos; devem saber como e quando usar o cálculo e
têm que desenvolver competência na resolução de problemas e na ordenação do pensamento.
O manifesto de 1977 do NCSM foi uma reacção contra o movimento "back to basics",
cuja concepção de considerar apenas capacidades básicas era extremamente limitada e
redutora. Agora,quando olhamos para o futuro, reconhecemos que o uso de calculadoras e
computadores e a aplicação dos métodos estatísticos vão continuar a expandir-se. A resolução
criativa de problemas, o raciocínio preciso e a comunicação eficaz terão uma importância cada
vez maior. Para desempenhar, com eficiência, funções no próximo século, os alunos precisarão
de um conjunto mais vasto de competências matemáticas. A lista que se segue identifica doze
áreas fundamentais de competências matemáticas, não implicando uma sequência ordenada ou
prioridade entre elas. De facto, as doze áreas da Matemática fundamental estão
interrelacionadas: a competência numa área implica a competência noutras áreas.
Doze componentes da Matemática Fundamental (NCSM, 1989):
·· Resolução de Problemas
Aprender a resolver problemas é a razão fundamental para estudar Matemática. Resolver
problemas (problem solving) consiste em aplicar conhecimentos préviamente adquiridos a
situações novas e não rotineiras. As estratégias de resolução de problemas envolvem a
formulação de questões, a análise de situações, a tradução e a ilustração de resultados, a
elaboração de diagramas e o "ensaio e erro".
· Comunicação de Ideias Matemáticas
Os alunos devem aprender a linguagem e a simbologia da Matemática. Devem aprender a
captar ideias matemáticas através da audição, leitura e visualização. Devem ser capazes de
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apresentar ideias matemáticas através da exposição oral ou escrita, através de desenhos e
gráficos e de demonstração com modelos concretos.
· Investigação Matemática
Os alunos devem aprender por si próprios as ideias matemáticas. Devem ser capazes de
identificar padrões, fazer generalizações e usar experiências e observações para formular
conjecturas. Devem aprender a usar contra-exemplos para mostrar que uma conjectura é falsa
ou modelos, factos conhecidos e argumentos lógicos para a validar. Devem ser capazes de
distinguir argumentos válidos de argumentos não válidos.
· Aplicação da Matemática a situações do dia-a-dia
Os alunos devem ser encorajados a "pegar" em situações do dia-a-dia, transferi-las para
representações matemáticas (através de gráficos, quadros, diagramas ou expressões
matemáticas), explorá-las e interpretar os resultados obtidos à luz da situação inicial.
Os alunos devem não só compreender como a Matemática se aplica ao mundo real, mas
também observar como ela surge do mundo que nos rodeia.
· Discernimento Sobre a Validade dos Resultados
Ao resolver problemas, os alunos devem analisar a validade das soluções ou reflectir na
relação entre a solução encontrada e o problema original. Devem desenvolver o sentido do
número para serem capazes de decidir se os resultados dos cálculos são adequados
relativamente aos números originais a às operações usadas. Com o desenvolvimento da
utilização das calculadoras, esta capacidade é cada vez mais importante.
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· Estimação
Os alunos devem ser capazes de efectuar rápidamente cálculos aproximados, através do
cálculo mental e de técnicas de estimação. Quando o cálculo é necessário num problema ou
numa situação do dia-a-dia pode usar-se uma estimativa para averiguar da sensatez da solução,
para examinar uma conjectura ou tomar uma decisão.
Os alunos devem adquirir técnicas simples para estimar medidas e ser capazes de decidir
quando um resultado é suficientemente preciso para a situação em causa.
· Competência de Cálculo Adequada
Os alunos devem efectuar com facilidade a adição, subtracção, multiplicação e divisão de
inteiros e decimais. Mas, cálculos longos e complicados devem ser feitos com calculadoras e
computadores. O conhecimento da tabuada é fundamental e o cálculo mental é uma capacidade
importante.
Aprendendo a utilizar o cálculo, os alunos devem desenvolver competência em seleccionar
o método apropriado: cálculo mental, algoritmo com papel e lápis ou calculadora.
· Pensamento Algébrico
Os alunos devem aprender a usar variáveis para representar quantidades e a escrever
expressões utilizando variáveis. Devem ser capazes de representar funções e relações
utilizando tabelas, gráficos e condições. Devem compreender e usar correctamente números
positivos e negativos, a prioridade das operações, fórmulas, equações e inequações. Devem
reconhecer o modo como uma quantidade varia em relação a outra.
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· Medição
Os alunos devem compreender os conceitos fundamentais da medição através de
experiências concretas. Devem ser capazes de medir distâncias, massa, peso, tempo,
capacidade, temperatura e amplitude de ângulos. Devem aprender a calcular perímetros, áreas
e volumes simples. Devem ser capazes de efectuar medições nos sistemas usuais, utilizando os
instrumentos e os níveis de precisão adequados.
· Geometria
Os alunos devem compreender os conceitos geométricos necessários para funcionar
eficientemente no mundo a três dimensões. Devem conhecer conceitos como paralelismo,
perpendicularidade, congruência, semelhança e simetria, e reconhecer propriedades das figuras
geométricas planas e dos sólidos mais simples.
Os conceitos geométricos devem ser explorados em contextos que envolvam a resolução
de problemas e medições.
· Estatística
Os alunos devem planificar e executar a recolha e organização de dados para dar resposta
a questões do seu dia-a-dia. Devem saber construir , ler e interpretar tabelas, mapas, plantas e
gráficos simples. Devem ser capazes de apresentar informação acerca de dados numéricos, tais
como: medidas de tendência central (média, mediana, moda) e medidas de dispersão (desvio-
padrão). Devem ainda reconhecer, em casos simples, as utilizações correctas ou inadequadas,
quer da representação estatística quer da inferência estatística.
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· Probabilidade
Os alunos devem compreender noções elementares de probabilidade para determinar a
verosimilhança de acontecimentos futuros. Devem identificar situações nas quais a experiência
passada não afecta a probabilidade de acontecimentos futuros.
Devem familiarizar-se com o modo como a Matemática é utilizada para fazer previsões
tais como: resultados eleitorais, projecções comerciais ou resultados de acontecimentos
desportivos. Devem aprender como a probabilidade se aplica a resultados de pesquisa e a
tomadas de decisão.
I.1.4. A posição da Associação de Professores de Matemática (APM)
Analisando a revista "Educação e Matemática" * , ou quaisquer outras publicações da
APM ¾ "PROFMAT", "Quadrante", etc. ¾ , constata-se que a posição desta associação é,
em larga medida, coincidente com as posições do NCTM e do NCSM expressas nos
documentos citados nos números anteriores.
De facto, logo no nº 1 ** da revista "Educação e Matemática" se pode ler no editorial de
Paulo Abrantes:
"(...) Em Portugal, nos últimos tempos, o Ensino da Matemática tem
vivido uma situação de crise permanente. Em todos os graus de ensino (...)
o insucesso na disciplina de Matemática atinge índices preocupantes. (...)
Um número crescente de alunos não gosta de Matemática, não entende para
que serve estudar Matemática, não compreende verdadeiramente a sua
relevância. Mesmo muitos daqueles que conseguem notas positivas,
 
 * Foram editados 27 números até esta data.
 ** Editado em Janeiro de 1987.
20
procuram sobretudo dominar técnicas úteis para resolverem exercícios tipo.
Os professores mostram-se igualmente descontentes, queixam-se dos
programas que são grandes, pouco flexíveis, demasiado abstractos. Não
sabem como interessar os seus alunos. (...)"
Para mudar este estado de coisas, considera Paulo Abrantes que:
"(a) é necessário que os alunos assumam um papel mais activo e
interveniente na construção do seu próprio conhecimento;
 (b) os objectivos educacionais relevantesnão são apenas de natureza
cognitiva mas também afectiva e social;
 (c) as actividades de aprendizagem devem ser entendidas de uma
forma mais diversificada e aberta, não se restringindo ao que é possível
fazer-se dentro da sala de aula tradicional;
 (d) é importante que se recorra às novas tecnologias, e em particular
aos computadores, como fonte de renovação das práticas pedagógicas;
 (e) deve atribuir-se uma maior importância à resolução de problemas,
às aplicações, e às relações interdisciplinares. (...) "
Neste mesmo número da revista "Educação e Matemática", escreve Leonor Moreira,
defendendo a resolução de problemas e a aprendizagem por (re)descoberta como metodologias
fundamentais no ensino da Matemática :
"(...) O aspecto formal e acabado com que a Matemática, geralmente, é
apresentada aos nossos alunos, constitui, ao mesmo tempo, uma mentira e
um erro pedagógico. Uma mentira, porque representa uma quase inversão
da sequência que tem lugar no tempo e na história. Um erro pedagógico
21
porque inibe, nos nossos alunos, a actividade matemática, a capacidade de
inventar (reinventar) a Matemática.
De facto, o conhecimento matemático não se constrói pelo simples
acumular de verdades eternas e imutáveis; o conhecimento matemático
desenvolve-se, antes, pela "melhoria incessante de conjecturas, graças à
especulação e à crítica, graças à lógica das provas e refutações" *.
Apresentamos aos nossos alunos, uma estrutura acabada, rígida,
indiscutível. Usamos livros de texto que só apresentam as ideias que
tiveram sucesso. Nas trevas ficaram a conjectura inicial, os contra-
exemplos, a crítica da prova, as refutações. No tinteiro ficou toda a história
da descoberta matemática.
A descoberta matemática pode comparar-se à actividade de um
jogador que, tendo ensaiado várias estratégias sem êxito, tem, de repente,
uma ideia. Experimenta-a e, se a estratégia que descobriu se revela eficaz,
continuará a usá-la até que o adversário, ao ganhar uma partida, a põe em
causa. O primeiro jogador vê-se então obrigado a rever a estratégia que, até
aí, se revelara ganhadora. Procurará, em princípio, tentar melhorá-la,
podendo vir a abandoná-la por outra que lhe pareça superior. E assim
sucessivamente até à descoberta da estratégia infalível.
Que dizer de uma escola que não ensina os alunos a "jogar"? (...)"
 
* A autora cita Imre Lakatos em "Preuves et réfutations", 1984.
22
I.2. A POSIÇÃO DO MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO *
As orientações do Ministério da Educação para o ensino da Matemática estão claramente
definidas na Lei de Bases do Sistema Educativo (de forma genérica) e nos diversos
documentos da Reforma Curricular, incluindo os projectos de programas e os programas finais
aprovados.
Dado o carácter prescritivo dos programas, a nossa análise da posição do Ministério irá
recair fundamentalmente sobre estes.
Assim, no Projecto de Programa de Matemática para o 3º Ciclo do Ensino Básico
(Setembro de 1989) pode ler-se:
"(...) Ao estabelecer o novo currículo de Matemática pretende-se
contemplar a necessidade da sua adaptação ao nível de desenvolvimento e
progressão de alunos com diferentes motivações, interesses e capacidades,
criando condições para a sua inserção num mundo em mudança.
O reconhecimento das actuais exigências da sociedade, nomeadamente
as impostas pela evolução e divulgação das novas tecnologias, (...) implica
uma diferente utilização do raciocínio e dos conhecimentos matemáticos.
Consequentemente atribui-se ao ensino da Matemática uma dupla
função:
· Desenvolvimento de capacidades e atitudes
· Aquisição de conhecimentos e de técnicas para a sua
mobilização.
 
* Referimo-nos ao caso português, óbviamente.
23
(...) A alteração fundamental consiste em serem considerados
conteúdos de aprendizagem tanto os conhecimentos a adquirir como as
atitudes e as aptidões a desenvolver, o que implica necessariamente uma
mudança de métodos. (...)
Tendo presente
· que a Matemática é indispensável, quer como instrumento de
interpretação do real, quer como factor de desenvolvimento de
uma estrutura dinâmica do pensamento;
· que o centro do processo ensino/aprendizagem é o aluno como
pessoa;
· que a Matemática se aprende construindo, vivendo experiências
que liguem o concreto ao abstracto e tornem a sua aprendizagem
numa aventura associada a uma realidade mais vasta,
consideram-se finalidades da disciplina de Matemática no Ensino
Básico:
- desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática como
instrumento de interpretação e intervenção no real;
- (...)
- desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de
problemas, de comunicação, bem como a memória, o rigor, o
espírito crítico e a criatividade;
- facultar processos de aprender a aprender e condições que
despertem o gosto pela aprendizagem permanente;
24
- promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de
atitudes de autonomia e cooperação."
Articulando conhecimentos com capacidades e atitudes, pode ler-se mais adiante neste
Projecto de Programa:
" A Geometria, na sua fácil interacção com outros campos da
Matemática e com a realidade, é geradora de problemas de grande riqueza,
onde podem coexistir aspectos lúdicos e de interesse práctico,
características estas eminentemente favoráveis à aprendizagem. (...)
Na fase de experimentação, o aluno continuará a manipular sólidos e
figuras geométricas, instrumentos de medição e desenho, fará construções,
(...), recorrerá a programas de desenho para o computador, (...). Nesta fase,
a experiência e a intuição permitem ao aluno desenvolver o seu raciocínio
indutivo.
Ao longo deste ciclo passar-se-à progressivamente a fases em que o
raciocínio dedutivo assumirá uma importância cada vez maior. O aluno irá
fazendo raciocínios sobre figuras, resolvendo problemas geométricos,
justificando propriedades. Gradualmente irá tomando consciência de que as
conclusões a que chega precisam de ser fundamentadas, para se convencer a
si próprio e aos outros. A demonstração terá o seu lugar formativo
enquanto cadeia de raciocínios; neste sentido é de evitar que o aluno repita
demonstrações aprendidas de cor, sem lhes reconhecer a necessidade. (...)
Investe-se sobretudo na análise de figura, na medição, na construção,
na justificação de propriedades. (...)
(...) O conhecimento dos números e a aprendizagem do cálculo,
numérico e algébrico, estão ligados à resolução de problemas. (...) Que o
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estudo dos números e do cálculo seja constituído por problemas com
interesse para o aluno relacionados com o seu dia-a-dia, com jogos, com a
realidade de um modo geral, com aspectos da Matemática ou de outras
disciplinas que já lhe sejam familiares. (...)
Além de instrumento de cálculo, a calculadora será usada como
instrumento de experimentação e pesquisa, permitindo rapidamente testar
hipóteses, encontrar contra-exemplos ...
Este aspecto e o carácter lúdico que se pretende dar ao estudo dos
números, aliados à curiosidade natural dos jovens, poderão levá-los a sentir-
se mais confiantes nas suas possibilidades, mais autónomos, vendo a
Matemática como um espaço a explorar, em que também eles podem
procurar e encontrar caminhos. (...)
Procura-se (...) dar especial atenção à leitura, interpretação e
construção de gráficos.
O gráfico de uma função ajuda a perceber que as representações
geométrica e analítica são o espelho uma da outra e que se trata apenas de
formas distintas de representar uma mesma lei; permite ainda visualizar
certas características da função e resolver gráficamente alguns problemas.
(...)"
No capítulo do Projecto de Programa dedicado às orientaçõesmetodológicas pode ler-se:
" (...) Tendo como pressuposto ser o aluno agente da sua própria
aprendizagem, propõe-se uma metodologia em que:
· os conceitos são construídos a partir da experiência de cada um e
de situações concretas.
26
· os conceitos são abordados sob diferentes pontos de vista e
progressivos níveis de rigor e formalização.
(...) As actividades a promover, individualmente ou em grupo, serão
diversificadas e motivadoras, visando desenvolver o espírito de pesquisa, a
criatividade, o gosto de aprender, a autonomia e o sentido de cooperação.
Considera-se ainda importante a descoberta da dimensão lúdica da
Matemática (...) .
O desenvolvimento da capacidade de resolver problemas é um eixo
organizador do ensino da Matemática, visando dotar o aluno de um recurso
que o ajude a resolver situações mais ou menos complexas de natureza
diversa e a enfrentar com confiança situações novas.
Como processo de aprendizagem, a resolução de problemas
proporciona um contexto no qual se constroem conceitos e se descobrem
relações, permitindo ainda ao aluno tomar contacto com o poder e a
utilidade da Matemática.
Como actividade, estimula o espírito de pesquisa, dando aos alunos
oportunidade de observar, experimentar, seleccionar e organizar dados,
relacionar, fazer conjecturas, argumentar, concluir e avaliar. Esta actividade
propicia ao professor ocasião para clarificar o papel do erro, transformando
o erro num incentivo e evitando que desencadeie processos de bloqueio.
A actividade de resolução de problemas é ainda um meio para
desenvolver a capacidade de comunicar, a perseverança, o espírito de
cooperação.
(...) (É) importante a exploração de situações que favoreçam o
desenvolvimento do raciocínio indutivo e (...) outras em que o raciocínio
dedutivo (assuma) uma relevância cada vez maior: o aluno vai verificar
27
conjecturas, justificar propriedades, fazer pequenas cadeias de raciocínio,
defender um processo de resolução, eventualmente fazer uma
demonstração, acedendo assim progressivamente a formas de pensamento
rigoroso.
(...) Para a aquisição de conhecimento deverá partir-se,
preferencialmente, de situações problemáticas cuja solução exija do aluno a
mobilização de conceitos e técnicas já adquiridos, de modo a descobrir e a
integrar novas noções.
(...) Na concretização da metodologia (...), que assenta essencialmente
na actividade do aluno, cabe ao professor criar um ambiente de trabalho
agradável e estimulante e simultâneamente organizar e animar as actividades
de aprendizagem."
Apesar das alterações que os textos finais dos Programas vieram a apresentar
relativamente aos textos dos Projectos respectivos, cremos que a posição do Ministério sobre
como deveria ser o ensino da Matemática ficou bem expresso nas páginas anteriores.
28
I.3. SÍNTESE, CRÍTICA E CONCLUSÕES
I.3.1. Síntese ...
Três grandes linhas orientadoras são comuns às posições analisadas nos números
anteriores.
A primeira diz respeito aos conteúdos curriculares. Para além dos conhecimentos
consideram-se como conteúdos no ensino da Matemática :
o desenvolvimento de capacidades· raciocínio indutivo
· raciocínio dedutivo
· experimentação
· validação de resultados
· modelação
· identificação de semelhanças
· transferência a novas situações
· comunicação
· etc.
e
o desenvolvimento de atitudes
positivas
· confiança nas suas capacidades e
potencialidades
· persistência na procura de soluções
· autonomia
· iniciativa
· criatividade
· responsabilidade
· espírito crítico
· cooperação
· etc.
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A segunda relaciona-se com as metodologias de ensino/aprendizagem da Matemática.
Pode ser sintetizado na frase: "saber Matemática é fazer Matemática". Isto significa que as
capacidades e as atitudes a desenvolver, os conhecimentos a integrar e as técnicas a adquirir só
serão realmente desenvolvidas, integrados e adquiridas se se envolverem os alunos em
actividades com finalidades objectivas e significativas para eles (Barrón Ruiz, 1991).
Uma dessas actividades é a de resolução de problemas. Resolver problemas, desde que
criteriosamente escolhidos, facilita a integração e consolidação de conceitos já adquiridos ou
pode ser um ponto de partida para a descoberta de novos conceitos. É, para além disso, um
campo privilegiado para o desenvolvimento de capacidades e de atitudes positivas (Ponte,
1986).
Outra é a de trabalho de projecto. Pelas suas características interdisciplinares e de
ligação à realidade, o trabalho de projecto é o expoente máximo da resolução de problemas.
Finalmente, a (re)descoberta de conceitos, propriedades, relações, modelos, etc., através
da actividade de investigação do próprio aluno orientada pelo professor, constitui o terceiro
tipo de actividades propostas para o ensino/aprendizagem da Matemática.
A terceira linha aborda a utilização das Novas Tecnologias da Informação e das
calculadoras no ensino da Matemática. As calculadoras e, sobretudo, o computador são
encarados como instrumentos poderosos que permitem, por um lado aliviar os alunos de
cálculos fastidiosos, e por outro explorar conceitos ou situações, descobrir relações ou
semelhanças, modelar fenómenos, testar conjecturas, inventar matemática e reinventar a
Matemática (Papert, 1991).
A utilização das calculadoras e do computador no processo de ensino/aprendizagem da
Matemática é considerada como outro campo privilegiado para o desenvolvimento de
capacidades e de atitudes positivas.
30
I.3.2. ... Crítica ...
As orientações actuais para o ensino da Matemática, que acabámos de sintetizar, baseiam-
se directamente nas teorias cognitivas da aprendizagem, em particular no construtivismo, e na
epistemologia genética de Piaget.
Autores como Dewey, Bruner, Wertheimer ou Piaget, defendem que cada indivíduo é
capaz de encontrar por si mesmo uma regra ou uma estrutura conceptual desconhecida a partir
de um conjunto de "materiais" que lhe sejam fornecidos externamente. Preconizam, portanto,
métodos de ensino em que o aluno produza o seu próprio conhecimento ao invés de o receber
já elaborado. Como consequência adicional, espera-se também que melhorem a sua capacidade
de investigar, de resolver problemas e de raciocinar, o que, por sua vez, gerará atitudes
positivas em relação à Matemática.
Estas metodologias recebem nomes diversos segundo o investigador ou o professor que
desenha ou pratica o modelo e, também, segundo o aspecto sobre o qual enfatizam os seus
objectivos e as suas estratégias educacionais.
Simplificando podemos agrupá-las em duas categorias:
· Ensino por investigação ou por resolução de problemas.
Estes modelos centram-se nos processos da Matemática e têm por finalidade fundamental
incrementar a capacidade heurística dos estudantes ( habilidades na resolução de problemas e
na formulação e avaliação de conjecturas; descoberta de relações; métodos demonstrativos;
etc. ). Como ferramentas instructivas empregam sobretudo os problemas e as investigações.
· Ensino por descoberta ou redescoberta.
Estas metodologias centram-se mais no próprio conteúdo da Matemática como algo
culturalmente valioso que deve ser conhecido pelos estudantes. Estes conteúdos são
31
descobertos ( ou redescobertos ) por eles mediante diferentes técnicas de ensino: diálogo
socrático com o professor em pequeno ou grande grupo; raciocínio dirigido mediante uma
série de actividades explícitamente programadas; resolução de uma situação aberta de
aprendizagem; indução a apartir de exemplos; etc..
Porém, para desenvolverem os novos conteúdos curriculares (capacidades e atitudes) e
implementarem as novas metodologias, os professores confrontam-se, na situação real de aula,
com vários condicionalismosque determinam e enquadram rígidamente a sua acção educativa.
Em primeiro lugar encontram-se as prescrições programáticas ¾ excesso de conteúdos,
pouca flexibilidade curricular, etc. ¾, que os afastam das metodologias inovadoras por
recearem não "cumprir" o programa.
Em segundo lugar, a própria situação de aula ¾ demasiados alunos por turma, espaços
desconfortáveis, horários rígidos, etc. ¾, se revela inibidora de qualquer tentativa de inovação.
Em terceiro lugar, a inexistência (ou existência em quantidades insuficientes) de materiais
e equipamentos didácticos, inviabiliza à partida muitas actividades de ensino/aprendizagem de
carácter construtivo que, eventualmente, os professores pretendessem implementar.
Em quarto lugar, a ausência de informação nas escolas sobre os resultados da investigação
didáctico-pedagógica e a falta de acções de formação sobre a utilização dos novos meios de
ensino, impedem quer a introdução destes (mesmo num ensino de tipo tradicional), quer a
implementação de novas metodologias no processo de ensino/aprendizagem. Etc., etc., etc. .
Apesar de todos estes condicionalismos e dificuldades, a nossa posição é de total apoio às
orientações analisadas. Duas ordens de razões determinam o nosso apoio: primeiro porque têm
uma base científica ampla e comprovada; mas, sobretudo, porque são os profissionais de
ensino da Matemática ¾ aqueles que as têm de pôr em práctica ¾ os primeiros, e os mais
empenhados, em lhes reconhecer a superioridade sobre as orientações tradicionais.
32
I.3.3. ... e Conclusões
Tendo presente e subscrevendo as orientações mas, também, conhecendo os
condicionalismos da Escola portuguesa, as nossas conclusões só podem ser no sentido de
implementar, sempre que possível, aquelas orientações e, pressionar os orgãos competentes
para que criem as condições a essa implementação.
Defendemos, portanto, que:
· a aprendizagem da Matemática deve partir, sempre que possível, de situações
problemáticas;
· os conceitos (pelo menos alguns) devem ser investigados e descobertos a partir de
situações concretas e só depois generalizados;
· calculadoras e computadores sejam utilizados em ambos os casos.
A utilização do computador no ensino/aprendizagem da Matemática, como veremos
adiante, será sempre numa perspectiva instrumental de apoio à resolução de problemas e à
investigação e descoberta de conceitos.
33
REFERÊNCIAS
APM (1985). Agenda para a Acção. Recomendações para o Ensino da Matemática nos
anos 80. Lisboa: APM.
APM (1987-1994). Educação e Matemática, Nº 1-27. Lisboa: APM.
Barrón Ruiz, A. (1991). Aprendizage por Descubrimiento, Análisis Crítico y
Reconstrución Teórica. Salamanca: Ed. Universidad y Amarú.
Ministério da Educação (1989). Projecto de Programa de Matemática para o 3º Ciclo do
Ensino Básico. Lisboa: Editorial do ME.
NCSM (1989). Fundamental Mathematics to the XXI Century. Mathematics Teacher,
Set. 1989, p. 470-474.
NCTM (1991). Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar. Lisboa:
APM.
Papert, S. (1991). Ensinar crianças a serem matemáticos versus ensinar Matemática. In J.
P. Ponte (org.), O computador na Educação Matemática. Lisboa: APM.
Pollak, H. (1987). Notes from a talk given at the Mathematical Sciences Education Board.
Frameworks Conference, Maio 1987, Minneapolis.
Ponte, J. (1986). O computador — Um Instrumento da Educação. Lisboa: Texto Editora.
Ponte, J. P. (org.) (1987). PROFMAT, Revista Teórica e de Investigação em Educação
Matemática. Lisboa: APM.
34
II.
ALGUMAS PROPOSTAS DE
ACTIVIDADES DE ENSINO/APRENDIZAGEM
DA MATEMÁTICA USANDO COMPUTADORES
Ficou clara no capítulo anterior a nossa posição relativamente à forma de utilização do
computador no processo de ensino/aprendizagem da Matemática. O computador é, para nós,
fundamentalmente, um instrumento de apoio à (re)descoberta de conceitos e à resolução de
problemas.
Contudo, as potencialidades educativas do computador não se esgotam nestas duas
actividades de aprendizagem. As suas enormes capacidades de cálculo (numérico e algébrico),
e de visualização, conferem-lhe um papel fundamental na modelação de fenómenos ou de
situações problemáticas. Também o trabalho de projecto ¾ outra importante actividade de
aprendizagem ¾ beneficia largamente da utilização do computador.
As actividades de ensino/aprendizagem propostas a seguir ¾ a título de exemplo, como é
óbvio, ¾ seguem de perto esta nossa posição sobre a utilização educativa do computador.
Assim, para cada tipo de software utilizado, apresentaremos actividades concretas de
(re)descoberta de conceitos, de resolução de problemas e de modelação.
35
Centraremos a nossa atenção apenas em dois tipos de software: folha de cálculo e
programa de exploração da geometria plana (euclideana). Cobriremos, contudo, a maior parte
das áreas curriculares da Matemática escolar: cálculo numérico e algébrico e geometria
euclideana plana.
Escolhemos a folha de cálculo EXCEL, para o ambiente WINDOWS de computadores PC
compatíveis, porque, por um lado é de utilização cómoda e de fácil e intuitiva aprendizagem, e
por outro existe em quase todos os núcleos de escola do Projecto MINERVA.
Para a área da geometria euclideana plana escolhemos o programa CABRI-GÉOMÈTRE
porque, apesar de algumas lacunas que se lhe possam apontar, é dos programas de mais fácil e
intuitiva utilização de quantos existem nesta área.
36
II.1. A FOLHA DE CÁLCULO NO PROCESSO DE ENSINO/APRENDIZAGEM DA
MATEMÁTICA
II.1.1. Aprendizagem por descoberta
Conceito: Proporcionalidade directa
O objectivo que pretendemos que os alunos atinjam é: compreender a proporcionalidade
directa (conceito matemático).
Para a aprendizagem deste conceito recorreremos a 2 actividades de manipulação e
medição de objectos concretos. A primeira sobre objectos físicos (pedaços de ferro); a segunda
sobre objectos geométricos (rectângulos). Trata-se, em ambos os casos, de uma metodologia
activa de aprendizagem por descoberta.
Os objectivos parcelares de ambas as actividades concorrem, portanto, para o objectivo
definido.
1ª actividade:
Objectivos1. Relacionar numéricamente peso e volume de pedaços de ferro
2. Conjecturar, e testar as conjecturas, sobre a relação entre Peso(g) e
Volume(cm3) de cada pedaço de ferro
3. Descobrir a invariância da relação Peso(g)/Volume(cm3) em cada
pedaço de ferro
4. Conhecer a filosofia e os aspectos técnico elementares da folha de
cálculo
37
Materiais1 pedaço de ferro por aluno
1 proveta graduada e água, por grupo
1 balança com precisão ao decigrama, por grupo
1 computador, por grupo
1 folha de cálculo, por grupo
Metodo-
 logia
Cada grupo (3/4 alunos) mede o volume e o peso de cada um dos
pedaços de ferro que lhe foram distribuídos e regista-os numa tabela.
Constrói-se seguidamente uma tabela única com os resultados de
todos os grupos.
Discute-se a existência, ou não, de uma relação numérica comum a
todos os pares de valores (Peso(g) , Volume(cm3)).
Registam-se as várias conjecturas sobre a natureza dessa relação.
Passa-se a tabela à folha de cálculo.
Testam-se, na folha de cálculo, as conjecturas uma por uma até à
descoberta da invariância da relação Peso(g)/Volume(cm3) em
cada pedaço de ferro.
Na fig. 1 ilustra-se uma das inúmeras hipóteses de abordagem do conceito segundo a
metodologia proposta. Para a construção desta folha de cálculo recorremos às fórmulas e
procedimentos adiante descritos.
Os valores das colunas A (Peso) e B (Volume) entraram manualmente a partir da tabela
única de resultados das medições de todos os grupos.
Os valores da coluna C (Peso+Vol) obtêm-se em 2 fases:
· em primeiro lugar, na célula C6 escreve-se a fórmula +A6+B6;
· seguidamente, copia-se essa fórmulapara as células C7 a C19.
38
fig. 1
Dada a relatividade do processo de cópia, as fórmulas passarão a ser, respectivamente,
+A7+B7 na célula C7, +A8+B8 na célula C8, +A9+B9 na célula C9, etc..
O comando Copy está situado no menu Edit.
Os valores das colunas D (Peso-Vol), E (Peso*Vol) e F (Peso/Vol) obtêm-se de forma
análoga, mudando apenas as células iniciais (D6, E6 e F6, respectivamente) e as fórmulas
(+A6-B6, +A6*B6 e +A6/B6, respectivamente), e copiando cada fórmula para as restantes
células da coluna respectiva.
Com esta actividade os alunos têm um primeiro contacto, ainda num nível concreto e
manipulativo, com os conceitos de proporcionalidade directa e de constante de proporcio-
nalidade. Para que a passagem à fase de abstracção seja bem sucedidada, é necessário que
todas as consequências relevantes do conceito, a este nível, sejam exploradas.
39
Deve ficar interiorizado, por exemplo, que o Peso(g) e o Volume(cm3) de pedaços de
ferro são grandezas directamente proporcionais porque é sempre constante (7.6) a razão
Peso(g) / Volume(cm3) em cada um desses pedaços ; que se pode obter o valor numérico do
Peso(g) de qualquer pedaço a partir do seu Volume(cm3), multiplicando este por aquela
constante (7.6).
Mas não se deve ficar pela leitura óbvia e directa da folha de cálculo. Os alunos devem ser
encorajados a conjecturar mais, a experimentar essas conjecturas modificando a folha, até
chegarem a conclusões do tipo:
fig. 2
a razão Volume(cm3) / Peso(g) de cada pedaço de ferro também é constante e tem valor
igual ao inverso aritmético (1/7.6) da constante encontrada para a razão
40
Peso(g) / Volume(cm3). Logo, o Volume(cm3) também é proporcional ao Peso(g), e pode
encontrar-se o valor numérico do Volume(cm3) de qualquer pedaço a partir do seu Peso(g),
multiplicando este por esta última constante (7.6).
A folha de cálculo da fig. 2 ilustra como se poderia chegar a estas conclusões.
41
2ª actividade:
Objectivos1. Relacionar numéricamente área e perímetro de rectângulos
2. Verificar a inexistência de proporcionalidade entre estas duas
 grandezas
3. Aprofundar os conhecimentos técnico e conceptual da folha
 de cálculo
Materiais1 computador, por grupo
1 folha de cálculo, por grupo
Metodo-
 logia
Cada grupo (3/4 alunos) constrói uma folha de cálculo que julgue
adequada aos objectivos.
As várias folhas são discutidas e escolhe-se a mais económica e
eficiente para os objectivos da actividade.
Sobre essa folha verifica-se a não proporcionalidade entre área e
perímetro de rectângulos.
Nesta actividade os alunos têm um objectivo perfeitamente definido e já deles conhecido:
verificar se são constantes as razões Área / Perímetro e Perímetro / Área de rectângulos.
Como sabem calcular quer a Área quer o Perímetro de um rectângulo a partir das medidas
dos comprimentos dos lados, esta actividade desenrola-se totalmente na folha de cálculo sem
necessidade de manipulação de rectângulos concretos. As medidas dos comprimentos dos
lados dos rectângulos podem ser geradas aleatóriamente pela própria folha de cálculo.
A fig. 3 ilustra uma possível folha de cálculo para esta actividade.
42
A construção desta folha de cálculo segue um modelo semelhante aos das folhas das fig. 1
e fig. 2. A única diferença reside nas fórmulas das colunas A (Base) e B (Altura).
Pretendemos que os valores destas colunas sejam gerados aleatóriamente e que variem
entre 1 e 11, isto é, que pertençam ao intervalo [1,11[. A função que gera número aleatórios é
a função RAND( ). Mas esta gera, de cada vez que é chamada, um número aleatório do
intervalo [0,1[. Para obter um número aleatório no intervalo desejado temos que recorrer à
transformação 10*RAND( )+1. De facto, 10*[0,1[ ® [0,10[ e [0,10[+1 ® [1,11[.
Assim, as fórmulas a colocar nas células A6 e B6 são ambas iguais e têm a forma
10*RAND( )+1. Basta copiá-las depois para as células A7 a A19 e B7 a B19, respectivamente,
para se obter uma colecção de valores aleatórios no intervalo [1,11[.
fig. 3
43
Em presença desta folha de cálculo, e pela simples leitura dos valores das colunas
Área/Perímetro e Perímetro/Área, os alunos imediatamente concluem da não proporcio-
nalidade (directa) entre estas grandezas associadas a rectângulos.
É evidente que a aprendizagem do conceito não se limitaria a estas duas actividades
apenas. Seguir-se-iam actividades conducentes à formalização (em grau variável consoante o
nível etário dos alunos) do conceito.
Mas o processo de formalização subsequente encontra-se largamente facilitado devido a
esta abordagem concreta, empírica e "experimental". O significado do conceito foi
interiorizado pelo aluno, tornando o processo de matematização mais fácil e rápido.
O tempo "perdido" nas actividades de descoberta é, assim, recuperado no decurso das
actividades de formalização.
Mas o aspecto mais importante desta metodologia é o desenvolvimento de atitudes
positivas relativamente à Matemática e aos procedimentos de descoberta e investigação, que
de outro modo dificílmente seriam desenvolvidas.
44
II.1.2. Resolução de problemas
As actividades de resolução de problemas, já o dissémos, são fundamentais no
desenvolvimento de capacidades, no desenvolvimento de atitudes positivas e na ligação à
realidade concreta.
Os problemas devem ser criteriosamente escolhidos, tomando em consideração o aluno
(interesses, personalidade, conhecimentos prévios, etc.), de forma a estimular o gosto pelas
actividades investigativas. Sem o envolvimento afectivo, os problemas deixam de cumprir a sua
função para se tornarem em meros exercícios.
Assim, devem ser deixadas à criatividade e originalidade próprias do aluno a descoberta e
implementação de estratégias de resolução, cabendo ao professor suscitar e orientar a
discussão da validade dessas estratégias.
As planificações destas actividades devem, portanto, contemplar sempre esta autonomia
criadora.
Problema:
"Um comboio inicia uma viagem com 200 passageiros a bordo. Na 1ª estação sai 1 passa-
geiro e entram 10; na 2ª estação saiem 2 passageiros e entram 20; na 3ª estação saiem 3
passageiros e entram 30; e assim sucessivamente. Os lugares sentados são em número de 1000.
Em que estação começam a ficar passageiros de pé?"
Objectivos1. Desenvolver estratégias de resolução de problemas
2. Fundamentar a escolha da estratégia de resolução
3. Verificar a validade da estratégia escolhida
4. Integrar conhecimentos e técnicas préviamente adquiridos
45
Objectivos
(cont.)
5. Aprofundar os conhecimentos técnico e conceptual da folha
 de cálculo
Materiais1 computador, por grupo
1 folha de cálculo, por grupo
Metodo-
 logia
Cada grupo (3/4 alunos) discute o problema e elabora um
esboço de resolução, no papel.
 Esse esboço é então implementado na folha de cálculo, testado
 e reformulado, pelo grupo, até ser considerado válido para resolver
 o problema.
As folhas dos vários grupos são discutidas e analisadas uma por
uma, reformulando-se as que não sejam válidas para a resolução
do problema.
Discute-se também a elegância e economia de cada folha, embora
de forma secundária relativamente à validade.
Na fig. 4 apresenta-se uma possível folha de cálculo para resolver o problema.
Na construção desta folha utilizaram-se os procedimentos e fórmulas a seguir descritos.
Para a numeração da estação, na coluna A, inicializou-se a célula A6 com o valor 1 e
construíu-se, a partir do menu Data/Series, a série de valores com passo (Step) igual a 1 e
valor final (Final value) igual a 15. O número de saídas em cada estação, na coluna B, constrói-
se de maneira idêntica.
46
Para a construção do número de entradas em cada estação, na coluna C, introduz-sea
fórmula +A6*10 na célula C6 e copia-se esta fórmula para as restantes células da coluna C,
sendo esta cópia relativa como já se viu.
fig. 4
O acréscimo de passageiros em cada estação (coluna D) é, óbviamente, a diferença entre
as colunas C e B. Assim, introduz-se a fórmula +C6-B6 na célula D6 e copia-se esta fórmula
para as restantes células da coluna D.
O total de passageiros dentro do combóio em cada estação (coluna E) obtém-se em duas
fases: primeiramente, introduz-se na célula E6 a fórmula +D3+D6 *, que corresponde à soma
do número inicial de passageiros com o acréscimo da 1ª estação; seguidamente introduzimos
 
* Poderíamos utilizar a fórmula 200+D6, mas perder-se-ia a possibilidade de ensaiar com outro valores iniciais
47
na célula E7 a fórmula +E6+D7, que dá o número total de passageiros na 2ª estação, incluindo
já o número inicial destes, e copia-se esta fórmula para as restantes células da coluna E.
O problema fica completamente resolvido com estas 5 colunas. Analisando o total de
passageiros e lendo o número da estação em que aquele número é superior a 1000, obtém-se a
solução procurada.
Contudo, podemos fazer com que seja o próprio computador a sinalizar a ultrapassagem
do valor 1000. Foi o que fizémos na coluna F: enquanto o total de passageiros for igual ou
inferior a 1000, não se dá nenhuma indicação; assim que ultrapassar esse valor escreve-se, por
exemplo, "de pé", sinalizando a estação em que ficaram os primeiros passageiros de pé. O teste
é construído introduzindo a condição +IF(E6<=1000,"","de pé") na célula F6 e copiando-a
depois para as restantes células da coluna F.
Após a resolução do problema podemos dar um primeiro passo em direcção à modelação.
Um problema é uma situação concreta e única. Um modelo é uma representação de um
vasto conjunto de situações semelhantes; pode, portanto, ser considerado como uma
generalização de um problema.
Enquanto o problema lida com constantes, o modelo lida com parâmetros. Fazendo variar
estes parâmetros, podemos analisar cada uma das situações concretas cuja totalidade o modelo
representa.
A construção da folha de cálculo anterior foi efectuada de forma que alguns valores
possam ser alterados, funcionando as células respectivas como parâmetros. É o caso do
número inicial de passageiros.
Alterando este parâmetro a folha imediatamente recalcula o problema e dá a solução da
nova situação. Por exemplo, para 0 passageiros no início é a partir da estação 20 que começam
a ficar pessoas de pé; para 327 é a partir da 17ª ; etc..
Também as entradas e/ou saídas em cada estação podem ser manipuladas, reflectindo-se
imediatamente por toda a folha estas alterações.
48
Esta possibilidade de variar os parâmetros e observar as mudanças concomitantes quase
instantâneamente, sem necessidade de cálculos manuais fastidiosos, é um factor fundamental
no desenvolvimento do interesse dos alunos pelas actividades de investigação. A modelação
tem, portanto, um papel importante no desenvolvimento de capacidades e de atitudes positivas
relativamente à Matemática.
Mas, o ensino/aprendizagem da Matemática não pode limitar-se a processos de
descoberta, de resolução de problemas ou de modelação. As descobertas empíricas são um
primeiro passo, necessário mas não suficiente, do processo de construção Matemática. Os
processos de validação de descobertas, de demonstração ou generalização próprios da ciência
Matemática não podem ser descurados, pelo menos nos níveis mais avançados da
aprendizagem.
Em anexo (Anexo 1) propomos uma abordagem analítica deste problema, posterior à sua
resolução na folha de cálculo, que valida a solução empírica obtida.
49
II.1.3. Modelação
Determinados problemas são tão complexos* que apenas admitem estratégias de resolução
experimentais. Outros apresentam resultados tão díspares, dependentes das condições iniciais,
que a relação condições iniciais-resultado determina a solução.
A construção de modelos é a estratégia mais adequada à resolução destes problemas, já
que permite variar os parâmetros ou condições iniciais e, observando a correspondente
variação dos resultados, encontrar a solução adequada.
Dissémos atrás que um modelo é uma generalização de um problema. De facto, quando se
trabalha com um modelo, variando os parâmetros, o que se está a fazer é simplesmente
resolver problemas concretos, ¾ um de cada vez ¾, da família que o modelo representa. Para
cada concretização dos parâmetros temos, portanto, um problema concreto.
Problema:
"Duas cidades, A e B, estão situadas em margens opostas de um rio. A cidade A está à
distância de 5 Km da margem direita e a cidade B está à distância de 2 Km da margem
esquerda. As margens do rio são práticamente paralelas e as projecções das cidades sobre
aquelas distam 10 Km. Pretende-se construir uma estrada de A a B passando sobre o rio. A
ponte, por razões económicas, terá que ser perpendicular às margens. Onde deverá ser
construída a ponte para que a estrada tenha comprimento mínimo? "
Objectivos1. Desenvolver estratégias de resolução de problemas
2. Fundamentar a escolha da estratégia de resolução
3. Verificar a validade da estratégia escolhida
 
* A complexidade é sempre relativa aos intervenientes no processo. Um mesmo problema pode ser complexo
para alunos do 7º de escolaridade e ser trivial para alunos do 12º .
50
Objectivos4. Generalizar a estratégia resolução escolhida
(cont.) 5. Criar modelo da situação problemática
6. Integrar conhecimentos e técnicas préviamente adquiridos
7. Aprofundar os conhecimentos técnico e conceptual da folha
 de cálculo
Materiais1 computador, por grupo
1 folha de cálculo, por grupo
Metodo-
 logia
Discute-se também a elegância e economia de cada folha, embora
de forma secundária relativamente à validade.
Os modelos criados são então utilizados sistemáticamente até
se encontrar a solução do problema.
A fig. 5 apresenta um possível modelo para resolver o problema.
Neste modelo há duas partes distintas: um esboço esquemático da situação, irrelevante
para os cálculos mas importante para a apreensão visual do problema e o modelo própriamente
dito. O esboço foi desenhado recorrendo às ferramentas de desenho próprias da folha de
cálculo e cujos ícones se situam por baixo do menu Help. Este esboço vai servir-nos de
referência na discussão do modelo e sua implementação na folha de cálculo.
A ponte tem sempre o mesmo comprimento onde quer que seja construída, logo pode ser
ignorada. O objectivo do modelo passa a ser então encontrar o mínimo da soma dos
comprimentos dos troços entre as cidades e o rio, isto é, o mínimo de d1+d2.
51
fig. 5
Para isso consideramos um ponto genérico P sobre uma margem do rio, de tal forma que
os 10 Km que medeiam entre as projecções das cidades sobre as margens são divididos em
dois segmentos de comprimentos denotados por `x´ e `10-x´. `x´ representa a distância entre a
projecção da cidade A e o ponto P, onde deve ser construída a ponte. A representação de d1 e
d2 é imediata, por simples recurso ao teorema de Pitágoras:
d x d x1 5 2 10 22 2 2 2= + = - +; ( ) .
A solução do problema é, portanto, o valor de `x´ para o qual a soma d1+d2 é mínima,
donde o parâmetro a variar na procura da solução é apenas `x´.
Para implementar o modelo na folha de cálculo começamos por definir as células B16 e
B18 como x inicial e incremento, o que nos dará automáticamente os valores de x na coluna
52
F. Assim, na célula F3 entrará a fórmula +B16, o que copia o valor inicial de x em F3. Na
célula F4 introduz-se a fórmula +F3+B18, ou seja incrementa-se o valor inicial de x com o
valor de incremento atribuído em B18. Afórmula +F3+B18 é então copiada para as restantes
células da coluna F.
As colunas G e H são construídas de forma análoga: entra-se na célula G3 com a fórmula
+SQRT(F3^2+5^2) e copia-se esta fórmula para as restantes células da coluna G; entra-se na
célula H3 com a fórmula +SQRT((10-F3)^2+2^2) e copia-se esta fórmula para as restantes
células da coluna H.
A coluna I é a soma das coluna G e H. Entra-se na célula I3 com a fórmula +G3+H3 e
copia-se esta fórmula para as restantes células da coluna I.
Após estes procedimentos o modelo encontra-se definido e pronto a ser explorado. Para
tanto basta manipular x inicial e incremento.
Por exemplo, para valor inicial 0 e incremento 1 verifica-se que a soma d1+d2 é mínima
quando x»7, o que nos sugere a exploração de uma vizinhança de 7 com raio da ordem das
décimas. Façamos x inicial=6.5 e incremento 0.1. O valor de x correspondente à soma d1+d2
mínima encontra-se no intervalo [6.8,7.4]. Para estreitar este intervalo alteremos a precisão
dos valores da coluna I (menu Format /Number) para 4 casas decimais. Verifica-se agora que o
valor procurado de x pertence a uma vizinhança de 7.1 com raio da ordem das centésimas.
Esta técnica empregar-se-á tantas vezes quantas as necessárias para obter o valor de x
com a aproximação requerida.
Reafirmando as considerações da página 48, apresentamos em Anexo 2 uma abordagem
analítica deste problema.
Essa abordagem tem ainda a particularidade de evidenciar a forma como os problemas
podem realmente ser um instrumento integrador de conhecimentos e de técnicas.
53
II.1.4. Alguns problemas para resolver com o auxílo da folha de cálculo
Deixamos aqui alguns problemas, não resolvidos, do tipo que entendemos que pode
contribuir para o desenvolvimento cognitivo do aluno. Foram escolhidos pela possibilidade que
apresentam de ser resolvidos na folha de cálculo.
1. O número 48 tem duas propriedades interessantes: adicionando-lhe 1 obtém-se um
quadrado perfeito (49=72); adicionando 1 à sua metade obtém-se também um quadrado
perfeito (25=52). Haverá mais números naturais que gozem de propriedades semelhantes?
2. Um pastor tem 100 m de rede para construir um redil quadrangular. Como ele quer que
a área interior seja máxima, que dimensões devem ter os lados do redil?
3. A área de um quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo rectângulo é
igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Serão os quadrados os
únicos polígonos regulares a gozar desta propriedade?
4. Quantas vezes se deve dobrar sucessivamente uma folha (imaginária) de papel com 0.1
mm de espessura para que a altura de papel obtida ultrapasse a distância da Terra ao Sol,
estimada em 150 milhões de Km?
5. Dois automóveis fazem um percurso de ida e volta, sem parar, entre duas cidades A e B
distantes de 50 Km. Ambos se deslocam a velocidades constantes mas, enquanto o primeiro
faz toda a viagem a 50 Km/h, o segundo faz a ida (de A para B) a 60 Km/h e a volta (de B
para A) a 40 Km/h.
Qual dos automóveis chega primeiro?
Qual a velocidade média do segundo automóvel?
54
II.2. O PROGRAMA "CABRI-GÉOMÈTRE" NO PROCESSO DE
ENSINO/APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
II.2.1. Aprendizagem por descoberta
Conceito: Circumcentro de um triângulo
Objectivos1. Criar modelos geométricos manipuláveis
2. Conjecturar sobre a localização do circumcentro, testar as
 conjecturas no modelo, até à descoberta da solução
3. Verificar a validade da solução
4. Generalizar a solução à classe dos triângulos
5. Integrar conhecimentos e técnicas préviamente adquiridos
6. Conhecer a filosofia e os aspectos técnicos fundamentais
 do programa "Cabri-Géomètre"
Materiais1 computador, por grupo
1 exemplar do programa "Cabri-Géomètre", por grupo
Metodo-
 logia
Cada grupo (3/4 alunos) discute o problema e elabora um
esboço de resolução, no papel.
Esse esboço é então implementado no programa , manipulado
pelo grupo, até se descobrir a localização do circumcentro.
55
Metodo-
 logia
(cont)
Conjectura-se sobre a relação do circumcentro com as linhas
associadas aos triângulos (alturas, mediatrizes, bissectrizes).
Testam-se estas conjecturas no modelo até obter uma generalização
válida.
Confirma-se a generalização noutros triângulos.
Nas figuras seguintes (6 a 10) apresenta-se uma sequência de actividades manipulativas do
modelo geométrico ilustrativas de uma possível estratégia de descoberta do conceito.
A nossa conjectura é a de que o circumcentro é um ponto equidistante dos vértices.
Assim, construiremos um ponto a igual distância dos três vértices e uma circunferência com
centro neste ponto e raio igual à distância do ponto a qualquer dos vértices. Se esta
circunferência contiver os três vértices a nossa conjectura é correcta.
Na fig. 6 começámos por desenhar um triângulo (menu Creation/Triangle) e nomeámos os
vértices (menu Edit/Name). Construímos depois um ponto P (Creation/Point seguido de
Edit/Name). Este ponto P será manipulado até se encontrar à mesma distância dos três
vértices.
Para podermos medir distâncias temos que, primeiramente definir os segmentos que unem
P a cada um dos vértices (menu Creation/Line-Segment) e depois afixar as medidas destes
comprimentos (menu Miscellaneous/Measurement).
56
fig. 6
Movemos, então, o ponto P até as medidas dos comprimentos afixadas serem iguais.
Constrói-se um círculo (menu Creation/Circle def. by 2 pts) com centro em P e um dos
vértices como um dos pontos da respectiva circunferência (fig. 7).
A circunferência deste círculo contém os três vértices, o que confirma a nossa conjectura.
57
fig. 7
Vamos tentar generalizar o conceito à classe dos triângulos, investigando a relação
entre o circumcentro e as alturas, as bissectrizes dos ângulos internos, e as mediatrizes dos
lados.
As alturas são segmentos perpendiculares a cada um dos lados com origem no vértice
oposto. O programa permite-nos traçar rectas passando por um ponto e perpendiculares a uma
dada direcção (recta ou segmento). Traçando as três rectas que contêm as alturas (menu
Construction/Perpendicular line) verifica-se que estas se intersectam num ponto diferente de P
(fig. 8). Logo não interessam aos nossos objectivos.
58
Para não sobrecarregar a figura apaguemos estas rectas (menu Edit/Appearance of
objects) e passemos a construir as bissectrizes dos três ângulos internos. Para tal é necessário
marcar préviamente cada um desses ângulos (menu Miscellaneous/Mark an angle). Depois de
marcados constróiem-se as bissectrizes a partir do menu Construction/Bisector. As três
bissectrizes intersectam-se num ponto diferente de P (fig. 9), portanto, também não interessam
aos nossos objectivos.
 
 fig. 8 fig. 9
Apagamos as bissectrizes e passamos a testar a intersecção das mediatrizes dos três lados
do triângulo. As mediatrizes constróiem-se a partir do menu Construction/Perpendicular
bisector. As três mediatrizes intersectam-se no ponto P (fig. 10). Então, podemos concluir que
o circumcentro de um triângulo é o ponto de interseccção das mediatrizes dos lados
desse triângulo.
Finalmente, para validar esta generalização geométrica, testamos esta conclusão em vários
outros triângulos. Ou seja:
1. desenhamos vários triângulos,
2. traçamos em cada um as mediatrizes dos lados,
59
3. construímos o círculo de centro no ponto de intersecção dessa mediatrizes e raio igual
à distância do ponto a qualquer dos vértices.
Constatamos, então, que os três vértices pertencem, efectivamente, à fronteira
(circunferência) desse círculo, o que valida a conjectura transformando-a em conclusão
geral para a classe dos triângulos.