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Apostila Experimental Fisica1 UFU

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Este texto contém o curso experimental de Física Geral I que há mais de um quarto de 
século ministro na Universidade Federal de Uberlândia. O seu conteúdo corresponde, exatamente, 
à disciplina semestral que no currículo atual da nossa Universidade recebeu a denominação de 
Física Experimental I, com carga horária de 2 horas/semana, durante um semestre, e que é parte 
integrante da grade curricular do 2º período do curso de graduação de engenharia. 
Sabemos que toda teoria científica parte de um conjunto de hipóteses que são sugeridas 
pela observação, mas da qual representam uma idealização. A teoria deve então ser verificada 
pela comparação entre as predições deduzidas destas hipóteses com os resultados experimentais. 
Assim se expressou Karl Popper: ³$�FLrQFLD�p�LQYHQomR�GH�KLSyWHVHV��D�H[SHULrQFLD�GHVHPSHQKD�R 
SDSHO� GH� FRQWUROH� GDV� WHRULDV´� Se muitas dessas verificações são feitas e nenhum desacordo é 
encontrado, então as hipóteses adquirem gradualmente o status de ³OHLV�GD�QDWXUH]D´� Portanto a 
experiência é a única fonte da verdade; só ela nos pode dar a certeza sobre um determinado 
modelo. 
Um exemplo recente do que afirmei acima pode ser encontrado na Teoria da Relatividade 
Generalizada, que Einstein apresentou em 1915. Até 1960 a Teoria da Relatividade Generalizada 
era evitada por um grupo numeroso de físicos, os quais argumentavam ser ainda extremamente 
reduzido o número de testes comprovadores da sua veracidade. (Na realidade o único teste que 
até aquela data era aceito sem impugnações era o da explicação da diferença – 43 �SRU�VpFXOR�– 
entre o avanço observado do periélio do planeta Mercúrio e o avanço previsto pela teoria 
newtoniana). A partir de janeiro de 1960, no entanto, devido principalmente ao trabalho do grupo 
da Universidade de Harvard (USA), a Teoria da Relatividade Generalizada foi incorporada 
definitivamente à Física (lembro que esse trabalho consistiu, essencialmente, em utilizar o efeito 
Mössbauer para medir o desvio, para o vermelho, das raias espectrais, desvio esse devido à ação 
de um campo gravitacional). 
Este curso, como já declarei, destina-se a estudantes de engenharia, e visa desenvolver a 
habilidade em resolver problemas científicos. Isto envolve, portanto, decidir o que fazer, observar o 
que acontece e selecionar dados relevantes e de interesse, escolher entre o método sofisticado ou 
o simples, analisar os próprios erros e propor suas correções, etc. Mas é claro que nenhum 
estudante, no estágio inicial de seu desenvolvimento, será capaz de usar todas estas habilidades, 
 
mas sentirá a necessidade de desenvolvê-las depois que se defrontar com o primeiro problema 
experimental. Terá, então, oportunidade de desenvolver sua criatividade, curiosidade, capacidade 
de análise, atitude científica, ou seja, envolver-se totalmente com o problema e exercitar suas 
habilidades. 
Mas, para que estes objetivos sejam alcançados, é necessário que o estudante assuma 
uma atitude de participação ativa, pois que o trabalho de laboratório será útil na medida em que se 
saiba, a cada instante, o que se faz e por que é feito, devendo ter, por conseguinte, uma idéia clara 
de cada operação e do conjunto da experiência, sem o que esta se transformará numa simples 
execução de uma receita que pouco ou nenhum valor tem. Por outro lado, o laboratório tem, 
também, uma função de controle: indica se realmente a teoria foi compreendida, pois o não saber 
aplicar uma teoria nas questões experimentais é uma clara indicação de que ela não foi 
compreendida, ou – o que é ainda pior – foi compreendida de forma distorcida, uma vez que não 
se sabe aplicar o que não foi compreendido ou foi compreendido incorretamente. 
Por fim, se tornaria extremamente impossível citar todos os autores cujas idéias utilizei 
aqui. Mas seria uma injustiça não registrar o meu profundo reconhecimento a um professor que 
não conheci pessoalmente, mas que influenciou decisivamente minha vida acadêmica, primeiro 
como estudante e, depois, como docente, pelos seus extraordinários livros, de uma clareza e 
precisão inigualáveis: o professor L. P. M. Maia, Livre-Docente em Mecânica Clássica da 
Universidade Federal do Rio de Janeiro, de quem, muitas vezes, utilizei até suas próprias 
expressões. Como agradecimento a todos – e agradecer é um ato primário do espírito –, acho 
justo dizer que este é “nosso” livro. Algo que Blaise Pascal escreveu e que tem uma aplicação 
perfeita neste caso: 
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Uberlândia, março de 2005. 
 
������������������������������������������������������������������������ Everaldo Ribeiro Franco 
 Engenheiro e Ex-Professor Titular de Física da UFU 
 
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Medidas e Erros 
15 
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Um dos aspectos mais importantes da Física Experimental consiste em testar teorias e 
como regra geral, com poucas exceções, tais testes incluem medidas. Desta forma, a observação 
de um fenômeno é incompleta quando dela não resultar uma informação quantitativa. Para se 
conseguir esse tipo de informação, é necessário medir uma propriedade física e, por isso, a 
medida constitui uma boa parte da rotina diária do físico experimental. William Thomson (/25'�
.(/9,1, 1824-1907), dizia: “Tenho afirmado freqüentemente que quando se pode medir aquilo de 
que se está falando, e exprimir essa medida em números, então ficamos sabendo algo a seu 
respeito; mas quando não se pode exprimi-la em números, o conhecimento é limitado e 
insatisfatório. Ele pode ser o começo do conhecimento mas o pensamento terá avançado muito 
pouco para o estágio científico, qualquer que seja o assunto”. Ainda que esta afirmação possa 
parecer exagerada, principalmente para algumas áreas do conhecimento humano, ela exprime 
uma filosofia que um físico deve seguir durante todo o tempo que estiver fazendo pesquisas. 
Medir uma grandeza significa compará-la com outra da mesma espécie e verificar quantas 
vezes essa outra é menor ou maior do que ela. Assim, por exemplo, medir o comprimento, ��GH�
uma haste, nada mais é do que verificar quantas vezes esse comprimento é maior (ou menor) do 
que um comprimento tomado para comparação (ou padrão). Suponhamos, para exemplificar, que 
o comprimento da haste considerada seja de 3 m. Isto significa que a haste contém 3 vezes o 
comprimento do metro padrão. Exprimiremos isto de uma maneira concisa, dizendo que o 
comprimento da haste é de 3 metros e escreveremos: 
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convencionando que a expressão 3 metros significa: 3 vezes o comprimento de 1 m. 
A porção de uma grandeza que é escolhida para termo de comparação das grandezas da 
sua espécie é chamada unidade de medida da grandeza. No caso acima, a unidade de 
comprimento escolhida foi o comprimento de 1 m. 
Observando a relação anterior, verificamos que a expressão completa de uma grandeza é 
constituída pelo produto de dois fatores: um deles é a unidade de medida da grandeza (no caso, 
m), e o outro é a medida relativa a essa unidade, ou seja, o número que exprime quantas vezes a 
grandeza medida contém a unidade utilizada (3, no caso acima considerado). 
As leis físicas são relações entre medidas das grandezas que caracterizam um fenômeno; 
são, pois, leis de naturezaexperimental que relacionam números resultantes de medidas 
Física Experimental – Mecânica 
16 
efetivamente realizadas em laboratório. Foi desta forma que Galileu chegou à lei fundamental da 
Mecânica, hoje conhecida como a 2ª lei do movimento de Newton-Galileu. 
 A exatidão dessas leis está, porém, condicionada pela precisão das medidas das 
grandezas correspondentes ao fenômeno estudado e esta precisão depende de inúmeros fatores 
inerentes ao mundo físico onde ocorrem os fenômenos. Em última análise, a medição de uma 
grandeza física consiste em uma operação pela qual se efetua uma amostragem de todas as 
observações possíveis da grandeza, e esses resultados estão por isso sujeitos a variações ou 
flutuações decorrentes de inúmeros fatores resultantes de inevitáveis imperfeições nos dispositivos 
de medida ou de limitações impostas pelos nossos sentidos que devem registrar a informação. 
����� 2�FRQFHLWR�GH�HUUR�
Do que acabamos de expor, fica claro que todas as vezes que medimos uma grandeza 
cometemos um certo erro, isto é, não encontramos, em geral, o seu valor correto ou exato, mas 
sim apenas um valor aproximado. Este valor aproximado encontrado é chamado valor experimental 
da grandeza medida. 
Neste nosso curso estaremos interessados em apenas dois índices de erro, dos quais 
passamos a tratar a seguir. Antes, porém, desejo esclarecer que a teoria dos erros, devida quase 
totalmente a C. F. *$866 (1777-1855), físico e matemático alemão e um dos maiores gênios de 
todos os tempos, tem sua origem no cálculo das probabilidades, e não será objeto de nosso estudo 
aqui. O estudante interessado deverá consultar livros especializados no assunto. 
������� (UUR�DEVROXWR�
Um valor experimental de uma grandeza contém, geralmente, um certo erro, ou seja, existe 
geralmente uma discrepância entre o valor verdadeiro de uma grandeza e o valor experimental que 
é resultado de uma operação de medida. A discrepância entre o valor verdadeiro (ou teórico) e o 
valor experimental é geralmente indicada por meio de um índice de erro. 
Assim, chamamos erro absoluto de uma medida de uma grandeza, por convenção, à 
diferença entre o valor teórico (ou verdadeiro) da grandeza e o valor experimental que é obtido 
pela medida efetuada: 
Ea = Vv – Ve. 
Por exemplo: se o valor verdadeiro da distância entre dois pontos for de 1m, e 
encontrarmos, como resultado de uma medida, um valor de 0,999 m, o erro absoluto, Ea, da 
medida, será de 0,001 m. 
Medidas e Erros 
17 
É interessante observar, no entanto, que os valores verdadeiros não nos são, em geral, 
acessíveis, a não ser em raríssimos casos. Para compreender isto, é interessante contrastar esse 
conceito com o que ocorre na Matemática. Quando dizemos que a soma dos ângulos internos de 
um triângulo vale 180º (na geometria euclidiana) ou ainda que sen² � �� FRVð � � ��� HVWDPRV�
enunciando valores e relações absolutamente exatos. Tais valores e relações referem-se a entes 
abstratos que só existem em nossas mentes e não dependem de quaisquer experiências para 
serem provados, o que não ocorre com as leis físicas. A exatidão absoluta das propriedades 
matemáticas é simples conseqüência de elas serem estabelecidas mediante soluções lógicas, 
feitas a partir de definições previamente convencionadas, e essas definições introduzem entes que 
não existem no universo físico. 
Ao contrário, as medidas físicas referem-se a propriedades do mundo físico que não 
gozam da vantagem de serem verdades eternas. As medidas físicas estão sujeitas a incertezas, 
não tendo sentido falar em valores exatos ou verdadeiros – a não ser que tais valores sejam 
fixados convencionalmente, isto é, por definição. Por exemplo, o índice de refração do vácuo é 
exatamente 1,000...; a permeabilidade magnética do vácuo é exatamente 4 .10-7 
weber/ampère.metro; em ambos os casos trata-se de valores adotados e não medidos. 
Assim, é importante insistir que os valores verdadeiros das diversas grandezas não nos 
são, em geral, acessíveis, a não ser em raríssimos casos, como citado. Os valores experimentais 
das grandezas é que nos são, em geral, acessíveis. Só muito raramente o valor experimental de 
uma grandeza coincide com o seu valor verdadeiro, isto é, só muito raramente é nulo o erro 
absoluto de uma medida. Suponhamos, para exemplificar, que desejamos saber qual o intervalo de 
WHPSR�� W��TXH�XP�SODQDGRU�JDVWD�SDUD�SHUFRUUHU��XPD�FHUWD�GLVWância sobre um trilho de ar. Para 
isto nos utilizamos de um cronômetro e suponhamos que, efetuando cinco vezes a medida do 
LQWHUYDOR�GH�WHPSR� W�HQFRQWUDmos os seguintes valores: 1,972s; 1,987s; 1,926s; 1,994s; 1,932s. 
(YLGHQWHPHQWH� R� LQWHUYDOR� GH� WHPSR� W� Qão pode ser simultaneamente 1,972s; 1,987s; 
1,926s; 1,994s; 1,932s. Ou é 1,972s, ou é 1,987s, ou é 1,926s, ou é 1,994s, ou é 1,932s, ou não é 
nenhum desses valores. Como nos decidirmos então? Qual o verdadeiro intervalo de tempo? 
A resposta à segunda pergunta é simples: jamais poderemos saber qual o verdadeiro 
intervalo de tempo. A primeira questão, isto é, como nos decidirmos quando o verdadeiro valor de 
uma grandeza nos for inacessível, foi resolvida por Gauss, através do 32678/$'2�'(�*$866. 
Assim, após algum tempo de pesquisas, Gauss adquiriu a convicção de que o valor mais 
provável que uma série de medidas nos permite atribuir a uma certa grandeza é a média aritmética 
dos valores individuais da série. Este valor convencionou-se ser o valor verdadeiro da medida. No 
caso anteriormente considerado, o valor mais provável do intervalo de tempo, de acordo com 
Gauss é: 
Física Experimental – Mecânica 
18 
W� �������������������������������������������V��RX�VHMD� W� ������V� 
Consideraremos então, por convenção, 1,962s o valor verdadeiro do intervalo de tempo. 
Devemos acrescentar, ainda, uma informação importante: na apresentação do valor mais provável, 
o último algarismo deve corresponder à mesma casa decimal dos valores medidos, devendo ser 
arredondado para cima caso o próximo algarismo seja superior ou igual a 5. 
Pode-se provar, em Estatística, que a média aritmética é o valor verdadeiro da medida 
sempre que o número de medidas seja muito grande – teoricamente deveria ser infinito. Mas, na 
prática, realiza-se apenas um número limitado de medidas, resultando, assim, apenas uma 
estimativa do valor verdadeiro, em que esta se aproxima tanto mais do valor verdadeiro quanto 
maior for o número de medidas. 
������� (UUR�UHODWLYR�
Suponhamos que a distância entre dois dados pontos de uma rodovia seja de 400 km 
(valor verdadeiro, por hipótese), que o comprimento de uma certa via pública seja de 4 km (valor 
verdadeiro, por hipótese), e que duas pessoas, A e B, foram encarregadas de medir esses 
comprimentos. Suponhamos mais: que a pessoa A encontrou, para a distância entre os dois 
pontos da rodovia, um valor de 399 km, enquanto a pessoa B encontrou para o comprimento da via 
pública um valor de 3 km. Poderíamos perguntar então: qual das duas pessoas cometeu maior 
erro? Ora, os erros absolutos cometidos pelas duas pessoas foram iguais (no caso, 1 km). 
Percebemos nitidamente, no entanto, que a importância do erro cometido pela pessoa A é muito 
menor que a do erro cometido pela pessoa B, isto é, sentimos claramente que a pessoa A cometeu 
um erro muito menos grave que a pessoa B, a despeito do fato de serem iguais os erros absolutos 
cometidos por uma e outra. E isto pela simples razão de que 1 km a mais ou a menos em 400 km 
faz uma diferença muito menos sensível do que 1 km a mais ou a menos em 4 km. Somos levados, 
então, muito naturalmente, a dar mais importância não ao erro absoluto de uma medida de uma 
grandeza, mas sim ao valor da razão entre esse erro e o valor verdadeiro da grandeza, chamado, 
por convenção, de erro relativo, isto é: 
Er = Ea/Vv. 
Assim, no presente caso, os erros relativos cometidos pelasduas pessoas são: 
A ⇒ Er = 1 km/400 km = 0,0025 
B ⇒ Er = 1 km/4 km = 0,25, 
o que nos mostra que o erro cometido pela pessoa A foi 100 vezes menor que o cometido pela 
pessoa B. 
Medidas e Erros 
19 
Os erros relativos são geralmente expressos sob a forma de porcentagem, o que nos dois 
casos considerados nos leva a escrever: 
A ⇒ Er = 0,0025 ou 0,25% 
B ⇒ Er = 0,25 ou 25% . 
É fácil observar, então, que quanto menor for o erro relativo de uma medida de uma 
grandeza, mais próximo do seu valor verdadeiro estará o resultado encontrado, ou seja, mais 
precisa foi a medida realizada. 
Finalizando, desejamos alertar que o erro relativo é um número adimensional (por ser a 
razão de duas grandezas de mesma espécie); o erro absoluto tem as mesmas unidades (ou 
dimensões) da grandeza medida. E uma das razões de se medir a precisão pelo erro relativo é que 
isto permite comparar as precisões de grandezas de espécies diferentes, o que, evidentemente, 
não é possível utilizando o erro absoluto. 
����� $OJDULVPRV�6LJQLILFDWLYRV�
Sabemos, então, que uma medida de uma grandeza qualquer é geralmente aproximada, a 
aproximação sendo, em geral, função do operador e do instrumento utilizado. A grande parte das 
medidas físicas envolve leituras de escalas quando, evidentemente, o instrumento não for digital. 
Há óbvias limitações quanto à separação entre as linhas numa escala, sem falar no fato de que 
estas linhas não têm, por certo, espessura nula. Em cada caso, portanto, a determinação do 
algarismo final numa leitura terá que ser obtido por estimativa e, portanto, será, até certo ponto, 
incerto. Não obstante, este algarismo incerto é significativo no sentido de que ele dá informação 
utilizável sobre a quantidade que está sendo medida. Assim, a necessidade de se utilizarem 
instrumentos de medidas nos leva a conceituar o que chamamos de algarismos significativos de 
uma medida. Vejamos alguns exemplos. Utilizando-se uma régua centimetrada (dividida em 
centímetros), conforme ilustra a figura, podemos observar que o comprimento AB pode ser 
avaliado em 8,3 cm. Sendo o comprimento do segmento AB = 8,3 cm, temos os algarismos 8 e 3, 
onde o 8 é correto e o 3 é avaliado (ou estimado). Um segundo observador poderia considerar 8,2 
cm ou 8,4 cm. Por este motivo denominamos o algarismo 3 (no caso da primeira leitura) de 
duvidoso. 
 
Física Experimental – Mecânica 
20 
Se utilizarmos uma régua comum (uma régua graduada até milímetros) para medir o 
mesmo segmento, podemos ter uma situação conforme ilustrado a seguir. Neste caso podemos 
avaliar seu comprimento como sendo AB = 8,26 cm. Os algarismos corretos são agora 8 e 2, pois 
sabemos que o comprimento é maior que 8,2 cm e menor que 8,3 cm, ao passo que o duvidoso é 
6, uma vez que sua obtenção surgiu de uma avaliação do experimentador. 
 
Se utilizássemos um paquímetro, poderíamos obter, para a medida em foco, um valor de 
8,271 cm, e um micrômetro nos permitiria obter um valor que poderia ser 8,2713 cm. 
Uma régua graduada em centímetros nos permitiu ler a grandeza com dois algarismos (um 
exato e um duvidoso); uma régua comum nos forneceu, para a mesma grandeza medida, três 
algarismos (dois exatos e um duvidoso ou estimado), etc. Um instrumento de maior precisão 
poderá medir uma mesma grandeza com um número maior de algarismos, ou seja, a precisão do 
valor de uma quantidade física é refletida no número de algarismos significativos usados na 
indicação do valor. Mas, estaríamos chegando ao verdadeiro valor da grandeza, ou apenas nos 
aproximando de seu valor mais provável? 
Com a segunda régua jamais poderíamos ler, digamos, 8,269 cm, pois no máximo 
poderíamos ler apenas até centésimos de centímetro (avaliando). Conseqüentemente, usando tal 
régua só poderíamos considerar representativos, ou seja, significativos, algarismos que 
exprimissem até centésimos de centímetro, no máximo. Escrever, como resultado de medidas 
efetuadas com tal régua, algarismos que representassem milésimos de centímetro, seria uma 
atitude totalmente desprovida de significado lógico. 
Estas considerações introduzem, de forma natural, o conceito de algarismos significativos 
de uma medida, entendendo ser aqueles algarismos que sabemos serem corretos e mais o 
primeiro duvidoso. 
Em Física só devemos escrever algarismos significativos. Por este motivo vamos nos deter 
um pouco mais na análise deste assunto. 
Suponhamos que um certo estudante determinou a massa de um objeto como sendo m = 
0,02130 kg. Esta grandeza foi obtida com quatro algarismos significativos. Observe que o zero à 
direita é significativo (surgiu de uma avaliação) ao passo que os da esquerda não. Assim 
poderíamos escrever também: 2,130.10 ² kg; 21,30.10 ³ kg; 2,130.10 g; 21,30 g. Em todas estas 
formas apresentadas a medida continuou com quatro algarismos significativos. Qualquer 
Medidas e Erros 
21 
representação da mesma que altere o número de algarismos significativos é incorreta como, por 
exemplo, 2,13.10 ² kg. Neste caso o algarismo duvidoso agora é o 3, e a medida passou a ter três 
algarismos significativos. É importante notar que a localização do ponto decimal nada tem a ver 
com o número de algarismos significativos. 
Utilizando-se o conceito de algarismo significativo pode-se compreender que, fisicamente, 
5 m/s não é idêntico a 5,0 m/s. 
Por fim desejo alertar o leitor para o fato de que, freqüentemente, o valor de uma grandeza 
não é obtido por medida direta da grandeza, mas sim por meio de operações sobre valores de 
outras grandezas. Foi nosso propósito não entrar no mérito das operações com algarismos 
significativos, bem como remeter a textos específicos a questão referente à propagação de erros. 
No entanto, considerando o conjunto das experiências aqui descritas e a aparelhagem existente 
em nosso laboratório, iremos adotar em todo este nosso curso o procedimento mais simples, que 
consiste em realizar todas as operações matemáticas sem tomar conhecimento do problema das 
operações com algarismos significativos, devendo o resultado final, após o arredondamento, ser 
apresentado com dois algarismos significativos após a vírgula. 
����� 4XHVW}HV�
1. No exemplo citado no parágrafo 1.1, relativo ao comprimento da haste, falou-se em 
“medida da grandeza relativa à unidade escolhida”. Quer isto dizer que a medida de uma 
grandeza depende da unidade escolhida? Explique. 
2. Podemos comparar a precisão de medidas de grandezas de espécies diferentes? Em caso 
afirmativo, que índice de erro devemos usar? 
����� 3UREOHPDV�
1. Medindo-se várias vezes, com uma mesma régua e usando-se a mesma técnica, a 
distância d entre dois pontos fixos, A e B, encontraram-se os seguintes valores: 21,23 cm, 
21,25 cm, 21,28 cm, 21,27 cm, 21,22 cm. Pede-se: a) quantos algarismos significativos há 
em cada medida?; b) em cada medida quais os algarismos que sabemos serem corretos?; 
c) qual a menor subdivisão da régua utilizada?; d) qual o valor mais provável que as 
medidas efetuadas nos permitem atribuir à distância d?; e) qual o erro absoluto de cada 
uma das medidas efetuadas?; f) qual o erro relativo percentual da terceira medida? 
2. Medindo-se os ângulos agudos de um triângulo retângulo, encontraram-se os seguintes 
valores: = 58Û��¶� H� � � ��Û��¶�� 3HGH-se calcular o erro relativo percentual que essas 
medidas acarretam para a soma S = ��� � 
Física Experimental – Mecânica 
22 
3. Em um porta-aviões, os aviões, partindo do repouso, são impelidos por uma catapulta, 
alcançando uma velocidade de 100 km/h no final da pista de lançamento. Supondo ser de 
10% o erro relativo cometido na medida de tal velocidade, pede-se calcular quais poderão 
ser os valores verdadeiros das velocidades dos aviões no final da pista de lançamento. 
4. Um motorista viajando numa rodovia observa que o odômetro de seu automóvel assinala 
5344km quando passa pelo marco quilométrico 398 km da rodovia. Minutos depois ele 
passa por outro marco que indica 448 km enquanto o odômetro registra 5392 km. Supondo 
que a marcação da estrada esteja correta, qual o erro relativo percentual que se comete 
quando se utiliza esse odômetro para medir distâncias? 
5. Na construção de uma régua milimetrada, de 30 cm, houve um defeito na fabricação e ela 
apresenta apenas 29 cm. Qual o erro relativo que se comete na utilização desta régua? 
Um torneiro mecânico usando esta régua construiu um parafuso de 10 cm de 
comprimento. Qual o verdadeiro comprimento do parafuso? 
����� %LEOLRJUDILD� �
AXT, R. & GUIMARÃES, V.H.. )tVLFD� H[SHULPHQWDO� ,� H� ,,. Porto Alegre, Editora da Universidade 
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de Minas Gerais, 1986. 97p. 
A Análise Dimensional 
23 
$�$QiOLVH�'LPHQVLRQDO�
����� ,QWURGXomR�
O fim último da Física é o conhecimento do Universo em que vivemos. Para isto esta 
ciência procura descobrir as possíveis relações existentes (equações) entre as várias grandezas 
físicas, isto é, entre os vários parâmetros capazes de caracterizar os fenômenos observáveis no 
mundo físico; e as suas leis nada mais são do que as expressões dessas relações. As mais 
importantes dessas leis são quantitativas, isto é, podem ser expressas por fórmulas contendo 
símbolos representativos das medidas das grandezas consideradas. 
Muitas dessas equações são conhecidas, enquanto que outras ainda não o são. Por 
exemplo, o aluno pode se recordar da expressão que fornece a força centrípeta que mantém uma 
partícula de massa m, e velocidade escalar v, em trajetória circular, de raio R; no entanto, julgamos 
nós, ele já esqueceu, ou não estudou em seu curso pré-universitário, a expressão que fornece a 
velocidade de escape – velocidade mínima necessária para que um corpo lançado de um planeta 
não mais volte a ele. 
A $QiOLVH� 'LPHQVLRQDO é desenvolvida a partir do estabelecimento do conceito de 
dimensão de uma grandeza. E um dos muitos objetivos desse assunto, de particular interesse na 
engenharia moderna, em que os problemas são às vezes tão complexos que os métodos da 
Matemática Clássica são totalmente impotentes para resolvê-los, é o da previsão de fórmulas 
físicas. Tal previsão, feita pela Análise Dimensional, se baseia no “SULQFtSLR�GD�KRPRJHQHLGDGH 
GLPHQVLRQDO” e num importantíssimo teorema, conhecido como “WHRUHPD�GH�%ULGJPDQ”. Antes, 
porém, devemos definir o que é um VtPEROR�GLPHQVLRQDO. 
����� 2V�6tPERORV�'LPHQVLRQDLV�
Há tantas grandezas físicas que difícil se torna organizá-las. Elas não são, entretanto, 
independentes uma das outras. Por exemplo, a energia cinética de uma partícula é igual ao 
semiproduto da massa pelo quadrado da velocidade da partícula. O que fazemos é selecionar, 
entre todas as grandezas físicas possíveis, um número pequeno delas que chamamos 
fundamentais, sendo todas as demais grandezas derivadas delas. Surgem, em conseqüência, 
duas perguntas: (a) quantas grandezas fundamentais deveriam ser selecionadas?; (b) Quais 
seriam? 
A resposta é simples e lógica: deveremos selecionar o menor número de grandezas físicas 
que conduzirá a uma descrição completa da Física nos termos mais simples. Muitas escolhas são 
possíveis. Em um dado sistema, por exemplo, força é uma grandeza fundamental. No sistema que 
vamos adotar, é uma grandeza derivada. 
Física Experimental – Mecânica 
24 
Para ficar somente na área da Mecânica, a escolha de apenas três grandezas 
fundamentais são suficientes para que possamos expressar todas as outras grandezas 
pertencentes a esse campo da Física. A 14ª Conferência Geral sobre Pesos e Medidas (1971), 
estruturada no trabalho de conferências e comitês internacionais precedentes, selecionou como 
grandezas fundamentais o comprimento, a massa e o tempo. Esta é a base do Sistema 
Internacional de Unidades, abreviado SI, do francês “Le Système International d’Unités”. 
Desta forma, os símbolos dimensionais – que dão uma idéia da dimensão da grandeza – 
usados em Mecânica são representados usualmente por L, M e T, respectivamente, isto é, usa-se 
pôr: 
[ s ] = L, [ m ] = M, [ t ] = T, 
em que por s, m e t estamos representando, respectivamente, as grandezas comprimento, massa 
e tempo. 
Assim, a velocidade, que é uma grandeza derivada, tem por símbolo dimensional LT-1, isto 
é: [ v ] = LT-1 . 
A força escrita em símbolos dimensionais é: [ F ] = LMTز, pois, força = massa x 
aceleração. 
����� 2�3ULQFtSLR�GD�+RPRJHQHLGDGH�'LPHQVLRQDO�
As equações da Física exprimem relações existentes entre um certo número de grandezas. 
Representam, portanto, igualdades nas quais os dois lados da equação devem ter as mesmas 
dimensões, isto é, devem ser de mesmo grau em relação aos símbolos dimensionais. Ou seja: as 
equações físicas verdadeiras devem ser homogêneas em relação aos símbolos dimensionais. Esta 
condição, necessária a toda e qualquer equação da Física, fornece-nos um critério cômodo e 
seguro para reconhecer, de partida, se uma determinada equação é falsa ou se pode ser 
verdadeira. Tal critério, que é denominado “princípio da homogeneidade dimensional” é o seguinte: 
“Uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente homogênea”. 
Note-se que esse princípio fornece-nos apenas uma condição necessária, mas não 
suficiente para a legitimidade de uma equação física, isto é, uma equação física não pode ser 
verdadeira se não for dimensionalmente homogênea, mas nem toda equação dimensionalmente 
homogênea é obrigatoriamente verdadeira fisicamente. Assim, em qualquer equação física 
autêntica as dimensões de todos os termos devem ser as mesmas. 
Para exemplificar, citemos um fato comum entre os alunos. Sabemos que o volume de um 
cilindro reto de altura h e raio de base r é dado por V = r²h, uma igualdade dimensionalmente 
homogênea. No entanto, é comum estudantes apresentarem em seus relatórios que o volume do 
A Análise Dimensional 
25 
cilindro é V = 2 rh, uma equação dimensionalmente não homogênea. Por outro lado, se o 
estudante escrevesse, para tal volume, V = rh², podemos notar que a equação é 
dimensionalmente homogênea, mas não verdadeira. Portanto, uma das maneiras de verificar se 
uma equação apresenta erro, é examinar as dimensões de cada um de seus termos. 
����� $�'LPHQVLRQDO�GH�XP�1~PHUR�5HDO�
Algumas equações da Física apresentam constantes puramente numéricas, enquanto que 
outras têm constantes universais mas que possuem unidades, isto é, possuem dimensão. Assim, a 
expressão da energia cinética de uma partícula de massa m, animada de velocidade escalar v, é K 
= (1/2)mv². Neste caso 1/2 é um fator puramente numérico, como se pode comprovar aplicando o 
princípio da homogeneidade dimensional. Já a lei de Newton da gravitação universal mostra-nos 
que G – constante gravitacional – possui dimensão. Sugerimos que o leitor determine e verifique o 
seu símbolo dimensional. 
Nestas condições, embora exista uma demonstração a respeito, deve-se ter concluído que 
o símbolo dimensional de um fator puramente numérico (um número puro ou um número 
adimensional, como se costuma chamar) é igual a um, isto é, [fator puramente numérico] = LÛ�0Û�7Û��
= 1. 
����� 2�7HRUHPD�GH�%ULGJPDQ�
Enfatizamos, anteriormente, que uma das possibilidades da Análise Dimensional é a 
previsão de fórmulas físicas. Consegue-se, mediante simples considerações dimensionais, 
determinar o aspecto geralda expressão de uma lei física, isto é, determinar com que dimensões 
irão aparecer, nessa expressão, as diversas grandezas que influem no fenômeno em estudo. No 
entanto, o pesquisador que procura prever a fórmula de um fenômeno deve conhecer, a priori, as 
diversas grandezas que influem nele, pois o processo para a previsão de fórmulas baseia-se no 
princípio da homogeneidade das leis físicas. O processo geral para a previsão consiste em 
estabelecer a igualdade entre as dimensões das grandezas correspondentes dos dois membros da 
expressão procurada. Chega-se, assim, a um sistema de equações, que resolvido dá as 
dimensões que se quer determinar. 
A equação matemática que relaciona as diversas grandezas envolvidas no fenômeno é 
fornecida pelo seguinte teorema, conhecido como teorema de Bridgman, que, como já dissemos, é 
fundamental para a Análise Dimensional. Tal teorema afirma: 
“Uma qualquer grandeza física pode sempre ser posta, a menos de um fator puramente 
numérico, sob a forma de produto de potências de grandezas das quais a considerada dependa, 
isto é, se a grandeza G depende das grandezas A, B, C,..., pode-se sempre escrever que”: 
Física Experimental – Mecânica 
26 
G =K. Aa Bb Cc... 
onde K, a, b, c, ... são números puros”. 
Admitiremos este teorema, neste nosso curso, sem demonstração, uma vez que a mesma 
está acima do escopo e do objetivo proposto. 
Para finalizar, duas observações se fazem necessárias: 1ª) a previsão de fórmulas físicas através 
da Análise Dimensional só é possível, como já enfatizado, quando sabemos de quais grandezas a 
grandeza procurada depende. Desse modo a Análise Dimensional é inoperante quando não são 
conhecidas as relações qualitativas existentes entre as grandezas relativas a um determinado 
problema, isto é, quando não se sabe de quais grandezas uma determinada grandeza depende. 
Por este motivo a Análise Dimensional deve ser usada, na tecnologia, juntamente com a 
experimentação, pois que só a experiência pode indicar, de maneira simples, quais os fatores que 
têm influência sobre um determinado fenômeno. Tal fato está, na realidade, ligado ao conceito de 
função, onde a palavra função é empregada aqui em sua acepção científica, isto é, no sentido de 
Dirichlet-Moore: correspondência unívoca; 2ª) a Análise Dimensional não admite coeficientes 
numéricos; isto faz com que, em geral, não seja possível determinar completamente a lei física de 
um fenômeno qualquer, pois nela poderá figurar um coeficiente puramente numérico. A 
determinação desse coeficiente deverá ser feita experimentalmente. 
([HPSOR�
Prever, usando Análise Dimensional, uma expressão que permita calcular a força 
centrípeta atuante sobre uma partícula de massa m, que descreve, com uma velocidade escalar v, 
uma curva de raio R, sabendo-se experimentalmente que a força centrípeta, F, depende apenas de 
m, v e R e que é igual a 1 o fator adimensional que figura na relação de dependência procurada. 
De acordo com os dados fornecidos no enunciado do problema, temos pelo teorema de 
Bridgman: 
F = f (m; v; R) ⇒ F = K. ma.vb.Rc 
onde K é um fator puramente numérico e a, b e c são os expoentes a serem determinados. 
Passando-se os símbolos dimensionais na equação precedente e de acordo com o 
princípio da homogeneidade dimensional, vem que: 
[F] = [m]a. [v]b. [R]c 
donde, tendo-se os símbolos dimensionais das grandezas envolvidas e que são: [F] = LMT-2, [K] = 
1, [m] = M, [v] = LT-1, [R] = L, vem que: 
A Análise Dimensional 
27 
LMT-2 = Ma.(LT-1)b.Lc = Lb+c.Ma.T-b , donde resulta: 
b + c = 1; a = 1; -b = -2, que fornece: a = 1, b = 2, c = -1. 
Levando-se para a equação procurada estes valores dos expoentes encontrados, vem que: 
F = K.m.v².RØ1, e sabendo-se que K = 1, resulta a equação já conhecida: 
F = mv²/R. 
����� 3UREOHPDV�
1. A velocidade mínima necessária para que um corpo lançado de um dos pólos da Terra não 
volte mais a esta é de aproximadamente 11,2 km/s (considerando-se desprezível a 
resistência do ar), velocidade esta chamada velocidade de escape. Determine a expressão 
desta velocidade, sabendo-se que ela depende apenas da constante G da gravitação 
universal e da massa, M, e do raio, R, da Terra. 
2. A potência P de uma hélice de avião depende da densidade absoluta � GR� DU�� GD�
YHORFLGDGH� DQJXODU� � H� GR� UDLR� U� GD� Kélice. Determine a equação que dá a potência em 
função das grandezas das quais depende. 
3. A velocidade com a qual uma onda transversal se propaga num fio de massa específica 
OLQHDU� �� VXEPHWLGR� D� XPD� WUDção uniforme T, depende apenas de � H� 7�� &DOFXOH� D�
velocidade com a qual uma onda transversal se propagará num fio metálico submetido a 
uma tração uniforme de 9,0 kgf, sabendo-se que o fio tem 50 cm de comprimento e 0,050 
kg de massa. Sabe-se mais: que o fator adimensional que figura na relação de 
dependência da velocidade da onda em função de �H�7�YDOH��� 
4. Calcule a velocidade v coma qual uma onda longitudinal se propaga num meio elástico, 
contínuo, cuja massa específica vale � H� FXMR�Pódulo de Young vale E. Sabe-se que v 
GHSHQGH�DSHQDV�GH� �H�(�H�TXH�R�IDWRU�DGLPHQVLRQDO�WHP�YDORU�LJXDO�D��� 
5. A altura h que um líquido, num tubo capilar, alcança acima do nível livre fora do tubo é 
inversamente proporcional ao diâmetro d do tubo. Explique como h depende da tensão 
VXSHUILFLDO� �GR�Oíquido, da sua massa específica �H�GD�DFHOHUDção da gravidade g no local 
onde esteja situado o tubo. 
6. O tempo de contato entre duas esferas idênticas, parcialmente elásticas, ao se chocarem 
centralmente, é diretamente proporcional ao raio R das esferas e inversamente 
proporcional à raiz quinta da velocidade relativa v de aproximação das esferas. Calcule 
como o tempo de contato, t, depende também do módulo de Young E e da massa 
específica �GR�PDWHULDO�GDV�HVIHUDV��VDEHQGR-VH�TXH�W�GHSHQGH�DSHQDV�GH�5��Y��(�H� � 
Física Experimental – Mecânica 
28 
7. Kepler, apoiado em observações do astrônomo Tycho Brahe, de quem ele havia sido 
colaborador, encontrou que os quadrados dos períodos, T1 e T2, de revolução de dois 
planetas em torno do Sol estão entre si como uma certa potência, n, da razão entre os 
comprimentos, a1 e a2, dos semi-eixos maiores das elipses que eles descrevem em torno 
do Sol, isto é, encontrou que: T1²/T2² = (a1/a2) ��6DEHQGR-se que o período de revolução de 
um planeta em torno do Sol depende apenas da massa M do Sol, da constante G da 
gravitação universal e do comprimento a do semi-eixo maior da órbita do planeta, calcule o 
valor de n que satisfaça a equação acima, equação essa que traduz matematicamente a 3ª 
lei de Kepler. 
����� %LEOLRJUDILD� �
AXT, R. & GUIMARÃES, V.H.. )tVLFD� H[SHULPHQWDO� ,� H� ,,. Porto Alegre, Editora da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul, 1981. 91p. 
HENNIES, C.E. et alii. 3UREOHPDV�H[SHULPHQWDLV�HP�ItVLFD. Campinas, Editora da UNICAMP, 1986. 
v.1, 221p. 
MAIA, L.P.M.. ,QWURGXomR�j�ItVLFD. Rio de Janeiro, Nacionalista, 1961. 143p. 
MARTINS, N. et alii. )tVLFD� SDUD� D� XQLYHUVLGDGH�� DQiOLVH� GLPHQVLRQDO. São Paulo, Editora 
Pedagógica e Universitária, 1979. v.1, 133p. 
Gráficos 
29 
*UiILFRV�
����� ,QWURGXomR�
Como sabemos, as leis físicas expressam relações entre quantidades físicas. Estas 
relações podem ser apresentadas de várias maneiras: 
I. em palavras, através de um enunciado; 
II. em símbolos, por meio de uma equação; 
III. pictoricamente, através de um gráfico. 
A escolha dependerá do uso que se quer fazer da informação. Por exemplo, se queremos 
fazer cálculos, então uma equação é o meio de expressão mais conveniente. 
A representação gráfica, que constitui o objetivo desta unidade, é um dos recursos mais 
valiosos para a análise de dados experimentais, ou, em outras palavras, soluções gráficas são 
particularmente usadas quando o fenômeno estudado vem definido por dadosexperimentais; daí 
sua ampla utilização em Física. 
Assim, recorre-se aos gráficos seja para verificar se uma determinada lei física é válida em 
condições especificadas, seja para estabelecer a lei física que porventura relacione certas 
grandezas, seja ainda para calcular o valor de constantes físicas. 
De maneira geral, no estudo de qualquer fenômeno, os cientistas devem lançar mãos de 
gráficos e equações para relacionar as grandezas ligadas ao fenômeno. Por isto mesmo, nesta 
unidade, vamos estudar alguns aspectos importantes dos gráficos que serão usados, ao longo do 
curso, para descrever fenômenos não só da Física mas também de outras ciências. 
����� &RQVWUXomR�GH�*UiILFRV�
Um gráfico serve para mostrar a conexão entre duas quantidades variáveis, sendo uma 
representação diagramática do modo como uma varia em função da outra. Para representar 
graficamente a relação entre duas variáveis, costuma-se observar algumas regras práticas 
tradicionalmente adotadas, a seguir descritas: 
a. Todo gráfico deve ser construído a partir de dados adequadamente tabulados. A tabela 
deve conter os símbolos das grandezas envolvidas e suas respectivas unidades de medida 
e, a seguir, os valores das variáveis medidas. 
b. No eixo horizontal (abscissa) é lançada a variável independente, isto é, a variável cujos 
valores são escolhidos pelo experimentador; no eixo vertical (ordenada) é lançada a 
variável dependente, isto é, aquela obtida em função da primeira. 
Física Experimental – Mecânica 
30 
c. Para lançar os pares de pontos, precisamos adotar uma escala que não necessita ser igual 
para os dois eixos, pois representam grandezas diferentes, mas que deverá estar de 
acordo com os algarismos significativos dos dados e escolhida de maneira que o gráfico 
ocupe todo o papel e não fique restrito a um canto. A escala deve ser simples. Adotam-se 
valores múltiplos ou submúltiplos de números inteiros (0,1; 0,2; 0,3;...; 1; 2; 3; ...; 10; 20; 
30; ...). Quando for necessário ressaltar algum ponto, deve-se fazê-lo de maneira clara. 
Finalmente, se os valores a representar forem muito grandes ou muito pequenos, convém 
escrevê-los usando potências de 10 que devem ser lançadas junto com a unidade de 
medida correspondente. 
d. O traçado da curva deve ser suave e contínuo, adaptando-se da melhor maneira aos 
dados experimentais a menos que não se trate de uma função contínua. Unir pontos 
experimentais com traços retos, dois a dois, implica em que a relação entre as duas 
grandezas tenha uma forma quebrada, o que, exceto em circunstâncias especiais, é pouco 
provável ocorrer. 
e. Cada ponto deve ser claramente identificado por símbolos, tais como um ponto (�), um 
quadrado ( ), um círculo( ���XP�WULkQJXOR�� ���Às vezes, em um mesmo sistema de eixos 
são traçados dois ou mais gráficos a fim de permitir comparar o comportamento de um 
sistema em diferentes circunstâncias. É conveniente, nesses casos, identificar os pontos 
de cada gráfico com símbolos diferentes, indicando em uma legenda o significado de cada 
um. 
f. Efetuado o traçado do gráfico, deve-se indicar o fenômeno representado, dando-lhe um 
título objetivo e claro. 
A título de ilustração, mostramos um gráfico do trabalho realizado pela força resultante 
sobre três carrinhos de massas diferentes em função do quadrado da velocidade de cada carrinho, 
onde os dados foram obtidos experimentalmente com um trilho de ar. 
Gráficos 
31 
����� /LQHDUL]DomR�GH�XPD�)XQomR�
É importantíssimo acrescentar que somente quando o gráfico de uma lei física é retilíneo 
podem ser obtidos dados quantitativos sobre ela, tais como os valores de constantes que figuram 
na lei física do fenômeno. Como nem todas as leis físicas são lineares, o problema então é como 
lançar os dados experimentais no gráfico para obter uma linha reta. 
No gráfico anterior, que é linear, observe que está representado o trabalho em função do 
quadrado da velocidade dos carrinhos. Se tivéssemos representado o trabalho em função da 
velocidade de cada carrinho, o gráfico seria uma parábola, como se mostra a seguir, e, neste caso, 
pouca ou nenhuma utilidade teria esse gráfico em laboratório. Os gráficos curvilíneos quase 
sempre têm apenas o propósito de ilustrar o comportamento de um sistema físico, isto é, esses 
gráficos descrevem visualmente as propriedades do sistema estudado mas não permitem extrair 
informações quantitativas. Geralmente são desse tipo os gráficos que figuram nos livros didáticos 
de Física. 
Como afirmamos, nem sempre a lei física de um dado fenômeno é linear; entretanto, é 
sempre possível transformar, mediante simples artifícios de cálculo, expressões não lineares em 
lineares. E como os gráficos retilíneos são os que permitem obter informações quantitativas, 
freqüentemente, é necessário fazer uma transformação matemática na expressão de uma lei física 
e reagrupar convenientemente os dados experimentais, a fim de que o gráfico correspondente seja 
retilíneo. A este processo chamamos de linearização. 
Como não existe um método geral, aplicável a todos os casos, cada um deve ser 
examinado individualmente, para se conseguir a transformação adequada. O fato é que devemos 
sempre proceder a uma transformação na função para que ela tome exatamente o aspecto de uma 
reta, isto é, fique da forma y = a + bx. Por exemplo, seja a função x.y = c, que representa a 
dependência entre as variáveis x e y, sendo o gráfico cartesiano de y versus x equivalente a uma 
Física Experimental – Mecânica 
32 
hipérbole. Se fizermos x = 1/z, então teremos transformado uma hipérbole numa reta que passa 
pela origem, pois teremos obtido a equação linear y = cz. 
����� 5HJUHVVmR�/LQHDU�6LPSOHV�
Para que o gráfico representativo de um dado fenômeno seja retilíneo, como já explicado, 
freqüentemente é preciso reagrupar as variáveis a serem representadas nos eixos cartesianos. 
Uma vez linearizada a função temos então a garantia de que os pontos, devidamente 
transformados pela linearização, pertencem a uma reta. No entanto, como os valores medidos 
acham-se afetados por erros, os pontos não estarão nunca exatamente alinhados, o que nos leva 
à procura da “melhor reta” que represente esses pontos. 
O procedimento consagrado para se encontrar a “melhor reta” é uma combinação de 
análise gráfica e análise numérica, denominada regressão linear, e se baseia no método dos 
mínimos quadrados. Quando apenas duas variáveis estiverem envolvidas, uma independente e 
outra dependente, ter-se-á o caso de regressão simples. Se duas ou mais variáveis independentes 
e uma dependente estiverem envolvidas, ter-se-á uma regressão múltipla. Trataremos, aqui, 
somente do primeiro caso. 
Sejam, então, duas grandezas tais que a variação do valor de uma delas acarreta a do 
valor da outra. Assim, depois de obtidos n valores experimentais das grandezas e realizadas as 
devidas transformações necessárias à linearização, temos, portanto, uma representação gráfica 
que é uma função linear da forma y = a + bx, onde a e b são as constantes, a serem encontradas, 
da reta que melhor se ajusta aos dados experimentais. 
No caso da regressão linear simples, demonstra-se em Estatística, pelo método dos 
mínimos quadrados, que a equação da “melhor reta” será determinada pela resolução do sistema 
de equações: 
™\� �QD���E™[ 
™[\� �D™[���E™[² , 
que nos permitirá determinar o coeficiente linear, a, e o coeficiente angular, b, da reta de regressão 
linear, y = a + bx, que é a reta que melhor se ajusta aos pontos. Aqui, n representa o número de 
pares de pontos obtidos experimentalmente. 
Por fim, é importante salientar que uma das grandes vantagens do método da regressão linear é 
que o traçado da “melhor reta” passa a ser um processo inteiramente objetivo, dispensando o 
julgamento visual de melhor ajustamento aos pontos experimentais. 
�
Gráficos 
33([HPSOR���
Os valores da tabela correspondem a um exemplo experimental, no qual um planador 
desloca-se com aceleração constante sobre um trilho retilíneo, partindo da origem do referencial 
com velocidade inicial nula. Para o estudo da lei posição-tempo, s = f(t), medem-se os tempos 
gastos pelo planador para atingir diferentes posições. 
s(m) t(s) 
0,2 1,671 
0,3 2,050 
0,4 2,352 
0,5 2,626 
0,6 2,868 
0,7 3,100 
Lançando-se estes dados em um gráfico da posição em função do tempo teremos uma 
parábola, pois para um movimento de aceleração constante a equação correspondente é da forma 
s = so + vot + t²/2, onde no caso presente so = 0 e vo = 0. 
Para linearizar a função anterior, basta fazer t² = u, resultando assim a função s = ( /2)u, 
uma reta que passa pela origem e de inclinação igual a /2. É o que nos mostra o gráfico de s 
contra t². 
Física Experimental – Mecânica 
34 
Deste último gráfico podemos obter a aceleração do planador pela inclinação da reta, ou 
VHMD��WHUHPRV��WJ � � /2, que dá aproximadamente ≈ 0,15 m/s². 
Este mesmo resultado poderá ser obtido por regressão linear, onde: y = s, x = t², a = 0 e b 
= /2. A tabela a seguir ajudará nos cálculos de a e b da reta de regressão linear. 
 y x xy x² 
 0,2 2,792 0,558 7,795 
 0,3 4,203 1,261 17,665 
 0,4 5,532 2,213 30,603 
 0,5 6,896 3,448 47,555 
 0,6 8,225 4,935 67,651 
 0,7 9,610 6,727 92,352 
 2,7 37,258 19,142 263,621 
Aplicando-se as equações para determinação de a e b, teremos: 
2,7 = 6a + 37,258b 
19,142 = 37,258a + 263,621b, 
que, resolvidas, dão: a = - 0,0073 ≈ 0 (um resultado esperado) e b = 7,36.10-2. 
Assim a aceleração do movimento é: /2 = 7,36.10-2 ⇒ ≈ 0,15 m/s². 
�
Gráficos 
35 
([HPSOR���
Resolver o mesmo problema anterior admitindo que a função s = f(t) seja da forma s = k.t �� 
Para linearizar essa função devemos tomar logaritmos: 
log s = log k + n log t, 
e fazer y = log s e x = log t. Teremos então uma reta cuja inclinação é n (o valor do expoente) e 
como coeficiente linear, log k. A tabela a seguir ajudará nos cálculos de a e b da reta de regressão 
linear, onde a = log k e b = n. 
s(m) t(s) x = log t y = log s 
0,2 1,671 0,22298 -0,69897 
0,3 2,050 0,31175 -0,52288 
0,4 2,352 0,37144 -0,39794 
0,5 2,626 0,41929 -0,30103 
0,6 2,868 0,45758 -0,22185 
0,7 3,100 0,49136 -0,15490 
Resolvendo-se de forma semelhante ao exercício anterior, encontramos (a 
complementação da tabela deixamos a cargo do leitor): 
a = -1,15 e b = 2,03. 
Deste modo obteremos: -1,15 = log k ⇒ k = 7,08.10 ², que fornece uma aceleração de 
2x7,08.10 ² ≈ 0,14 m/s², bem próxima àquela calculada no exemplo anterior. 
Como o valor de b dá o expoente da função, vem que o seu valor a partir dos dados 
experimentais é 2,03, com um erro absoluto de 0,03 (o seu valor verdadeiro é 2). 
����� 3UREOHPDV�
1. A equação dos focos conjugados, que exprime a relação entre as distâncias imagem e 
objeto (p' e p) de uma lente esférica delgada com a respectiva distância focal f, é: 1/f = 1/p 
+ 1/p'. Como devemos transformar as variáveis para se obter uma reta? Qual a inclinação 
da reta? E o seu coeficiente linear? 
2. A tabela mostra o acréscimo �QR�FRPSULPHQWR�GH�XP�ILR�GH�Dço em função da variação 
�GD�WHPSHUDWXUD��2�FRPSULPHQWR�LQLFLDO�GR�ILR�é o = 1 m. 
Física Experimental – Mecânica 
36 
�PP� �ºC) 
0,20 18 
0,35 32 
0,50 44 
0,75 68 
1,00 90 
Determine, por regressão linear, o coeficiente de dilatação linear do material. Construa 
um gráfico de �FRQWUD� �H�REWHQKD�GR�PHVPR�R�FRHILFLHQWH� . 
3. Uma experiência muito simples, cujo resultado revela um decaimento exponencial de 
temperatura, consiste em aquecer água alguns graus acima da temperatura ambiente e, 
após colocá-la num recipiente fechado, controlar como sua temperatura decresce em 
função do tempo. A tabela a seguir mostra dados desse experimento, sendo � D�
temperatura da água. Durante a coleta dos dados a temperatura ambiente permaneceu 
constante. 
t(min) (ÛC) 
0 35,2 
10 33,1 
20 31,5 
30 30,0 
40 28,8 
50 27,6 
60 26,0 
Trace um gráfico da temperatura em função do tempo, e outro do Q� � HP� IXQção do 
tempo. Em seguida, aplique a regressão linear e encontre a função � �I�W�� 
4. A tabela registra o período de oscilação, T, de um corpo de massa m suspenso de uma 
mola helicoidal que vibra verticalmente. A equação que relaciona T e m é: 
 __________ 
T = 2 ¥��P���0����N��� 
sendo M a massa da mola e k uma constante.
Gráficos 
37 
m(kg) 0,1910 0,2395 0,2880 0,3365 0,3850 0,4335 
T(s) 0,731 0,816 0,892 0,964 1,030 1,090 
Aplicando regressão linear, encontre a constante k e a massa M da mola. 
5. Em uma lente convexa, a distância do objeto ao primeiro foco, x, e a distância da imagem 
ao segundo foco, y, estão relacionadas pela equação x.y = f², sendo f a distância focal da 
lente. Em uma experiência foram obtidos os dados seguintes: 
x(mm) 61 114 145 162 200 
y(mm) 236 126 99 89 72 
A partir dos dados construa um gráfico que permita encontrar o valor da distância focal f da 
lente. Aplique a regressão linear e obtenha f. 
����� %LEOLRJUDILD� �
AXT, R. & GUIMARÃES, V.H.. )tVLFD� H[SHULPHQWDO� ,� H� ,,. Porto Alegre, Editora da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul, 1981. 91p. 
HENNIES, C.E. et alii. 3UREOHPDV�H[SHULPHQWDLV�HP�ItVLFD. Campinas, Editora da UNICAMP, 1986. 
v.1, 221p. 
MORENO, M.Q.. ,QLFLDomR�j�DQiOLVH�GH�GDGRV�H[SHULPHQWDLV. Belo Horizonte, Universidade Federal 
de Minas Gerais, 1986. 97p. 
 
 
��3$57(�
�
'HVFULomR�GDV�([SHULrQFLDV�
*DOLOHX�p�FRQVLGHUDGR�DWXDOPHQWH�R�3DL�GD�&LrQFLD�0RGHUQD��QmR�DSHQDV�SHOR�YDORU�LQWUtQVHFR�GDV�
VXDV�FRQWULEXLo}HV��PDV�WDPEpP��H�SULQFLSDOPHQWH��SHOR�PpWRGR�SRU�HOH�LQWURGX]LGR�QD�SHVTXLVD�
FLHQWtILFD��R�PpWRGR�H[SHULPHQWDO��1mR�TXHUHPRV�FRP�LVVR�GL]HU�TXH�DQWHV�GH�*DOLOHX�QmR�VH�
IL]HVVHP�H[SHULPHQWDo}HV�QD�SHVTXLVD�GD�1DWXUH]D��2�TXH�GLVWLQJXLX�R�PpWRGR�H[SHULPHQWDO�GH�
*DOLOHX�IRL�D�VXD�PHQWDOLGDGH�LQWHLUDPHQWH�QRYD��ID]HQGR�D�H[SHULPHQWDomR�VXEVWLWXLU�R�SULQFtSLR�GD�
DXWRULGDGH��H�WDPEpP�D�IRUPD�SRU�HOH�DGRWDGD�QD�LQWHUSUHWDomR�GRV�GDGRV�IRUQHFLGRV�SHOD�
H[SHULrQFLD��D�IRUPD�VLPSOLILFDGRUD�GR�UDFLRFtQLR�PDWHPiWLFR��$OLiV��*DOLOHX�HUD�XP�DSDL[RQDGR�GD�
DSOLFDomR�GD�0DWHPiWLFD�DR�HVWXGR�GD�1DWXUH]D��1XP�GRV�VHXV�OLYURV�PDLV�IDPRVRV��,O�6DJJLDWRUH��
5RPD��������HOH�GHFODUD�H[SOLFLWDPHQWH��
³2�OLYUR�GD�1DWXUH]D�p�HVFULWR�HP�OLQJXDJHP�PDWHPiWLFD��RV�VHXV�FDUDFWHUHV�VHQGR�WULkQJXORV��
FtUFXORV�H�RXWUDV�ILJXUDV�JHRPpWULFDV��VHP�WDLV�PHLRV�p�KXPDQDPHQWH�LPSRVVtYHO�HQWHQGHU�VH�XPD�
SDODYUD��p�XP�GHEDWHU�VH�LQXWLOPHQWH�QXP�ODELULQWR�HVFXUR´��
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
�
$V�H[SHULrQFLDV�DTXL�GHVFULWDV�RIHUHFHP�D�YDQWDJHP�GH�IXQFLRQDU�FRP�HTXLSDPHQWR�SRXFR�
GLYHUVLILFDGR��VLPSOHV��GH�IiFLO�RSHUDomR�H�FDSD]�GH�DVVHJXUDU�PHGLGDV�UiSLGDV�H�SUHFLVDV��
$SDUHOKRV�VRILVWLFDGRV�RFXOWDP��HP�JHUDO��D�VLPSOLFLGDGH�GD�TXHVWmR�LQYHVWLJDGD��HQTXDQWR�TXH�
DSDUHOKRV�PDLV�VLPSOHV�IDYRUHFHP�D�REVHUYDomR�GRV�SULQFtSLRV�GH�)tVLFD��$�ULJRU��JUDQGH�SDUWH�GR�
HTXLSDPHQWR�TXH�VHUi�XWLOL]DGR�IRL�SURGX]LGR�QDV�RILFLQDV�H�ODERUDWyULRV�GD�8QLYHUVLGDGH�)HGHUDO�
GH�8EHUOkQGLD��
�
$�GHVFULomR�GRV�WUDEDOKRV�GHVWD�SDUWH�GHYHUi�VHU�IHLWD�DWUDYpV�GH�UHODWyULRV��'DGRV��FiOFXORV�H�
JUiILFRV�FRQVWLWXHP�R�FRUSR�GR�UHODWyULR��2V�PHVPRV�GHYHUmR��WDPEpP��WHU�XP�WtWXOR��XPD�
LQWURGXomR�FRP�GHVWDTXH�SDUD�R�LQWHUHVVH�ItVLFR�GR�SUREOHPD��H�XPD�GHVFULomR�GR�SURFHGLPHQWR�
H[SHULPHQWDO�DGRWDGR��$OpP�GLVWR��DV�UHVSRVWDV�jV�TXHVW}HV�SURSRVWDV�H�XPD�GLVFXVVmR�GRV�
UHVXOWDGRV��LQFOXLQGR�XPD�HVWLPDWLYD�GR�HUUR�H�FRPHQWiULRV�DGLFLRQDLV�UHOHYDQWHV��p�IXQGDPHQWDO��
�
3RU�ILP��DFUHVFHQWR�TXH�WRGDV�DV�H[SHULrQFLDV�IRUDP�WHVWDGDV�DQWHV�GH�VHUHP�SURSRVWDV�DR�DOXQR��
H�RV�UHVXOWDGRV�REWLGRV�VmR�GH�H[FHOHQWH�SUHFLVmR��O Pêndulo Simples 
41 
2�3rQGXOR�6LPSOHV�
����� ,QWURGXomR�
Teoricamente um SrQGXOR� VLPSOHV� é um sistema ideal que consiste de uma massa 
puntiforme suspensa por um fio leve e inextensível. Em termos práticos pode ser considerado 
como uma massa suspensa por um fio preso em um ponto fixo. Quando afastado de sua posição 
de equilíbrio e largado, o pêndulo oscilará em um plano vertical executando um tipo de movimento 
denominado de PRYLPHQWR�KDUP{QLFR�VLPSOHV (0�+�6�). Se o ângulo máximo de afastamento for 
SHTXHQR� �DPSOLWXGH� ���º), o pêndulo executará um movimento cujo período T independe de ��
dependendo apenas do comprimento �GR�Sêndulo e da aceleração da gravidade local g. 
����� 3URFHGLPHQWR�
Sabe-se que o comprimento �GH�XP�Sêndulo simples não coincide com o comprimento do 
fio, sendo, na realidade, a distância do ponto de suspensão até o centro de gravidade da massa 
pendular. Como, em geral, a posição exata do centro de gravidade do pêndulo é desconhecida, 
torna-se impossível medir �GLUHWDPHQWH��0DV�LVWR�SRGH�VHU�FRQWRUQDGR�ID]HQGR-se uma marca no 
fio um pouco acima da massa pendular, de modo a dividir o comprimento �HP�GXDV�SDUWHV��XPD�GR�
centro de gravidade até a marca (distância c), e outra da marca até o ponto de suspensão 
(distância p). Assim teremos que � �S���F��VHQGR�SRVVtYHO�PHGLU�S�GLUHWDPHQWH� 
Nesta experiência determinaremos o valor da constante adimensional, K, da equação do 
período do pêndulo simples, e a posição do centro de gravidade do pêndulo (distância c). Para tal 
devemos construir cinco pêndulos diferentes, isto é, tomaremos cinco valores diferentes de p, e 
mediremos, com auxílio do cronômetro, o tempo para o pêndulo executar 20 oscilações completas.
Física Experimental – Mecânica 
42 
p(m) 20T(s) 
0,60 
0,70 
0,80 
0,90 
1,00 
A fim de ajudar na obtenção dos valores pretendidos, siga as instruções a seguir: 
I. Obtenha, por Análise Dimensional, a equação do período do pêndulo simples, sabendo 
que T = f( ���J�� 
II. Substitua, na equação encontrada acima, �SRU�S���F� 
III. Linearize a nova equação, identificando o coeficiente linear e o coeficiente angular da reta 
de regressão com os parâmetros desejados. 
IV. Aplique aos dados da tabela a regressão linear e encontre K e c (é dado o valor da 
aceleração da gravidade de Uberlândia: g = 9,79 m/s²). 
����� 4XHVW}HV�
1. Sabendo-se que o valor verdadeiro da constante adimensional K é 2 , qual o erro relativo 
cometido no valor experimental encontrado? 
2. Trace, em papel milimetrado, um gráfico de T² em função de p e obtenha do gráfico os 
valores de K e de c. 
3. Esboce um gráfico qualitativo da velocidade da esfera em função do tempo, considerando 
apenas o tempo correspondente a meio período. Em que pontos a aceleração tangencial 
da esfera é máxima? E nula? Em que pontos a velocidade é mínima? E máxima? Mostre 
como tudo isso é evidenciado no gráfico. 
����� %LEOLRJUDILD�
GOLDEMBERG, J.. )tVLFD� JHUDO� H� H[SHULPHQWDO. 3.ed. São Paulo, Companhia Editora Nacional, 
1977. v.1, 525p. 
HEINE & HOLZER. 3K\VLFV�� XQLYHUVLW\� ODERUDWRU\� H[SHULPHQWV. Göttingen, Phywe Series of 
Publications, 1980. 
 O Pêndulo Simples 
43 
RESNICK, R. & HALLIDAY, D.. )tVLFD. 3.ed. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1980. 
v.2, 309p. 
TIPLER, P.A.. )tVLFD. 2.ed. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984. v.1, 596p. 
Pêndulo Bifilar 
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3rQGXOR�%LILODU�
������ ,QWURGXomR�
Chama-se SrQGXOR�ELILODU ao sistema formado por uma barra horizontal homogênea presa 
por dois fios verticais de mesmo comprimento e igualmente distanciados das extremidades, que 
pode oscilar em torno de um eixo vertical central O-O, conforme mostra a figura. 
Sabe-se que o período T de um tal pêndulo, para pequenas oscilações, depende do 
comprimento �GR�Sêndulo (distância do ponto de suspensão até o centro de gravidade da barra), 
da distância d entre os fios, da aceleração da gravidade local g, da massa m da barra e de seu 
momento de inércia I em relação ao eixo de rotação (símbolo dimensional igual a L²M), isto é: T = 
f( � �� G� �� J� �� P� �� ,��� 1R� HQWDQWR�� VRPHQWH� SHOR� 7HRUHPD� GH� %ULGJPDQ não é possível prever a 
equação física que relaciona tais parâmetros, o que nos obriga a apelar para a experimentação a 
fim de levantar as indeterminações que surgem e, assim, chegarmos à equação física do 
fenômeno. 
������ 3URFHGLPHQWR�
Do acima exposto, aplique o Teorema de Bridgman para se certificar de que é impossível 
prever a equação do fenômeno somente por Análise Dimensional (nunca será demais lembrar que 
a constante adimensional não é encontrada pela Análise Dimensional). Como o número de 
incógnitas é maior do que o número de equações, devemos levantar esta indeterminação 
procurando obter experimentalmente dois dos expoentes desconhecidos, e para isto usaremos um 
método básico em ciência que é fixar todas as grandezas, exceto a que se quer estudar. Por 
questão de facilidade de ordem prática, determinaremos os expoentes de � � H� GH� G�� PDV� D�
pesquisa dos outros expoentes poderia ser feita da mesma maneira. 
Para encontrar experimentalmente o valor do expoente de ��GHYHPRV�IL[DU�WRGRV�RV�RXWURV�
parâmetros e fazer variar somente , obtendo, para cada valor de �� R� YDORU� � FRUUHVSRQGHQWH� GR�
Física Experimental – Mecânica 
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período T do pêndulo, medindo o tempo para a barra realizar dez oscilações completas (neste 
caso fixe o valor de d = 0,30m). 
�P� 10T(s) 
0,40 
0,50 
0,60 
0,70 
0,80 
Linearizando-se a equação de T = f( �� H� DSOLFDQGR-se aos dados da tabela a regressão 
linear (use cinco casas decimais para os logaritmos), encontra-se o valor experimental do expoente 
procurado. No entanto, o valor verdadeiro do expoente será aquele indicado pelo princípio 
heurístico da simplicidade, ou seja, arredondando-se convenientemente o expoente encontrado. 
De forma similar, para se encontrar o valor experimental do expoente de d devemos fixar 
os outros parâmetros da equação, variando somente d e obtendo, para cada valor de d, o período 
T correspondente, de acordo com a tabela a seguir (neste caso fixe � �����P����� 
d(m) 10T(s) 
0,20 
0,30 
0,40 
0,50 
0,60 
Linearize a nova equação de T = f(d), aplique a regressão linear (use cinco casas decimais 
para os logaritmos) e obtenha o valor experimental do expoente procurado. Proceda de acordo 
com o princípio heurístico da simplicidade para obter o valor verdadeiro do expoente, que não 
coincide com o valor experimental em virtude dos inevitáveis erros cometidos nas medições. 
Finalmente, de posse dos valores verdadeiros dos expoentes de � H� G� HQFRQtre, 
matematicamente, os outros expoentes e expresse a equação geral de dependência do período 
em função de todas as variáveis envolvidas. 
Restará determinar a constante adimensional, K, cujo valor mais provável poderá ser 
encontrado, de acordo com o Postulado de Gauss, pela média aritmética de dez valores obtidos 
das tabelas precedentes. Para isto são dados: 1) aceleração da gravidade local g = 9,79 m/s²; 2) 
Pêndulo Bifilar 
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momento de inércia da barra em relação ao eixo de rotação que passa pelo centro de massa I = 
mL²/12 (onde L é o comprimento da barra oscilante, a ser medido em metros, e m é a massa da 
barra, em kg). 
������ 4XHVW}HV�
1. Se o valor verdadeiro da constante adimensional é K = 4 , qual o erro relativo cometido na 
experiência? 
2. Qual a unidade de medida da grandeza momento de inércia, em um sistema de unidades 
cujas unidades fundamentais são o metro, o quilograma e o segundo? 
3. Qual seria o símbolo dimensional de massa, em um sistema cujas grandezas fundamentais 
fossem força, comprimento e tempo? 
����� %LEOLRJUDILD�
BEER,

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