trabalho de mca 2017 final

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Optimização da cava pelo Algorítmo de cones Flutuantes, Korobov e de Lerchs- Grossmann 
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ÍNDICE 
AGRADECIMENTOS ................................................................................................................................. 3 
DEDICATÓRIA .......................................................................................................................................... 4 
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 5 
1.1. OBJECTIVOS ...................................................................................................................................... 6 
1.1.1. Geral .......................................................................................................................................... 6 
1.1.2. Específicos ................................................................................................................................. 6 
2. METODOLOGIA ............................................................................................................................... 7 
3. OPTIMIZAÇÃO DA CAVA .................................................................................................................. 8 
3.1.Critérios de Avaliação para a Definição da Geometria da Cava Final ......................................... 12 
4. MODELO DE BLOCOS .................................................................................................................... 12 
4.1. Valor Económico dos Blocos ................................................................................................. 13 
5. ALGORITMOS PARA TRAÇADO DE CAVA A CÉU ABERTO .............................................................. 15 
5.1. O Algoritmo de Cones Flutuantes ......................................................................................... 15 
5.2. Algoritmo de Lerchs-Grossmann .......................................................................................... 18 
6. CONCLUSÃO .................................................................................................................................. 21 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................................... 22 
 
 
 
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AGRADECIMENTOS 
Numa primeira instância agradecer a Deus pela vida, bênçãos, saúde, e todos outros prodígios 
que vão além daquilo que a nossa consciência como humanos pode materializar, que permite 
que a cada dia possa perspectivar em prosperar num futuro melhor. 
Aos nossos pais pelo suporte incondicional no nosso crescimento, como homens e na carreira 
académica. 
Ao Instituto Superior Politécnico de Tete (ISPT), por criar condições metodológicas mínimas 
para a realização dos trabalhos de pesquisa, referimo-nos ao acesso á Biblioteca, internet 
entres outros apoios que usamos dia pois dia na nossa vida académica. 
Ao docente, Engenheiro Rodrigues Mário pelo apoio e incentivo na continuidade da carreira 
estudantil por vontade de nos acompanhar neste desafio de descoberta nos mais variados 
campo científico pela paciência, solidariedade e interesse em estar sempre aberto para 
consultas, explicações e aprofundamento nas resoluções das questões do mundo oculto 
semeando em nós um leque de conhecimentos. 
A todos estes assim como aqueles que contribuíram de forma directa ou indirecta para a 
realização deste trabalho vão os nossos mais sinceros votos de gratidão, 
 
Muito obrigado. 
 
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DEDICATÓRIA 
Este trabalho dedica-se aos nossos familiares pelo constante auxílio na luta pela nossa 
formação Académica, especialmente aos estudantes de curso de Engenharia de Minas nesta 
Instituição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
Os limites finais da cava definem o tamanho e a forma de uma mina a céu aberto no final de 
sua vida útil e, geralmente, buscam a maximização do lucro. Eles definem a extensão das 
reservas lavráveis e a quantidade de material estéril a ser retirado e depositado. Normalmente 
marcam a fronteira-limite além da qual a explotação de um dado depósito não será mais 
económica. Os limites da cava na superfície delimitam uma fronteira dentro da qual as 
estruturas de superfície da mina, tais como plantas de beneficiamento e escritórios da mina, 
não devem ser locados. Um dos problemas frequentemente enfrentados por geólogos e 
engenheiros de minas é o da definição dos limites do corpo mineral assim como a avaliação 
da quantidade e da qualidade dos parâmetros de interesse. Existe uma série de métodos 
disponíveis para definir os limites de um dado corpo mineral. O método mais utilizado 
actualmente é a representação por um modelo de blocos (Kim, 1978), dividindo-se o corpo 
mineral em um conjunto de blocos. Segundo Saydam e Yalcin, (2002) comentam que o 
planeamento de lavra baseado em um modelo de blocos envolve a decisão se um bloco do 
modelo deve ser lavrado ou não. Em caso afirmativo, quando o mesmo será lavrado e, uma 
vez extraído, quando deverá ser enviado ao processo. 
As respostas para cada um desses itens abordados, quando combinadas no contexto global do 
modelo de blocos, definem a progressão anual da cava e o fluxo de caixa advindo das 
operações mineiras (Dagdalen, 2001). Dentro da concepção de optimização, que pode visar 
máxima lucratividade, maior valor presente líquido e aproveitamento dos recursos minerais. 
Durante a pesquisa do nosso trabalho de investigação, encontramos vários tipos de algoritmos 
conducente a optimização da cava, dentre eles destacam- se, o algoritmo de Litzinger que se 
inicia a partir de um modelo essencialmente geométrico, o Algoritmo de cones flutuante e 
Korobov, que já consideram os aspectos financeiros na produção, e o algoritmo de Lerchs-
Grossmann, que tem sido reconhecido como o único algoritmo que fornece a solução óptima 
para os problemas de mineração a céu aberto (Peroni,2002). 
O grupo vai focar apenas dois algoritmos utilizados na optimização da cava, a citar: o 
algoritmo de cones flutuantes e o algoritmo de Lerchs- Grossman. 
 
 
 
 
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1.1. OBJECTIVOS 
1.1.1. Geral 
 Verificar a eficácia dos algoritmos que obtiveram maior reconhecimento dentro da 
Indústria mineral. 
 
1.1.2. Específicos 
 Conhecer os algoritmos utilizados para a optimização da cava; 
 Saber dentre os algoritmos utilizados, qual é mais optimizante no sequenciamento de 
lavra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. METODOLOGIA 
Para existência do presente trabalho o grupo teve que recorrer algumas pesquisas científicas 
(Internet), revisões das literaturas, revisões das dissertações, bibliográficas, bem como as 
visitas a biblioteca interna da instituição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. OPTIMIZAÇÃO DA CAVA 
O projecto de cava final de uma mina a céu aberto é um elemento importante para alcançar a 
realização com sucesso do empreendimento, em um cenário actual altamente competitivo. A 
definição do projecto que fornece a melhor rentabilidade é feita por algoritmos de 
optimização, considerando um cenário económico definido e que, a cada alteração deste, 
torna-se obsoleto e deverá ser reavaliado. 
Segundo Noronha & Gripp (2006) comentam que a cava final (Figura 1), apesar do nome, 
não é um estudo definitivo, mas um projecto dinâmico influenciado pelo conhecimento 
geológico, alteração de parâmetros geotécnicos, variações nos parâmetros económicos, 
aspectos tecnológicos e ambientais. 
Segundo Hall (1975),O planeamento de lavra de uma mina geralmente apresenta os 
seguintes elementos: 
 Ensaios; 
 Geologia; 
 Tonelagem e extensão das reservas do minério; 
 Topografia; 
 Equipamentos de mineração; 
 Factores económicos referentes aos custos de operação; 
 Capital a ser investido; 
 Lucro; 
 Tipologia do minério; 
 Limites finais da cava; 
 Teor de corte; 
 Relação estéril/minério; 
 Escala de produção; 
 Taludes da cava; 
 Altura de bancada; 
 Estradas; 
 Características do minério; 
 Condições hidrológicas do terreno; 
 Limites da propriedade e 
 Considerações do mercado. 
 
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Figura1: Exemplo da cava final 
 
A definição dos limites finais da cava busca em geral a maximização do lucro ao final da vida 
útil da jazida, limitados pelos parâmetros técnico-económicos do projecto. A partir da 
definição deste limite (ou usando a mesma metodologia para cenários mais optimistas) 
permitindo a locação da planta de beneficiamento, infra -estruturas de superfície, pilhas de 
material estéril e bacias de rejeito evitando remobilização após o início da operação e 
evitando custos desnecessários. 
O método mais utilizado actualmente para retratar depósitos minerais é a individualização de 
porções do depósito em uma representação cartesiana chamada modelo de blocos. Este 
modelo divide o corpo de minério (e também estéril) em um conjunto de blocos organizados 
de forma sistemática no espaço permitindo a indexação destes, para que sejam feitas as 
manipulações e análises necessárias para a fase de planeamento de lavra. Saydam e Yalcin 
(2002) comentam que o planeamento de lavra baseado em um modelo de blocos envolve 
a decisão se um bloco do modelo deve ser lavrado ou não (resposta dada pelo processo de 
optimização de cava). Em caso afirmativo, também é extremamente importante saber quando 
o mesmo será lavrado e, uma vez extraído, quando deverá ser enviado ao processo (resposta 
dada pelo planeamento e sequenciamento de lavra). 
O sucesso do planeamento de lavra deve-se em grande parte aos dados precisos de sondagem, 
amostragem e principalmente ao correto método de estimativa de teor em um modelo discreto 
associado a estas coordenadas cartesianas. O modelo de blocos (Figura 2) valorizado 
economicamente é a base para os métodos computacionais de optimização de cava a céu 
aberto. 
Os blocos devem cobrir toda a zona mineralizada, e não só isso, deve estender-se além dos 
limites da mineralização contemplando as porções estéreis, pois muito provavelmente a cava 
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matemática (se existir) se desenvolverá também nas porções de material estéril para justificar 
o aprofundamento nas zonas de concentração económica. 
 
Figura2: Modelo de blocos conceitual 
 
Os limites da cava a céu aberto definem o tamanho e a forma desta cava no final de sua vida, 
determinando as reservas de minério e a quantidade de estéril a ser removida (Wright, 1990). 
O tamanho e a forma da cava dependem de factores de economia e restrições de 
concepção/produção. Com um aumento no preço do commodite seria possível expandir em 
tamanho supondo que todos os outros factores são mantidos constantes (Hustrulid and 
Kuchta, 1995). 
O modelo de blocos é um item essencial para o processo de optimização da cava e armazena 
os parâmetros técnicos do depósito como: coordenadas, teor de minério estimado, quantidade 
de rejeito e interpretação dos dados geológicos dos furos. Aliado aos parâmetros económicos, 
tais como: preço de venda de cada produto, custos de lavra, beneficiamento e a partir destes 
dados obtemos uma função benefício (positiva ou negativa), considerando as receitas (se 
houverem) e descontando os custos, assim encontrando o valor económico de cada bloco que 
será seleccionado pelos algoritmos de optimização e pode rapidamente ter seus parâmetros 
alterados para estudos de sensibilidade. A receita representa o valor recuperável e vendável 
do bloco e os custos são definidos por custos variáveis e fixos. Os custos variáveis são 
aqueles que variam proporcionalmente de acordo com o nível de produção ou actividades, 
seus valores dependem directamente do volume produzido ou volume de vendas efectivado 
num determinado período. Incluem, por exemplo, custos de lavra, processo, perfuração e 
desmonte de rocha, manutenção de equipamentos, carregamento e transporte, britagem, 
moagem, reagentes, recuperação ambiental, etc. Os custos fixos são aqueles que não sofrem 
alteração de valor em caso de aumento ou diminuição da produção. Independem portanto, do 
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nível de actividade, conhecidos também como custo de estrutura, por exemplo, salários, 
administração e aluguéis de equipamentos. 
O planeamento de lavra é dividido em três etapas: longo, médio e curto prazo. 
Planeamento de longo prazo temos como grande objectivo a definição dos limites lavráveis 
do depósito, determinando as reservas a partir da capacidade técnica, económica e ambiental 
de extracção dos recursos minerais disponíveis. 
Por planeamento de médio prazo temos como grande objectivo o entendimento do avanço de 
lavra em etapas menores e consequentemente estará contido nos limites estratégicos definidos 
no plano anterior. Tradicionalmente aplicado sobre projectos em andamento pois são 
directrizes de planeamento de prazos tipicamente de um a três anos. Por fim, mas não menos 
importante, no planeamento de curto prazo temos que integrar os aspectos operacionais para 
cumprimento do plano orçamentário definido no item anterior. 
Planos de curto prazo são tipicamente referidos a períodos semestrais, trimestrais, mensais, 
semanais e dependendo do grau de detalhamento até mesmo diário (Peroni, 2011). 
Estes três níveis de planeamento são fundamentais para qualquer empresa, 
independentemente do porte, do tipo de mineralização ou da complexidade da operação. 
Estas etapas de planeamento devem ser realizadas cada uma à seu tempo para: 
 Primeiramente dar valor ao empreendimento; 
 Segundo para orientar as decisões de avanço; 
 Terceiro para colocar em prática dentro das directrizes determinadas pelos planos 
anteriores e realidade operacional da empresa. 
Para o planeamento de lavra de longo prazo, abordado neste trabalho, mais especificamente 
para o cálculo da cava final são usados algoritmos de optimização implementados por 
diferentes programas comerciais de mineração. 
Parao sequenciamento de lavra é necessário o modelo de blocos económico e a cava final 
definida. O próximo passo é determinar a quantidade a ser extraída em função do tempo e a 
sequência de produção adequada. 
Neste trabalho falaremos de implementações dos algoritmos de Lerchs-Grossmann e Cones 
Flutuantes. Foram aplicadas as duas técnicas em três depósitos minerais distintos para avaliar 
o desempenho em primeiro momento da construção da cava matemática e em uma segunda 
etapa no sequenciamento de lavra em diferentes formas/tipos de mineralização. As principais 
diferenças buscadas na construção da cava óptima são: variação no teor médio da cava, 
quantidade total de minério e estéril, além do tempo computacional. No sequenciamento 
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buscamos o teor por fase (seja do minério ou eventuais contaminantes), quantidade de 
minério e estéril por fase, diferenças na sequência de lavra, relação estéril/minério e tempo 
computacional. 
Então, a proposta deste estudo é submeter os três bancos de dados representando depósitos 
com geometrias distintas em dois programas amplamente utilizados no sector mineral. Nestes 
programas estão implementados diferentes algoritmos de optimização, de forma que serão 
comparados também os resultados gerados pelos algoritmos de optimização de cava assim 
como o sequenciamento de lavra de longo prazo. 
 
3.1.Critérios de Avaliação para a Definição da Geometria da Cava Final 
Existem numerosos critérios de avaliação que podem ser considerados para definir o limite 
económico final da cava que dependem geralmente dos objectivos de cada empresa ou 
projecto, dentre os quais, os mais utilizados são: 
 Maximizar o lucro da mina; 
 Maximizar da vida da mina; 
 Maximizar o conteúdo de metal da mina; 
 Minimizar os custos de produção; 
 Definir escalas de produção; 
 Políticas de risco. 
A maximização do lucro total da mina (máximo VPL) é o critério de avaliação, mais utilizado 
quando se tem que definir o limite económico final da cava de uma mina a céu aberto. 
4. MODELO DE BLOCOS 
O modelo de blocos é a base para projectos de cava final nos métodos computadorizados. O 
modelo de blocos representa o corpo de minério e armazena informações para utilização no 
planeamento de lavra. O conceito do modelo de blocos é a construção de um prisma 
tridimensional cobrindo toda extensão da área de interesse, subdividido em blocos menores, 
de tamanhos iguais ou variáveis conforme as características da área ou mesmo o conceito do 
programa computacional utilizado para a representação do modelo. 
A cada bloco do modelo são atribuídos valores económicos calculados a partir de uma função 
benefício que representa o valor líquido (positivo ou negativo) dos blocos, considerando as 
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receitas e descontando os custos, como indicado na Figura 3. A definição do projecto que 
fornece melhor rentabilidade é feita por algoritmos de optimização, considerando um cenário 
económico definido e que, a cada alteração deste, torna-se obsoleto devendo ser reavaliado. 
 
Figura3: Modelo de blocos com dados 
 
 
4.1.Valor Económico dos Blocos 
Como salientado anteriormente a função benefício é o resultado da diferença entre as receitas 
e os custos. A receita está relacionada ao quantitativo, ao passo que a receita do produto e o 
custo dependem do bloco ser de minério ou estéril. Para o bloco de minério os principais 
custos são: extracção, transporte, beneficiamento, movimentação dos produtos, transporte 
rodoviário e/ou ferroviário, administração, meio-ambiente, porto e despesas de venda. Para 
blocos de estéril temos o custo de extracção, remoção e deposição. Os custos são divididos 
em custos fixos e variáveis. Os custos variáveis afectam principalmente as etapas de 
perfuração, desmonte, carregamento e transporte. Este custo será potencializado 
principalmente quando se tem grande diversidade de materiais (em termos de resistência 
mecânica, abrasividade, ou outras características que possam diferenciar os materiais e 
consequentemente o tipo de equipamentos, desgaste destes ou mesmo insumos necessários 
para sua remoção) influenciando directamente o custo final. 
A função benefício deverá ser bem elaborada visando retratar todas as fases de 
desenvolvimento do produto final de venda com custos fixos e variáveis e receitas obtidas no 
mercado interno e externo. O grau de sofisticação da função benefício depende de 
condicionantes inerentes ao projecto. 
Valor Presente Líquido: o cálculo do valor presente líquido do projecto baseado no 
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sequenciamento de lavra, ou seja, do valor do bloco descontado no tempo. Isto significa 
afirmar que tão importante quanto saber se um bloco será ou não minerado, é saber quando 
este bloco será minerado e enviado ao processo. É um critério importante para a selecção do 
projecto, e tradicionalmente usado para análises de alternativas. Com o critério de 
optimização para maximizar o valor total da cava definido, o problema do projecto da cava 
torna-se encontrar aquele grupo de blocos que fornecerá o máximo valor possível, sujeito, é 
claro, à estabilidade da mina e à restrições da lavra. O valor económico de um bloco é então 
de suma importância. 
Cada bloco num modelo de blocos pode ser caracterizado por: 
 Renda (R): valor da parte recuperável e vendável do bloco. 
 Custos directos (CD): custos que podem ser atribuídos directamente ao bloco, como 
por exemplo, custos de perfuração, detonação, carregamento e transporte,etc 
 Custos indirectos (CI): custos gerais que não podem ser atribuídos directamente aos 
blocos individuais. Tais custos são dependentes do tempo, entre eles se incluem 
aqueles relativos por exemplo a salários, depreciação dos equipamentos.etc 
A partir disso o valor económico de um bloco (VEB) pode ser definido como: 
 
 
Deve-se notar que o valor económico do bloco não é o mesmo que lucro ou prejuízo. Lucro 
ou prejuízo pode ser definido como: 
 ∑ 
 
Blocos de estéril normalmente terão VEB negativos, já que a renda do estéril, na maioria dos 
casos, é zero. Blocos de minério ou blocos que contêm ambos minério e estéril (blocos 
misturados) terão VEB menor que zero, igual a zero ou maior que zero, dependendo da 
quantidade de minério contida em tais blocos. 
O critério de optimização para o problema de projecto dos limites da cava pode então ser 
Definido como: 
 ∑ 
 
Sujeito à estabilidade de taludes e restrições da lavra. 
A escolha da cava apenas a partir da função benefício, sem considerar a componente tempo, 
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ou seja, o momento em que o bloco vai ser lavrado definido pelo sequenciamento de lavra, 
pode conduzir a uma selecção de cava extremamente optimista, pois será extraído todo 
minério de alto teor sem considerar a sequência de extracção, isto é, apenas será informado a 
quantidade de estéril e minério na cava. 
O benefício do bloco, como foi citado anteriormente, é calculado para uma jazida 
discretizada em blocos tecnológicos. A selecção da cava apenas pela função benefício poderá 
levar a uma selecção de projecto optimista, pois se considera que todos os blocos pertinentesa cava são lavrados simultaneamente, sem considerar a componente tempo (sequenciamento 
de lavra). 
 
5. ALGORITMOS PARA TRAÇADO DE CAVA A CÉU ABERTO 
Peroni (2002, p.25) explica que “ [...] um dos problemas frequentemente enfrentados por 
geólogos e engenheiros de minas é o problema da definição dos limites do corpo mineral 
assim como avaliar a quantidade e a qualidade dos parâmetros de interesse.” 
Para solucionar esse problema, uma série de métodos foi desenvolvido ao longo dos anos, 
assistidos pelo avanço da capacidade de processamento dos computadores nos últimos 20 
anos. O método mais utilizado, segundo Peroni (1995, apud KIM, 1978), é a representação do 
modelo de blocos, discretizando o corpo mineral em um conjunto de pequenos blocos 
conceituais. 
A evolução desses algoritmos é explicada a seguir. Inicia-se a partir de um modelo 
essencialmente geométrico, o algoritmo de Litzinger, e segue-se para os modelos mais 
populares, o algoritmo dos Cones Flutuantes e Korobov, que já consideram os aspectos 
financeiros na produção, e o algoritmo de Lerchs-Grossman, que tem sido reconhecido como 
o único algoritmo que fornece a solução óptima para os problemas de mineração a céu aberto 
(Peroni, 2002). 
 
5.1. O Algoritmo de Cones Flutuantes 
O método dos Cones Flutuantes é uma das técnicas mais amplamente utilizadas para o 
desenho dos limites finais, porque é de rápida execução, veloz e de fácil concepção 
(GARCÍA, p.16, 2010). Sua lógica consiste em avaliar se o material que está contido dentro 
do cone que será lavrado proporcionará retorno financeiro. O plano de lavra é determinado 
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escolhendo a sequência de extracção que maximiza o retorno financeiro, normalmente 
medido pelo valor presente líquido (VPL). 
Podemos compreender rapidamente os passos do algoritmo através de Peroni (2002). 
1. O cone inicia a busca da esquerda para a direita, ao longo da linha superior, buscando 
e removendo blocos com VPLs positivos. 
2. Finalizando a primeira linha, o algoritmo passa a segunda linha, no qual agora 
considera o somatório dos blocos dentro de um cone delimitado tendo o bloco como 
vértice e os lados em um ângulo de 45º, para simplificar. Sendo esse somatório 
positivo, removem-se os blocos. 
3. O algoritmo continua com essa lógica até não restarem mais cones positivos a serem 
retirados. O sequenciamento de retirada final é o plano de lavra, produto do algoritmo 
dos cones flutuantes. As figuras a seguir ilustram o procedimento dos cones 
flutuantes: 
 
0 -5 +1 0 -4 +2 +7 +3 -5 -2 
-3 -4 +2 +6 -3 -1 -2 -3 0 -3 
-10 -8 -4 +2 +4 +5 -1 0 -10 12 
 
Fig1. Ilustra que o bloco antes da sua extracção o VAL=0 
 
0 -5 +1 0 -4 +2 +7 +3 -5 -2 
-3 -4 +2 +6 -3 -1 -2 -3 0 -3 
-10 -8 -4 +2 +4 +5 -1 0 -10 -12 
 
Fig2. Ilustra que na primeira linha o VAL=1+2+7+3=13UM 
0 -5 +1 0 -4 +2 +7 +3 -5 -2 
-3 -4 +2 +6 -3 -1 -2 -3 0 -3 
-10 -8 -4 +2 +4 +5 -1 0 -10 -12 
 
Fig3. Ilustra que na segunda linha o VAL=+6-4+0=2UM 
Na segunda linha, o terceiro bloco não vai pagar, ou seja não terá nenhum retorno financeiro 
visto que para a extracção do mesmo bloco devera se extrair também o segundo bloco da 
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primeira linha e o somatório é igual a -3 proveniente de -5+2=-3. Razão pela qual o bloco não 
é removido. 
O quarto bloco da segunda linha será removido juntamente com o quarto e o quinto bloco da 
primeira linha obtendo- se deste modo o VAL=2 proveniente de +6-4+0=+2 
Na terceira linha nenhum bloco será removido, pois nenhum nos traz retorno financeiro. 
Ficando a cava final da seguinte forma: 
0 -5 +1 0 -4 +2 +7 +3 -5 -2 
-3 -4 +2 +6 -3 -1 -2 -3 0 -3 
-10 -8 -4 +2 +4 +5 -1 0 +10 -12 
 
VAL=15 
REM=1/5 
 
Algorítmo de Korobov 
Peroni (2002) explica que “o algoritmo de Korobov opera colocando um cone em cada bloco 
positivo no modelo e alocando os valores positivos contra os valores negativos dentro do 
cone, até que não existam mais blocos positivos ou nulos, de maneira que os blocos positivos 
compensam os blocos negativos [...]”. Na figura abaixo, é exemplificada uma aplicação do 
algoritmo. 
Inicia-se percorrendo a primeira linha retirando os valores positivos. 
Finalizando a primeira linha, o algoritmo passa a segunda linha, no qual agora considera o 
somatório dos blocos dentro de um cone delimitado tendo o bloco como vértice e os lados em 
um ângulo de 45º,Sendo esse somatório nulo ou positivo, removem-se os blocos. 
O exemplo a seguir ilustra a aplicação do algoritmo. 
 
0 -5 +1 0 -4 +2 +7 +3 -5 -2 
-3 -4 +2 +6 -3 -1 -2 -3 0 -3 
-10 -8 -4 +2 +4 +5 -1 0 -10 12 
 
Fig1. Ilustra que o bloco antes da sua extracção o VAL=0 
 
 
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0 -5 +1 0 -4 +2 +7 +3 -5 -2 
-3 -4 +2 +6 -3 -1 -2 -3 0 -3 
-10 -8 -4 +2 +4 +5 -1 0 -10 -12 
 
Fig2. Ilustra que na primeira linha o VAL=1+2+7+3=13UM 
 
0 -5 +1 0 -4 +2 +7 +3 -5 -2 
-3 -4 +2 +6 -3 -1 -2 -3 0 -3 
-10 -8 -4 +2 +4 +5 -1 0 -10 -12 
 
O terceiro bloco da segunda linha não vai pagar, ou seja, não tem retorno financeiro. Para tal, 
temos que extrair o quarto bloco da segunda linha para poder nos dar retorno financeiro 
sendo o o seu VAL=+6-4=+2. 
Indo na terceira linha, a extracção do quarto bloco não tem retorno financeiro, pois, para a 
sua extracção deve- se retirar o segundo bloco da primeira linha, o terceiro bloco da segunda 
linha e o quinto bloco da segunda linha resultando no VAL=-5+2+2-3=-4, o que nos 
impossibilita a retirada do bloco. 
Para isso, podemos associar o quarto bloco da terceira linha com o quinto e o sexto bloco da 
terceira linha, o que implica extrair- mos em simultâneo o segundo bloco da primeira linha, o 
terceiro, o quinto, o sexto e o sétimo bloco da segunda linha resultando desta forma no VAL 
de: 
VAL=-5+2-3-1-2+2+4+5=2. 
E finalmente teremos a seguinte cava final: 
 
0 -5 +1 0 -4 +2 +7 +3 -5 -2 
-3 -4 +2 +6 -3 -1 -2 -3 0 -3 
-10 -8 -4 +2 +4 +5 -1 0 -10 -12 
 
5.2. Algoritmo de Lerchs-Grossmann 
O algoritmo de Lerchs-Grossmann, publicado em 1965, foi o primeiro algoritmo que buscou 
Optimização da cava pelo Algorítmo de cones Flutuantes, Korobov e de Lerchs- Grossmann 
2D 
 
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optimizar economicamente o plano de lavra de minas a céu aberto, e tem sido aceito como 
referência na comparação de outros algoritmos equivalentes, segundo Carmo et al. (1986). O 
procedimento básico do algoritmo é explicado por Carmo et al. (1986, p317 ) : 
i) Uma vez discretizada a jazida em blocos tecnológicos de lavra apropriadamente 
avaliados, para cada bloco (i,j), define-se a quantidade mij = vij – cij. Na verdade, 
trata-se do benefício de cada bloco, ou seja, receitas (v) menos custos (c). 
ii) Calcula-se o valor Mij acumulado para cada coluna considerada, ou seja: 
 ∑ 
 
 
 
iii) Procura-se o caminho óptimo que represente o contorno da cava para a seção 
considerada, sendo que, na procura desse caminho, usam-se os procedimentos e as 
relações abaixo: 
Poj = 0 → adiciona-se uma primeira linha ao conjunto de blocos, sendo esta composta apenas 
por zeros. 
Pij = Mij + maxK {(Pi+k,j-1)} com k = -1, 0, +1 no caso do talude 1:1 (45º). 
Pmax = maxKPik. 
A optimização será, assim, garantida, sendo preciso notar que: 
i) Pij representa a contribuiçãomáxima possível das colunas 1 a j, para qualquer pit 
viável que contenha o elemento (i,j). 
ii) Caso o valor máximo de P, na primeira linha, seja positivo, então a cava óptima é 
obtida seguindo os arcos da direita para a esquerda. 
 
iii) Com pequenos ajustes manuais é possível obter a cava final óptima a 3D. A 
optimização é iniciada fazendo-se a soma dos valores em cada uma das colunas. 
O exemplo a seguir ilustra a aplicação do algoritmo: 
0 -5 +1 0 -4 +2 +7 +3 -5 -2 
-3 -4 +2 +6 -3 -1 -2 -3 0 -3 
-10 -8 -4 +2 +4 +5 -1 0 -10 -12 
 
 
 
 
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0 0 0 0 0 0 0 0 
 +1 0 -4 +2 +7 +3 
+6 -3 -1 -2 
+4 +5 
 
Fig2. Matriz Aij 
 
 
 
0 0 0 0 0 0 0 0 
 +1 0 -4 +2 +7 +3 
+6 -7 +1 +5 
-3 +6 
 
Fig3. Matriz Mij 
 
0 0 +1 +1 +3 +5 +12 +18 
 +1 +1 +3 +5 +15 +18 
+7 0 +5 +15 
+4 +10 
 
Fig4. Cava final 
VAL=+18UM 
REM=4/7 m
3
/t.s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. CONCLUSÃO 
A determinação dos limites da cava final de qualquer projecto de mineração é um dos 
maiores desafios que o mesmo deve merecer. Tais limites precisam ser definidos já no início 
dos trabalhos de planeamento de lavra e devem ser reconsiderados, novamente e 
rotineiramente, durante toda a vida útil da mina. 
A definição da geometria final óptima da cava de uma mina a céu aberto é um elemento 
importante para alcançar a realização com sucesso do empreendimento no cenário actual, 
altamente competitivo. 
 
Optimização da cava pelo Algorítmo de cones Flutuantes, Korobov e de Lerchs- Grossmann 
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7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 LERCHS, H. e GROSSMANN I. F. Optimum design of open pit mines. CIM 
Bulletin,vol. 58 (January), pp. 47-54, 965. 
 NORONHA, R Tomada de Decisão em Projeto de Mineração: Quantificação de 
 Riscos e Incertezas. Dissertação de Mestrado - UFMG. Belo Horizonte. A. 
, 2001. 
 PERONI, R. L. Análise de sensibilidade do sequenciamento de lavra em função da 
incerteza do modelo geológico. Tese de Doutorado – UFRS. Porto Alegre, 2002. 
 WRIGTH, E.A. (1990). Open Pit Mine Design Models. Ed.: Trans Tech Publications, 
Federal Republic of Germany, 188 p 
 SAYDAM, S. e YALCIN, E. Reserve and Ultimate Pit Limit Design Analisys of 
Caldagi Nickel Deposit, Turkey. 30th Application of Computers and Operations 
Research in the Mineral Industry, Littletown, SME. Pp 121-131, 2002. 
 I. Grossman, L. H., 1965. Optimum design of open-pit mines. Canadian Mining 
Metallurgical Bull, 58(1ª), pp. 17-54. 
 HUSTRULID, W. e KUCHTA, M. Open Pit Mine Planning & Design. 1. Rotterdam: 
A.A. Balkema, 1995, 636p.