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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Lista de Aplicac¸a˜o – Semana 7 – Soluc¸a˜o Temas abordados : Taxas relacionadas Sec¸o˜es do livro: 3.10, 4.1 1) Suponha que um barco seja puxado para o cais por uma corda presa a` sua proa, situada 6 m abaixo do apoio da corda no cais, conforme a figura abaixo. Suponha ainda que a corda seja puxada com uma velocidade de 2 m/s. Nesse caso, o comprimento c(t) da corda entre a proa e o apoio, a distaˆncia d(t) do barco ao cais e o aˆngulo θ(t) entre a corda e a vertical sa˜o func¸o˜es do tempo t. Denote por τ o instante em que c(τ) = 10 m. (a) Calcule o valor de d(τ). (b) Calcule a derivada d′(τ). (c) Calcule o valor de tg(θ(τ)). (d) Usando os itens anteriores e a regra da cadeia, calcule o valor de θ′(τ). q(t)c(t) d(t) 6 Soluc¸a˜o: (a) Utilizando o teorema de Pita´goras no triaˆngulo retaˆngulo de lados d(τ), c(τ) e 6, temos que d(τ) = √ 102 − 62 = 8. (b) Novamente por Pita´goras, segue-se que as medidas c(t), d(t) e 6 esta˜o relacionadas por c2(t) = d2(t) + 62. Derivando essa igualdade e utilizando regra da cadeia, segue que 2c(t) c′(t) = (c2)′c=c(t)(c(t)) ′ = (c2(t))′ = (d2(t) + 62)′ = (d2)′d=d(t)(d(t)) ′ = 2d(t) d′(t). Da igualdade 2c(t) c′(t) = 2d(t) d′(t), isolando d′(t), obtemos que d′(t) = c(t) c′(t)/d(t). Observe agora que c′(t) = −2, uma vez que a corda esta´ sendo puxada com uma velocidade de 2. Apo´s esta observac¸a˜o, basta substituir t = τ na expressa˜o de d′(t) e usar os valores d(τ) = 10, obtido no item anterior, c(τ) = 10 e c′(τ) = −2, de modo a obter d′(τ) = −20 8 . (c) A tangente de θ(τ) e´ igual a` medida d(τ) = 8 do cateto oposto dividida pela medida 6 do cateto adjacente, de modo que tg(θ(τ)) = 8 6 . (d) Em um instante gene´rico t, tem-se tg(θ(t)) = d(t)/6. Derivando esta igualdade em relac¸a˜o a t, obte´m-se que ( 1 + tg2(θ(t)) ) θ′(t) = d′(t)/6. Basta agora isolar θ′(t), susbtituir t = τ e usar os valores ja´ calculados de tg(θ(τ)) = 8/6 e d′(τ) = −20/8, de modo a obter θ′(τ) = −12 80 . Lista de Fixac¸a˜o da Semana 7 - Pa´gina 1 de 3 2) Considere um reservato´rio, na forma de um hemisfe´rio de raio R = 10 m, com a´gua ate´ uma altura h, conforme ilustra a figura abaixo. Nesse caso, o volume de a´gua e´ dado por V (h) = (pi/3)(3Rh2 − h3). Suponha que o reservato´rio esteja sendo abastecido com uma vaza˜o de 16 pi m3/min. Portanto a altura h e o raio r da superf´ıcie da a´gua sa˜o func¸o˜es do tempo. Observe que a forma esfe´rica do reservato´rio estabelece uma relac¸a˜o entre as func¸o˜es h = h(t) e r = r(t). (a) Usando a regra da cadeia aplicada a V (h(t)), determine o valor de h′(τ) no instante τ em que h(τ) = 4. (b) Obtenha a relac¸a˜o entre as func¸o˜es h(t) e r(t) menciona acima. (c) Usado os itens anteriores, determine o valor de r′(τ) no instante τ em que h(τ) = 4. h r R Soluc¸a˜o: (a) Como o reservato´rio esta´ sendo abastecido com uma vaza˜o de 16pi m3/min, segue que (V (h(t)))′ = 16pi, para todo t. Temos que V ′(h) = pi(2Rh−h2). Pela regra da cadeia, obtemos enta˜o que 16pi = (V (h(t)))′ = (V (h))′h=h(t)(h(t)) ′ = pi(2Rh(t)− h2(t))h′(t). Isolando h′(t), segue que h′(t) = 16 2Rh(t)− h2(t) . Calculando isso no instante τ , no qual h(τ) = 4, obtemos que h′(τ) = 16 8R− 16 . (b) Pela figura, observando que a altura do reservato´rio e´ R, temos que r(t) e R−h(t) sa˜o os catetos de um triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa R. Pelo teorema de Pita´goras, segue que r2(t) + (R− h(t))2 = R2. (c) Isolando r(t) da igualdade do item anterior, obtemos que r(t) = √ 2Rh(t)− h2(t). Em particular, no instante τ em que h(τ) = 4, temos que r(τ) = √ 8R− 16. Agora derivando a igualdade do item anterior e utilizando a regra da cadeia, segue que (r2)′r=r(t)(r(t)) ′ + ((R− h)2)′h=h(t)(h(t))′ = 2r(t)r′(t)− 2(R− h(t))h′(t) = 0. Isolando r′(t), obtemos que (∗) r′(t) = R− h(t) r(t) h′(t). Calculando isso no instante τ e utilizando os valores r(τ) e h′(τ), obtidos nos ı´tens anteriores, e h(τ) = 4, segue que r′(τ) = R− 4√ 8R− 16 16 8R− 16 = 16 R− 4 (8R− 16) 32 . Lista de Fixac¸a˜o da Semana 7 - Pa´gina 2 de 3 3) Um filtro na forma de um cone circular reto tem altura igual a 10 cm e raio da base igual a 5 cm. Suponha que uma certa quantidade de a´gua seja colocada nesse filtro e que ela escoe para um recipiente na forma de um cilindro circular reto de mesmo raio e altura que o filtro, conforme ilustra a figura abaixo. Indique por x a altura da a´gua no filtro e por y a altura da a´gua no recipiente. (a) Sendo r o raio da superf´ıcie da a´gua no filtro, use semelhanc¸a de triaˆngulos para determi- nar r em func¸a˜o de x. (b) Sabendo que o volume de um cone circular reto de raio r e altura x e´ igual a (1/3)pir2x, determine o volume V1(x) da a´gua no filtro como func¸a˜o de x. y x10 5 (c) Determine o volume V2(y) de a´gua no recipiente cil´ındrico. (d) Considerando que x = x(t) e y = y(t), em que t > 0 denota o tempo, determine y′ no instante τ > 0 tal que x(τ) = 5 e x′(τ) = −0, 5. Soluc¸a˜o: (a) Fazendo um corte transversal no cone veremos dois triaˆngulos retaˆngulos semelhan- tes. Os catetos do primeiro medem 5 e 10. Os respectivos catetos do outro medem r e x. Segue ent ao r = x/2. (b) Basta usar a fo´rmula do volume do cone e lembrar que r = r(x) = x/2 para obter V1(x) = (pi/12)x 3 (c) O volume de a´gua no cilindro reto e´ dado por V2(y) = 5 2 · pi · y. (d) Como a a´gua escoa do cone para o cilindro sem desperd´ıcio, a taxa de variac¸a˜o dos dois volumes V1 e V2, em mo´dulo, sa˜o iguais. Como uma delas diminui enquanto a outra aumenta, elas teˆm sinal contra´rio, isto e´, d dt V2(y(t)) = − ddtV1(x(t)). Assim, podemos usar os itens anteriores e a regra da cadeia para obter 3 pi 12 x(t)2x′(t) = d dt V1(x(t)) = − d dt V2(y(t)) = −25piy′(t), ou ainda y′(t) = − 1 4 · 25x(t) 2x′(t). Fazendo t = τ e usando os valores do enunciado conclu´ımos que y′(τ) = 1/8. Lista de Fixac¸a˜o da Semana 7 - Pa´gina 3 de 3
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