SLIDES LIMITES 1VAR

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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Noção intuitiva
Analise as seguintes sucessões:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Noção intuitiva
Vamos analisar o seguinte exemplo:
Para a função abaixo, analise o que ocorre com o valor de f(x) quando x se aproxima de 2.
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Noção intuitiva
Analisando a situação no gráfico da função:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Noção intuitiva
Analisando a situação no gráfico da função:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Noção intuitiva
Analisando a situação no gráfico da função:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Noção intuitiva
Analisando a situação no gráfico da função:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Noção intuitiva – Definição
A função f tem limite L quando x se aproxima de a, o que se denota por se podemos fazer o valor de f(x) tão próximo do número L quanto quisermos tomando x suficientemente próximo (mas não igual) a a. (TAN, 2003)
OBS.: LR 
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Definição formal
Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a (exceto), possivelmente, no próprio a. Dizemos que o limite de f(x), quando x aproxima-se de a é L e escrevemos
se, para todo ε>0, existe um δ>0, tal que 
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Exemplo 01:
Usando a noção intuitiva, determine o resultado do limite da função abaixo:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Exemplo 03:
Analise o seguinte gráfico e determine os limites solicitados:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Exemplo 04:
Analise o seguinte gráfico e determine os limites solicitados:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Propriedades dos limites 
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Propriedades dos limites 
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Propriedades dos limites 
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Exemplo 04:
Calcule os seguintes limites:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Limites laterais 
Limite lateral à esquerda: precedem a ‘a’. 
Limite lateral à direita: sucedem a ‘a’. 
Existência do limite de uma função f(x) 
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Exemplo 05:
Calcule os limites laterais e indique a existência do limite da função, quando x tende a 2.
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Exemplo 05:
Determinar, se existirem, os limites descritos abaixo para a função indicada. Construa o gráfico da função:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Exemplo 05:
Determinar, se existirem, os limites descritos abaixo para a função indicada. Construa o gráfico da função:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Formas indeterminadas
Analise o seguinte exemplo:
Tipos de indeterminações:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Formas indeterminadas
Usar artifícios:
EXEMPLOS:
 
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Formas indeterminadas
EXEMPLOS: 
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Limites no infinito:
Definição 01: Seja f uma função definida em um intervalo aberto ]a,+∞[, escrevemos 
quando L satisfaz a seguinte condição:
se, para todo ε>0, existe um A>0, tal que 
 
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Limites no infinito:
Definição 02: Seja f uma função definida em um intervalo aberto ]-∞,b[, escrevemos 
quando L satisfaz a seguinte condição:
se, para todo ε>0, existe um B<0, tal que 
 
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Limites no infinito:
Teorema: Se n é um número inteiro positivo, então:
Prova:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Limites no infinito:
Exemplos: 
1) Calcule os limites abaixo:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Limites no infinito:
Técnicas para cálculo de limites no infinito
Para calcular o limite de uma função racional no infinito, deve-se dividir o numerador e o denominador da expressão por xn, onde n é a maior potência presente na expressão. 
Exemplos:
2)Calcule os limites:	
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Limites no infinito:
2)Calcule os limites:	
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Limites infinitos:
Definição 01: Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente em x=a,dizemos que
se para qualquer A>0, existe um δ>0 tal que f(x)>A sempre que 0<|x-a|<δ.
 
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Limites infinitos:
Definição 02: Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente em x=a,dizemos que
se para qualquer B<0, existe um δ>0 tal que f(x)<B sempre que 0<|x-a|<δ.
 
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Limites infinitos:
Teorema: Se n é um número inteiro positivo, então:
Prova:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Limites infinitos:
Exemplos: 
1) Calcule os limites abaixo:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Limites infinitos:
Exemplos:
Indeterminações: 
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Continuidade
Definição: Dizemos que uma função f é contínua no ponto a se as seguintes condições forem satisfeitas:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Continuidade
Exemplos: Investigue a continuidade das funções:
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Continuidade
Propriedade das funções contínuas:
Se as funções f e g são contínuas em um ponto a, então:
f + g é contínua em a;
f – g é contínua em a;
f . g é contínua em a;
f / g é contínua em a, desde que g(a)≠0
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Continuidade
Proposição 01:
i) Uma função polinomial é contínua para todo número real;
ii) Uma função racional é contínua em todos os pontos do seu domínio;
iii) As função f(x)=sen x e f(x)=cos x são contínuas para todo número real x.
iv) A função exponencial f(x)=ex é contínua para todo número real x.
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Continuidade
Definição: Seja f definida num intervalo fechado [a,b].
i) Se , dizemos que f é contínua a direita de a;
ii) Se , dizemos que f é contínua a esquerda de b;
iii) Se f é contínua em todo ponto do intervalo aberto ]a,b[, f é contínua à direita em a e contínua à esquerda em b, dizemos que f é contínua no intervalo fechado [a,b].
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1,5 1,25 1,17 .....
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|f(x)-3|<ε - |1/2x+2-3|<ε – ½|x+4-6|<ε - |x-2|<2ε
ε=0,005 - |x-2|<0,01 - δ=2ε
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|f(x)-3|<ε - |1/2x+2-3|<ε – ½|x+4-6|<ε - |x-2|<2ε
ε=0,005 - |x-2|<0,01 - δ=2ε
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|f(x)-3|<ε - |1/2x+2-3|<ε – ½|x+4-6|<ε - |x-2|<2ε
ε=0,005 - |x-2|<0,01 - δ=2ε
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LISTA 11
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g) x=t3 h) x=t12
LISTA 12
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c)√x2 resp=√2 d)-√x2 resp=-√2
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LISTA 13
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