gabarito_lista6

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Gabarito da Lista 6 - Continuidade, derivadas
parciais e diferenciabilidade
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Curso: Engenharias Aerona´utica e Mecatroˆnica
Professora: Ana Paula Tremura Galves
Monitor: Giovanni Borges
1. a) {(x, y) ∈ R2|x 6= 2 ln y}
b) R2
c) {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 > 4}
d) R2
e) R2 − {(0, 0)}
f) R2
2. a)
∂f
∂x
(x, y) = e3y,
∂f
∂y
(x, y) = 3xe3y
b)
∂f
∂x
(x, y) =
y
x
,
∂f
∂y
(x, y) = ln x
c)
∂f
∂x
(x, y) =
2y
(x+ y)2
,
∂f
∂y
(x, y) =
−2x
(x+ y)2
d)
∂f
∂x
(x, y) = yxy−1,
∂f
∂y
(x, y) = xy lnx
e)
∂f
∂α
(α, β) = cos α.cos β,
∂f
∂β
(α, β) = −sen α.sen β
f)
∂f
∂s
(s, t) =
t4 − s2t2
(s2 + t2)2
,
∂f
∂t
(s, t) =
2s3t
(s2 + t2)2
g)
∂f
∂u
(u, v) =
v
v2 + u2
,
∂f
∂v
(u, v) =
−u
v2 + u2
h)
∂f
∂x
(x, t) = esen(
t
x
).cos
(
t
x
)
.
(
−
t
x2
)
,
∂f
∂t
(x, t) = esen(
t
x
).cos
(
t
x
)
.
(
1
x
)
3. a)
∂f
∂x
(x, y) =
x4y + 4x2y3 − y5
(x2 + y2)2
,
∂f
∂y
(x, y) =
x5 − 4x3y2 − xy4
(x2 + y2)2
b)
∂f
∂x
(0, 0) = 0,
∂f
∂y
(0, 0) = 0
4.
∂f
∂x
(0, 0) = 0,
∂f
∂y
(0, 0) = 0
Na˜o existe lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y). Logo, f(x, y) na˜o e´ cont´ınua em (0, 0).
Observac¸a˜o: f(x, y) e´ cont´ınua em (0, 0) se lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = f(0, 0).
5. a) f e´ diferencia´vel em R2 − {(0, 0)}.
b) f e´ diferencia´vel em R2 − {(0, 0)}.
6. a) f na˜o e´ diferencia´vel em {(0, 0)}.
b) f na˜o e´ diferencia´vel em {(0, 0)}.
c) f e´ diferencia´vel em {(0, 0)}.
7. f e´ diferencia´vel em {(0, 0)}.
8. a)
∂f
∂x
(x, y) = 2x sen
(
1
x2 + y2
)
−
2x
x2 + y2
cos
(
1
x2 + y2
)
,
∂f
∂y
(x, y) = 2y sen
(
1
x2 + y2
)
−
2y
x2 + y2
cos
(
1
x2 + y2
)
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) sa˜o cont´ınuas em todo (x, y) 6= (0, 0).
b)
∂f
∂x
(0, 0) = 0,
∂f
∂y
(0, 0) = 0
c) lim
(x,y)→(0,0)
E(x, y)
‖ (x, y)− (0, 0) ‖
= 0.
Logo, f e´ diferencia´vel em (0, 0). Pelo item a) f e´ diferencia´vel em todo
(x, y) 6= (0, 0). Portanto, f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em R2.