gabarito_lista7

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Gabarito da Lista 7 - Reta Normal, Plano
Tangente e Derivadas parciais de ordem superior
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Curso: Engenharias Aerona´utica e Mecatroˆnica
Professora: Ana Paula Tremura Galves
Monitor: Giovanni Borges
1. a) Equac¸a˜o do plano tangente: 4x+ 2y − z − 4 = 0
Equac¸a˜o da reta normal:


x = 1 + 4λ,
y = 1 + 2λ, λ ∈ R
z = 2− λ
b) Equac¸a˜o do plano tangente: 2y − z − 1 = 0
Equac¸a˜o da reta normal:


x = 0,
y = 1 + 2λ, λ ∈ R
z = 1− λ
c) Equac¸a˜o do plano tangente:
x
2
+
y
2
− z −
1
4
= 0
Equac¸a˜o da reta normal:


x =
1
2
+
1
2
λ,
y =
1
2
+
1
2
λ, λ ∈ R
z =
1
4
− λ
2. a)
∂f
∂x
(1, 1) = −
2
3
e
∂f
∂y
(1, 1) = −
1
3
b) Equac¸a˜o da reta normal:


x = 1−
2
3
λ,
y = 1−
1
3
λ, λ ∈ R
z = 1− λ
3. Equac¸a˜o do plano tangente: x+ 6y − 2z − 3 = 0
4. Demonstrac¸a˜o
5. a)
∂2f
∂x2
(x, y) = −
9
(3x+ 5y)2
,
∂2f
∂y2
(x, y) = −
25
(3x+ 5y)2
∂2f
∂x∂y
(x, y) = −
15
(3x+ 5y)2
,
∂2f
∂y∂x
(x, y) = −
15
(3x+ 5y)2
b)
∂2f
∂x2
(x, y) = 8y sec2(2x)tg(2x),
∂2f
∂y2
(x, y) = 0
∂2f
∂x∂y
(x, y) = 2 sec2(2x),
∂2f
∂y∂x
(x, y) = 2 sec2(2x)
6. a) fxx(x, y) = 6xy
2, fyyy(x, y) = 72xy
b) fxyz(x, y, z) = 24 sen(4x+ 3y + 2z), fyzz(x, y, z) = 12 sen(4x+ 3y + 2z)
c) frss(r, s, t) = −
2
s2
, frst(r, s, t) = 0
d)
∂3z
∂u∂v∂w
=
1
4
√
(v − w)3
e)
∂3w
∂z∂y∂x
=
4
(y + 2z)3
,
∂3w
∂x2∂y
= 0