lista6_continuidade_derivadaparcial

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Lista 6 - Continuidade, derivadas parciais e
diferenciabilidade
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Curso: Engenharias Aerona´utica e Mecatroˆnica
Professora: Ana Paula Tremura Galves
Monitor: Giovanni Borges
1. Determine o conjunto dos pontos de continuidade das func¸o˜es:
a) f(x, y) =
sen(xy)
ex − y2
b) f(x, y) =
x− y
1 + x2 + y2
c) f(x, y) = ln(x2 + y2 − 4)
d) f(x, y) =


x3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0);
0 se (x, y) = (0, 0)
e) f(x, y) =


2xy
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0);
0 se (x, y) = (0, 0)
f) f(x, y) =


x2y3
2x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0);
0 se (x, y) = (0, 0)
2. Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes func¸o˜es:
a) f(x, y) = xe3y b) f(x, y) = y ln(x)
c) f(x, y) =
x− y
x+ y
d) f(x, y) = xy
e) f(α, β) = sen(α).cos(β) f) f(s, t) =
st2
s2 + t2
g) f(u, v) = arctg
(u
v
)
h) f(x, t) = esen(t/x)
3. Seja f(x, y) =
{
x3y−xy3
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0);
0, (x, y) = (0, 0).
a) Calcule
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y), para (x, y) 6= (0, 0), usando as regras de derivac¸a˜o.
b) Calcule
∂f
∂x
(0, 0) e
∂f
∂y
(0, 0) pela definic¸a˜o.
4. Mostre que a func¸a˜o f(x, y) =
{ xy
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0);
0, (x, y) = (0, 0),
admite derivadas
parciais em (0, 0), mas na˜o e´ cont´ınua neste ponto.
5. Verifique que as func¸o˜es
a) z = f(x, y) =
x
x2 + y2
b) z = f(x, y) =
√
x2 + y2
sa˜o diferencia´veis para todo ponto (x, y) pertencente a R2 − {(0, 0)}.
6. Verifique se as seguintes func¸o˜es sa˜o diferencia´veis em (0, 0):
a) f(x, y) =
{
x2−y2
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0);
0, (x, y) = (0, 0).
b) f(x, y) =
{
xy2
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0);
0, (x, y) = (0, 0).
c) f(x, y) =
{
2x5
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0);
0, (x, y) = (0, 0).
7. Verifique, pela definic¸a˜o, que a func¸a˜o f(x, y) =
{
x4
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0);
0, (x, y) = (0, 0),
e´
diferencia´vel em (0, 0).
8. Seja f(x, y) =
{
(x2 + y2).sen
(
1
x2+y2
)
, (x, y) 6= (0, 0);
0, (x, y) = (0, 0).
a) Determine
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y), para (x, y) 6= (0, 0), usando as regras de
derivac¸a˜o e verifique que sa˜o cont´ınuas para todo (x, y) 6= (0, 0).
b) Determine
∂f
∂x
(0, 0) e
∂f
∂y
(0, 0) pela definic¸a˜o.
c) Mostre que f e´ diferencia´vel em R2.