lista7_retatg_retanormal_derivadaordemsuperior

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Lista 7 - Reta Normal, Plano Tangente e
Derivadas parciais de ordem superior
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Curso: Engenharias Aerona´utica e Mecatroˆnica
Professora: Ana Paula Tremura Galves
Monitor: Giovanni Borges
1. Determine as equac¸o˜es do plano tangente e da reta normal ao gra´fico da func¸a˜o
no ponto dado.
a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1));
b) f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1));
c) f(x, y) = xy em
(
1
2
,
1
2
, f
(
1
2
,
1
2
))
.
2. Sabendo que 2x+y+3z = 6 e´ a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f(x, y)
no ponto (1, 1, 1):
a) Calcule
∂f
∂x
(1, 1) e
∂f
∂y
(1, 1)
b) Determine a equac¸a˜o da reta normal no ponto (1, 1, 1).
3. Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que seja tangente
ao gra´fico de f(x, y) = xy.
4. Considere a func¸a˜o f(x, y) =
x3
x2 + y2
. Mostre que os planos tangentes ao gra´fico
de f passam pela origem.
5. Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das func¸o˜es:
a) f(x, y) = ln(3x+ 5y) b) f(x, y) = ytg(2x)
6. Determine as derivadas parciais indicadas.
a) f(x, y) = 3xy4 + x3y2; fxx, fyyy
b) f(x, y, z) = cos (4x+ 3y + 2z), fxyz, fyzz
c) f(r, s, t) = r ln(rs2t3), frss, frst
d) z = u
√
v − w,
∂3z
∂u ∂v ∂w
e) w =
x
y + 2z
,
∂3w
∂z ∂y ∂x
,
∂3w
∂x2 ∂y