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k
j
i
z
y
x
eixo
 das cotas
eixo
 das ordenadas
eixo
 das abscissasVETORES NO ESPAÇO
Um vetor é assim representado:
 = x + y + z ou ainda
 = ( x,y,z )
Ex:1
z
y
x
P (
3
,5,4 )
4
5
3 
Produto Escalar
Chama-se Produto Escalar de dois vetores e 
E se representa por . , o número real;
. 
 +
 
.
 + 
Ex.: 1 Dados = 3i – 5j + 8k e = 4i – 2j – k , determine . .
 . = ( 3 . 4) + ( -5 . -2 ) + ( 8 . -1 )
 = 12 + 10 – 8
 = 14
Ex.: 2 Sendo = ( 3 , 2 , 1 ) e = ( -1 , -4 , -1 ), calcule : ( + ) . (2) .
 (2 , -2 , 0 ) . [ ( 6, 4 , 2 ) + ( 1 , 4 , 1 )]
 ( 2 , -2 , 0 ).( 7 , 8 , 3 )
 [ ( 2 . 7 + (-2 . 8) + 0 . 3 )]
 ( 14- 16 + 0 )
 R = -2
 Ex.:3
 Dados os vetores = ( 4 , , - 1 ) e = ( , 2 ,3 ) e os pontos A ( 4 , -1 , 2 ) e B ( 3 , 2 , -1 ), determinar , tal que : . ( + ) = 5 .
Definição Geométrica de Produto Escalar
O produto escalar de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formados.
 . 
 = 
Ex: Sendo = 2 , = 3 e 120 (cos 120 = - ½ ), o ângulo entre e , calcular . . 
 . = 2 . 3 . ( = -3
Ex:2 Sendo = 2, = 3, e 1200 
( cos 120 = - ½ ), o ângulo entre e , calcular:
. 
+
- 
Dois vetores são ortogonais se, e somente se,
Ex.: Prove que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, -1) e C(2, 2, -2) é um triângulo retângulo em B.
 . 
 . Retângulo em B.
( são ortogonais)
Produto Vetorial
 ( x )
O Produto Vetorial é um vetor, ao contrário do Produto Escalar ( . ) que é um escalar ( número real ).
Definição : Chama-se Produto Vetorial de dois vetores e , tomados nesta ordem, e se representa por x , ao vetor :
 x = 
Ex: 1 Calcular x para os vetores dados como e 
 x = 
 = 4i + 3j -4k -5j
 = 4i – 2j – 4k
 = ( 4 , -2 , -4 )
 Módulo 
(Comprimento do Produto Vetorial )
Se é o ângulo entre os vetores e não – nulos , então :
Definição Geométrica de Produto Vetorial
h
Demonstrando :
 Área do paralelogramo
 A = b . h
 
Obs: A área do paralelogramo determinado por dois vetores é 
numericamente igual ao comprimento do vetor , logo : ( Módulo )
Ex:1 Seja um triângulo equilátero de lado 10cm e 
sen 60 = Calcular a sua área observando .
 = 
 = 10 . 10 . sen 60
 = 100 . 
 = 50 ( Área do paralelogramo )
Área do triângulo : 50 dividido por 2 .
Ex.: 2 Dados os vetores e , calcular :
A área do paralelogramo determinada por .
 x = 
 x 
A = 
A altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor .
A = b . h h = h = 
H = 
Característica do vetor 
 
 
 
 
 
 
 
 O vetor é simultaneamente ortogonal a e .
Sabendo que dois vetores são ortogonais quando o produto escalar deles é zero, basta mostrar que :
 e 
Ex.: 1 Dados os vetores e , diga se o produto vetorial é ortogonal aos vetores e .
Solução : x = 
 x = (1, -19, 8 )
 0
 0 0
PRODUTO MISTO
Chama-se Produto Misto dos vetores e e , tomados nesta ordem, ao número real .
Basta resolver :
 = Pode ser representado por (
Ex.: Calcular o produto misto dos vetores dados como 
 = 
Obs: Os sinais ( . e x ) podem ser permutados, isto é :
 O produto misto
 ( = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.:1 Qual deve ser o valor de m para que os vetores ( 1, -1, 2) e sejam coplanares .
Solução:
m = -10
Ex.: 2 Verifique se os pontos A(1, 2, 4), B(-1, 0, -2) , C(0, 2, 2) e D(-2, 1, -3) estão no mesmo plano.
Solução :
B
C
D
A
(,,) = = 0
Os pontos dados são coplanares.
Interpretação Geométrica do módulo do Produto Misto
Geometricamente, o produto misto é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores não – coplanares , e .
V = 
Ex.:1 Sejam os vetores (3, m, -2) , (1, -1, 0) e (2, -1, 2). Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado por , e seja 16 u.c .
Solução :
( = 
( = - 2m - 8
Então : 
Pela definição de módulo, temos :
 
-2m -8 = 16 e -2m -8 = -16
 -2m = 24 -2m = -8
 m = -12 m = 4
Volume do Tetraedro
Ex.1 Dados A(1, 2, -1), B(5, 0, 1) , C(2, -1, 1) e D(6, 1, -3) vértices de um tetraedro. Calcular o volume e a altura do tetraedro. 
 Solução :
(,,) = 
(,,) =( 36 ) 6 u.v
Altura do Tetraedro
V = Paralelepípedo
A altura do tetraedro traçada do vértice D é a própria altura do paralelepípedo de base determinada por . Como o volume V do paralelepípedo é dado por:
 
 . H
V = Paralelepípedo
= 2i – 6j – 10k
 = u.c
Exercícios:
Seja = (-3,1,2), = (4,0,-8) e = (6,-1,-4). Encontre os componentes de:
- 
6 + 2
- + 
5 (- 4)
-3 ( - 8)
(2 - 7) – ( 8 + )
 2) Sendo = ( 2,3,1) e = ( 1,4, 5) . Calcular:
 a) b) |–| c)( + )2 
 d) (3– 2)2 e) (23)(+2) 
 3) Sendo =(2,–1,1), =(1,–2,–2) e
 =(1,1,–1). Calcular um vetor =(x,y,z), tal que = 4, = –9 e = 5. 
 
 4) Os vetores e formam um ângulo de 600. (cos 60 = ½). Sabe-se que =8 e
 =5, calcule:
a)+ 	b)– c) 2+3 d) 4– 5
5) Dadas as coordenadas, x =4 , y = –12, de um vetor do 3, calcular sua terceira coordenada z, de maneira que = 13
6) Determinar o valor de x para que os vetores 
= x–2+3 e =2–+2, sejam ortogonais.
7) O vetor forma um ângulo de 600 ( cos 600 = ½ )com o vetor , onde A (0,3,4) e 
B(m, 1,2). Calcular o valor de m.
8) Dados os vetores =( –1,3,2),=(1,5,–2) e 
=(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores:
 a) 			b) c) () d) () e) (+)(+) f) (–) 
9) Dados os vetores =(1,1,1) e =(2,3,4), calcular:
 a) A área do paralelogramo de determinado por e ;
 b) A altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor .
10) Dados os pontos A (2,1,1), B (3,-1,0) e C (4,2,-2), determinar:
 a) A área do triângulo ABC.
 b) A altura do triângulo relativa ao vértice C.
11) Qual é o valor de x para que os vetores 
 = (3,–x,–2), = (3,2,x) e = (1,–3,1) sejam coplanares.
12) Verificar se são coplanares os vetores, = (2,-1,1), = (1,0,-1) e = (2,-1,4)
13) Calcular o produto misto dos vetores = (3,-1,1), = (1,2,2) e = (2,0,-3).
14) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores 
= (3,-1,4), = (2,0,1) e = (-2,1,5). Calcular seu volume e a altura relativa a base definida pelos vetores e .
15) Dados os vetores = (0,1,-1), = (2,0,-1), diga se o produto vetorial x é ortogonal aos vetores
 e.
16) Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P, sendo A (2,0,0), B (2,4,0), C (0,3,0) e
P ( 2,-2,9) e a altura relativa ao vértice P.
GABARITO:
a) (-2,1,-4)
b) (-10,6,-4)
c) (-7,1,10)
d) (80,-20,-80)
e) (132,-24,-72)
F) (-77,8,94)
a) 19 b) 3 √2 c)94 d)66 e) –205 
 
=(3,4,2)
a) b)7 c) d)
z= 3
x = - 4 
m= –34 ou m= 2
a)( -16,0,- 8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) 
d)(24,72,48) e)(24,0,64)	 f)(–3,–13,18)
 9) a)A= b)
 10) a) A = b) h = 
 2 2
 11) x=14 ou x= –2
 12) Não são coplanares 13) - 29 
 
 14) V = 17 e H 15) É ortogonal 
 
 16) H = 9u.c e V = 12u.v

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