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k j i z y x eixo das cotas eixo das ordenadas eixo das abscissasVETORES NO ESPAÇO Um vetor é assim representado: = x + y + z ou ainda = ( x,y,z ) Ex:1 z y x P ( 3 ,5,4 ) 4 5 3 Produto Escalar Chama-se Produto Escalar de dois vetores e E se representa por . , o número real; . + . + Ex.: 1 Dados = 3i – 5j + 8k e = 4i – 2j – k , determine . . . = ( 3 . 4) + ( -5 . -2 ) + ( 8 . -1 ) = 12 + 10 – 8 = 14 Ex.: 2 Sendo = ( 3 , 2 , 1 ) e = ( -1 , -4 , -1 ), calcule : ( + ) . (2) . (2 , -2 , 0 ) . [ ( 6, 4 , 2 ) + ( 1 , 4 , 1 )] ( 2 , -2 , 0 ).( 7 , 8 , 3 ) [ ( 2 . 7 + (-2 . 8) + 0 . 3 )] ( 14- 16 + 0 ) R = -2 Ex.:3 Dados os vetores = ( 4 , , - 1 ) e = ( , 2 ,3 ) e os pontos A ( 4 , -1 , 2 ) e B ( 3 , 2 , -1 ), determinar , tal que : . ( + ) = 5 . Definição Geométrica de Produto Escalar O produto escalar de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formados. . = Ex: Sendo = 2 , = 3 e 120 (cos 120 = - ½ ), o ângulo entre e , calcular . . . = 2 . 3 . ( = -3 Ex:2 Sendo = 2, = 3, e 1200 ( cos 120 = - ½ ), o ângulo entre e , calcular: . + - Dois vetores são ortogonais se, e somente se, Ex.: Prove que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, -1) e C(2, 2, -2) é um triângulo retângulo em B. . . Retângulo em B. ( são ortogonais) Produto Vetorial ( x ) O Produto Vetorial é um vetor, ao contrário do Produto Escalar ( . ) que é um escalar ( número real ). Definição : Chama-se Produto Vetorial de dois vetores e , tomados nesta ordem, e se representa por x , ao vetor : x = Ex: 1 Calcular x para os vetores dados como e x = = 4i + 3j -4k -5j = 4i – 2j – 4k = ( 4 , -2 , -4 ) Módulo (Comprimento do Produto Vetorial ) Se é o ângulo entre os vetores e não – nulos , então : Definição Geométrica de Produto Vetorial h Demonstrando : Área do paralelogramo A = b . h Obs: A área do paralelogramo determinado por dois vetores é numericamente igual ao comprimento do vetor , logo : ( Módulo ) Ex:1 Seja um triângulo equilátero de lado 10cm e sen 60 = Calcular a sua área observando . = = 10 . 10 . sen 60 = 100 . = 50 ( Área do paralelogramo ) Área do triângulo : 50 dividido por 2 . Ex.: 2 Dados os vetores e , calcular : A área do paralelogramo determinada por . x = x A = A altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor . A = b . h h = h = H = Característica do vetor O vetor é simultaneamente ortogonal a e . Sabendo que dois vetores são ortogonais quando o produto escalar deles é zero, basta mostrar que : e Ex.: 1 Dados os vetores e , diga se o produto vetorial é ortogonal aos vetores e . Solução : x = x = (1, -19, 8 ) 0 0 0 PRODUTO MISTO Chama-se Produto Misto dos vetores e e , tomados nesta ordem, ao número real . Basta resolver : = Pode ser representado por ( Ex.: Calcular o produto misto dos vetores dados como = Obs: Os sinais ( . e x ) podem ser permutados, isto é : O produto misto ( = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares. Ex.:1 Qual deve ser o valor de m para que os vetores ( 1, -1, 2) e sejam coplanares . Solução: m = -10 Ex.: 2 Verifique se os pontos A(1, 2, 4), B(-1, 0, -2) , C(0, 2, 2) e D(-2, 1, -3) estão no mesmo plano. Solução : B C D A (,,) = = 0 Os pontos dados são coplanares. Interpretação Geométrica do módulo do Produto Misto Geometricamente, o produto misto é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores não – coplanares , e . V = Ex.:1 Sejam os vetores (3, m, -2) , (1, -1, 0) e (2, -1, 2). Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado por , e seja 16 u.c . Solução : ( = ( = - 2m - 8 Então : Pela definição de módulo, temos : -2m -8 = 16 e -2m -8 = -16 -2m = 24 -2m = -8 m = -12 m = 4 Volume do Tetraedro Ex.1 Dados A(1, 2, -1), B(5, 0, 1) , C(2, -1, 1) e D(6, 1, -3) vértices de um tetraedro. Calcular o volume e a altura do tetraedro. Solução : (,,) = (,,) =( 36 ) 6 u.v Altura do Tetraedro V = Paralelepípedo A altura do tetraedro traçada do vértice D é a própria altura do paralelepípedo de base determinada por . Como o volume V do paralelepípedo é dado por: . H V = Paralelepípedo = 2i – 6j – 10k = u.c Exercícios: Seja = (-3,1,2), = (4,0,-8) e = (6,-1,-4). Encontre os componentes de: - 6 + 2 - + 5 (- 4) -3 ( - 8) (2 - 7) – ( 8 + ) 2) Sendo = ( 2,3,1) e = ( 1,4, 5) . Calcular: a) b) |–| c)( + )2 d) (3– 2)2 e) (23)(+2) 3) Sendo =(2,–1,1), =(1,–2,–2) e =(1,1,–1). Calcular um vetor =(x,y,z), tal que = 4, = –9 e = 5. 4) Os vetores e formam um ângulo de 600. (cos 60 = ½). Sabe-se que =8 e =5, calcule: a)+ b)– c) 2+3 d) 4– 5 5) Dadas as coordenadas, x =4 , y = –12, de um vetor do 3, calcular sua terceira coordenada z, de maneira que = 13 6) Determinar o valor de x para que os vetores = x–2+3 e =2–+2, sejam ortogonais. 7) O vetor forma um ângulo de 600 ( cos 600 = ½ )com o vetor , onde A (0,3,4) e B(m, 1,2). Calcular o valor de m. 8) Dados os vetores =( –1,3,2),=(1,5,–2) e =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores: a) b) c) () d) () e) (+)(+) f) (–) 9) Dados os vetores =(1,1,1) e =(2,3,4), calcular: a) A área do paralelogramo de determinado por e ; b) A altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor . 10) Dados os pontos A (2,1,1), B (3,-1,0) e C (4,2,-2), determinar: a) A área do triângulo ABC. b) A altura do triângulo relativa ao vértice C. 11) Qual é o valor de x para que os vetores = (3,–x,–2), = (3,2,x) e = (1,–3,1) sejam coplanares. 12) Verificar se são coplanares os vetores, = (2,-1,1), = (1,0,-1) e = (2,-1,4) 13) Calcular o produto misto dos vetores = (3,-1,1), = (1,2,2) e = (2,0,-3). 14) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores = (3,-1,4), = (2,0,1) e = (-2,1,5). Calcular seu volume e a altura relativa a base definida pelos vetores e . 15) Dados os vetores = (0,1,-1), = (2,0,-1), diga se o produto vetorial x é ortogonal aos vetores e. 16) Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P, sendo A (2,0,0), B (2,4,0), C (0,3,0) e P ( 2,-2,9) e a altura relativa ao vértice P. GABARITO: a) (-2,1,-4) b) (-10,6,-4) c) (-7,1,10) d) (80,-20,-80) e) (132,-24,-72) F) (-77,8,94) a) 19 b) 3 √2 c)94 d)66 e) –205 =(3,4,2) a) b)7 c) d) z= 3 x = - 4 m= –34 ou m= 2 a)( -16,0,- 8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48) e)(24,0,64) f)(–3,–13,18) 9) a)A= b) 10) a) A = b) h = 2 2 11) x=14 ou x= –2 12) Não são coplanares 13) - 29 14) V = 17 e H 15) É ortogonal 16) H = 9u.c e V = 12u.v
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