Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
A RETA Equação Vetorial da Reta Z r A P y xConsideremos um ponto A(x1, y1, z1 ) e um vetor não - nulo = ( a, b, c ). Só existe uma reta r que passa por A e tem a mesma direção de . Um ponto P(x, y, z) pertence a r se, e somente se, o vetor é paralelo a. = t . para algum real t P – A = t . P = A + t . Escrito na forma : (x, y, z ) = ( x 1 , y 1, z 1 ) + t.(a, b, c) O vetor é chamado “ Vetor Diretor “ da reta r e t é denominado parâmetro. Ex: Escreva a equação vetorial da reta r que passa por A(1, -1, 4) e tem a direção de = (2, 3, 2 ). P = A + t. (x, y, z ) = ( 1, -1, 4 ) + t.(2, 3, 2 ) Para obter pontos da reta, basta atribuir valores para t . Ex: t = 2. P = ( 1, -1, 4 ) + 2.(2, 3, 2 ) P = ( 1, -1, 4 ) + ( 4, 6, 4 ) P = ( 5, 5, 8 ) r Obs: Para cada t, corresponde um ponto P e cada ponto P , corresponde um número real t . Equações Paramétricas da Reta Da equação (x, y, z ) = ( x1, y1, z1 ) + t.(a, b, c) , podemos escrever : (x, y, z ) = ( x1, y1, z1 ) + t.(a,b, c) , (x, y, z ) = ( x1, y1, z1 ) + .(at,bt, ct) (x, y, z ) = ( x1+ at , y1+ bt , z1 + ct ) x = x1 + at Então : y = y1 + bt z = z1 + ct Ex: Escreva as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A (3, -4, 2 ) e é paralela ao vetor dado por = (2, 1, -3 ). Resposta: Reta definida por dois pontos A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A ( ou B ) e tem a direção do vetor = . Ex: Escrever as equações paramétricas da reta que passa por A(3, -1, -2) e B(1, 2, 4). Resposta: = = B – A = ( -2, 3, 6 ) Escolhendo o ponto A : ( x, y, z ) = ( 3, -1, -2 ) + t(-2, 3, 6 ) Equações Paramétricas de um Segmento de Reta As equações paramétricas do segmento AB são as mesmas da reta r , porém com 0 t 1 . Ex: Se A(3, -1, -2 ) e B(1, 2, 4 ) , temos : = = B – A = ( -2, 3, 6 ) , com t [0, 1] Se t = 0 temos o ponto A Se t = 1 temos o ponto B Equações Simétricas da Reta Das equações paramétricas: x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct Isolando t, temos : t = t = t = t = t = t = Para cada ponto da reta temos um só valor pata “ t “ . t = t = t = = Então : = Ex: Escreva a equação Simétrica da reta r que passa pelo ponto A(3, 0, -5 ) e tem a direção de =( 2, 2, -1) . Resposta: = = = = Equações Reduzidas da Reta Basta a partir das equações simétricas expressar duas variáveis em função da terceira, ou seja : Dada a reta r definida pelo ponto A(2, -4, 3), pelo vetor =( 1, 2, -3) e expressa pelas equações simétricas: r : = = = = y + 4 = 2x – 4 z – 3 = -3x + 6 y = 2x – 8 z = -3x + 9 Podemos escrever o ponto “ P ” como P(x, 2x – 8 , -3x +9 ), podendo x assumir qualquer valor. As equações reduzidas na variável x são sempre na forma : Retas Paralelas aos Planos Coordenados x z A y rA(-1, 2, 4) ( 2, 3, 0) Uma reta é paralela a um dos planos xOy, xOz ou yOz se seus vetores diretores forem paralelos ao correspondente plano. Neste caso, uma das componentes do vetor é nula. Retas Paralelas aos eixos Coordenados Uma reta é paralela a um dos eixos Ox, Oy ou Oz se seus vetores diretores forem paralelos a ou a ou . Neste caso, duas das componentes do vetor são nulas. y z A 3 2 r x = (0, 0, 3 ) 5 ( 2, 3, 5 ) Ângulo de duas Retas = 1 . 2 , com 0 1 . 2 z x y Ex: Calcular o ângulo entre as retas : r1: e r2 : = = 1(1, 1, -2 ) e 2(-2, 1, 1 ) = Logo: = 60 Exemplo resolvido para aula Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor (1, -2, 3), pede-se : Escrever as equações paramétricas da reta que passa por A e tem a direção de ; Encontrar dois pontos B e C da reta r de parâmetros t =1 e t = 4, respectivamente; Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4; Verificar se os pontos D(4, -1, 2) e E(5, -4, 3) pertencem a reta r; Determinar para que valores de m e n o ponto F(m, 5, n) pertence a reta r; Escrever as equações paramétricas da reta s que passa por G(5, 2, -4) e é paralela a reta r; Escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r; Escrever as equações paramétricas da reta t que passa por A e é paralela ao eixo y. Retas Ortogonais Duas retas r1 e r2 com as direções de 1 e 2 são ortogonais se 1 . 2 = 0 . Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. As retas r1 e r2 são ortogonais a r, porém r2 e r são concorrentes. Neste caso diz-se que são perpendiculares. r 1 r 2 r Ex: Veja se as retas r: e s: são ortogonais. Resposta : Achando 1 = (1, -2, 4) e 2 =(-2, 1, 1 ) Então: 1 . 2 = (1, -2, 4) . (-2, 1, 1 ) 1 . 2 = 0 Reta ortogonal a duas Retas Sejam as retas r1 e r2 não paralelas, com as direções de 1 e 2 , respectivamente. Toda reta r ao mesmo tempo ortogonal a r1 e r2 terá a direção de um vetor . tal que . 1 = 0 . 2 = 0 Podemos fazer : = 1 x 2 Definido um vetor diretor, a reta r estará determinada quando for conhecido um de seus pontos. Ex: Achar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(3, 4, -1) e é ortogonal às retas: r1 : (x, y, z) = (0, 0, 1) + t(2, 3, -4) e x = 5 r2 : y = t z = 1 - t Resolução: As direções de r1 e r2 são definidas pelos vetores 1 = (2, 3, -4 ) e 2=(0, 1, -1 ). Então a reta r tem a direção do vetor: 1 x 2= = ( 1, 2, 2) Logo, tem-se: r : Interseção de duas retas Se existe um ponto P(x, y, z) comum às duas retas, suas coordenadas verificam todas as equações de r1 e r2 , isto é , o ponto P é solução única do sistema formado pelas equações das duas retas. Ex: Verifique se as retas r1 e r2 são concorrentes, em caso afirmativo, determine o ponto de interseção. r1 : e r2 : igualando as retas r1 e r2 , temos : Calculando em 1 e 3 : -4t=4 t = -1 h = -1 Substituindo em r1 , temos: r1 : , o ponto de interseção é P(2, -1, 3). Exercícios: 1)Dada a reta r : , determine o ponto de r, tal que : a)A ordenada seja 6; b)A abscissa seja igual à ordenada; c)A cota seja o quádruplo da abscissa. 2)Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos: a) A(1, -1, 2) e B(2, 1, 0) b) A(3, 1, 4) e B(3,-2, 2) c) A(1, 2, 3) e B(1, 3, 2) d) A(0, 0,0 ) e B(0, 1, 0) 3) Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos ponto A( -2, 3 , -2 ) e tem ( 3, 0, 2 ). 4) Calcular o valor de m para que as retas r e s sejam ortogonais. r : y = mx – 3 s : x = -1 + 2t z = - 2x y = 3 - t z = 5t 5) O ponto P(m, 1 , n ) pertence à reta que passa por A ( 3, -1, 4 ) e B ( 4, -3 , -1 ). Determine P. 6) Sabendo que o ponto P ( m , 4 , n ) pertence à reta que passa pelos pontos A( -1, -2, 3 ) e B( 2, 1 -5 ), calcular m e n. 7) Determinar a equação vetorial da reta r definida pelos pontos A( 2, -3, 4 ) e B( 1, -1, 2 ) e verifique se os pontos C 5/2 , -4 , 5 e D ( -1, 3 , 4 ) pertencem a r. 8) A reta r : x – 2 = 4 = z , forma um ângulo de 304 5 3 Com a reta determinada pelos pontos A( 0, -5, -2 ) e B( 1, n - 5, 0 ). Calcular o valor de n. 9) Determinar as equações vetorial e paramétricas da reta que passa pelos pontos A(1,- 1, 2) , B(2, 1, 0). 10) Estabelecer as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida das retas determinada pelo ponto A( 1, -2 ,1 ) e pelo vetor = ( 3, 1, 4 ). 11)Ache as equações paramétricas e vetoriais da reta r que satisfaz as condições dadas: a) Passa pelos pontos A ( 1, 2, 1 ) e B( 5, -1,1 ); b) Passa pelo ponto P ( 5, 3, 2 ) cujo vetor diretor seja = ( 4, 1,-1 ); 12) Determinar o ângulo entre as retas x = 2 - t r1: y = t e r2 : x = y + 6 = z - 1 z = 3 - 2t 2 1 1 13) Encontre as equações paramétricas da reta que passa por A(0,0,0) e é simultaneamente ortogonal ás retas r1 : x = y = z – 3 e 2 1 2 r2 : x = 3t y = -t + 1 z = 2 Verificar se as retas r1 e r2 são concorrentes, e em caso afirmativo, encontrar os pontos de interseção: r 1 : y = 2x – 3 r2: y = -3x + 7 z = - x +5 z = x + 1 r 1 : y = 2x – 3 r2: x = -t z = - x y = 4 - t z = 2 + 2t Gabarito a) P ( -1, 6 , -10 ) b) 5 , 5 , -3 c) P ( -4, 9 , -16 ) 2 2 a) x = 1 + t c) x = 1 y = -1 + 2t y = 2 + t z = 2 – 2t z = 3 - t b) x = 3 d) x = 0 y = 1 -3t y = t z = 4 – 2t z = 0 x = - 2 + 3t y = 3 z= -2 + 2t m= -8 5) P ( 2, 1, 9 ) 6) P( 5, 4, -13 ) 7) ( x, y, z )=( 2, -3, 40 + t (-1, 2, -2 ) ; C r ; D r 8) n = 7 e n = 1 (x,y,z)=(1,-2,1) + t (3,1,40 x = 1 + t y = -1+2t z = 2 – 2t 10) (x, y ,z) = (1, -2, 1) + t (3, 1, 4) x = 1 + 3t, y = -2 + t e z = 1 + 4t x – 1 = y + 2 = z – 1 3 1 4 x = 3y + 7 e z = 4y + 9 a) x, y, z = (1, 2, 1) + t (4, -3, 0) x = 1 + 4t, y = 2 – 3t e z = 1 b) v = (5, 3, 2) + t (4, 1, -1) x = 5 + 4t, y = 3 + t e z = 2 – t 12) 60° 13) x = 2t y = 6t z = - 5t 14) a) São concorrentes P ( 2, 1, 3) b) Não são concorrentes, então não tem ponto de interseção.
Compartilhar