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Aula 9 GA. A RETA

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A RETA
 Equação Vetorial da Reta
Z 
r
A
P
y
xConsideremos um ponto A(x1, y1, z1 ) e um vetor não - nulo = ( a, b, c ). Só existe uma reta r que passa por A e tem a mesma direção de . Um ponto P(x, y, z) pertence a r se, e somente se, o vetor é paralelo a. 
 = t . 
 para algum real 
t
P – A = t . 
P = A + t . 
Escrito na forma :
(x, y, z ) = ( x
1
, y
1, 
z
1
 ) + t.(a, b, c)
O vetor é chamado “ Vetor Diretor “ da reta r e t é denominado parâmetro. 
Ex: Escreva a equação vetorial da reta r que passa por A(1, -1, 4) e tem a direção de = (2, 3, 2 ).
P = A + t.
(x, y, z ) = ( 1, -1, 4 ) + t.(2, 3, 2 )
Para obter pontos da reta, basta atribuir valores para t . Ex: t = 2.
 P = ( 1, -1, 4 ) + 2.(2, 3, 2 )
 P = ( 1, -1, 4 ) + ( 4, 6, 4 )
 P = ( 5, 5, 8 ) r
Obs: Para cada t, corresponde um ponto P e cada ponto P , corresponde um número real t .
Equações Paramétricas da Reta
Da equação (x, y, z ) = ( x1, y1, z1 ) + t.(a, b, c) , podemos escrever :
(x, y, z ) = ( x1, y1, z1 ) + t.(a,b, c) ,
(x, y, z ) = ( x1, y1, z1 ) + .(at,bt, ct)
(x, y, z ) = ( x1+ at , y1+ bt , z1 + ct )
 
 
 x = x1 + at
Então : y = y1 + bt
 z = z1 + ct
Ex: Escreva as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A (3, -4, 2 ) e é paralela ao vetor dado por = (2, 1, -3 ).
 
 
Resposta: 
 Reta definida por dois pontos
A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A ( ou B ) e tem a direção do vetor = .
Ex: Escrever as equações paramétricas da reta que passa por A(3, -1, -2) e B(1, 2, 4).
Resposta: = = B – A = ( -2, 3, 6 )
Escolhendo o ponto A :
( x, y, z ) = ( 3, -1, -2 ) + t(-2, 3, 6 )
Equações Paramétricas de um Segmento de Reta
As equações paramétricas do segmento AB são as mesmas da reta r , porém com 0 t 1 .
Ex: Se A(3, -1, -2 ) e B(1, 2, 4 ) , temos :
 = = B – A = ( -2, 3, 6 )
 , com t [0, 1]
Se t = 0 temos o ponto A
Se t = 1 temos o ponto B
Equações Simétricas da Reta
Das equações paramétricas:
x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct
Isolando t, temos :
t = 
 
t = 
 
t = 
t = t = t = 
 
Para cada ponto da reta temos um só valor pata “ t “ .
 t = t = t
 = 
 = Então :
 = 
Ex: Escreva a equação Simétrica da reta r que passa pelo ponto A(3, 0, -5 ) e tem a direção de =( 2, 2, -1) .
Resposta: = = 
 = = 
 
 Equações Reduzidas da Reta
Basta a partir das equações simétricas expressar duas variáveis em função da terceira, ou seja :
Dada a reta r definida pelo ponto A(2, -4, 3), pelo vetor =( 1, 2, -3) e expressa pelas equações simétricas: 
r : = = 
 = = 
y + 4 = 2x – 4 z – 3 = -3x + 6
y = 2x – 8 z = -3x + 9
Podemos escrever o ponto “ P ” como
P(x, 2x – 8 , -3x +9 ), podendo x assumir qualquer valor.
As equações reduzidas na variável x são sempre na forma :
Retas Paralelas aos Planos Coordenados
x
z
A
y
rA(-1, 2, 4)
( 2, 3, 0)
Uma reta é paralela a um dos planos xOy, xOz ou yOz se seus vetores diretores forem paralelos ao correspondente plano. Neste caso, uma das componentes do vetor é nula.
Retas Paralelas aos eixos Coordenados
Uma reta é paralela a um dos eixos Ox, Oy ou Oz se seus vetores diretores forem paralelos a ou a ou . 
Neste caso, duas das componentes do vetor são nulas.
y
z
A
3
2
r
x
=
(0, 0, 3 )
5
 ( 2, 3, 5 )
 
 Ângulo de duas Retas
 
= 
 
1
 . 
 
2 
 , com 0 
 
 
 
 
 
1
 . 
 
2
z
x
y
Ex: Calcular o ângulo entre as retas :
r1: e r2 : = = 
1(1, 1, -2 ) e 2(-2, 1, 1 )
 = 
Logo: = 60
Exemplo resolvido para aula
Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor (1, -2, 3), pede-se :
Escrever as equações paramétricas da reta que passa por A e tem a direção de ;
Encontrar dois pontos B e C da reta r de parâmetros t =1 e t = 4, respectivamente;
Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4;
Verificar se os pontos D(4, -1, 2) e E(5, -4, 3) pertencem a reta r;
Determinar para que valores de m e n o ponto F(m, 5, n) pertence a reta r;
Escrever as equações paramétricas da reta s que passa por G(5, 2, -4) e é paralela a reta r;
Escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r;
Escrever as equações paramétricas da reta t que passa por A e é paralela ao eixo y.
 Retas Ortogonais 
Duas retas r1 e r2 com as direções de 1 e 2 são ortogonais se 1 . 2 = 0 .
Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. As retas r1 e r2 são ortogonais a r, porém r2 e r são concorrentes. Neste caso diz-se que são perpendiculares.
r
1
r
2
r
Ex: Veja se as retas r: e s: são ortogonais.
Resposta : Achando 1 = (1, -2, 4) e 2 =(-2, 1, 1 )
Então: 1 . 2 = (1, -2, 4) . (-2, 1, 1 )
 1 . 2 = 0
 Reta ortogonal a duas Retas 
Sejam as retas r1 e r2 não paralelas, com as direções de 1 e 2 , respectivamente. Toda reta r ao mesmo tempo ortogonal a r1 e r2 terá a direção de um vetor . 
tal que . 1 = 0
 . 2 = 0
Podemos fazer : = 1 x 2
Definido um vetor diretor, a reta r estará determinada quando for conhecido um de seus pontos.
Ex: Achar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(3, 4, -1) e é ortogonal às retas:
r1 : (x, y, z) = (0, 0, 1) + t(2, 3, -4) e 
 
 x = 5
r2 : y = t
 z = 1 - t
Resolução: As direções de r1 e r2 são definidas pelos vetores 1 = (2, 3, -4 ) e 2=(0, 1, -1 ). Então a reta r tem a direção do vetor:
 1 x 2= = ( 1, 2, 2)
Logo, tem-se:
r : 
 Interseção de duas retas
Se existe um ponto P(x, y, z) comum às duas retas, suas coordenadas verificam todas as equações de r1 e r2 , isto é , o ponto P é solução única do sistema formado pelas equações das duas retas.
Ex: Verifique se as retas r1 e r2 são concorrentes, em caso afirmativo, determine o ponto de interseção.
r1 : e r2 : 
igualando as retas r1 e r2 , temos :
 
Calculando em 1 e 3 :
 -4t=4 t = -1 h = -1
Substituindo em r1 , temos:
r1 : , o ponto de interseção é P(2, -1, 3).
Exercícios:
1)Dada a reta r : , determine o ponto de r, tal que :
a)A ordenada seja 6;
b)A abscissa seja igual à ordenada;
c)A cota seja o quádruplo da abscissa.
2)Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:
a) A(1, -1, 2) e B(2, 1, 0)
b) A(3, 1, 4) e B(3,-2, 2)
c) A(1, 2, 3) e B(1, 3, 2)
d) A(0, 0,0 ) e B(0, 1, 0)
3) Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos ponto A( -2, 3 , -2 ) e tem ( 3, 0, 2 ).
4) Calcular o valor de m para que as retas r e s sejam ortogonais.
 
r : y = mx – 3 s : x = -1 + 2t
 z = - 2x y = 3 - t
 z = 5t 
5) O ponto P(m, 1 , n ) pertence à reta que passa por 
A ( 3, -1, 4 ) e B ( 4, -3 , -1 ). Determine P.
6) Sabendo que o ponto P ( m , 4 , n ) pertence à reta que passa pelos pontos A( -1, -2, 3 ) e B( 2, 1 -5 ), calcular m e n.
7) Determinar a equação vetorial da reta r definida pelos pontos A( 2, -3, 4 ) e B( 1, -1, 2 ) e verifique se os pontos C 5/2 , -4 , 5 e D ( -1, 3 , 4 ) pertencem a r.
8) A reta r : x – 2 = 4 = z , forma um ângulo de 304 5 3
Com a reta determinada pelos pontos A( 0, -5, -2 ) e B( 1, n - 5, 0 ). Calcular o valor de n.
9) Determinar as equações vetorial e paramétricas da reta que passa pelos pontos A(1,- 1, 2) , B(2, 1, 0).
10) Estabelecer as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida das retas determinada pelo ponto A( 1, -2 ,1 ) e pelo vetor = ( 3, 1, 4 ).
11)Ache as equações paramétricas e vetoriais da reta r que satisfaz as condições dadas:
a) Passa pelos pontos A ( 1, 2, 1 ) e B( 5, -1,1 );
b) Passa pelo ponto P ( 5, 3, 2 ) cujo vetor diretor seja = ( 4, 1,-1 );
12) Determinar o ângulo entre as retas
 x = 2 - t
r1: y = t e r2 : x = y + 6 = z - 1
 z = 3 - 2t 2 1 1
 
 13) Encontre as equações paramétricas da reta que passa por A(0,0,0) e é simultaneamente ortogonal ás retas r1 : x = y = z – 3 e
 2 1 2
r2 : x = 3t
 y = -t + 1
 z = 2
Verificar se as retas r1 e r2 são concorrentes, e em caso afirmativo, encontrar os pontos de interseção:
r 1 : y = 2x – 3 r2: y = -3x + 7
 z = - x +5 z = x + 1
r 1 : y = 2x – 3 r2: x = -t
 z = - x y = 4 - t
 z = 2 + 2t
Gabarito
a) P ( -1, 6 , -10 ) b) 5 , 5 , -3 
c) P ( -4, 9 , -16 ) 2 2 
a) x = 1 + t c) x = 1
 y = -1 + 2t y = 2 + t
 z = 2 – 2t z = 3 - t
 b) x = 3 d) x = 0
 y = 1 -3t y = t
 z = 4 – 2t z = 0 
 x = - 2 + 3t
 y = 3
 z= -2 + 2t
m= -8 5) P ( 2, 1, 9 ) 6) P( 5, 4, -13 )
 
 7) ( x, y, z )=( 2, -3, 40 + t (-1, 2, -2 ) ;
 C r ; D r
 8) n = 7 e n = 1
(x,y,z)=(1,-2,1) + t (3,1,40 x = 1 + t
 y = -1+2t
 z = 2 – 2t
 10) (x, y ,z) = (1, -2, 1) + t (3, 1, 4)
x = 1 + 3t, y = -2 + t e z = 1 + 4t
x – 1 = y + 2 = z – 1
 3	 1	 4
x = 3y + 7 e z = 4y + 9
a) x, y, z = (1, 2, 1) + t (4, -3, 0)
 x = 1 + 4t, y = 2 – 3t e z = 1
b) v = (5, 3, 2) + t (4, 1, -1) 
 x = 5 + 4t, y = 3 + t e z = 2 – t
12) 60°
 13) x = 2t
 y = 6t
 z = - 5t
14) a) São concorrentes P ( 2, 1, 3)
 b) Não são concorrentes, então não tem ponto de interseção.

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