Um Curso de Cálculo e Equações Diferenciais com Aplicações

a um valor espec´ıfico bem de-
terminado ax1
1, quando h→ 0 (independentemente do modo como h se faz pequeno)
?
E´ nesse ponto que se veˆ importaˆncia de podermos falar de algo como o h tender a
zero, sem precisar nunca ser zero: pois simplesmente na˜o podemos dividir por h = 0
e precisamos calcular limh→0 ax1,h.
Atenc¸a˜o ! pois em geral pode na˜o existir esse limite, como algo bem definido.
O exemplo mais simples e´ (que e´ uma func¸a˜o cont´ınua !):
y = f(x) = |x| e x = 0.
De fato, se h > 0 e tende a zero, obtenho:
lim
h→0
h>0
|0 + h| − |0|
h
= lim
h→0
h>0
h
h
=
= lim
h→0
h>0
1 = 1,
1Claro que em geral ax
1
depende do x1 escolhido
CAPI´TULO 8. A TANGENTE AO GRA´FICO, SEGUNDO O CA´LCULO 109
e no entanto:
lim
h→0
h<0
|0 + h| − |0|
h
= lim
h→0
h<0
−h
h
=
= lim
h→0
h<0
−1 = −1,
0,8
0,4
0
1
0,6
0,2
x
10-0,5-1 0,5
Figura: Gra´fico de y = | x |, para x ∈ [−1, 1].
Definic¸a˜o 2.1. Quando ha´ uma posic¸a˜o limite de secantes, ou seja, quando existe
a := lim
h→0
ax1,h, onde ax1,h :=
f(x1 + h)− f(x1)
h
,
dizemos que existe a Reta Tangente ao gra´fico de f em (x1, f(x1)). E´ a reta dada
por:
y = a · x+ b, pondo a := lim
h→0
ax1,h
e onde b fica determinado pela imposic¸a˜o de que essa reta passe por (x1, f(x1).
De f(x1) = a · x1 + b, obtenho o coeficiente linear:
b = f(x1)− (lim
h→0
ax1,h) · x1.
E´ interessante que, embora as secantes na˜o tenham muito a ver com o gra´fico:
a tangente ao gra´fico em um de seus ponto da´ informac¸a˜o relevante sobre ele, ela
da´ informac¸a˜o do formato do gra´fico naquele ponto.
Dentre todas a retas passando por aquele ponto, a tangente ao gra´fico e´ a mais
informativa do formato do gra´fico.
3. A reta tangente ao seno em (0, 0) e´ a diagonal
Vamos dar uma justificac¸a˜o bem geome´trica para o fato de que no gra´fico do seno
existe uma reta tangente bem definida no ponto (0, 0): de fato sua equac¸a˜o e´ a mesma
da diagonal y = x.
Para isso comec¸amos observando que:
3. A RETA TANGENTE AO SENO EM (0, 0) E´ A DIAGONAL 110
Afirmac¸a˜o 3.1. Valem:
sin(θ) < θ e θ < tan(θ), para 0 < θ < pi/4,
e
tan(θ) < θ e θ < sin(θ), para − pi/4 < θ < 0.
Demonstrac¸a˜o.
Seja 0 < θ < pi/4.
Considere treˆs A´reas envolvidas:
• do triaˆngulo 4 com ve´rtices em (0, 0), (1, 0) e em (cos(θ), sin(θ)). Note que
a base dele mede 1 e que sua altura e´ o sin(θ). Logo A4(θ) =
sin(θ)
2
.
• do Setor circular (fatia do disco) de abertura θ do disco de raio 1, s(θ). Sua
a´rea2 e´ denotada As(θ). Temos As(2pi) = pi e As(θ) =
θ
2
.
• do triaˆngulo ∆ com ve´rtices em (0, 0), (1, 0) e no ponto (1, tan(θ)), que e´ um
triaˆngulo retaˆngulo em (1, 0) Denote sua a´rea por A∆(θ). A base dele mede
1 e que sua altura e´ tan(θ). Logo A∆(θ) =
tan(θ)
2
.
θ
(1,0)(0,0)
tan (1, )θ
( , )θcos θsen 
Figura: Observe que 4 ⊂ s(θ) ⊂ ∆
Das incluso˜es:
4 ⊂ s(θ) ⊂ ∆
obtemos:
A4(θ) < As(θ) < A∆(θ)
ou seja para 0 < θ < pi/4:
sin(θ)
2
<
θ
2
<
tan(θ)
2
,
que e´ o que queremos (se eliminamos o 1/2).
Por outro lado, se −pi/4 < θ < 0 (isto e´, θ e´ aˆngulo no sentido hora´rio),
A4(θ) < As(θ) < A∆(θ)
2O Ca´lculo pode provar que a a´rea de um disco de raio r e´ pi · r2, como o faremos nos Cap´ıtulos
sobre Integrac¸a˜o. A A´rea de um setor de abertura θ (em radianos) no disco de raio r e´
θ
2pi
· pir2 = θ · r
2
.
CAPI´TULO 8. A TANGENTE AO GRA´FICO, SEGUNDO O CA´LCULO 111
agora significa (ja´ que para ca´lculo de a´reas tomo os mo´dulos de nu´meros negativos):
− sin(θ)
2
<
−θ
2
<
− tan(θ)
2
,
ou seja (multiplicando por −1):
tan(θ)
2
<
θ
2
<
sin(θ)
2
o que queremos (eliminando o 1/2).
�
Afirmac¸a˜o 3.2. (Um Limite fundamental)
lim
θ→0
sin(θ)
θ
= 1
Demonstrac¸a˜o.
Para 0 < θ < pi/4, da Afirmac¸a˜o 3.1 temos
θ <
sin(θ)
cos(θ)
,
e obtenho (multiplicando por cos(θ)
θ
> 0):
cos(θ) <
sin(θ)
θ
.
Ainda da Afirmac¸a˜o 3.1, para 0 < θ < pi/4,:
sin(θ) < θ
e obtenho:
sin(θ)
θ
< 1.
Ou seja,
cos(θ) <
sin(θ)
θ
< 1, se 0 < θ < pi/4.
Uso agora o item 6) do Teorema 1.1, combinado com continuidade do cosseno, ob-
tendo:
lim
θ↘0
sin(θ)
θ
= lim
θ→0
cos(θ) = cos(0) = 1.
Por outro lado, quando −pi/4 < θ < 0 ainda temos cos(θ) > 0 e pela Afirmac¸a˜o 3.1
t´ınhamos:
sin(θ)
cos(θ)
< θ,
de onde obtenho (multiplicando por cos(θ)
θ
< 0):
sin(θ)
θ
> cos(θ).
De novo da Afirmac¸a˜o 3.1 para −pi
2
< θ < 0:
θ < sin(θ)
3. A RETA TANGENTE AO SENO EM (0, 0) E´ A DIAGONAL 112
e obtenho (ja´ que θ < 0):
sin(θ)
θ
< 1.
Enta˜o como antes obtenho:
lim
θ↗0
sin(θ)
θ
= lim
θ→0
cos(θ) = cos(0) = 1,
o que e´ suficiente para sabermos que
lim
θ→0
sin(θ)
θ
= 1.
�
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
x
3210-1-3 -2
Figura: Gra´fico de y = f(x) = sin(θ)
θ
para 0 6= θ ∈ [−pi, pi] e f(0) = 0.
Como consequeˆncia da Afirmac¸a˜o 3.2 e da definic¸a˜o de Reta Tangente ao gra´fico
do seno em (0, 0), a tangente ao gra´fico do seno em (0, 0) e´ exatamente a diagonal,
pois os coeficientes angulares de secantes por (0, 0) sa˜o:
sin(θ)− sin(0)
θ − 0
e
lim
θ→0
sin(θ)− sin(0)
θ − 0 = limθ→0
sin(θ)
θ
= 1.
1,5
0,5
-1,5
1
0
-1
-0,5
x
1,510,50-1 -0,5-1,5
CAPI´TULO 8. A TANGENTE AO GRA´FICO, SEGUNDO O CA´LCULO 113
Figura: A diagonal e´ tangente ao seno em (0, 0)
4. Interpretac¸a˜o F´ısica da reta tangente
Uma das fontes do Ca´lculo e´ a F´ısica. Os conceitos de secantes e tangente a um
gra´fico teˆm uma interpretac¸a˜o f´ısica natural.
Se x e´ pensado como sendo o tempo, podemos pensar em f(x) como a posic¸a˜o
de um objeto, determinada em relac¸a˜o a um ponto de origem, do qual nos afastamos
para a direita (valores positivos de f) ou para a esquerda (valores negativos de f).
Enta˜o
f(x2)− f(x1)
e´ a distaˆncia percorrida no tempo transcorrido x2 − x1 e
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
e´ o que se costuma chamar a velocidade me´dia.
E´ o que no dia-a-dia nos perguntam: voceˆ vai de casa ate´ a faculdade em quanto
tempo ? E da´ı se deduz a velocidade me´dia do seu trajeto.
Mas tambe´m poderia haver interesse de algue´m nas velocidades marcadas no ve-
locimetro do seu carro a cada instante, para saber onde pegou engarrafamento, se teve
excesso de velocidade em alguns trechos, etc. O que e´ essa velocidade instantaˆnea
no instante x1 ? Ora, e´ o limite:
lim
h→0
f(x1 + h)− f(x1)
h
.
Ou seja, o coeficiente angular da tangente ao gra´fico da func¸a˜o posic¸a˜o f no
instante x1 da´ a velocidades instantaˆnea no momento x1. Isso e´ o que marca o
veloc´ımetro do carro.
Essa interpretac¸a˜o que estamos dando dos conceitos que vimos ao caso do movi-
mento de um objeto, nos motiva a falar da acelerac¸a˜o, um conceito que usamos muito
no dia a dia. Falaremos disso na Sec¸a˜o 5 do Cap´ıtulo 9.
5. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 5.1. i) Determine os intervalos em que coeficientes angulares das secantes
da func¸a˜o f(−∞, 0) ∪ (0,+∞)→ R, f(x) = 1/x sa˜o positivos ou negativos.
ii) Diga (ainda de modo bem intuitivo) o que acontece com esses coeficientes
angulares de secantes quando o ponto fixado x fica pro´ximo de zero (separadamente
se x < 0 ou se x > 0) ou com mo´dulo de x muito grande (x > 0 ou x < 0).
Exerc´ıcio 5.2. Calcule as equac¸o˜es y = ax + b das retas tangentes no ponto (1, 1)
dos gra´ficos de:
i): y = x2
ii): y = x3
iii): y = x4
5. EXERCI´CIOS 114
Exerc´ıcio 5.3. Pedi para o programa Maple plotar y = sin(x)
x
e y = sin
2(x)
x
para
x ∈ [−3, 3] e ele repondeu:
0,8
0
0,4
-0,4
x
31-3 0 2-2 -1
Mas essas func¸o˜es a princ´ıpio na˜o esta˜o sequer definidas em x = 0 ! Explique com os
conceitos de limite e continuidade o que