Um Curso de Cálculo e Equações Diferenciais com Aplicações

que sair correndo
para salvar algue´m que se afoga no ponto B = (0, 5), dentro do mar. Veja a Figura.
Suponha que a velocidade do salva-vidas na praia e´ v1 m/s e na a´gua e´ v2 < v1,
com raza˜o:
k :=
v2
v1
< 1.
A questa˜o e´ a seguinte: para que ele chegue o mais ra´pido poss´ıvel, ate´ que ponto
(x, 0) com x ∈ [0, 8] ele deve correr pela praia, para da´ı enta˜o ir em linha reta nadando
ate´ B ?
Na soluc¸a˜o a coordenada x do ponto buscado sera´ func¸a˜o de k, ou seja, x(k).
Tambe´m mostre que:
i) se k verifica k2 · (k2 − 1) < 0 enta˜o sair ja´ de (8, 0) nadando na˜o e´ a melhor
estrate´gia para o salva-vidas.
ii) mostre que limk→0 x(k) = 0. Ou seja, para valores de k muito pequenos o
melhor e´ correr pela areia ate´ quase a origem e dali sair nadando em aˆngulo reto.
iii) Para um salva-vidas que corresse como Usain Bolt e nadasse como Ce´sar Cielo
ter´ıamos k ∼ 0.22. Mas se nadasse como Cielo e corresse como uma pessoa normal,
enta˜o5 k ∼ 0.55.
Confirme que nesses dois casos
x(k) = x(0.22) ∼ 1.12 e x(k) = x(0.55) ∼ 3.34.
5Esses valores de k foram calculados pelo estudante Rafael Kuch, a quem agradec¸o
CAP´ıTULO 20
As Coˆnicas e suas propriedades refletivas
1. Distaˆncia ate´ uma para´bola
Comec¸o este Cap´ıtulo considerando o seguinte problema: dada uma para´bola
y = C · x2, com C > 0 fixado, e dado um ponto (0, a) no eixo positivo dos y, qual a
distaˆncia mı´nima entre ele e os pontos do gra´fico da para´bola ? Ja´ o caso C = 1 e´
interessante:
Afirmac¸a˜o 1.1. Seja o ponto (0, a) do eixo dos y com a > 0 e seja da(x) a distaˆncia
entre esse ponto e os pontos (x, x2) do gra´fico da para´bola y = x2.
• i) se a > 1
2
enta˜o da(x) tem um ma´ximo local em x = 0 e dois pontos de
mı´nimo absoluto em x = ±
√
2a−1√
2
.
• ii) se a ≤ 1
2
enta˜o da(x) tem apenas um ponto de mı´nimo absoluto, em x = 0.
Ademais, se a = 1
4
enta˜o d 1
4
(x) = x2 + 1
4
.
A Figura a seguir ilustra a Afirmac¸a˜o: em vermelho y = d 3
4
(x), em verde y =
d 1
2
(x), em amarelo y = d 1
3
(x), em azul y = d 1
4
(x) e em lila´s y = d 1
9
(x).
1,4
1
0,2
1,2
0,8
x
1-1
0,4
0,6
-0,5 0 0,5
Veremos na pro´xima Sec¸a˜o 2, Definic¸a˜o 2.1, que
(0, a) = (0,
1
4
)
e´ o foco da para´bola y = x2 e que y = −1
4
e´ a sua reta diretriz.
Demonstrac¸a˜o.
255
1. DISTAˆNCIA ATE´ UMA PARA´BOLA 256
Temos
da(x) :=
√
(x− 0)2 + (x2 − a)2 =
√
x2 + (x2 − a)2,
cujo domı´nio sa˜o todos os Reais.
Enta˜o ma´ximos/mı´nimos sa˜o detectados por
d′a(x) =
x · (2x2 + 1− 2a)√
x2 + (x2 − a)2 = 0.
Ou seja, d′a(x) = 0 em
• i) x = 0 e em mais dois pontos x = ±
√
2a−1√
2
, desde que 2a− 1 > 0
• ii) apenas em x = 0, se 2a− 1 ≤ 0.
Podemos usar o Crite´rio da primeira derivada para detectar ma´ximos/mı´nimos
locais. Como claramente
lim
x→+∞
da(x) = lim
x→−∞
da(x) +∞
os mı´nimos locais sera˜o tambe´m globais.
No caso i),
d′a(x) < 0 se 0 < x <
√
2a− 1√
2
e
d′a(x) > 0 se −
√
2a− 1√
2
< x < 0.
o que diz que x = 0 e´ ponto de ma´ximo local de da(x).
Ainda no caso i),
d′a(x) > 0 se
√
2a− 1√
2
< x
e
d′a(x) < 0 se x < −
√
2a− 1√
2
,
o que diz que x = ±
√
2a−1√
2
sa˜o pontos de mı´nimo local da da(x).
Ja´ no caso ii), temos 2x2 + 1− 2a ≥ 0 e o sinal de d′a(x) e´ o mesmo sinal de x:
d′a(x) > 0 se 0 < x
e
d′a(x) < 0 se x < 0,
o que diz que x = 0 e´ ponto de mı´nimo local.
�
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 257
2. Definic¸a˜o unificada das coˆnicas
No cole´gio se insiste em apresentar cada coˆnica separadamente, sem que se deˆ
uma definic¸a˜o unificada.
A Definic¸a˜o 2.1 a seguir englobara´ todas as coˆnicas, menos uma, o C´ırculo. Mas
veremos em seguida que a Definic¸a˜o 2.1 compreende a Definic¸a˜o 2.3, a qual se estende
naturalmente ao C´ırculo.
Lembre que a distaˆncia de um ponto P a uma reta r, denotada Pr a seguir, e´ a
distaˆncia do ponto P ao pe´ da perpendicular a r trac¸ada desde P .
Definic¸a˜o 2.1. Fixe uma reta r e um ponto F /∈ r. Uma coˆnica e´ o lugar geome´trico
no plano dos pontos P cuja distaˆncia PF esta´ numa raza˜o constante para a distaˆncia
P r. Ou seja:
PF
P r
= e, e > 0.
A grandeza e sera´ chamada de excentricidade da coˆnica, F , de foco e r, de diretriz.
Afirmac¸a˜o 2.1. Considere uma coˆnica de foco F , diretriz r e excentricidade e. Enta˜o
existe um sistema cartesiano de coordenadas em que
• a origem (0, 0) pertence a` conica,
• a diretriz vira a reta vertical x = −ρ, com ρ > 0,
• o foco e´ F = (eρ, 0)
• os pontos P = (x, y) da coˆnica satisfazem a equac¸a˜o:
(1− e2) · x2 − 2e(1 + e)ρ · x+ y2 = 0.
Ademais, se e = 1 a equac¸a˜o vira:
x =
1
4ρ
· y2
assim como o foco vira F = (ρ, 0) e a diretriz, x = −ρ.
Se e < 1 , a equac¸a˜o geral vira
x2
a2
− 2
a
· x+ y
2
b2
= 0,
onde
a :=
eρ
1− e > 0 e b :=
√
a2 · (1− e2) > 0.
Se e > 1, a equac¸a˜o geral vira:
x2
a2
+
2
a
· x− y
2
b2
= 0,
onde
a :=
eρ
e− 1 > 0 e b :=
√
a2(e2 − 1) > 0.
2. DEFINIC¸A˜O UNIFICADA DAS COˆNICAS 258
Definic¸a˜o 2.2. A coˆnica
x =
1
4ρ
· y2,
do caso e = 1 da Afirmac¸a˜o 2.1, e´ chamada para´bola.
• Ela tem o´bvia simetria no eixo dos y e o eixo x e´ chamado de eixo da para´bola.
• Um reta vertical pelo foco F = (ρ, 0) intersecta a para´bola em dois pontos
(ρ,±2ρ). A distaˆncia de F a cada um deles, que e´ 2ρ, e´ chamada semi-latus
rectum1 da para´bola.
• Num novo sistema cartesiano (x, y) em que o ve´rtice P0 esta´ em (x, y) = (h, k)
e o foco esta´ na reta y = k a para´bola
y2 = 4ρx
se escreve como:
(y − k)2 = 4ρ(x− h)
que expandido da´:
y2 − 2ky − 4ρx+ k2 + 4h = a1y2 + a2y + a3x+ a4 = 0.
Em Exerc´ıcios pode se pedir para, a partir de uma equac¸a˜o do tipo:
a1y
2 + a2y + a3x+ a4 = 0
determinar a para´bola, com o ve´rtice, o foco e a diretriz.
Tambe´m o papel de x e y pode estar trocado.
• A pista para chegar na para´bola esta´ em que so´ ha´ grau 2 em uma das
coordenas.
Para entendermos melhor as coˆnicas nos casos e 6= 1:
Afirmac¸a˜o 2.2. No caso 0 < e < 1 da Afirmac¸a˜o 2.1, existe um novo sistema de
coordenadas (x, y) dado por
x = x− a e y = y
em que a equac¸a˜o vira:
x
a2
+
y
b2
= 1
e no qual as coordenadas do foco sa˜o
F = (−
√
a2 − b2 , 0),
para
a :=
eρ
1− e > 0 e b :=
√
a2 · (1− e2) > 0.
Ademais2:
e =
√
a2 − b2
a
.
1semi largura ortogonal
2Na apostila c :=
√
a2 − b2 para elipses
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 259
No caso 1 < e da Afirmac¸a˜o 2.1, existe um novo sistema de coordenadas (x, y)
dado por
x = x− a e y = y
em que a equac¸a˜o vira:
x
a2
− y
b2
= 1
e no qual as coordenadas do foco sa˜o
F = (
√
a2 + b2 , 0),
onde
a :=
eρ
e− 1 > 0 e b :=
√
a2(e2 − 1) > 0.
Ademais3:
e =
√
a2 + b2
a
.
Definic¸a˜o 2.3. A coˆnica do caso 0 < e < 1 da Afirmac¸a˜o 2.2 e´ chamada elipse.
Um reta vertical por F1 = (−
√
a2 − b2, 0) intersecta a elipse em dois pontos
(−√a2 − b2,± b2
a
). A distaˆncia de F1 a cada um deles, que e´
b2
a
, e´ o semi-latus rectum
da elipse.
Note que:
• A elipse tem simetria tanto no eixo dos x como no eixo dos y. Da´ı se obtem
que ela poderia ser definida tambe´m com base num segundo foco F2 :=
(
√
a2 − b2 , 0) como o foi com base em F1 := F = (−
√
a2 − b2, 0). Havera´
uma segunda diretriz, cuja distaˆncia ao foco F2 e´ a mesma da primeira diretriz
a F1.
ρ ρa a
b
b
F 1
r 1 r 2
F 2
• Se na equac¸a˜o
x2
a2
+
y2
b2
= 1
3Na apostila, c :=
√
a2 + b2 para hipe´rboles
2. DEFINIC¸A˜O UNIFICADA DAS COˆNICAS 260
fazemos a = b enta˜o os dois focos coincidem em (0, 0) e temos o C´ırculo de
raio a.
• O raio a = a2
a
do c´ırculo e´ um caso particular