gabarito ep1 metdet II 2017 1

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
EP 1 2017/1 Met. Det. II Semana 1 – aula1 Versão Tutor 
 
1. Seja a função 
F
 definida por 









3 se ,12
3 1 se ,5
1 se ,1
)(
xx
x
xx
xF
. 
a. Faça um esboço do gráfico de 
F
. 
b. Determine o domínio e a imagem de 
F
. 
c. Analise o comportamento (crescimento) de 
F
 nos intervalos de definição. 
 
Solução: 
a. O gráfico de 
F
 é formado por três partes: 
Para 
1x
, a função 
F
 se confunde com a função 
xxf 1)(1
, cujo gráfico está 
representado a seguir. 
 
xxf 1)(1
 
 
Para o intervalo 
 3;1
, a função 
F
 se confunde com a função 
5)(2 xf
. 
 
5)(2 xf
 
           












x
y
           













x
y
 
Finalmente, no intervalo 
 ;3
, a função 
F
 é representada por: 
 
12)(3  xxf
 
 
Para traçarmos o gráfico de 
F
, basta representarmos em um mesmo plano 
1f
, 
2f
 e 
3f
. 
 
)(xF
 
 
b. Da definição de 
F
, percebemos que seu domínio é todo o conjunto dos números 
reais. 
A partir do gráfico é possível perceber que a imagem de 
F
 é o intervalo 
 ;0
. 
Assim, 
 




;0)Im(
)(
F
IRFD
. 
 
c. 
 
 1;
 - a função é decrescente. 
 
 3;1
 - a função é constante. 
 
 ;3
 - a função é crescente. 
 
 
            












x
y
            












x
y
2. Para cada par de funções a seguir, determine 
gf 
, 
fg 
, 
ff 
 e 
gg 
, 
explicitando seus domínios. 
a. 
5)(  xxf
 e 
1²)(  xxg
 
b. 
xxf )(
 e 
32)(  xxg
 
c. 
1
1
)(


x
xf
 e 
2
)(


x
x
xg
 
d. 
xxf )(
 e 
1²)(  xxg
 
e. 
1
1
)(



x
x
xf
 e 
x
xg
1
)( 
 
 
Solução: 
a)
5)(  xxf
 e 
1)( 2  xxg
 
 
      6511)()( 222  xxxfxgfxgf 
 
IRgfD )( 
 
 
        241012510155)()( 222  xxxxxxgxfgxfg 
 
IRfgD )( 
 
 
      10555)()(  xxxfxffxff 
 
IRffD )( 
 
 
        2424222 2112111)()( xxxxxxgxggxgg 
 
IRggD )( 
 
 
b) 
xxf )(
 e 
32)(  xxg
 
 
      3232)()(  xxfxgfxgf 
 






 ;
2
3
)( gfD 
 
 
      32)()(  xxgxfgxfg 
 
   0|;0)(  xIRxfgD 
 
 
      4)()( xxxfxffxff 
 
   0|;0)(  xIRxffD 
 
 
        94364332232)()(  xxxxgxggxgg 
 
IRggD )( 
. 
 
c) 
1
1
)(


x
xf
 e 
2
)(


x
x
xg
 
Neste item devemos considerar 
1x
 e 
2x
 sempre que conveniente. 
   
22
2
2
22
1
2
2
1
1
2
1
2
)()(



















x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
fxgfxgf 
 
 2;1)(  IRgfD 
 
 
   
  12
1
1
12
1
1
1
221
1
1
1
121
1
1
2
1
1
1
1
1
1
)()(





















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
gxfgxfg 
 







2
1
;1)( IRfgD 
 
 
   
2
1
1
2
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
)()(



















x
x
x
x
x
x
x
x
fxffxff 
 
 1;2)(  IRffD 
 
 
   
  4
2
4
2
2
42
2
2
22
2
2
2
2
2
)()(





















x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
gxggxgg  
 4;2)(  IRggD 
 
 
 
d) xxf )( e 1)( 2  xxg 
Repare que como 
xxf )(
, está implícito que 
0x
. 
      11)()( 22  xxfxgfxgf 
 
     11|:;11;)(  xouxIRxgfD 
 
 
        11)()( 2  xxxgxfgxfg 
 
   0|;0)(  xIRxfgD 
 
Observação: Neste caso, apesar de 
1x
 estar definido para todos os valores de 
x
, 
x
 só 
está definida para 
0x
. Como o domínio de 
)( fg 
 deve ser um subconjunto do domínio 
f
, então, 
   0|;0)(  xIRxfgD 
. 
 
      4)()( xxxfxffxff 
 
   0|;0)(   xIRxIRffD 
 
 
        2424222 2112111)()( xxxxxxgxggxgg 
 
IRggD )( 
 
 
e) 
1
1
)(



x
x
xf
 e 
x
xg
1
)( 
 
Neste item devemos considerar 
1x
 e 
0x
 sempre que conveniente. 
   
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
fxgfxgf























1
1
1
111
1
1
1
1
1
1
1
)()( 
 1;0)(  IRgfD 
 
 
   
1
1
1
1
1
1
1
)()(














x
x
x
xx
x
gxfgxfg 
 
 1;1-)(  IRfgD 
 
 
   
 
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
fxffxff 

























2
2
1
2
1
2
1
11
1
2
1
11
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
)()( 
 1)(  IRffD 
 
 
    xx
x
x
x
gxggxgg 





 1
1
1
1
11
)()(
 
 0|)( *  xIRxIRggD 
 
 
 
3. Sendo 
f
 e 
g
 as funções definidas pelos gráficos abaixo e considerando 
IRgDfD  )()(
, encontre 
  2gf 
 e 
  4fg 
. 
 
 
 
)(xfy 
 
 
)(xgy 
 
Solução: 
   ))2((2  gfgf 
 
Observando o gráfico de 
g
, temos 
0)2( g
. 
Assim, 
   )0())2((2 fgfgf 
. 
                      


















x
y
        








x
y
De acordo com o gráfico de 
f
, 
8)0( f
. 
Logo, 
   82 gf 
 
 
 
Da mesma maneira, 
   4)0())4((4  gfgfg 
. 
 
 
4. Determine a inversa das seguintes funções: 
a. 
75)(  xxf
 
b. 
x
x
xf
12
)(


 
c. 
1
32
)(



x
x
xf
 
d. 
²9)( xxf 
, 
30  x
 
Solução: 
 
a. 
75)(  xxf
 
5
7
57
75




y
x
xy
xy
 
5
7
)(1

 
x
xf
 
 
 
b. 
x
x
xf
12
)(


 
 
2
1
12
12
12
12








y
x
yx
xyx
xyx
x
x
y
 
2
1
)(1


 
x
xf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. 
1
32
)(



x
x
xf
 
 
 
2
3
32
32
32321
1
32










y
y
x
yyx
yxyx
xyyx
xxy
x
x
y
 
2
3
)(1


 
x
x
xf
 
 
 
d. 
29)( xxf 
, para 
30  x
 
2
22
22
22
2
9
9
9
9
9
yx
yx
xy
xy
xy





 
21 9)( xxf  
 
 
O intervalo de definição foi importante 
para a determinação da inversa, principalmente 
no primeiro e no último passo, uma vez que no 
intervalo 
 3;0
, a função 
29 x
 é sempre 
positiva. 
5. Se 
²16)( xxf 
, 
40  x
 mostre que 
f
 é a sua própria inversa. 
(Dica: Calcule 
  )(xff 
) 
 
Solução: 
Como queremos mostrar que a inversa de 
f
 é a própria 
f
, devemos fazer a 
composição 
ff 
 e constatar que ela é igual à função identidade. 
De fato, 
       222 161616)()( xxfxffxff  
Como estamos considerando 
40  x
, então   222 1616 xx  . 
Assim,     2222 16161616 xxx  . 
Sabemos que 
xx 2
, mas como 
40  x
, então 
xx 
. Logo, podemos concluir 
que: 
  xxff )(
 
E, portanto, a inversa de 
f
 é ela mesma. 
ff 1
 
 
 
6. Um fabricante de relógios pode produzir um determinado modelo a um custo de 
R$15,00 por unidade. Está estimado que se o preço de venda do relógio for de 
x
 
reais, então o número de relógios vendidos por semana será dado pela expressão 
x125
. 
a. Dê a expressão do custo total dos relógios vendidos por semana. 
b. A partir da expressão obtida no item anterior, determine o preço de venda 
de cada relógio em função do custo total. 
c. Relacione a expressão encontrada no item anterior com a noção de função 
inversa estudada na Aula 1. 
 
Solução: 
a. 
 xC  12515
 
 x 12515
 
 custo por unidade quantidade de relógios vendidos 
b. Como 
 xC  12515
, então 
xC 151875
. 
Daí, 
15
1875
 187515 151875
C
xCxxC


 
 
c. A partir da função 
 xC  12515
 foi obtida uma outra função para expressar 
o preço de venda do relógio em função do custo C. Repare que o 
procedimento usado para a determinação do preço foi o mesmo utilizado 
para o cálculo da inversa de uma função, conhecendo-a. Portanto, podemos 
dizer que a função preço de venda é a função inversa do custo C.